第2讲一元二次方程_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》9年级(北师)_《初中数学•秋季三阶学生讲义解析》9年级(北师)提高班

第 2 讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式
方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为
一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为
二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
1. 形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平
方的方法
ax2 bxc  o  a  0 
2. 用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确
判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是移项得：
二次项系数化为1，得：
：
即
当 时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是
原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
x2  0
x2 ax2 bxc0
A. B.
(x1)(x2)1 3x2 2xy5y2 0
C. D.
【答案】C.
【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；
故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
2.把一元二次方程 化成一般形 其中 、 、 分别
为（ ）
A. 、 、 B. 、 、C. 、 、 D. 、 、
【答案】B.
【解析】原方程可整理为： ， ， ， ．
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方
程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【典例2】直接开平方法
a (x 17)2 100 b (y4)2 17 a b
1.若 为方程式 的一根， 为方程式 的一根，且 、 都是
ab
正数，则 之值为何?( )
83 10 17
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B.
(x 17)2 100 x 17 10 x  1710 x  1710
【解析】由 得 ，∴ 1 ， 2 ，
a a
又 是正数且 是此方程的根，
a  1710 b4 17
∴ ．同理 ，
ab( 17 10)(4 17)6
∴ ．
(x2)2 9
2.解方程 .
x23 x 5 x 1
【解析】根据平方根的定义，得 ，即 1 ， 2 ．
【方法总结】
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如
果a＜0，则方程无解【典例3】配方法
1.已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以
配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，据题意得p=3，9﹣q=7，
∴p=3，q=2，
∴ 是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
x2 4x20
2.用配方法解方程：
x2 4x2
【解析】
x2 4x424
(x2)2 2
x2 2
x 22
x  22，x  22
1 2
【方法总结】ax2 bxc  o  a  0 
用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(xm)2 n
④化原方程为 的形式；
n0
⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+ =0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B.
【解析】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（ ）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+ =0有两个相等的实数根．
故选B
2x2 8x30
2.用公式法解方程： .
a  2,b  8,c 3
【解析】
 b2 4ac 82 423 40
b b2 4ac 8 40
x  
2a 22
4 10 4 10
x  ,x 
1 2 2 2
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
b b2 4ac
x  (b2 4ac0)
1,2 2a
【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
【解析】原方程可以整理为
∴ 或
∴
2.解方程： .
【解析】
解得 ．
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是
原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．（山西模拟）一元二次方程 配方后可化为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，故选： ．
2．（温州期末）若关于 的方程 无实数根，则 的值可以是下列选项中的
A． B． C．9 D．10
【解答】解： 关于 的方程 无实数根，
△ ，
解得： ，
只有选项 符合，
故选： ．
3．（乳山市期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根，且满
足 ，则 的值为
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
【解答】解： ， 是关于 的方程 的两个实数根，
， ，
，
，
，
，
解得： 或 ，
当 时，方程为 ，此方程有解；
当 时，方程为 ，△ ，此时方程无解，
所以 ，
故选： ．
4．（滨海新区期末）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围
A． B． 且 C． D． 且
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且△ ，
解得： 且 ，
故选： ．
5．（聊城）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为
A． B． 且 C． D． 且
【解答】解： ，
关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： 且 ．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
6．（平房区期末）若一元二次方程 的两个根分别是矩形的边长，则矩形
对角线长为 1 0 ．
【解答】解：
解方程 得： ， ，
即 ， ，
四边形 是矩形，
， ，在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：10．
三．解答题（共4小题）
7．（历城区期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）方程两边都乘以 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解，
即原方程的解是 ；
（2） ，
，
，
， ．
8．（乳山市期末）【阅读材料】
解方程：
解：设 ，则原方程变为
解得， ， ．
当 时， ，解得 ．
当 ， 解得 ．
所以，原方程的解为 ． ， ， ．【问题解决】
利用上述方法，解方程： ．
【解答】解： ，
，
设 ，则原方程变为 ，
解得， ， ，
当 时， ，解得 或 ，
当 ， 解得 ，
所以，原方程的解为 ， ， ， ．
9．（房山区期末）当 是什么整数时，关于 的一元二次方程 与
的根都是整数．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 与 有解，
则 ，
△ ，
，
△ ，即 ；
，
△ ，
；
，且 ，而 是整数，
， ，
①当 时，方程 为 ，方程的解是 ，；
即 ， ，此时方程的解不是整数；
②当 时，方程 为 ，方程的解是 ， ；
即 ，方程的解是 ；
综合上述：当 是1时， 与 的根都是整数．
10．（黄石港区校级模拟）关于 的一元二次方程
（1）求方程的解；
（2）若方程的解为整数，求 值．
【解答】解：（1） 该方程是关于 的一元二次方程，
，
解得 或
方程的解为 或 ．
（2） 方程的解为 或 ．
若方程的解为整数，
①当 ， ， 时， 是整数，此时 、5、3、9、15、 ；
②当 ， ， ， 时， 是整数，此时 、8、11、7、12、6、15、3．
综上可知， 、7、15时原方程的解为整数．
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解析】解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>- ，且k≠0 .即k的取值范围是k>- ，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x , x 的倒数和为0.
