FY25暑假初二B01二次根式复习教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

01B 二次根式复习 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）二次根式的概念和性质 （2）二次根式的运算 （3）二次根式的综合应用 2. 考情分析 （1）二次根式属于方程与代数式板块，占中考考分值约20%； （2）对应教材：八年级上册第十六章二次根式； （3）二次根式相关的概念及性质，以选择题、填空题的形式考察，也可以结合新定义、数 轴等知识点考察解答题；重难点是同类二次根式的合并、二次根式的化简与计算并解决实际 问题. 环节 需要时间 课后练习讲解 10 分钟 切片 1：二次根式的概念和性质 30 分钟 切片2：二次根式的运算 25 分钟 切片3：二次根式的综合应用 35 分钟 出门测 10 分钟 错题整理 10 分钟 1知识加油站 1——二次根式的概念和性质【建议时长：30分钟】 考点一：二次根式的概念和性质 知识笔记 1 1. 二次根式的概念 代数式 a （a0）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是___________． 2. 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是被开方数是___________． 3. 二次根式的性质 性质1： a2 =a(_______)； 性质2：( a)2 =a(a0)； 性质3： ab =_________ （a0，b0）； ab = -a −b（a0，b0） a a 性质4： = （a0，b0）． b b a −a = （a0，b0） b −b 4. a2 与 a 的关系 a(a0)  a2 = a =0(a=0) ．  −a(a0) 5. 最简二次根式 （1）被开方数中各因式的指数__________； （2）被开方数不含分母． 6. 同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数__________，那么这几个二次根式叫做同 2类二次根式． 7. 分母有理化 （1）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号． （2）有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式． 【填空答案】 1. 被开方数 2. 非负数 3. a0； a b 5. 都为1 6. 相同 例题1: （★★★★☆） 一、单选题 1．（2023•金山区校级月考）在二次根式 42a 、 a2 −b2 、 0.5x 、 75中，最简二次根式 共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（ ） A． x2 −1 B． 2m+3 C． −y2 −2y−1 D． x2 +1 x−3 x−3 3．等式 ＝ 有意义，则 x 的取值范围为（ ） 4−x 4−x A．3＜x4 B．3＜x＜4 C．3 x＜4 D．3 x4 4．下列各式中是 x+ y 有理化因式的是（ ） A． x−y B． x + y C． x − y D． x+ y 5．下列各式中计算正确的是( ) A． 32 +42 =3+4=7 B． (−16)(−25) = −16 −25 =(−4)(−5)=20 24 24 C． = = 8 =2 2 3 3 312 12 8 3 D． 4 =4 = 25 25 5 6．当a2时，化简 a3(a−2)的结果是（ ） A．a a(a−2) B．−a a(a−2) C．a a(2−a) D．−a a(2−a) 二、填空题 7．（2021•普陀区校级月考）若最简二次根式 x2 +1 与y+13x2 −1 是同类二次根式，则x+ y= _____． 3 8．分母有理化： = ____________． 4+ 13 3 4y y 9．当x0时，化简 x2y5  =____________． 5 15 x 10．（2023•金山区校级月考）不等式 2x−3 3x的解集为_____________． a−2 11．（2021•普陀区校级月考）化简： (a2)=____________． a2 −4a+4 1 1 12．已知a＞0，计算：− ab2 (− a2b2)＝____________． 6 a 1 2 3 13．计算： 12+ =_________； 9m− 16m =_____________ 3 3 4 1 6x 14．已知 x + =3 ，且0a1，则 =____________． x x2 +9x−1 【常规讲解】 1. 解： 42a 是最简二次根式， a2 −b2 是最简二次根式， 0.5x 中被开方数的因数不是整数，所以不是最简二次根式， 75 = 253中含有能开得尽方的因数25，所以不是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个， 故选：B． 