文档内容
05A 一元二次方程的概念及基本解法
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）一元二次方程的概念
（2）一元二次方程的一般式
（3）一元二次方程的解
（4）直接开平方法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的概念是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值
约10%。
（2）主要考察一元二次方程的概念、方程的解、直接开平方法，以选择题、填空题为主，
方程的解、直接开平方法考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一节。
（4）一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方
程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是
开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，
公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础。
1知识加油站 1——一元二次方程的概念
考点一：一元二次方程的判断
知识笔记1
一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________；
（2）一元二次方程：只含有__________________，且________________是_________的
________________称作一元二次方程．
例题1:
（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
①2x+3y2 =9； ②(x−3)(x−3)=x2 −x；
4
③ 3(x−2)(x−1)=0； ④ −2=0；
x2
⑤3x2 −2 x =2； ⑥ax2 +b=0；（a,b为已知数）；
⑦3x2+2y+2=2y．
（2）判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
①ax2 −x− 2x+ 3x2 +b=c（a,b,c为有理数）；
②( 2m2 +m−3 ) xm+1+5x=13．
练习1:
2
关于x的方程：① ax2 +bx+c=0；②x2 + −4=0；③2x2 −3x+1=0；④x2 −2+x3 =0．其
x
中是一元二次方程的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2考点二：一元二次方程的定义求参数
知识笔记2
一元二次方程的满足条件：
（1）__________________________；
（2）__________________________．
例题2
（1）已知方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程，求a的值．
（2） 方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0
①m为何值时，方程是一元二次方程；
②m为何值时，方程是一元一次方程．
练习2:
（1）（2022•黄浦区大同中学月考）已知关于x的方程(m−1)xm2+1+2x−3=0是一元二次方程，
则m的值为_______．
（2）k取何值时，关于x的方程(k2 −1)x2 +2(k+1)x+3(k−1)=0
①是一元一次方程？
②是一元二次方程？
3知识加油站 2——一元二次方程的一般式
考点三：一元二次方程系数
知识笔记3
一元二次方程的一般式
任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2 +bx+c=0_________的形式，这种形式简称
为一元二次方程的一般式．其中ax2叫做_________，a是_________；bx叫做_________，
b是一次项系数；c叫做_________．
例题3:
（1）（2022•浦东新区进才实验中学月考）一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1的一次项系数
为_________．
（2）一元二次方程3x(x−1)=2(x+2)化为一般形式后二次项系数是_________，一次项是
_________．
（3）一元二次方程4x−x2 =3中，当二次项系数是−1时，一次项系数是_________、常数项
是_________．
练习3:
判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项：
（1）3y=4y(2− y)；
（2）2a(a+5)=10；
（3）x2(3+x)+1=5x；
（4）3+2m2 =2(2m−3)．
4例题4:
（1）①若m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则
m=_______，n=_______．
②已知关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是0，则a=_______．
（2）①将一元二次方程(x+a)2 =b，化成x2 −8x−5=0的形式，则a，b的值分别是( )
A．−4，21 B．−4，11 C．4，21 D．−8，69
②一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式2x2 −3x−1=0，试求a、b、c的值．
3
③（2022•徐汇区南洋模范中学月考）若一元二次方程x2 −ax=2a−1的各项系数的和为 ，
2
则a=_________．
练习4:
（1）①（2023•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程(m−3)x2 −3x+m2 =9的常数项为0，
则m=_______．
②若关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2x+m2 −1=0的常数项为0，则m的值是_______．
（2）①把方程3x2 +x=2(x−2)化成ax2 +bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为( )
A．3，1，4 B．3，−1，4 C．3，−1，−4 D．3，4，−1
a+b
②一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0，试求 的值．
c
③设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足(a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0，
求满足条件的一元二次方程．
5知识加油站 3——一元二次方程的解
考点四：一元二次方程的根
知识笔记4
一元二次方程的解
能够使一元二次方程____________________________叫做方程的解．只含有一个未知数的方
程，它的解又叫做__________．
例题5:
判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
1
（1）2x2 −2=3x(− ，2)； （2）(2x− 3)2 =3 ( 3，− 3 ) ．
2
练习5:
检验−3和1是不是方程4x2 −9=2x−7的解？检验结果是：__________是这个方程的解．
考点五：一元二次方程求参
例题6:
（1）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）若关于 x 的一元二次方程
(m−1)x2 +3x+m2 −1=0有一根为0，则m=________．
（2）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）关于x的方程3x2 +mx−1=0的一个根是2，则
m=________．
练习6:
（1）（2022•宝山区期中）关于x的一元二次方程(a− 2)x2 +x+a2 −2=0的一个根是0，那
么a的值是________．
6（2）（2022•普陀区期中）关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根为 2，那么
m的值为________．
考点六：整体法求值
例题7：
（1）如果a+b+c=0，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0，必有一个根是________．
（2）（2023秋•杨浦区期中）已知a为方程x2 −3x−6=0的一个根，则代数式6a−2a2 +2023
的值.