1 2
2(k1)
k
0
1 1 k1 k1
 0 0
则x ，x 不为0，且 x 1 x 2 ，即 k ，且 k ，解得k=-1 .
1 2
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>- ，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
(3)当方程的两个根分别为x、x 满足条件的方程为（x-x）（x-x）=0
1 2， 1 2
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．（乳山市期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根，且满
足 ，则 的值为
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
【解答】解： ， 是关于 的方程 的两个实数根，
， ，
，
，
，
，
解得： 或 ，
当 时，方程为 ，此方程有解；当 时，方程为 ，△ ，此时方程无解，
所以 ，
故选： ．
2．（鄂州）关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且
，则 的值为
A． B． C． D．0
【解答】解： ，
，
，
把 代入 得： ，
解得： ，
故选： ．
3．（河南一模）关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则另一根为
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：设方程 的另一个根为 ，
关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
由根与系数的关系得： ，
解得： ，
即方程的另一个根为1，
故选： ．
4．（中原区校级模拟）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．方程 的两根之和为 ，不符合题意；
．方程 的两根之和为2，符合题意；．方程 的两根之和为 ，不符合题意；
．方程 的两根之和为0，不符合题意；
故选： ．
5．（长沙模拟）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是
A． B．3 C． D．1
【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
， ，
则 ，
故选： ．
6．（伍家岗区期末）已知一元二次方程 的两个根为 、 ，则 的值是
A． B． C．4 D．2
【解答】解：由根与系数的关系可知： ，
所以 的值是 ，
故选： ．
7．（高港区期末）已知 ， 是 的两个根，则 是
A． B．4 C．1 D．
【解答】解： ， 是 的两个根，
，
故选： ．
8．（茂名期末）若 、 是一元二次方程 的两个不相等的根，则 的
值是
A．3 B． C． D．15
【解答】解： 、 是一元二次方程 的两个不相等的根，，即 ， ，
则
，
故选： ．
9．（呼和浩特模拟）已知 ， 是关于 的方程 的两根，且满足
，那么 的值为
A．5 B． C．4 D．
【解答】解： ， 是关于 的方程 的两根，
， ，
，
，
解得： ，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
10．（海门市二模）若 、 是关于一元二次方程 的两实数根，则 的值
为 ．
【解答】解： 、 是关于一元二次方程 的两实数根，
， ，
，
故答案为： ．
11．（平江县二模）在等腰 中， 、 、 的对边分别为 、 ， ，已知
， 和 是关于 的方程 的两个实数根，则 的周长是 7 或．
【解答】解：当 时，关于 的方程 的两个相等的实数根，则△
，解得 或 （舍去），
当 时，方程变形为 ，此时 ，
所以此时 的周长为 ；
当 ，把 代入方程得 ，解得 ，方程变形为
，则 ，解得 ，
所以此时 的周长为 ；
当 ，同理可得 的周长为 ；
综上所述， 的周长为7或 ．
故答案为7或 ．
12．（江油市模拟）设 ， 是方程 的两个实数根，则
的值为 ．
【解答】解：根据题意得： ，
，
，
，
把 代入原式得：
原式，
，
故答案为：．
13．（双流区模拟）已知 ， 是一元二次方程 的两实数根，则
的值是 ．
【解答】解： 、 是一元二次方程 的两实数根，
、 、 、 ，
．
故答案为： ．
14．（诸城市一模）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
设方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，则 的值是 3 ．
【解答】解：由题意知 ， ，
，
，即 ，
解得 或 ，
方程 有两个不相等的实数根，
△ ，
解得： ，
，
故答案为：3．15．（新余一模）二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是 和 ，那么这
个方程是 ．
【解答】解：设这个方程为 ，将原方程变形为 ，
一元二次方程的两个根分别为 和 ．
，
．
解得 ， ．
则所求方程为 ．
故答案是： ．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以
及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的
量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．
年市政府共投资 亿元人民币建设了廉租房 万平方米，预计到 年底三年共
累计投资 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到 年底共建设了多少万平方米廉租房．
【解析】（1）设每年市政府投资的增长率为 ．
根据题意，得： ，整理，得： ，
解之，得： ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
答：每年市政府投资的增长率为 ．
（2）设到 年底共建廉租房面积 ，
则可得： ，
∴ （万平方米）．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长
次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低
次数，b为降低后的量)。
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出
180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因
受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多
少个？定价为多少元？
【解析】设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x=50，x=60．
1 2
当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价
格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程
时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长 米，宽 米的矩形场地 上修建三