2. A.当−1 x1时，x2 −10，二次根式无意义，A选项不符合题意； 3 B.当m− 时，2m+30，二次根式无意义，B选项不符合题意； 2 C.当y  −1 时，−y2 −2y−10，二次根式无意义，C选项不符合题意； D.在实数范围内，x2 0，x2 +11，D选项符合题意． 4故选：D 3. 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0以及分母不为0 求解即可．由题意，得x-3≥0且4-x＞0， 解得3≤x＜4． 故选C． 4. 根据二次根式的性质即 x+ y 的有理化因式是 x+ y 故选D 5. A. 32 +42 =5，故该选项计算错误； B. (−16)(−25) = 16 25 =44=20，故该选项计算错误； 24 24 C. = = 8 =2 2，此选项计算正确； 3 3 12 112 4 7 D. 4 = = ，故该选项计算错误. 25 25 5 故选C. 6. 解：∵a2 ∴a−20 ∴ a3(a−2)=−a a(a−2) 故选：B． 二、填空题 7. 解： 最简二次根式 x2 +1与 y+13x2 −1是同类二次根式， y+1=2，x2 +1=3x2 −1， x2 =1，y=1， x=1， 当x=1，y=1时， x+ y=2， 当x=−1，y=1时， x+ y=0， x+ y=2或0， 故答案为：2或0． 53 8. 解： 4+ 13 3(4− 13) = (4+ 13)(4− 13) 3(4− 13) = 16−13 3(4− 13) = 3 =4− 13． 故答案为：4− 13． x2y5 0  9. 由二次根式的定义得：y ， 0  x x 0， y 0， 又 除法运算的除数不能为0， y 0， y 0， 3 4y y 3 4y y 则 x2y5  = xy2 y  ， 5 15 x 5 15 x 3 xy2 y 5 = ， 4y y 15 x 9xy x = y ， 4 y 9 = xy x ， 4 9 故答案为： xy x． 4 10. 解： 2x−3 3x， 移项得： 2x− 3x3， 合并同类项得：( 2− 3)x3， 解得x−3( 3+ 2)． 故答案为：x−3 3−3 2 ． 6a−2 a−2 11. 解：原式= = =−1． (a−2)2 2−a 12. ∵a＞0， 1 1 1 b2 ∴− ab2 •(− a2b2)= •ab2 a = a ． 6 a 6a 6 b2 故答案为： a． 6 1 3 7 3 13. 解： 12+ =2 3+ = ； 3 3 3 2 3 9m− 16m =2 m−3 m =− m . 3 4 7 3 故答案为： ，− m. 3 1 14. ∵ x + =3 ， x 2  1  1 ∴  x+  =x+2+ =32 =9，  x x 1 ∴x+ =7， x 2  1  1 ∴  x−  =x−2+ =7−2=5，  x x ∵0 x1， 1 ∴ x − =− 5 ， x  1  1  1 ∴ x+  x− =x− =−3 5，  x x x 6 6 2 = = = ∴原式 1 9−3 5 3− 5 x+9− x 6+2 5 5+2 5+1 ( 5+1)2 = = = 2 2 2 5+1 = ． 2 5+1 故答案是： ． 2 7练习1: 【学习框8】 （★★★☆☆） 一、单选题 1．下列属于最简二次根式的是（ ） 1 A． a+b B． a2b C． D． 98 3 1 2. （2021•普陀区校级月考）使代数式 + 4−3x有意义的整数x有( ) x+3 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2018•徐汇区校级月考）当x的取值范围在数轴上如( )表示时，二次根式 2x+6 有 意义． A． B． C． D． 4. （2022•黄浦区月考）下列各式运算正确的是( ) A． 2+ 3= 5 B． (−4)(−9) = −4 −9 =(−2)(−3)=6 C．(2 10− 5) 5 =2 2−1 D． 52 −42 = 52 − 42 =1 5. （2022•浦东新区校级月考）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是( ) 1 A． 3与 B． 8与 50 C． 4x3 与 8x3 D． 3x 与 3a2x3 3 6. （2023•金山区校级月考）下列结论正确的是( ) A．−3 2 −2 5 B．若x3，化简 (x−3)2+|3−x|=6−2x 1 C．a − = −a a D．若x表示 10的整数部分，y表示它的小数部分，则y( 10+x)=7 二、填空题 7. 如果二次根式 5m+8 与 7 是同类二次根式，那么满足条件的 m 中最小正整数是 ________． 8. （2018•徐汇区校级月考） x−1+2的有理化因式可以是_____． 8x+2 x+2 9. （2018•徐汇区校级月考）当等式 = 成立时， 4x2 +9−12x =_____． 