文档内容
第 12 课 用公式法解一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．用公式法解方程 时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
将一元二次方程化为一般形式，即可求得 的值
解： 化为一般形式为：
， ，
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．已知某一元二次方程的两根为 ，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．
解：A. 的两根为 ，故选项A不符合题意；B. 的两根为 ，故选项B不符合题意；
C. 的两根为 ，故选项C不符合题意；
D. 的两根为 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．
3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】
【分析】
按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．
解：
判别式
故选：C
【点睛】
此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
4．解方程 时，下面说法正确的是（ ）
A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用
【答案】D
【解析】【分析】
公式法和配方法适用于任何有实根的一元二次方程．
解：∵ 有实根，
任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．
故选：D
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的方法，熟悉每种方法的适用条件是解题的关键．
5．用公式法解方程 ，其中求得 的值是（ ）.
A．16 B．
C．32 D．64
【答案】D
【解析】
【分析】
先将方程化为一般形式，然后计算 即可.
解：方程 整理得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选D.
【点睛】
此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的求根公式x= ( )可直接得到答案．
∵a=1，b=-p，c=q，
∴b2-4ac=p2-4q，
∵4q＜p2，
∴b2-4ac=p2-4q＞0，
∴x= = .
故选A．
【点睛】
此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．
7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
【答案】A
【解析】
解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．
8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )
A．3 B．2 C．
1 D．
【答案】B
【解析】
试题分析：2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝ ＝ ，
即p＝ ；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，∵△＝4＋8＝12，
∴x＝ ＝ ，
即q＝ ；
则p＋q＝ ＋ ＝2．
故选B．
点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别
式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．
9．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
对于 ，当 方程有两个不相等的实根，当 方程有两个相等的实根， 方
程没有实根，根据原理作答即可.
解：将 转换为一般式为
则
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是
解本题的关键.
10．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 （ ）A． 且 B． 且 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：① =0，为一元一次方程；② ≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算
即可．
①当 =0时 ，此时方程为 ，有实数根；
②当 ≠0时 ，此时方程为为一元二次方程，
∵方程有实数根
∴ ，解得：
综上所述：
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实
数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．
11．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程 的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，得到 ，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．
解：
∵a，b，c是△ABC的三边∴ ，
∴
∴
∴原方程没有实数根
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式计算是解题的
关键．
12．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
②若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两
个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不
相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于
0，那么③不一定正确．
④(2ax+b)2＝4a2x2+b2+4abx，由b2-4ac=4a2x2+b2+4abx，得ax2+bx+c＝0．由x 是一元二次方程
0 0 0 0 0 0 0 0
ax2+bx+c=0的根，则ax2+bx+c＝0成立，那么④正确．
0 0
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、
一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．把方程 化为一般形式是______，其中 ______， ______， ______，
______，方程的根是 ______， ______.
【答案】 3 －5 －2 49 2
【解析】
【分析】
方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可
求出解．
解：方程 化为一般形式是： ，
∴a＝3，b＝−5，c＝−2，
∵b2−4ac＝25＋24＝49，
∴x＝ ，
则方程的解为x＝ ，x＝2．
1 2
故答案为 ；3，−5，−2，49； ，2．
【点睛】
此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．
14．方程 的解为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．
（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0
x2+2x-15=0
x= ,
∴x1=3，x2=-5
故答案是:3或-5．
【点睛】
考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．
15．方程 （ ）的根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用公式法解一元二次方程即可得出结论．
解：
∴x=
解得：
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
16．已知 则 的值=___________
【答案】 或
【解析】
【分析】依题意解 后，分a=b与 进行讨论即可．
解：依题意得a,b是方程 的解，
解 得： ，
当 时，a+b= ，
当 时，a+b= ，
当 时， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．
17．若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的最小整数值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
把原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据判别式为负可求得k的取值范围，则可求得k的最小整数
值．
原方程化简得：
由题意得： 且
解不等式得：
则k的最小整数值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是本题的关键．18．若 为 的三边，且关于x的一元二次方程 有两个相等
的实数根，则这个三角形是_________三角形．
【答案】等腰
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，利用一元二次方程根
的判别式进行求解可以得到 或 ，由此判定即可．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 即
解得 或 ，
∴这个三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方
程根的判别式．
三、解答题
19．解下列一元二次方程：
(1)x2﹣4x+1＝0；
(2)2x2+3x﹣3＝0．
【答案】(1)x＝2+ ，x＝2﹣
1 2
(2)x＝ ，x＝
1 2
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
(1)
解： x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝ ，
∴x＝2+ ，x＝2﹣ ；
1 2
(2)
2x2+3x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x＝ ，x＝ ．
1 2
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟记并应用求根公式解一元二次方程是解此题的关键．
20．解方程：
(1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；
（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．(1)
解：
∴ 或
解得 或
∴方程的解为 或 ．
(2)
解：
∴ 或
解得 或
∴方程的解为 或 ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．
21．
【答案】
【解析】【分析】
根据公式法可以解答本题．
解：∵ ，
∴a=9，b= ，c=1，
∴△= ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ = ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
22．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
利用公式法求解， ．
解：
， ，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各个解法，选择合适的解法求解．
23．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
【解析】
【分析】
（1）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（3）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0，
∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ=202-4×25×4=0，
∴方程有两个相等的实数根；
（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0，
∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，
∴方程有没有实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
24．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时：
(1)方程只有一个实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有两个不等的实数根.