条同样宽的人行道，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草（如图所
示），若使每一块草坪的面积都为 平方米．求人行道的宽。
【解析】解：设人行道路的宽为 米，根据题意得：
；
解得： 或 （舍去）
答：人行道宽2米。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
（围墙 最长可利用 ），现在已备足可以砌 长的墙的材料，若设计一种砌
法，使矩形花园的面积为 ．则 长度为多少【解析】解：设 m，则 m．
根据题意可得， ，
解得： ， ，
当 ， ，
故 （不合题意舍去），
答： 长度为15m。
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
① 利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB
边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．
【解析】解：设t秒后，则AP=t，BP=5-t； BQ=2t．
（1）因为S PBQ=BP×BQ÷2，
所以2t（5-t）=4×2
△
解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，
即25=（5-t）2+（2t）2，t=0（舍去）或t=2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S PQB=7，即：BP×BQ÷2=7,
（5-t）×2t=7×2
△
整理得：t2-5t+7=0．
由于b2-4ac=25-28=-3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D
出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB
以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到
点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【解析】解： ①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16﹣t，
∴S= ．
②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：PQ=BQ，在Rt PMQ中，PQ2=PM2+QM2=122+t2，解t= ．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，3t2﹣32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ． △
第三种：若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，解得t= ，t=16（舍去）
1 2
综上可知：t= 或t= ，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索
运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的
眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运
动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1．（松北区期末）哈市某专卖店销售某品牌服装，该服装进价为每件 80元，当每件服装
售价为240元时，月销售量为200件，该专卖店为提高经营利润，准备采取降价的方式进
行促销，经市场调查发现，当销售单价每降价10元，月销量就增加20件．设每件服装售
价为 元，该专卖店的月销售量为 件．
（1）求 与 的关系式；
（2）在某月进货时，该专卖店进货款不超过 18000元，售价定为多少元可使月利润达到
33000元？
【解答】解：（1）依题意得： ．
（2）由题意，得
整理，得 ，
即 ，
， ，
当 时，成本 不符合要求，舍去．
当 时，成本 符合要求．
故销售单价应定为230元．2．（沙坪坝区模拟）为提升红岩联线景区旅游服务功能和景区品质，沙区政府投资修建了
白公馆到渣滓洞的人行步道．施工单位在铺设人行步道路面时，计划投入 34万元的资金购
买售价分别为60元 张和50元 张的 、 两种型号的花岗石石材，且购买 型花岗石的
数量不超过 型花岗石数量的2倍．
（1）求该施工单位最多能购买 型花岗石多少张？
（2）在实际购买中，销售商为支持景区建设，将 、 两种型号花岗石的售价均打 折
（即原价的 出售，因施工实际需要， 型花岗石的数量在（1）中购买最多的基础上再
购买 张， 型花岗石的数量在（1）中购买最少的基础上再购买 张，这样购买花岗
石石材的总费用恰好比原计划减少了6460元，求 的值．
【解答】解：（1）34万
设该施工单位最多能购买 型花岗石 张，则购买 型花岗石 张，由题意
得：
答：该施工单位最多能购买 型花岗石4000张．
（2）由（1）得，当最多购买 型花岗石4000张时，可购买 型花岗石2000张，由题意
得：
整理得：
， （舍
答： 的值为9．
3．（张家港市期末）某商店以每件50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销
售，售出了200件．第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，该商店为增加销售量
决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多销售出10件，但最低单价应不低于
50元，第二个月结束后，该商店对剩余的 恤一次性清仓，清仓时单价为40元．设第二个
月单价降低 元，
（1）填表（用含 的代数式完成表格中的①②③处）时间 第一个月 第二个月 清仓
单价（元 80 ① 40
200 ② ③
销售量（件
（2）如果该商店希望通过销售这800件 恤获利9000元，那么第二个月单价降低多少元？
【解答】解：（1）根据题意可得答案为： ； ； ．
（2）由题意得：
整理得：
当 时， ，符合题意．
答：第二个月单价降低10元．
4．（温州期末）阳光小区附近有一块长 ，宽 的长方形空地，在空地上有两条相
同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总
面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为 ．
（1）求步道的宽；
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽
为 ，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大 ，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的
总面积．
【解答】解：（1）由题意，得化简，得 ．
．
．
答：步道的宽为 ；
（2）由题意，得
，
塑胶跑道的总面积为
5．（新泰市期末）我市晶泰星公司安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2
件甲产品或1件乙产品．根据市场行情测得，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利