1−x 1−x 3a2b 10. 若a＞0，c＜0，化简 ＝_____． 8c 11. （2021•普陀区校级月考）比较大小： 3− 2_____2− 3（填上“”或“” ) 12. （2022•黄浦区月考）计算：2 3(− 6)=_____． 13. 若恒有式子 (x−1)2 =x−1，则实数x的取值范围是_____． 1 1 14. （2022•浦东新区校级月考）已知 x − = 5，那么 x+ 的值为_____． x x 【常规讲解】 一、单选题 1. 解：A、它是最简二次根式，故本选项符合题意； B、被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 解：由题意，得 x+30且4−3x 0， 4 解得−3 x ， 3 整数有−2，−1，0，1， 故选：B． 3. 解：由题意得，2x+6 0， 解得x −3， 在数轴上表示如下： ． 故选：C． 4. 解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、 (−4)(−9) = 4 9 =23=6，故B不符合题意； C 、(2 10− 5) 5 =2 2−1，故C 符合题意； D、 52 −42 = 25−16 = 9 =3，故D不符合题意； 9故选：C． 1 3 5. 解：A、 = ， 3 3 1  3与 是同类二次根式，故A不符合题意； 3 B、 8 =2 2， 50 =5 2 ，  8与 50是同类二次根式，故B不符合题意； C 、 4x3 =2x x ， 8x3 =2 2x ，  4x3 与 8x3 不是同类二次根式，故C 符合题意； D、 3a2x3 =ax 3x，  3x 与 3a2x3 是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 6. 解：A、 3 2 = 18，2 5 = 20 ， 3 2 2 5 ， −3 2 −2 5， 故本选项错误，不符合题意； B、 x3，  (x−3)2+|3−x|=3−x+3−x=6−2x， 故本选项正确，符合题意； 1 C 、a − =− −a ， a 故本选项错误，不符合题意； D、 10的整数部分是3，它的小数部分是 10−3， x=3，y= 10−3， y( 10+x)=( 10−3)( 10+3)=10−9=1， 故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 1 7．解：当5m+8=7时，m=− 不合题意， 5 当 5m+8 =2 7 ，即5m+8=28时，m=4， 105m+8 7 ∴ 与 是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 8. 解： ( x−1+2)( x−1−2)=x−1+2=x+1， ( x−1−2)是( x−1+2)的有理化因式， 故答案为： x−1−2． x+2 x+2 9. 解： 当等式 = 成立时， 1−x 1−x  x+2 0  ， 1−x0 解得：−2 x1， 4x2 +9−12x = (2x−3)2 =3−2x． 故答案为：3−2x． 3a2b a26bc a a 10. 解：因为a＞0，c＜0，所以 = = 6bc =− 6bc ． 8c 16c2 4c 4c a 故答案为：− 6bc． 4c 1 1 11. 解： = 3+ 2， =2+ 3， 3− 2 2− 3 ( 3+ 2)(2+ 3)， 1 1   ， 3− 2 2− 3  3− 2 2− 3， 故答案为：． 12. 解：2 3(− 6) =−2 36 =−6 2， 故答案为：−6 2． 13. 解： (x−1)2 =|x−1| = x−1， x−1 0， x 1， 11故答案为：x 1． 1 14. 解： x − = 5， x 1  x+ x 1 = ( x+ )2 x 1 = ( x− )2 +4 x = ( 5)2 +4 = 5+4 =3． 故答案为：3． 12知识加油站 2——二次根式的运算【建议时长：25分钟】 考点二：二次根式的混合运算 例题2: 1 x2 y2 1 1 （1）（★★★☆☆）（2023•金山区校级月考）化简： − (−4 − ) ． 3 y x 6 x3y 1 1 （2）（★★★☆☆）（2023•金山区校级月考）计算：2( 0.5−2 1 )− (4 0.125− 12)． 3 2 x−y x+ y+2 xy （3）（★★★☆☆）（2023•金山区校级月考）计算： − (x y)． x− y x+ y 【常规讲解】 x2 y2 1 （1） 解： − 0，− 0， 0， y x x3y x0，y0， 4 x2 y2 1 1 原式=− ( (− )(− ) 3 y x 6 x3y 4 =− xy6 x3y 3 =−8|x2|| y|． =−8x2(−y) =8x2y． 2 4 3 1 （2）解：原式=2( − )− ( 2−2 3) 2 3 2 8 3 2 = 2− − + 3 3 2 2 5 3 = − ． 