文档内容
第 12 课 用公式法解一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．用公式法解方程 时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．已知某一元二次方程的两根为 ，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．解方程 时，下面说法正确的是（ ）
A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用
5．用公式法解方程 ，其中求得 的值是（ ）.
A．16 B．
C．32 D．64
6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（ ）
A． B． C． D．
7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )
A．3 B．2 C．
1 D．
9．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根10．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 （ ）
A． 且 B． 且 C． D．
11．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程 的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
12．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
②若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
二、填空题
13．把方程 化为一般形式是______，其中 ______， ______， ______，
______，方程的根是 ______， ______.
14．方程 的解为________．
15．方程 （ ）的根是___________．
16．已知 则 的值=___________
17．若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的最小整数值是______．
18．若 为 的三边，且关于x的一元二次方程 有两个相等
的实数根，则这个三角形是_________三角形．
三、解答题
19．解下列一元二次方程：
(1)x2﹣4x+1＝0；
(2)2x2+3x﹣3＝0．
20．解方程：
(1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
(2) ．21．
22．
23．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ； （3） ．
24．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时：
(1)方程只有一个实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有两个不等的实数根.
25．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
26．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；
(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．
27．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 （ ）
A． B． C． D．
2．探讨关于x的一元二次方程 总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同
号；乙： ；丙： ．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反
数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
5．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关
系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
6．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 ，并规定 ，例如
，则 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．如图，直线 与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足
为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的
面积的 时，点C的横坐标为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
8．已知 ， ，下列结论正确的个数为( )
①若 是完全平方式，则 ；
②B－A的最小值是2；
③若n是 的一个根，则 ；
④若 ，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若一元方程 有两个实数根，则m的取值范围为是 _____．
10．已知关于x的方程 有实数根，则整数a的最大值是_____．
11．关于x的一元二次方程 有实数根，则2ax的值为 ___．
12．若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
13．关于 的一元二次方程 ，下列命题是真命题的是______．（填序号）
①若 ，则方程 必有实数根；
②若 ， ，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)
(2) ．
15．已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4
(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
16．设m为整数，且 ，方程 有两个不相等的整数根，求m的值
及方程的根．
17．设a，b为实数，关于 的方程 无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
18．观察下列方程：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程 的值均为1．
（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的 的值也都是1，但每个
方程的解与已知的5个方程的解都不相同．
（2）对于一般形式的一元二次方程 （a≠0， ≥0），能否作出一个新方程，使 与 相等？若能，请写出所作的新的方程（ ， 需用a，b，c表
示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
19．如图，在 中， ， 所对的边分别为 ．将形如 的一元二
次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“直系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“直系一元二次方程” 的一个根，且 ，求 的
值．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2021·四川雅安·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角
形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
2．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
4．（2022·辽宁大连·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的值是
（ ）
A．36 B．9 C．6 D．5．（2022·辽宁营口·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取
值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
7．（2021·湖南张家界·中考真题）对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如
，则方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2020·湖北随州·中考真题）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表
示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称
为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019·西藏·中考真题）一元二次方程 的根是_____．
10．（2022·吉林长春·中考真题）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数c的值为
_______．
11．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的
两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
三、解答题
12．（2020·广东·中考真题）已知关于 ， 的方程组 与 的解相同．
（1）求 ， 的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为 ，另外两条边的长是关于 的方程 的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
