FY25暑假初二B02一元二次方程的概念及基本解法学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_学生版PDF

02B 一元二次方程的概念及基本解法 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）一元二次方程的概念 （2）一元二次方程的一般式 （3）一元二次方程的解 （4）直接开平方法 2. 考情分析 （1）一元二次方程的概念是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值 约10%。 （2）主要考察一元二次方程的概念、方程的解、直接开平方法，以选择题、填空题为主， 方程的解、直接开平方法考察解答题。 （3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一节。 （4）一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方 程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是 开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法， 公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础。 1知识加油站 1——一元二次方程的概念 考点一：一元二次方程的判断 知识笔记1 一元二次方程的概念 （1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________； （2）一元二次方程：只含有__________________，且________________是_________的 ________________称作一元二次方程． 例题1: （1）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． ①2x+3y2 =9； ②(x−3)(x−3)=x2 −x； 4 ③ 3(x−2)(x−1)=0； ④ −2=0； x2 ⑤3x2 −2 x =2； ⑥ax2 +b=0；（a,b为已知数）； ⑦3x2+2y+2=2y． （2）判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程． ①ax2 −x− 2x+ 3x2 +b=c（a,b,c为有理数）； ②( 2m2 +m−3 ) xm+1+5x=13． 练习1: 2 关于x的方程：① ax2 +bx+c=0；②x2 + −4=0；③2x2 −3x+1=0；④x2 −2+x3 =0．其 x 中是一元二次方程的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2考点二：一元二次方程的定义求参数 知识笔记2 一元二次方程的满足条件： （1）__________________________； （2）__________________________． 例题2 （1）已知方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程，求a的值． （2） 方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0 ①m为何值时，方程是一元二次方程； ②m为何值时，方程是一元一次方程． 练习2: （1）（2022•黄浦区大同中学月考）已知关于x的方程(m−1)xm2+1+2x−3=0是一元二次方程， 则m的值为_______． （2）k取何值时，关于x的方程(k2 −1)x2 +2(k+1)x+3(k−1)=0 ①是一元一次方程？ ②是一元二次方程？ 3知识加油站 2——一元二次方程的一般式 考点三：一元二次方程系数 知识笔记3 一元二次方程的一般式 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2 +bx+c=0_________的形式，这种形式简称 为一元二次方程的一般式．其中ax2叫做_________，a是_________；bx叫做_________， b是一次项系数；c叫做_________． 例题3: （1）（2022•浦东新区进才实验中学月考）一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1的一次项系数 为_________． （2）一元二次方程3x(x−1)=2(x+2)化为一般形式后二次项系数是_________，一次项是 _________． （3）一元二次方程4x−x2 =3中，当二次项系数是−1时，一次项系数是_________、常数项 是_________． 练习3: 判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项： （1）3y=4y(2− y)； （2）2a(a+5)=10； （3）x2(3+x)+1=5x； （4）3+2m2 =2(2m−3)． 4例题4: （1）①若m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则 m=_______，n=_______． ②已知关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是0，则a=_______． （2）①将一元二次方程(x+a)2 =b，化成x2 −8x−5=0的形式，则a，b的值分别是( ) A．−4，21 B．−4，11 C．4，21 D．−8，69 ②一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式2x2 −3x−1=0，试求a、b、c的值． 3 ③（2022•徐汇区南洋模范中学月考）若一元二次方程x2 −ax=2a−1的各项系数的和为 ， 2 则a=_________． 练习4: （1）①（2023•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程(m−3)x2 −3x+m2 =9的常数项为0， 则m=_______． ②若关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2x+m2 −1=0的常数项为0，则m的值是_______． （2）①把方程3x2 +x=2(x−2)化成ax2 +bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为( ) A．3，1，4 B．3，−1，4 C．3，−1，−4 D．3，4，−1 a+b ②一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0，试求 的值． c ③设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足(a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0， 求满足条件的一元二次方程． 5知识加油站 3——一元二次方程的解 考点四：一元二次方程的根 知识笔记4 一元二次方程的解 能够使一元二次方程____________________________叫做方程的解．只含有一个未知数的方 程，它的解又叫做__________． 例题5: 判断方程后面括号里的数是否为方程的根． 1 （1）2x2 −2=3x(− ，2)； （2）(2x− 3)2 =3 ( 3，− 3 ) ． 2 练习5: 检验−3和1是不是方程4x2 −9=2x−7的解？检验结果是：__________是这个方程的解． 考点五：一元二次方程求参 例题6: （1）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）若关于 x 的一元二次方程 (m−1)x2 +3x+m2 −1=0有一根为0，则m=________． （2）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）关于x的方程3x2 +mx−1=0的一个根是2，则 m=________． 练习6: （1）（2022•宝山区期中）关于x的一元二次方程(a− 2)x2 +x+a2 −2=0的一个根是0，那 么a的值是________． （2）（2022•普陀区期中）关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根为 2，那么 m的值为________． 