【答案】⑴ m=2 ⑵ m=3 ⑶m=0或1.
【解析】
【分析】
（1）方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；（2）方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；
（3）方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．
(1)∵方程只有一个实数根，
∴m−2=0
解得：m=2；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)=0
解得：m=3；
(3)∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)>0
解得：m<3，
∵m为非负整数，且m≠2，
∴m=0或1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的情况列出不等式并求解.
25．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
【答案】(1)答案见解析
(2)2
(3)4+
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将x=1代入方程可确定m的值；
（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股
定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．
(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，
∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，
∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，
即b2−4ac＞0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
(2)
将x=1代入方程可得：
12−(m+2)+(2m−1)=0，
解得：m=2；
(3)
∵m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
1 2
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵ ，
∴斜边的长度为 ，
∴直角三角形的周长为1＋3＋ =4＋ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌
握一元二次方程的解法是解题关键．
26．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；
(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)﹣1（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）由题意知 ，判断其与0的关系，即可得出结
论；
（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．
(1)
证明：由题意知
∵（m+2）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；
(2)
解：由（1）知，△＝（m+2）2，
∴x ，
∴ ， ，
∵方程有一根小于2，
∴﹣m＜2，
∴m＞﹣2，
∵m为整数，
∴满足条件的m的一个值为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．
27．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC
的周长．（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x＝x＝2，
1 2
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，x＝2，
1 2
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
【点睛】
本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有
两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为 ，右图是一个长方形，长宽分别为 、 ，并且
它们的面积相等，由此即可列出等式 ，解方程即可求出 ．解：依题意得 ，
整理得： ，
则 ，
方程两边同时除以 ，
，
（负值已经舍去），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件
找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
2．探讨关于x的一元二次方程 总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；
乙： ；丙： ．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可．
解：关于x的一元二次方程 根的判别式为： ，
甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保 的符号为正，不符合题意；
乙：当 时，得到 ，从而 ，总有实数根，符合题意；
丙：当 时，得到 ，从而 ，总有实数根，符合题意；
综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键．
3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反
数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A；设方程 的一个实数根为 ，则
，先根据 可得 ，从而可得 ，再分别将 、 和
代入方程 的左边，检验是否等于0即可判断选项B、C、D，由此即可得出答案．
解：方程 根的判别式为 ，
方程 根的判别式为 ，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；
若两个方程都有实数根，
设方程 的一个实数根为 ，则 ，即 ，
，
，
，
将 代入方程 的左边得： ，
即 是方程 的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；
将 代入方程 的左边得： ，
即 不是方程 的根，选项C错误；
将 代入方程 的左边得：，
则只有当 时， 才是方程 的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的
取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a−b−1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x＝x＝−1，
1 2
∴k＝−1，
∵ ＝ ，
∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，
此时 ＞0，即 ；
当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时 ＜0，即 ；
故A、C错误；
当 时，即 ＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当 时，即 ＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
5．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关
系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
【答案】A
【解析】
试题分析：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜
n，a＜b，即可判断．
解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，
根据求根公式得到：x= ，
又因m= ＜a，n= ＞b，∵a= ，b=
∵a＜b，
∴a＜ ＜b，
又∵ ＜ ＜ ＜ ＜
，
∴m＜a＜b＜n．
故本题选A．
考点：解一元二次方程-公式法．
6．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 ，并规定 ，例如
，则 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
据题意，可以将方程 转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
解：∵方程 ，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程 两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
