FY25暑假初二A04二次根式的应用教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

04A 二次根式的应用 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）二次根式的混合运算 （2）二次根式的化简求值 （3）二次根式与不等式、方程 2. 考情分析 （1）二次根式的应用是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 15%。 （2）主要考察二次根式的混合运用、化简求值以及与方程、不等式之间的联系，选择题、 填空题和解答题都会出题。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第二节。 （4）二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次 根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的综合运算是二次根式的加、减、 乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提 高学生的解题能力。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：二次根式的混合运算 20分钟 切片2：二次根式的化简求值 40分钟 切片3：二次根式与不等式、方程 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——二次根式的混合运算【建议时长：20 分钟】 考点一：二次根式的混合运算 知识笔记1 二次根式的混合运算 （1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用； （2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、__________等进行解题． 【填空答案】 乘法公式 例题1: （1）（★★★☆☆）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算：( 5−2)2022( 5+2)2023 = __________． （2）（★★★☆☆）计算：(a−2 b)2 −(a+2 b)2 =__________． （3）（★★★☆☆）（2023•静安区校级期末）计算：( 5−2)2023( 5+2)2024＝__________． （4）（★★★☆☆）（2023•松江区期中）已知( x+ y +3)( x+ y −1)=5，则 x+ y = __________． 【常规讲解】 （1）解：( 5−2)2022( 5+2)2023 =( 5−2)2022( 5+2)2022( 5+2) =[( 5−2)( 5+2)]2022( 5+2) =(5−4)2022( 5+2) =12022( 5+2) =1( 5+2) = 5+2． 故答案为： 5+2． 2（2）解：原式=(a−2 b+a+2 b)(a−2 b−a−2 b) =2a(−4 b) =−8a b ． 故答案为−8a b ． （3）解：( 5−2)2023( 5+2)2024 =[( 5−2)( 5+2)]2023( 5+2) =12023( 5+2) =1( 5+2) = 5+2． （4）解：设 x+ y =a， 则(a+3)(a−1)=5， 整理得，a2 +2a=8， 配方得，a2 +2a+1=8+1， 即(a+1)2 =9， 开平方得，a+1=3， a =2，a =−4， 1 2 a= x + y 0，  x+ y =2， 故答案为：2． 1 练习1: 【学习框8】 （1）（★★★☆☆）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算：( 3+ 2)2019( 3− 2)2020 = __________． （2）（★★★☆☆）计算：(2+ 3)(2− 3)=__________． （3）（★★★☆☆）（2023•浦东新区期末）计算： ①(2x− y+1)(2x+ y−1)； 1 ②(2 2+3)2023(2 2−3)2024 −4 − (1− 2)2 ． 8 3【常规讲解】 （1）解：原式=[( 3+ 2)( 3− 2)]2019( 3− 2) =(3−2)2019( 3− 2) = 3− 2 ． 