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第 12 讲 二次函数与方程、不等式综合
知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
中的
Δ=b2 −4ac
决
定。
若
Δ>0
，抛物线与x轴有两个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个不等的实根，这
两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若
Δ=0
，抛物线与x轴有一个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个相等的实根，此
时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若
Δ《<0
，抛物线图象与x轴没有交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
无实根，
a>0
抛物
线在x轴上方，
a<0
，抛物线在x轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D.
【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，
∵a＞1
∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，
x= ＞0，故选：D．
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx
﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______
【答案】﹣5＜t≤4
【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直
线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6
【答案】C.
【解析】解：由表可以看出，当 x 取 1.4 与 1.5 之间的某个数时，y=0，即这个数是
ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【答案】C.
【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x= =﹣1．
故选：C．
【方法总结】
解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问
题。当一元二次程的
Δ>0
，二次函数与x轴有两个交点， 时，二次函数与x轴有一
Δ《<0
个交点， 时，二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1．（井研县模拟）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为
，下列结论： ① ；② ；③ ；④若方程
有 两 个 根 和 ， 且 ， 则 ； ⑤ 若 方 程
有四个根，则这四个根的和为 ，其中正确的结论有
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【解答】解：二次函数表达式为： ，
①抛物线对称轴在 轴左侧，则 同号，而 ，则 ，故正确；
②函数在 轴右侧的交点为 ， 时， ，故正确；③ ，故错误；
④ ，相当于由原抛物线 向上平移了1个单位，故有两个
根 和 ，且 ，则 ，正确；
⑤若方程 ，即：若方程 ，当 时，用韦达
定理得：其两个根的和为 ，同理当 时，其两个根的和也为 ，故正
确．
故选： ．
二．填空题（共3小题）
2．（灌云县模拟）已知抛物线 与 轴交于 、 两点，点 平分 ．若
在 轴上侧的 点为抛物线上的动点，且 为锐角，则 的取值范围是
．
【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 抛 物 线 ， 抛 物 线 的 顶 点 为 ，
对称轴为 ，
与 轴交于两点 、 ，
分别以 、 为直径作 、 ，则
两圆与抛物线均交于两点 ， 、 ， ．
可知，点 在不含端点的抛物线 内时， ，且有 ，
即 的取值范围是 ．
3．（青山区模拟）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将此抛物
线向右平移4个单位得到抛物线 ，两条抛物线相交于点 ．若点 是坐标轴上的一动点，
且满足 ，则所有满足条件的点 的坐标为 或 或 或
．
【解答】解：抛物线 向右平移4个单位的顶点坐标为 ，
所以，抛物线 的解析式为 ；
则
解得 ，
点 的坐标为 ，
，
过 作 轴于点 ，则点 的坐标为 ，在 轴点取点 ， ，取
，则满足条件满足 ，此时 ， ，当△ 的外接 交 轴于点 ， 时，点 位于两点 ， 时，
则 ，满足条件满足 ，
此时点 是 与 的垂直平分线的交点，在 轴上，
设 ，则有 ，即 ，
解得， ，
，
半径 ，
，
， ．
综上，则 点坐标为： 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
4．（达州）如图，抛物线 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一个交
点在2和3之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；
②若点 、点 ， 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为
；
④点 关于直线 的对称点为 ，点 、 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形
周长的最小值为 ．
其中正确判断的序号是 ①③④ ．【解答】解：①把 代入 中，得 ， △ ，
此方程两个相等的实数根，则抛物线 与直线 有且只有一个交
点，故此小题结论正确；
② 抛物线的对称轴为 ， 点 关于 的对称点为 ， ，
当 时， 随 增大而减小，又 ，点 、点 ， 、点
在该函数图象上， ，故此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，抛物线的解析式为：
，即 ，故此小题结论正确；
④当 时，抛物线的解析式为： ， ， ， ，作点
关于 轴的对称点 ，作 点关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴、 轴
分别交于 、 点，如图，
则 ，根据两点之间线段最短，知
最短，而 的长度一定， 此时，四边形 周长 最小，为：，故此小题结论正确；
故答案为：①③④．
三．解答题（共4小题）
5．（宜兴市一模）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，且
点的坐标为 ，经过 点的直线交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（2）过 轴上的点 作直线 ，交抛物线于点 ，是否存在实数 ，
使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足
条件的 ；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点 和 的坐标代入抛物线 得：
，
解得： ， ，
抛物线的解析式为 ；
当 时， ，
解得： ，或 ，
，
；
设直线 的解析式为 ，把 和 的坐标代入得： ，
解得： ， ，
直线 的解析式为 ；
（2）分两种情况：如图所示：
①当 时， 且 ，
则 点即为 ，
，
；
②当 时，显然 应在 轴下方， 且 ，
设 ，
由 ，
解得： ；
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
6．（荆州一模）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是 ， ，若 是关于 的函数，且 ，其中，求这个函数的解析式；
（3）设 ，若该一元二次方程只有整数根，且 是小于0的整数
结合函数的图象回答：当自变量 满足什么条件时， ？
【解答】（1）证明： ， ， ，
△
，
方程必有两个实数根；
（2）解： 方程的两个实数根分别是 ， ，
，
而 ， ，
；
（3）解： 方程只有整数根且 是小于0的整数，
要为整数，只能 为整数，
，
， ，
与 的交点坐标为 ， ， ，
在坐标系中画出两函数的图象如图所示，
由图象可知：
当 时， ．7．（云南）已知二次函数 的图象经过 ， 两
点．
（1）求 ， 的值．
（2）二次函数 的图象与 轴是否有公共点？若有，求公共点
的坐标；若没有，请说明情况．
【解答】解：（1）把 ， 分别代入 ，得
，
解得 ；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为： ．
△ ，
所以二次函数 的图象与 轴有公共点．的解为： ，
公共点的坐标是 或 ．
8．（海淀区期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，
， ．
（1）当 时，
①求抛物线 与 轴的交点坐标；
②若抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围；
（2）若存在实数 ，使得抛物线 与线段 有两个交点，结合图象，直接写出 的取值
范围．
【解答】解：（1）①把 代入二次函数表达式得： ，
令 ，即 ，解得： ，
即抛物线 与 轴的交点坐标为： ， 、 ， ；
②抛物线 与线段 只有一个交点，
则 时， （已经成立）， 时， ，且 ，
，解得：
即： ；（2）由②知，抛物线 与线段 有两个交点，
则 时， ， 时， ，
即： ，解得： ，
即： 的取值范围为： 或 ．
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的 x值就是他们
交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______