2 3 ( x+ y)( x− y) ( x+ y)2 （3）解：原式= − x− y x+ y = x + y −( x + y) =0． 13练习2: 【学习框10】 1 （1）（★★★☆☆）计算： xy 12x  3x 2 1 2 （2）（★★★☆☆）计算： 0.5m+ 8m3 −m ． m m 4x−9y 5 xy −y （3）（★★★☆☆）（2021•普陀区校级月考）计算： − ． 2 x−3 y 5 x− y 【常规讲解】 1 （1） xy 12x  3x 2 1 = xy 4 2 1 = xy2 2 = xy． 2m （2）解：原式＝ +2 2m− 2m 2 3 2m ＝ ． 2 4x−9y 5 xy −y （3）解： − 2 x−3 y 5 x− y (2 x)2 −(3 y)2 5 x y −( y)2 = − 2 x−3 y 5 x− y (2 x+3 y)(2 x−3 y) (5 x − y) y = − 2 x−3 y 5 x− y =2 x +3 y − y =2 x +2 y ． 14考点三：代数式化简求值 例题3: a2 −1 a2 +2a+1 1 （1）（★★★☆☆）（2021•普陀区校级月考）化简并求值： − − ，其中 a−1 a2 +a a 2 a= ． 1− 3 x− y x−2 xy + y （2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中 x+ y x− y 1 x=5，y= ． 5 a b+b a 1 1 （3）（★★★☆☆）（2022•黄浦区月考）先化简： ab，再求当a= ，b= a + b 2+1 2−1 时的值． 【常规讲解】 2 （1）解： a+1= +1 1− 3 2(1+ 3) = +1 1−3 =− 30， (a+1)2 1 原式=a+1− − a(a+1) a 1 1 =a+1+ − a a =a+1=− 3． x− y x−2 xy + y （2）解： + x+ y x− y ( x+ y)( x− y) ( x− y)2 = + x+ y x− y = x − y + x − y =2 x −2 y ， 1 当x=5，y= 时， 5 1 原式=2 5−2 5 152 5 =2 5− 5 8 5 = ． 5 ab( a + b) （3）解：原式= ab a + b =ab， 1 1 当a= = 2−1，b= = 2+1时，原式=( 2−1)( 2+1)=1 2+1 2−1 练习3: 【学习框12】 2 （1）（★★★☆☆）已知 x= ，求x2 −2x+2的值 3−1  4 x + y  x − y （2）（★★★☆☆）先化简，再求值： +  ，  ( x + y)( x − y) xy( y − x) xy 其中x＝1，y＝2． 5+ 3 5− 3 x+ y （3）（★★★☆☆）（2021•普陀区校级月考）已知x= ，y= ，求 的值． 5− 3 5+ 3 x2 + y2 【常规讲解】 ( ) 2 3+1 2 2 （1）解：由 x= 可得：x= = = 3+1， ( )( ) 3−1 3−1 3−1 3+1 ∴x2 −2x+2=(x−1)2 +1= ( 3+1−1 )2 +1=4．  4 x + y  x − y （2）解：  +   ( x + y)( x − y) xy( y − x) xy   4 x + y xy =  +  x− y xy ( y − y ) x − y   4 xy x + y xy =  −  x− y x − y xy( x − y) x − y 4 xy x + y = − ( x − y)(x−y) ( x − y)2 4 xy ( x + y)2 = − ( x − y)(x− y) ( x − y)2( x + y) 164 xy−( x + y)2 = ( x − y)(x− y) −( x − y)2 = ( x − y)(x− y) −( x − y) = x− y y − x = ； x− y 2−1 将x=1，y =2代入得：原式= =1− 2． 1−2 5+ 3 5− 3 （3）解： x= ，y= ， 5− 3 5+ 3 5+ 3 5− 3 ( 5+ 3)2 +( 5− 3)2 5+2 15+3+5−2 15+3 x+ y= + = = =8， 5− 3 5+ 3 ( 5− 3)( 5+ 3) 5−3 5+ 3 5− 3 xy=  =1， 5− 3 5+ 3 x+ y x+ y 8 4  = = = ． x2 + y2 (x+ y)2 −2xy 82 −21 31 17知识加油站 3——二次根式的综合应用【建议时长：35 分钟】 考点四：二次根式与新定义 例题4: 1 1 （★★★★☆）已知max{ x ， ，x−1}表示取 x ， ，x−1三个数中最大的那个 x +1 x +1 1 1 数．例如当x=2时，max{ x ， ，x−1}=max{ 2， = 2−1，1}= 2 ． x +1 2+1 1 1 （1）当x= 时，max{ x ， ，x−1}的值为_____． 