120元．而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产 1件乙
产品，当天每件乙产品平均获利减少2元，设每天安排 人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类 每件产品可获利润
每天工人数（人 每天产量（件
甲 15
乙
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 650元，试问：该企业
每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天安排 人生产乙产品，则每天安排 人生产甲产品，每天
可生产 件乙产品，每件的利润为 元，每天可生产 件甲产品．故答案为： ； ； ．
（2）依题意，得： ，
整理，得：
解得： ， （不合题意，舍去），
．
答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．
6．（沙坪坝区校级月考）年3月23日，年足球世界杯预选赛中国队与韩国队在长沙交锋，
由于球迷热情参与，五万多张票一票难求，3月1日大麦网楷书四启动球票申购，许多球
票被一些不良商家大量抢购，再高价卖出，某不良商家以480元 张的价格购进若干张球票，
将这些球票标价为1500元 张，然后在标价的基础上打折出售，折后再降价 张．
（1）问该商家最多打几折销售，能使利润率不低于 ？
（2）为了照顾广大球迷，组委会决定将大量球票通过球迷协会统一购买的方式卖给球迷．
某球迷协会组委会售票处得 张球票，每张球票价格比（1）中商家售出的最低价格
少 ，购票共用去38880元，求 的值 ．
【解答】解：（1）设该商家最多打 折销售，根据题意得：
化简得：
答：该商家最多打6折销售，能使利润率不低于 ．
（2）由（1）得
（元
由题意得：
化简得：答： 的值为30．
7．（南岗区期末）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金 1200万元用于异地安置，并规
划投入异地安置资金的年平均增长率在三年内保持不变，已知年在年的基础上增加了投入
异地安置资金1500万元．
（1）年该地投入异地安置资金为多少元？
（2）在年异地安置的具体实施中，该地要求投入用于优先搬迁租房奖励的资金不低于年该
地投入异地安置资金的 ．规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户
以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房
奖励．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ，
，
解得： 或 （舍去），
则年该地投入异地安置资金为： （万元） （元 ，
答：年该地投入异地安置资金为18000000元；
（2）设今年该地有 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得： ，
解得： ，
答：今年该地至少有1450户享受到优先搬迁租房奖励．
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
【解析】 ，
，
． .2.用配方法解方程： .
【解析】
, ．
3.用公式法解方程 .
【解析】 .
,
此方程无实数根．
4.解方程 （因式分解法）
【解析】
即
解得：
5.果农李明种植的草莓计划以每千克 元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种
植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克
元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买 吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其
选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金 元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为 ．
由题意，得 ．
解这个方程，得 ， ．
因为降价的百分率不可能大于 ，所以 不符合题意，
符合题目要求的是 ．
答：平均每次下调的百分率是 ．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为： （元），
方案二所需费用为： （元），
∵ ， 元，
∴小刘选择方案一购买更优惠，优惠了 元．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【解析】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，
∵经过两轮感染后就会有 台电脑被感染，
∴可得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ．
7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千
克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的
几折出售？
【解析】（1）解：设每千克核桃应降价 元．
根据题意，得 ．
化简，得
解得 ， ．
答：为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价 元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 元或 元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 元．
此时，售价为： （元）， ．
答：该店应按原售价的九折出售．
8.如图，在宽为 ，长为 矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余
下的种植草坪，要使其草坪面积为 ，则宽为多少
【解析】解：设道路得宽为x m，
根据题意得： ，
整理得： ，解得： 或 （不合题意，舍去），
道路的宽为 ．
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向
点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如
果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过
程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运
动的时间；若不存在，说明理由.
【解析】解：因为∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得 ·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x＝2，x＝4.
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所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得 (6－x)·2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.