【答案】2个
【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1，
整理得：x2﹣5x+2=0
∵△=25﹣8＞0
∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点，
2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：∵b＜0，
∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交，
故排除A、C选项，
B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，
∴a＞0，
二次函数开口向上，
故D选项不符合题意，
∵a＞0，b＜0时，
对称轴x=﹣ ＞0，B选项符合题意．故选：B．
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x，0），B（x，0），且x2+x2=5，与
1 2 1 2
y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．
【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15．
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0，
解得，m＜﹣ ，
此时，y的图象与x轴有两个交点．
②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0，
解得，m=﹣ ，
此时，y的图象与x轴有一个交点．
③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15＜0，
解得，m＞﹣ ，
此时，y的图象与x轴没有一个交点．
∴m＜﹣ ，图象与x轴有两个交点；m=﹣ ，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣ ，
图象与x轴没有交点；
（2）由根与系数的关系得：
x+x=2m﹣1，x×x=m2+3m+4．
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2﹣2xx=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣7．
1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=5，
1 2
∴2m2﹣10m﹣7=5．
解得m=6，m=﹣1．
1 2
∵m＜﹣ ，
∴m=﹣1．
∴y=x2+3x+2．
令x=0，得y=2．
∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）．
又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14，
∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）．设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
所以直线CM的解析式为y= x+2．
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端
点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2，
∴D（m，﹣m+2）；
（2）∵抛物线经过点B（1，m），
∴m=1﹣2m+m2﹣m+2，
解得：m=3或m=1；
（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），
∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1），
与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：
x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0，
令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2，
若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，
即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点，
当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0，
∵△＞0，
∴此种情况不存在，
当x=1时，y=m2+4m+3≤0，
解得1≤m≤3．
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时
此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【随堂练习】1．（金牛区校级模拟）如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于
点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且
B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，
求出点M的坐标______
【解答】解：∵直线y= x+1与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，1），
将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y= x2+bx+c
得 ，
解得： ．
∴物线的解折式为y= x2﹣ x+1= （x﹣ ）2﹣ ；
则抛物线的对称轴为x= ，B、C关于x= 对称，
∴MC=MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值
最大．
知直线AB的解析式为y=﹣x+1
∴ ，解得： ．
则M（ ，﹣ ），
故答案为：（ ，﹣ ）．
知识点3二次函数与不等式的综合
y=ax2 +bx+c(a》>0)
1.二次函数 与一元二次不等式之间的关系
若
Δ>0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x<x
1
,x>x
2
(x
1
<x
2
)
；
y=ax2 +bx+c<0 x <x<x (x <x )
的解集为 1 2 1 2 。
若
Δ=0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x≠x
1,2；
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
若
Δ<0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为x可取任意实数。
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，
自变量相同，谁高谁大。
【典例】
1.如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A
1 2
（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y≥y 成立的x的取值范围______
1 2
【答案】﹣1≤x≤9
【解析】解：由两个函数的图象知：当y≥y 时，﹣1≤x≤9．
1 2
2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______【答案】2＜x＜3
【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，
∵当x=0时，﹣6＞0不成立，
∴x≠0，
∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6，
当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3），
当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6），
∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立，
∴ ，
解得2＜x＜3．
3.在同一坐标系下，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x
1 2
＞2x的解集是_______
【答案】0＜x＜2
【解析】解：由图可知，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的交点坐标为（0，0），（2，
1 2
4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读
图的能力．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c，
∴m=-1，b=-3，c=2，
所以y=x-1，y=x2-3x+2；
（2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3．
【方法总结】
解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大
的函数在函数值小函数的上方！
【随堂练习】
1．（滨海新区模拟）已知抛物线 ， 为常数，且 经过点 ，
，有下列结论：
① ；
②当 时， 的值随 值的增大而减小；
③3是方程 的一个根；
④当 时，
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：把点 ， 代入 得：
① 正确；
该抛物线的对称轴为： ，
②当 时， 的值随 值的增大而减小是错误的；
方程 可化为：方程 ，
把 代入 得 ，，
故③正确；
在该抛物线上，