故答案为： 3− 2． （2）解：原式=22 −( 3)2 =4−3 =1． （3）解：①原式=[2x−(y−1)][2x+(y−1)] =4x2 −(y−1)2 =4x2 −(y2 −2y+1) =4x2 − y2 +2y−1； ②原式=[(2 2+3)(2 2−3)]2023(2 2−3)− 2−|1− 2| =(8−9)2023(2 2−3)− 2+1− 2 =−(2 2−3)− 2+1− 2 =−2 2+3− 2+1− 2 =4−4 2． 例题2: （1）（★★★☆☆）（2023•奉贤区校级期中） 4 3 ①计算：( 3−1)2 − − 3( 3− )； 3−1 3 ②计算：( 2 3)2 + ( 3−2)2 +( 2−1)2． a2 b2 ③计算：12a a2b3b2  ． b a （2）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级期中） 12 1 3 3 ①计算：2y +(  4x) y3 2 xy 4 44 ②计算：( 5−1)2 + +(2 5− 7)(2 5+ 7)+| 5−2| 5−1 2+1 1 ③（2022秋•杨浦区期末）计算： 18− −4 − ( 3−2)2 ． 2−1 8 【常规讲解】 （1）解：①原式=3−2 3+1( 3+1)−(3−1) =3−2 3+1−2 3−2−2 =−4 3； ②解：原式=( 6)2 +2− 3+(2+1−2 2) =6+2− 3+3−2 2 =11− 3−2 2． 1 b b2 ③原式=12a  a2b  3b2 a2 a 1 b2 a =12a  3b2 a =4 a ． 2 3y 1 3 3 （2）①解：原式=2y +  4x y2 2 4 xy 2 3y 1 3 2 3y =2y +   y2 2 4 y 4 3y 3 3y = + y 4y 19 3y = 4y ． 4 ②解：( 5−1)2 + +(2 5− 7)(2 5+ 7)+| 5−2| 5−1 =5−2 5+1+( 5+1)+(20−7)+ 5−2 =5−2 5+1+ 5+1+13+ 5−2 =18． 2+1 1 ③解： 18− −4 − ( 3−2)2 2−1 8 5=3 2−( 2+1)2 − 2−| 3−2| =3 2−(3+2 2)− 2−(2− 3) =3 2−3−2 2− 2−2+ 3 = 3−5 ． 练习2: 【学习框10】 1 1 （1）（★★★☆☆）（2022•普陀区曹杨二中期中）计算：4 2 3−( 3+ 2)2 + ． 2 3−2 1 6 4 （2）（★★★☆☆）（2023秋•崇明区期中）计算： (2− 5)2 − 12+ + ． 2 3 5−1 2 （3）（★★★☆☆）（2022•宝山区期末）计算：(4 3+7)(4 3−7)+ ． 5− 3 1 8 − 1 （4）（★★★☆☆）（2023春•浦东新区校级期末）计算：3 −( ) 3 −( 3+1)2 +(2022+2023)0． 3 27 1 （5）（★★★☆☆）（2023春•松江区期中）计算：(x+2 xy + y)( x+ y)−( xy + x) ． x 【常规讲解】 2+ 3 （1）解：原式=2 6−(3+2+2 6)+ ( 3−2)( 3+2) =2 6−5−2 6−(2+ 3) =2 6−5−2 6−2− 3 =−7− 3． 1 6 4 （2）解： (2− 5)2 − 12+ + 2 3 5−1 1 = 5−2− 2 3+2 3+ 5+1 2 = 5−2− 3+2 3+ 5+1 =2 5+ 3−1． （3）解：原式=(4 3)2 −72 + 5+ 3 =48−49+ 5+ 3 =−1+ 5+ 3． 1 8 − 1 （4）解：3 −( ) 3 −( 3+1)2 +(2022+2023)0 3 27 63 = 3− −4−2 3+1 2 9 =− 3− ． 2 ( x+ y)2 1 1 （5）解：原式= − xy − x x+ y x x = x+ y − y −1 = x −1． 考点二：二次根式新定义题型 例题3: （★★★☆☆）（2023 秋•浦东新区校级期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：m※   m− n(m n), n= 计算(3※2)(8※12)的结果为__________．  m+ n(mn) 【常规讲解】 解：由题意得： (3※2)(8※12) =( 3− 2)( 8+ 12) =( 3− 2)(2 2+2 3) =2( 3− 2)( 2+ 3) =2(3−2) =21 =2， 故答案为：2． 练习3: 【学习框12】 （★★★☆☆）（2022•黄浦区大同中学月考）符号“ * 表示一种新的运算，规定 a a*b= a b− ，则6*2的值为__________． b 【常规讲解】 6 （1）解：6*2= 6 2− =2 3− 3= 3， 2 7故答案为： 3． 