4 x +1 1 （2）当max{ x ， ，x−1}=2时，求x的值． x +1 【常规讲解】 1 解：（1）当x= 时， 4 1 1 x = = ， 4 2 1 −1 1 x −1 x −1 2 2 = = = = ， x +1 ( x +1)( x −1) x−1 1 3 −1 4 1 3 x−1= −1=− ， 4 4 3 1 2 −   ， 4 2 3 1 1 2 3 2 max{ x， }，x−1=max{ ， ，− }= ． x +1 2 3 4 3 2 故答案为： ； 3 （2）①若 x =2，解得：x=4， 1 x−1 x−1 4−1 1 = = = = ， x+1 ( x+1)( x−1) x−1 4−1 3 x−1=4−1=3， 1 2 max{ x， ，x−1}=max{2， ，3}=3， x +1 3 x=4不符合题意； 181 ②若 =2， x+1 1 则 x =− ， 2 x 0， 原式无解； ③若x−1=2，解得：x=3，  x = 3， 1 x−1 x−1 3−1 = = = ， x+1 ( x+1)( x−1) x−1 2 3−1  32， 2 1 3−1 max{ x， ，x−1}=max{ 3， ，2}=2， x +1 2 x=3符合题意． x的值为3． 练习4: 【学习框14】 （★★★☆☆）定义：我们将 ( a + b) 与 ( a − b) 称为一对“对偶式”，因为 ( a + b)( a − b)=( a)2 −( b)2 =a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 ( a + b) 和 ( a − b) 中的“ ”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如 2+ 2 (2+ 2)2 = =3+2 2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的 2− 2 (2− 2)(2+ 2) 根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式2+ 3与2− 3之间的关系为_____． A．互为相反数B．互为倒数C ．绝对值相等D没有任何关系 1 1 x− y （2）已知x= ，y= ，求 的值； 5−2 5+2 x2y+xy2 （3）解方程： 24−x− 8−x =2（提示：利用“对偶式”相关知识，令 24−x + 8−x =t)． 【常规讲解】 解：（1） (2+ 3)(2− 3)=4−3=1， 2+ 3与2− 3互为倒数， 19故答案为：B； 1 5+2 1 5−2 （2） x= = = 5+2，y= = = 5−2， 5−2 ( 5−2)( 5+2) 5+2 ( 5+2)( 5−2) x+ y= 5+2+ 5−2=2 5， x− y= 5+2− 5+2=4， xy=( 5+2)( 5−2)=1 x−y x−y 4 2 5  = = = ； x2y+xy2 xy(x+ y) 2 5 5 （3）设 24−x + 8−x =t， 24−x− 8−x =2①， ( 24−x+ 8−x)( 24−x− 8−x)=2t， 即24−x−8+x=2t ， 解得t=8，  24−x + 8−x =8②， ①+②得，2 24−x =10， 即 24−x =5， 24−x=25， x=−1． 20例题5: （★★★★☆）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 1 a2 +b2 −c2 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：S = [a2b2 −( )2]（秦 4 2 九韶公式）； 古希腰数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：S = p(p−a)(p−b)(p−c)（海 a+b+c 伦公式），其中 p= ． 2 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形 式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为 5 ， 6 ， 7 ，那么它的面积为_____． （2）如图，在ABC 中，已知AB=13，BC =14，AC =15．ABC 的面积为_____． 【常规讲解】 解：（1） 三角形的三边长依次为 5 ， 6 ， 7 ，a= 5，b= 6 ，c= 7． 1 a2 +b2 −c2 1 5+6−7 秦九韶公式求解S = [a2b2 −( )2 = [56−( )2] 4 2 4 2 1 26 = (30−4) = ． 4 2 5+ 6+ 7 又 p= ， 2 5+ 6+ 7 6+ 7− 5 p−a= − 5= ， 2 2 5+ 7− 6 5+ 6− 7 p−b= ， p−c= ． 