6考点六：整体法求值 例题7： （1）如果a+b+c=0，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0，必有一个根是________． （2）（2023秋•杨浦区期中）已知a为方程x2 −3x−6=0的一个根，则代数式6a−2a2 +2023 的值. a2 +1 （3）已知a是方程x2 −2023x+1=0的一个根，则a3 −2023a2 + 的值. 2023 练习:7： （1）①（2023秋•静安区校级期中）如果a+b=−c，则方程ax2 +bx+c=0必有一解为x= __________． ②在一元二次方程ax2 +bx+c=0中，若a、b、c满足关系式a−b+c=0，则这个方程必 有一个根为__________． （2）（2022秋•长宁区校级期中）a是方程x2 +x−1=0的一个根，则代数式−2a2 −2a+2022 值是__________． （3）①（2020•金山区期中）若关于x的方程ax2 +bx+c=0(a0)满足a−b+c=0，称此方 1999a 程为“月亮”方程．已知方程a2x2 −1999ax+1=0(a0)是“月亮”方程，求a2 +1999a+ 的 a2 +1 值为( ) A．0 B．2 C．1 D．−2 2018 ②已知a是方程x2 −2018x+1=0的一个根，求a2 −2017a+ 的值． a2 +1 7知识加油站 4——直接开平方法 考点七：用开平方解方程 知识笔记5 直接开平方法 如果一元二次方程的一边是，另一边是______________，那么就可以用直接开平方法求解， 这种方法适合形如______________的形式求解． 例题8: 用直接开平方法解下列方程． （1）（2022•宝山区期末）方程2x2 =1的解是_______． （2）（2021•浦东新区新竹园中学月考）方程x2 − 64 =0的两根为x = _______，x = 1 2 _______． （3）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）解方程：3(x−1)2 +1=16． （4）（2021•徐汇区徐汇中学期中）解方程： 2(6−x)2 =128 2 ． 练习8： 用直接开平方法解下列方程． （1）x2 −9=0． （2）4(x−2)2 −36=0． 8（3）解关于x的方程：9x2 − 625 =0． （4）（2021•静安区民立中学月考）解方程： 2(2x−5)2 =9 2． 1 （5）（2022•嘉定区月考）解方程： (2x−2)2 −16=0． 3 例题9： （1）（2021•徐汇区南洋模范中学月考）解方程：4(x+1)2 −9(x−2)2 =0 （2）（2023•长宁期中）解方程：(x−1)2 =9(2x+5)2 练习9： （1）解一元二次方程(3x−1)2 −(x+1)2 =0 （2）（2021•青浦期中）解一元二次方程(x+3)2 =(3x−5)2 9考点九：开平方法解含参方程 例题10: （1）解关于 x的方程x2 −2kx−2=0． （2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程：ax2 −1=1−x2． 练习10: （2021•闵行区期末）解关于 x的方程：a2x2 −1=−x2 ． 考点十：韦达定理 例题11: （阅读材料．材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个根为x，x ，则 1 2 b c x +x =− ，xx = ． 1 2 a 1 2 a (1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x，x，则x +x =______， 1 2 1 2 xx =_______． 1 2 (2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且mn，求 m2n+mn2的值． (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st1，求 2st+7s+2 的值 t 10练习11: （2022•静安期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾 股圆方图注》对x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) 给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始 你的探索之旅． (1)用x,x 表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 1 2 一元二次方程 x +x x x 1 2 1 2 4x2− p2 =0(p0) 0 ① x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) ② ③ 6 1 5x2−6x+1=0 5 5 (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于ax2+bx+c=0(a0) ，若b2−4ac0，则x +x = 1 2 ______；x x =______．（用含a,b,c的代数式表示）． 1 2 (3)设,是方程2x2−2x−1=0的两个实根，利用上述结论求2+2的值． (4)类比探索，若一元三次方程ax3+bx2+cx+d =0(a0) 可以转化为 a(x−x )(x−x )(x−x )=0，则x +x +x =______；x x x =______（用含a,b,c,d的代 1 2 3 1 2 3 1 2 3 数式表示）． 11全真战场 关卡一 练习1: （1）下面关于 x 的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1； 1 ③x2 + +5=0；④x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．是一元二次方程个 x 数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）关于x的方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15有一个根−2，则 m 的值等于( ) 1 1 A．2 B．− C．−2 D． 2 2 练习2: 已知关于 x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0． （1）当 m 为何值时，该方程为一元二次方程？ （2）当 m 为何值时，该方程为一元一次方程？ 练习3: 分别根据下列条件，写出关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的一般形式： （1）a=2 ， b=3 ， c=1 ； 1 3 2 （2）a=− ，b= ，c= 2 4 5 12练习4: （1）解下列方程：(x−2)2 −9=0． （2）解下列方程：(2y−3)2 −64=0． （3）解关于 x 的方程：4(2x−5)2 =9(3x−1)2． 练习5: 1 1 （2020•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程a(x−m)2 =3的两根为  3，其中a、m x 2 2 为两数，则a=_______，m=_______． 关卡二 练习5: 若 x2a+b −2xa+b +3=0是关于 x的一元二次方程，求a，b的值． 练习6: 已知a为方程2x2 −3x−1=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值． 13练习7: 阅读材料并解决下列问题：材料 1 若一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的两根为x 、x ， 1 2 b c 则x +x =− ，xx = ． 1 2 a 1 2 a n m 材料2 已知实数m，n满足m2 −m−1=0，n2 −n−1=0，且mn，求 + 的值． m n 解：由题知m，n是方程x2 −x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料 1，得m+n=1， mn=−1， n m m2 +n2 (m+n)2 −2mn 1+2  + = = = =−3． m n mn mn −1 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程5x2 +10x−1=0的两根为x ，x ，则x +x =________，x x =________． 1 2 1 2 1 2 （2）已知实数m，n满足3m2 −3m−1=0，3n2 −3n−1=0，且mn，求m2n+mn2的值． 14