知识加油站 2——二次根式的化简求值【建议时长：40 分钟】 考点三：代数式的化简求值 知识笔记2 二次根式的化简求值 二次根式化简求值就是运用________、分解变形、构造关系等重要的技巧与方法，解题的关 键是，需把已知条件化简，或把已知条件变形。 【填空答案】 整体代入 例题4: （1）（★★☆☆☆）当a=−2时，二次根式 1−4a 的值是__________． x− y （2）（★★★☆☆）若x= 5+1，y= 5−1，则 的值为__________． x2 − y2 2 a−1 a2 +1 （3）（★★★☆☆）（2023 秋•长宁区校级期中）当a= ，化简代数式 + −2， 3 a −1 a 并求值． 【常规讲解】 （1）解：当a=−2时， 二次根式 1−4a = 1−4(−2) = 9 =3． 故答案为：3． （2）解： x= 5+1，y= 5−1， x+ y=( 5+1)+( 5−1)=2 5， x− y x−y 1 1 5 则 = = = = ， x2 − y2 (x+ y)(x−y) x+ y 2 5 10 5 故答案为： ． 10 8a−1 a2 +1 （3）解： + −2 a −1 a ( a+1)( a−1) a2 +1−2a = + a−1 a (a−1)2 = a +1+ ， a 2 ( −1)2 2 2 3 6 当a= 时，原式= +1+ = +1． 3 3 2 2 3 练习4：【学习框14】 （1）（★★★☆☆）若x= 2−1，则x3+x2 −3x+2035的值为__________． a b （2）（★★★☆☆）若a=2+ 3，b=2− 3，则 − 的值为__________． b a 1 1 （3）（★★★☆☆）（2023秋•金山区期中）如果a= 5−2，则 + +a2 −2 =__________． a a2 【常规讲解】 （1）解：x3+x2 −3x+2035 = x2(x+1)−3x+2035， x= 2−1， （2）解： a=2+ 3，b=2− 3， a+b=4，a−b=2 3，ab=4−3=1， a b a2−b2 (a+b)(a−b) 2 34  − = = = =8 3． b a ab ab 1 故答案为：8 3． （3）解： a= 5−2， 1 1 5+2  = = = 5+2， a 5−2 ( 5−2)( 5+2) 1  a， a 1 1 1 1 2 则原式= + ( −a)2 = + −a= −a=2 5+4−( 5−2)= 5+6， a a a a a 故答案为： 5+6． 9例题5: 1 1+2a+a2 a2 −4a+4 （1）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）已知a= ，求 − 的值． 2+ 3 a+1 a2 −2a 3− 2 3+ 2 （2）（★★★☆☆）已知：x= ，y= ，求代数式x2 −3xy+ y2的值． 3+ 2 3− 2 2 （3）（★★★☆☆）（2023 秋•杨浦区期中）先化简，再求值：已知 x= ，求 1+ 3 x2 −1 x2 +2x+1 1 − − 的值． x−1 x2 +x x 1 1 （4）（★★★☆☆）（2023秋•浦东新区期中）已知x= ，y= ，求x2 −3xy+ y2的 2+1 2−1 值． 【配题说明】化简字母与代数式求值 【常规讲解】 1 2− 3 （1）解： a= = =2− 3， 2+ 3 (2+ 3)(2− 3) a−20， 1+2a+a2 a2 −4a+4  − a+1 a2 −2a (1+a)2 (a−2)2 = − a+1 a(a−2) 2−a =a+1− a(a−2) 1 =a+1+ a =2− 3+1+(2+ 3) =2− 3+1+2+ 3 =5 3− 2 3+ 2 （2） x= =( 3− 2)2 =5−2 6，y= =( 3+ 2)2 =5+2 6 ， 3+ 2 3− 2 x− y=−4 6，xy=1， x2 −3xy+ y2 =(x− y)2 −xy 10=(−4 6)2 −1 =96−1 =95； 2 2( 3−1) 2( 3−1) （3）解： x= = = = 3−1， 1+ 3 ( 3+1)( 3−1) 3−1 x2 −1 x2 +2x+1 1  − − x−1 x2 +x x (x+1)(x−1) x+1 1 = − − x−1 x(x+1) x 1 1 =x+1− − x x 2 =x+1− x 2 = 3−1+1− 3−1 = 3−1+1− 3−1 =−1 1 1 （4）解： x= = 2−1，y= = 2+1， 2+1 2−1 x2 −3xy+ y2 =(x− y)2 −xy =( 2−1− 2−1)2 −( 2−1)( 2+1) =4−1 =3． 练习5: 【学习框16】 1 x+3 2x2 +x−1 （1）（★★★☆☆）（2022•静安区市西中学期中）已知x= ，求 + 的值． 