2 2 S2 = p(p−a)(p−b)(p−c) 5+ 6+ 7 6+ 7− 5 5+ 7− 6 5+ 6− 7 =    2 2 2 2 1 = [( 6+ 7)2 −( 5)2][( 5)2 −( 7− 6)2] 16 1 1 13 = (2 42+8)(2 42−8) = (168−64) = ． 16 16 2 2126 S = ． 2 （2） AB=13，BC =14，AC =15， a+b+c 13+14+15  p= = =21， 2 2 海伦公式求解S = p(p−a)(p−b)(p−c) = 21(21−13)(21−14)(21−15) =84； 1 a2 +b2 −c2 秦九韶公式求解S = [a2b2 −( )2] 4 2 1 142 +152 −132 1 = [142152 −( )2] = (44100−15876) = 7056 4 2 4 =84． 练习5: 【学习框16】 （★★★☆☆）秦九韶(1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰 并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完 成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦− a+b+c 秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ， 2 S为三角形的面积，那么s= p(p−a)(p−b)(p−c) ． （1）在ABC 中，BC =5，AC =6，AB=7，请用上面的公式计算ABC 的面积； （2）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s= p=15，a=10，求bc的值． 【常规讲解】 BC+AC+AB 18 解：（1）由题意， p= = =9， 2 2 S = p(p−BC)(p−AC)(p−AB) = 9432 =6 6 ． a+b+c 10+b+c （2）由题意， p= = =15，s= p= p(p−a)(p−b)(p−c)， 2 2 b+c=20，(15−b)(15−c)=3． bc=78． 22全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区校级月考）二次根式 x−1中字母x的取值可以是( ) 1 A．−1 B．− C．0 D．3 2 （2）（★★☆☆☆）如果 ab0 ，a+b0，那么下面各式不正确的是（ ） a b a a a A． a2 =−a B．  =1 C． ab =−b D． = b a b b b 【常规讲解】 （1）解：由题意，得x−1 0， 解得x 1． 故x可以取3， 故选：D． （2）解：∵ab>0，a+b<0， ∴a<0，b<0． ∴A、 a2 = a =−a，正确，不符合题意； a b a b B、  =  =1，正确，不符合题意； b a b a a b C、 ab = ab = b2 = b =−b，正确，不符合题意； b a D、因为二次根式的被开方数不能为0，所以 a，b无意义，符合题意； 故选D． 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区校级月考）实数a在数轴上对应的点在原点的左边，则 −a3b = _____． （2）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区校级月考）若最简二次根式b+32a+5与2 3是同类二次根 式，则_____． 2 （3）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区校级月考）分母有理化 =_____． 2− 5 23（4）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区校级月考）符号“ * ”表示一种新的运算，规定 a a*b= a b− ，则6*2的值为_____． b 【常规讲解】 （1）解：由题意得，a0，则a3 0， 又 −a3b 0， b 0，  −a3b =−a −ab ， 故答案为：−a −ab． （2）解：由题意，得 b+3=2，2a+5=3， 解得b=−1，a=−1． a+b=−2， 故答案为：−2． 2 （3）解： 2− 5 2(2+ 5) = (2− 5)(2+ 5) =−2(2+ 5) =−4−2 5， 故答案为：−4−2 5． 6 （4）解：6*2= 6 2− =2 3− 3= 3， 2 故答案为： 3． 练习3: 2+1 1 （1）（★★★☆☆）（2023•宝山区校级月考）计算： 18− −4 − ( 3−2)2 ． 2−1 8 y x 7 （2）（★★★☆☆）（2022•徐汇区校级月考）计算：8 xy3 −3x −4y + x3y ． x y x b a （3）（★★★☆☆）（2021•普陀区校级月考）化简：2a 3ab2 − 27a3 −6ab (b 0)． 