a2 +1
（3）已知a是方程x2 −2023x+1=0的一个根，则a3 −2023a2 + 的值.
2023
练习:7：
（1）①（2023秋•静安区校级期中）如果a+b=−c，则方程ax2 +bx+c=0必有一解为x=
__________．
②在一元二次方程ax2 +bx+c=0中，若a、b、c满足关系式a−b+c=0，则这个方程必
有一个根为__________．
（2）（2022秋•长宁区校级期中）a是方程x2 +x−1=0的一个根，则代数式−2a2 −2a+2022
值是__________．
7（3）①（2020•金山区期中）若关于x的方程ax2 +bx+c=0(a0)满足a−b+c=0，称此方
1999a
程为“月亮”方程．已知方程a2x2 −1999ax+1=0(a0)是“月亮”方程，求a2 +1999a+ 的
a2 +1
值为( )
A．0 B．2 C．1 D．−2
2018
②已知a是方程x2 −2018x+1=0的一个根，求a2 −2017a+ 的值．
a2 +1
知识加油站 4——直接开平方法
考点七：用开平方解方程
知识笔记5
直接开平方法
如果一元二次方程的一边是，另一边是______________，那么就可以用直接开平方法求解，
这种方法适合形如______________的形式求解．
例题8:
用直接开平方法解下列方程．
（1）（2022•宝山区期末）方程2x2 =1的解是_______．
（2）（2021•浦东新区新竹园中学月考）方程x2 − 64 =0的两根为x = _______，x =
1 2
_______．
（3）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）解方程：3(x−1)2 +1=16．
8（4）（2021•徐汇区徐汇中学期中）解方程： 2(6−x)2 =128 2 ．
练习8：
用直接开平方法解下列方程．
（1）x2 −9=0．
（2）4(x−2)2 −36=0．
（3）解关于x的方程：9x2 − 625 =0．
（4）（2021•静安区民立中学月考）解方程： 2(2x−5)2 =9 2．
1
（5）（2022•嘉定区月考）解方程： (2x−2)2 −16=0．
3
例题9：
（1）（2021•徐汇区南洋模范中学月考）解方程：4(x+1)2 −9(x−2)2 =0
9（2）（2023•长宁期中）解方程：(x−1)2 =9(2x+5)2
练习9：
（1）解一元二次方程(3x−1)2 −(x+1)2 =0
（2）（2021•青浦期中）解一元二次方程(x+3)2 =(3x−5)2
考点九：开平方法解含参方程
例题10:
（1）解关于 x的方程x2 −2kx−2=0．
（2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程：ax2 −1=1−x2
．
练习10:
（2021•闵行区期末）解关于
x的方程：a2x2 −1=−x2
．
10全真战场
关卡一
练习1:
（1）下面关于x的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1；
1
③x2 + +5=0；④x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．是一元二次方程个
x
数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）关于 x 的方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15有一个根−2，则 m 的值等于( )
1 1
A．2 B．− C．−2 D．
2 2
练习2:
已知关于 x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0．
（1）当 m 为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当 m 为何值时，该方程为一元一次方程？
练习3:
分别根据下列条件，写出关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的一般形式：
（1）a=2 ， b=3 ， c=1 ；
1 3 2
（2）a=− ，b= ，c= ；
2 4 5
11练习4:
（1）解下列方程：(x−2)2 −9=0．
（2）解下列方程：(2y−3)2 −64=0．
（3）解关于 x 的方程：4(2x−5)2 =9(3x−1)2．
练习5:
1 1
（2020•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程a(x−m)2 =3的两根为 3，其中a、m
x
2 2
为两数，则a=_______，m=_______．
关卡二
练习5:
若 x2a+b −2xa+b +3=0是关于 x的一元二次方程，求a，b的值．
练习6:
已知a为方程2x2 −3x−1=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值．
12