3+2 x2 +3x 2x−1 x−2 xy + y 1 （2）（★★★☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）先化简再求值：  ， x−y x+2 xy + y 1 1 其中x= ，y= 3+2 2 3−2 2 1 1 （3）（★★★☆☆）（2022•青浦区期中）已知x= ,y= ，求代数式：x2 −xy+ y2 7− 5 7+ 5 的值． 11【配题说明】化简字母与代数式求值 【常规讲解】 x+3 (2x+1()x−1) （1）解：原式= + x(x+3) 2x−1 1 = +x−1， x 1 x= =2− 3， 3+2 1  = 3+2， x 原式= 3+2+2− 3−1=3． ( x− y)2 （2）解：原式= ( x+ y)2 ( x+ y)( x− y) =( x − y)( x + y) =x−y， 1 3−2 2 1 当x= = =3−2 2，y= =3+2 2时， 3+2 2 (3+2 2)(3−2 2) 3−2 2 原式=(3−2 2)−(3+2 2)=−4 2． 1 7+ 5 7+ 5 7− 5 （3）解：x= = = ，y= ， 7− 5 ( 7− 5)( 7+ 5) 2 2 7+ 5 7− 5 7+ 5 7− 5 1 则x+ y= + = 7，xy=  = ， 2 2 2 2 2 1 11 x2 −xy+ y2 =(x+ y)2 −3xy=( 7)2 −3 = ． 2 2 例题6: 1 1 （1）（★★★☆☆）已知 a+ =3，则a+ =__________． a a （2）（★★★☆☆）已知 2022−a + a−2023=a，则a−20222 =__________． 【配题说明】巧算求值 【常规讲解】 （1）解：由题意得a0， 1 ∵ a+ =3， a 122  1  ∴  a+  =9，  a 1 ∴a+ +2=9， a 1 ∴a+ =7， a 故答案为：7． （2）解：∵ 2022−a + a−2023=a有意义， ∴a−20230，即a2023， ∴a−2022+ a−2023=a， ∴ a−2023=2022， ∴a−2023=20222， ∴a−20222 =2023， 故答案为：2023． 练习6: 【学习框18】 1 1 （1）（★★★☆☆）已知x+ =5，则 x−1+ 的值是__________． x−1 x−1 x+ y 2xy （2）（★★★☆☆）已知y= x−8+ 8−x +18，求代数式 − 的值． x− y x y −y x 【配题说明】巧算求值 【常规讲解】 1 （1）解：( x−1+ )2 x−1 1 =x−1+2+ x−1 1 =x+ +1， x−1 1 1 当x+ =5时，x+ +1=6， x−1 x−1 1 则 x−1+ = 6， x−1 故答案为： 6 ． 13x−8 0 （2）解：由已知，得： ，解得x=8；此时y=18； 8−x 0 x+ y 2xy 原式 = − x − y xy( x − y) x+ y 2 xy = − x− y x− y ( x− y)2 = x− y = x− y 当x=8，y=18时， 原式=2 2−3 2 =− 2． 知识加油站 3——二次根式与不等式、方程【建议时长：30分钟】 考点四：解含有二次根式的方程和不等式 知识笔记3 二次根式与不等式、方程 （1）方程的运算、_____________以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用； （2）二次根式的运算中要灵活运用不等式的性质、运算性质等进行解题． 【填空答案】 不等式的性质 例题7: （1）（★★☆☆☆）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）不等式2 3x+63 2x的解 集是__________． （2）（★★☆☆☆）（2023秋•杨浦区期中）解不等式： 3x 2x−1的解集是__________． （3）（★★☆☆☆）若a 2a+1，化简|a+ 2|− (a+ 2+1)2 =__________． （4）（★★☆☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程： 2x+2 6 = 3x+ 5x． 142 x−3 y =2 （5）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区张江集团中学期中）已知方程组 ，那么 4x−9y=12 2 x+3 y的值是__________． 