3 3 1 （4）（★★★☆☆）计算： 24 −2 6 48 3 24【常规讲解】 2+1 1 （1）解： 18− −4 − ( 3−2)2 2−1 8 =3 2−( 2+1)2 − 2−| 3−2| =3 2−(3+2 2)− 2−(2− 3) =3 2−3−2 2− 2−2+ 3 = 3−5． y x 7 （2）解：8 xy3 −3x −4y + x3y x y x =8y xy −3 xy −4 xy +7 xy =(8y−3−4+7) xy =8y xy． b 3a （3）解：原式=2ab 3a − 3a 3a−6ab 3 3 =2ab 3a −ab 3a −2ab 3a =−ab 3a ． 1 （4）解： 24 −2 6 48 3 1 = 24 −2 64 3 3 1 = 8− 2 2 1 =2 2 − 2 2 3 = 2 2 练习4: x  x+2 x−1  （1）（★★★☆☆）先化简，再求值：  − ，其中x=3− 2． x−4 x2−2x x2−4x+4 3+ 2 3− 2 （2）（★★★☆☆）已知：a= ，b= ．求代数式 a2 −3ab+b2 的值． 3− 2 3+ 2 【常规讲解】 x x+2 x−1 （1） ( − ) x−4 x2−2x x2−4x+4 25x  x+2 x−1  x (x+2)(x−2) x(x−1)  =   −  =  −  x−4 x(x−2) (x−2)2  x−4 x(x−2)2 x(x−2)2  x x−4 1 =  = x−4 x(x−2)2 (x−2)2 将x=3− 2代入上式得： 1 1 1 原式＝ = = =3+2 2． (3− 2−2)2 (1− 2)2 3−2 2 （2）解：由已知，得a+b=10，ab=1，  a2 −3ab+b2 = (a+b)2 −5ab = 102 −51= 95． 练习5: （ ★★★★☆ ）（ 2022• 浦 东 新 区 校 级 月 考 ） 若 m 适 合 关 系 式 43x+5y−2−m+ 4 2x+3y−m = x−299+ y 299−x− y ，求m的值． 【常规讲解】 x−299+ y 0 解：根据题意得： ， 299−x− y 0 则x+ y−299=0， 即43x+5y−2−m+ 4 2x+3y−m =0， x+ y−299=0 y=−297   故3x+5y−2−m=0，解得x=596 ．   2x+3y−m=0 m=301 故m=301． 26关卡二 练习6: （★★★★☆）设a为 3+ 5 − 3− 5 的小数部分，b为 6+3 3 − 6−3 3 的小数部 2 1 分，则 − 的值为（ ） b a A． 6+ 2−1 B． 6− 2+1 C． 6− 2−1 D． 6+ 2+1 【常规讲解】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a、b对应的小数部分，然后化 简、运算、求值，即可解决问题． 3+ 5 − 3− 5 6+2 5 6-2 5 = - 2 2 5+1 5-1 = - 2 2 = 2 ∴a的小数部分为 2-1， 6+3 3 − 6−3 3 12+6 3 12−6 3 = − 2 2 3+3 3- 3 = - 2 2 = 6 ∴b的小数部分为 6-2， 2 1 2 1 ∴ − = - = 6+2- 2-1= 6- 2+1 ， b a 6-2 2-1 故选：B． 练习7: （★★★★★）实数 a、b 满足 a2-4a+4+ 36-12a+a2 =10- b+4 - b-2 ，则a2 +b2的 最大值为_________． 【常规讲解】解：∵ a2-4a+4+ 36-12a+a2 =10- b+4 - b-2 ， 即 (a−2)2 + (a−6)2 =10− b+4 − b−2 ， ∴ a−2 + a−6 =10− b+4 − b−2 ， 27∴ a−2 + a−6 + b+4 + b−2 =10， ∵ a−2 + a−6 4， b+4 + b−2 6， ∴ a−2 + a−6 =4， b+4 + b−2 =6， ∴2≤a≤6，-4≤b≤2， ∴a的最大值为6，b的最大值为2， ∴a2 +b2的最大值为62 +22 =40， 故答案为40． 练习8: 1+ 5 1− 5 （★★★★★）若m= ，n= ，则m10 +n10 =_____． 2 2 【常规讲解】 1+ 5 1− 5 解： m= ，n= ， 2 2 m+n=1，mn=−1， m2 +n2 =(m+n)2 −2mn=3，m4 +n4 =(m2 +n2)2 −2(mn)2 =9−2=7， m8 +n8 =(m4 +m4)2 −2(mn)4 =49−2=47， 而(m+n)3 =m3 +n3 +3mn(m+n)， m3 +n3 =(m+n)3 −3mn(m+n)=1+3=4， m6 +n6 =(m3 +n3)2 −2(mn)3 =16+2=18 而(m8 +n8)(m2 +n2)=m10 +n10 +m8n2 +m2n8 =m10 +n10 +(mn)2(m6 +n6) m10 +n10 =(m8 +n8)(m2 +n2)−(mn)2(m6 +n6)=473−118=123 故答案为：123． 28