7．如图，直线 与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足
为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的
面积的 时，点C的横坐标为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)，得OA=2，OB=1， ，由矩形ODCG面积为
，可知OD∙CD= ，设OD=m，可得 ，求解即可得到C点的横坐标．
解：由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)
∴OA=2，OB=1∴
由题意四边形ODCG是矩形，且面积为 ，
∴OD∙CD= ，
设OD=m，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得m= ，
∴C点的横坐标为 或 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数点的坐标特征、矩形的性质，三角形的面积及解一元二次方程，解题的关键是利用面
积的关系得到OD∙CD= ，从而求解．
8．已知 ， ，下列结论正确的个数为( )
①若 是完全平方式，则 ；
②B－A的最小值是2；
③若n是 的一个根，则 ；
④若 ，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④
利用完全平方公式求解．解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n=±3，故结论正确；
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
而（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，
得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得
当 时，
当 时，
故结论错误；
④∵（2022-A+A-2019）2
=（2022-2019）2
=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）
=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2
=9，
∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．二、填空题
9．若一元方程 有两个实数根，则m的取值范围为是 _____．
【答案】m≤ 且m≠2
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式 ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
△
解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
解得m≤ 且m≠2．
故答案为：m≤ 且m≠2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当 ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
△
10．已知关于x的方程 有实数根，则整数a的最大值是_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
分二次项系数为零及非零两种情况考虑：当a+1＝0，即a＝-1时，原方程为一元一次方程，解之可求出x
的值，进而可得出a＝-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，原方程为一元二次方程，由根的判别式 ，
可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围．综上即可得出a的取值范围，取其内的最大
整数即可得出结论．
解：当 ，即 时，
原方程为 ，解得 ，
∴ 符合题意；
当 ，即 时，原方程为一元二次方程，∵ ，
∴ 且 ．
综上所述， ，
∴整数 的最大值为-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是分二次项系数为零及非零两种情况找出a的取
值范围．
11．关于x的一元二次方程 有实数根，则2ax的值为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根可得判别式大于或等于0，进而列出不等式求解，根据二次根式的性质可得
，进而根据 ，确定 的值，代入原方程，解方程即可求得 的值，进而求得2ax的值．
关于x的一元二次方程 有实数根，其中
且
即 且
则原方程为
解得故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，二次根式的性质，解一元二次方程，求得
的值是解题的关键．
12．若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
【答案】﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
解：若代数式 有意义，
必有 ，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤ 且x≠ ．
故答案为：﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子 （a≥0）叫二次根式， （a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中
的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被
开方数大于0．
13．关于 的一元二次方程 ，下列命题是真命题的是______．（填序号）
①若 ，则方程 必有实数根；
②若 ， ，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
【答案】①④
【解析】
【分析】
①将式子变形 代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；②将 ， ，
代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；③根据一元二次方程根的定义，将 代入即可判断；
④根据一元二次方程根的定义将 代入，可得 代入判别式进而判断
① ，则
，则方程必有实数根，故①正确；
② ， ，
，则方程必有实数根，故②不正确
③ 是方程 的一个根，则 ，当 时， 可以是任意实数，故③不正确
④ 是方程 的一个根，则 ，即
故④正确
综上所述，正确的是①④故答案为：①④
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式判断根的情况是解题的关
键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，
方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
三、解答题
14．解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
(2)
解： ，
∵ ，
∴ ，
∴原方程无实数根，即此方程无解．
【点睛】
本题主要考查了利用配方法和公式法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的
关键．
15．已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4
(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)k≤2且k≠1
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，然后解关于k的方程
即可；
（2）利用判别式的意义得到k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
(1)
方程化为：（k-1）x2-4x+4=0，
根据题意得Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，
解得k= ；
(2)
根据题意得：k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，
解得k≤2且k≠1，
即k的取值范围为k≤2且k≠1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．设m为整数，且 ，方程 有两个不相等的整数根，求m的值
及方程的根．
【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27
【解析】【分析】
方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使 为完全平方数且大于0的m的值，求得后
再代入方程检验即可． △
解：解方程
得
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴ 为完全平方数，
又∵m为整数，且3