【常规讲解】 （1）解：2 3x+63 2x， (2 3−3 2)x−6， 2 3= 12 ，3 2 = 18， 2 33 2 ， 6 x− =3 2+2 3， 2 3−3 2 不等式的解集为x3 2+2 3， 故答案为：x3 2+2 3． （2）解：x−3 2  2x， x− 2x3 2， (1− 2)x3 2， 1− 2 0， 3 2 x ， 1− 2 x−6−3 2． 故答案为：x−6−3 2． （3）解： a 2a+1， (1− 2)a1， 1 则a ，即a−1− 2 ， 1− 2 a+ 2−1，a+ 2+10， 原式=−a− 2+a+ 2+1=1， 故答案为：1． （4）解： 5x+ 3x− 2x=2 6， 15( 5+ 3− 2)x=2 6， 2 6 2 6( 5+ 3+ 2) 2 30+6 2+4 3 30+3 2+2 3 x= = = = = 2− 3+ 5 5+ 3− 2 ( 5+ 3)2 −( 2)2 6+2 15 3+ 15 即x= 2− 3+ 5． 2 x−3 y =2① （5）解： ， 4x−9y=12② 由②得(2 x+3 y)(2 x −3 y)=12③， 把①代入③得2(2 x+3 y)=12， (2 x +3 y)=6， 故答案为：6． 练习7: 【学习框20】 （1）（★★☆☆☆）（2022•长宁区上海第三女子中学期中）解不等式： 2x−5 3x的解集是 __________． （2）（★★☆☆☆）（2023秋•普陀区校级期中）不等式2x−5 5x的解集是__________． （3）（★★☆☆☆）求满足(1− 3)x1+ 3 的最大整数解． 3 2 2 （4）（★★☆☆☆） x+1= x． 2 3   3x− 2y= 2 （5）（★★☆☆☆）解方程组： ． x− 6y=1 【常规讲解】 （1）解： 2x−5 3x， 移项得： 2x− 3x5， 合并同类项得：( 2− 3)x5， 解得x−5( 3+ 2)． 故答案为：x−5( 3+ 2)． （2）解：2x−5 5x， 移项，得2x− 5x5， 16(2− 5)x5． 2− 50， 5 x ． 2− 5 x−10−5 5． 故答案为：x−10−5 5． （3）解：(1− 3)x1+ 3 1+ 3 则x ， 1− 3 解得：x−2− 3， 故满足(1− 3)x1+ 3 的最大整数解为：−4． （4）解：去分母，得3x+ 6 =4x， 移项、合并同类项，得x= 6．   3x− 2y= 2① （5）解：  x− 6y=1② 由②得，x=1+ 6y③ 把③代入①得， 3(1+ 6y)− 2y= 2 ， 2− 6 解得：y= ， 4 6−1 代入③得，x= ， 2  6−1 x= 所以原方程组的解为  2 ．   2− 6 y=   4 17考点五：二次根式大小比较 例题8: （1）（★★☆☆☆）比较大小：2 3 ______3 2 ．（用，=或填空） 1 （2）（★★☆☆☆）比较大小：2+ 3 ______ ．（用，=或填空） 3− 2 1 1 （3）（★★★☆☆）比较 与 的大小． 6−2 8− 6 a+4 a+5 （4）（★★★★☆）比较 与 的大小． a+5 a+6 【常规讲解】 （1） 2 3= 12，3 2 = 18， 12 18 ， 2 33 2 ． 1 3+ 2 3+ 2 （2）解： = = = 3+ 2， 3− 2 ( 3− 2)( 3+ 2) ( 3)2 −( 2)2 因为2+ 3−( 3+ 2)=2− 2 0， 1 所以2+ 3 ． 3− 2 故答案为：． 1 6+2 1 8+ 6 （3）解： = ， = ，且 8 2，即 8+ 6  6+2， 6−2 2 8− 6 2 1 1   ． 6−2 8− 6 a+4 (a+4)(a+6) a2 +10a+24 （4）解： = = ， a+5 (a+5)(a+6) (a+5)(a+6) a+5 (a+5)(a+5) a2 +10a+25 = = ，因为a2 +10a+24a2 +10a+25， a+6 (a+5)(a+6) (a+5)(a+6) a+4 a+5 所以  ．故答案为：． a+5 a+6 18练习8：【学习框22】 （1）（★★☆☆☆）比较大小：3 11______4 6．（用，=或填空） 1 1 （2）（★★★★☆）比较大小： ______ ．（用， = 或填空）6 3－ 7 7－ 5 1 1 （3）（★★★★☆）比较 与 的大小. 7− 5 5− 3 【常规讲解】 （1） 3 11= 99，4 6 = 96 ，  99  96 ， 3 114 6． （2）> 1 7+ 5 1 5+ 3 （3） = ， = ，且 7+ 5 5+ 3， 7− 5 2 5− 3 2 1 1   ． 