又 抛物线 ， 为常数，且 经过点 ，
抛物线 与 的交点为 和 ，
当 时， ，即
④当 时， ，故④正确．
综上，①③④正确．
故选： ．
2．（建阳区模拟）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．直线 与抛物线 交于 ，
两点， 点在 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： 抛物线与 轴的一个交点在点 左侧，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，
当 时， ，
，所以①正确；
抛物线与 轴的交点在 轴上方，，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，所以②正确；
时，二次函数有最大值，
，
，所以③正确；
直线 与抛物线 交于 、 两点， 点在 轴下方且横坐标小于
3，
时，一次函数值比二次函数值大，
即 ，
而 ，
，解得 ，所以④正确．
故选： ．
二．解答题（共2小题）
3．（江北区期末）如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，
且对称轴为直线 ，一次函数 的图象经过点 、 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 、 关于抛物线的对称轴对称，根据图象直接写出满足 时 的取值
范围．【解答】解：（1）由题意 ，解得 ，
二次函数的解析式为 ．
（2）观察推出可知， 时， 或 ．
4．（利津县期中）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，其中点
，点 ，点 都在抛物线上， 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围．
【解答】解：（1） ， ， 三点在抛物线 上，
解方程组得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）连接 ，如图，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，；
（3） 或 ．
综合运用：二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，
顶点为D．
（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴
交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．
（2）若M（m﹣1，y ），N（m，y ）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比
1 2
较y，y 的大小关系．（直接写结果）
1 2
（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．
（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．
【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1，或x=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；当x=0时，y=3，
∴C（0，3）；
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
该二次函数的大致图象如图1所示：
（2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y＜y；
1 2
（3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0，
∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，
∴△=4﹣4（n﹣4）≥0，
解得：n≤5；
（4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下：
一次函数y=x﹣3的图象如图2所示：
当﹣x2+2x+3=x﹣3时，
解得：x=﹣2或x=3，
根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3．2.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3及一次函数y=x+m．
1 2
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m有三个不同
2
公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y+y+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的
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取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
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则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
∵y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，
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∴x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=﹣1，或x=3，
∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），
（2）翻折后所得新图象如图所示，
平移直线y=x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
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①当直线位于l 时，此时l 过点A（﹣1，0），
1 1∴0=﹣1+m，即m=1；
②当直线位于l 时，
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此时l 与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，
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∴方程x+m=﹣x2+2x+3，
即x2﹣x﹣3+m=0有一个根，
故△=1﹣4（m﹣3）=0，
即m= ；
（3）∵y=y+y+（m﹣2）x+3
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=x2+（m﹣3）x+m，
∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：
方程x2+（m﹣3）x+m=0的判别式△=（m﹣3）2﹣4m=（m﹣1）（m﹣9）＞0，
抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满足0＜ ＜2，
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m﹣2≥0，
即 ，
解得 ；
∴当 时，函数图象y=y+y+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．
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3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有
关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即
x，x 就是方程的解．
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（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=
的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x ，x 在
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x轴上标出方程的解．
【解析】解：（1）由原方程，得：
=0，即 = ；
解得x= ，x= ．
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（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；
∴x•x= =﹣1，即c=﹣a；②
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x+x= =1；③
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由①②③，得：
；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．
（3）
4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出
抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程 x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数
字）
【解析】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐
标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