7− 5 5− 3 19全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场 作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: 1 48− 12 （1）（★★☆☆☆）计算：( )−1+ =______． 2 3 （2）（★★★☆☆）（2022•静安区市西中学期中） 计算：(2− 3)2+| 12− 18|− ( 3−2)2 −( 5−1)0． 【常规讲解】 48 12 (1)解：原式=2+ − 3 3 =2+ 16− 4 =2+4−2 =4． (2)解：解：原式=4−4 3+3+3 2−2 3−(2− 3)−1 =4−4 3+3+3 2−2 3−2+ 3−1 =4−5 3+3 2 ． 练习2: （★★★☆☆）不等式 2x−3 3x的解集是__________________． 【常规讲解】解：由 2x−3 3x，得 2x− 3x3， ( 2 − 3)x3， 3 x ，即x−3 3−3 2 ． 2 − 3 故答案是：x−3 3−3 2 ． 练习3:  x+ 2y=2 2 （1）（★★★☆☆）解方程组： ．  2x− y=3 2 20  3x− 2y=1 （2）（★★★☆☆）解方程组： ．  2x− 3y=0 【常规讲解】 4−3 2 （1）① 2 －②得：3y=4−3 2，所以y= ， 3 2 2+6 ①+② 2 得：3x=2 2+6，所以x= ， 3  2 2+6 x=  3 所以原方程组的解为：  ．  4−3 2 y=   3   3x− 2y=1① （2） ，  2x− 3y=0② ① 2 −② 3得y= 2 ， 将y= 2 代入①得x= 3．  x= 3 故原方程组的解是 ． y= 2 练习4: y x 1 （1）（★★★☆☆）化简并求值： 25xy +x −4y − xy3 ，其中x=1，y=2． x y y （2）（★★★☆☆）已知x=2− 3，y=2+ 3．则代数式x2 + y2 −2xy的值为______． 【常规讲解】 xy xy 1 （1）解：原式=5 xy +x −4y − y xy x y y =5 xy + xy −4 xy − xy = xy ， 当x=1，y=2时，原式= 12 = 2． （2）解： x=2− 3，y=2+ 3， x− y=−2 3， 则x2 + y2 −2xy=(x− y)2 =(−2 3)2 =12， 故答案为：12． 21关卡二 练习5: 3+ 4−2 3 （★★★★☆）化简 =________． 6+ 2 【常规讲解】 解： 4−2 3=( 3−1)2， 3+ 3−1 2+ 3 原式= = ， 6+ 2 6+ 2 4+2 3 ( 3+1)2 2+ 3= = ， 2 2 3+1 原式 2 = 6+ 2 3+1 = 2 2( 3+1) 1 = ． 2 练习6: （★★★★☆）（2022•宝山区上海市宝山实验学校期中）定义[x]表示不超过实数x的最大整 5+1 数，设= ，则[16]=______． 2 【常规讲解】 5−1 5+1 5−1 5+1 5−1 解：设= ，则+=( + )= 5，=  =1， 2 2 2 2 2 2 +2 =(+)2 −2=( 5)2 −2=3， 4 +4 =(2 +2)2 −2(22)2 =32 −2=7，  16 +16 =(8 +8)2 −2(88)2 =[(4 +4)2 −2(44)2]2 −2 ={72 −2)2 −2 =472 −2 =2209−2 =2207， 225−1 0 1， 2 016 1， 220616 2207， [16]=2207−1=2206， 故答案为：2206． 练习7: 2 2+ 5 （ ★★★★☆ ）（ 2022• 虹 口 区 外 国 语 大 学 附 中 月 考 ） 已 知 a= ， 求 5− 2 a5 −7a4 +6a3 −7a2 +11a+13 的值． a2 −6a+4 【常规讲解】 2 2+ 5 解： a= ， 5− 2 (2 2+ 5)( 5+ 2) a= ( 5− 2)( 5+ 2) 3 10+9 = 3 = 10 +3， a−3= 10， (a−3)2 =( 10)2， a2 −6a+9=10， a2 −6a=1， a5 −7a4 +6a3 −7a2 +11a+13 =a5 −6a4 −a4 +6a3 −7a2 +11a+13 =a3(a2 −6a)−a2(a2 −6a)−7a2 +11a+13 =a3 −a2 −7a2 +11a+13 =a3 −8a2 +11a+13 =a3 −6a2 −2a2 +11a+13 =a(a2 −6a)−2a2 +11a+13 =a−2a2 +11a+13 =−2a2 +12a+13 =−2(a2 −6a)+13 =−2+13 23=11， a5 −7a4 +6a3 −7a2 +11a+13 11 11  = = ． a2 −6a+4 1+4 5 24