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第 14 讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像 ， ， ， ， ， ， 等，用不等号表示
不等关系的式子叫做不等式.
不等式 ， ， ， ，它们都只含有一个未知数，并且未
知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） 是一元一次不等式的有_____个
【答案】3
【解析】解：（1） ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式；
（2） ，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3） 可化简为 ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一
次不等式；
（4） ，未知数的次数是2，不是一元一次不等式；
（5） ， 处于分母位置，次数不是1，不是一元一次不等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式.
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【答案】4
【解析】解：根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0.
解得m=±4且m≠﹣4.
所以m=4.
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且
未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（郓城县期末）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【解答】解：依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
2．（万州区期末）下列各式中，不是不等式的是（ ）
A．2x≠1 B．3x2﹣2x+1 C．﹣3＜0 D．3x﹣2≥1
【解答】解：A、2x≠1是不等式，故A不符合题意；
B、3x2﹣2x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、﹣3＜0是不等式，故C不符合题意；
D、3x﹣2≥1是不等式，故D不符合题意；
故选：B．
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的
方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不
等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其
中正确的不等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0.①根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去b得，
a﹣b＞0．故①正确；
②当c<0时，根据不等式的基本性质2，在不等式两边都乘以c得，ac<bc；
当c=0时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据不等式的基本性质2，在不等式两边同时除以ab得， ，即 ．故③正确；
④∵b>0，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边都乘以b得，
，即b2＜ab，故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，
需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（厦门期末）已知 ，下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故 错误；
、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变， 选项没有乘以同一个负数，
故 错误；
、 ，
，故 正确；
、 ，
，故 错误；
故选： ．
二．填空题（共5小题）
2．（崇川区校级月考）已知实数 、 满足 ，且 ， ，设 ，
则 的取值范围是 ．【解答】解： ，
，
，
，解得 ，
又 ，
，
，
当 时， ；
当 时， ，
．
故答案为： ．
3．（海淀区校级期末）已知 ，则 ．（填 、 或
【解答】解： ，
，
，
故答案为 ．
4．（泉港区期中）已知 ．
①若 ，则 的取值范围是 ；
②若 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解：① ，
，
，
，
；②依题意有 ，
解得 ，
，
，
解得 ．
故答案为： ； ．
5．（金乡县期末）若点 在第一象限，则 的解集为 ．
【解答】解： 点 在第一象限，
，
即 ；
不等式 ，
，
不等式两边同时除以 ，得：
，
故答案为： ．
6．（锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内
的 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数 的取值范围
是 ．
【解答】解：由题意知，令 ，
，此时无输出值当 时，数值越来越大，会有输出值；
当 时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值
故 ，
故答案为 ．
知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的
解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【答案】D
【解析】解：A选项，当x=-4时，不等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12，
左边<右边，x=-4是不等式的解；
B选项，当x=-5时，不等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13，
左边<右边，x=-5是不等式的解；
C选项，当x=-3时，不等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
左边<右边，x=-3是不等式的解；
D选项，当x=5时，不等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5不是不等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否
依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构
成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：x≥a x≤a
a a
x>a x<a
a a
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】略
【解析】解：（1）
画好数轴，找到表示-5的点，画一个实心圆点（表示包括-5这个点），则-5和它的左侧部
分代表的就是 .
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（2）
画好数轴，找到表示0的点，画一个实心圆点（表示包括0这个点），则0和它右侧的部
分代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（3）
画好数轴，找到表示4的点，画一个空心圆圈（表示不包括4这个点），则4的左侧部分
代表的就是 .-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（4）
画好数轴，找到表示 的点，画一个空心圆圈（表示不包括 这个点），则 的
右侧部分代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【方法总结】
用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向
右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（建邺区校级期末）不等式组 无解，则 的取值范围为 ．
【解答】解： 不等式组 无解，
的取值范围是 ；
故答案为： ．
2．（浉河区校级模拟）若不等式组 没有解，则 的取值范围是 ．
【解答】解： 不等式组 没有解，
，
解得 ．
故答案为： ．
3．（内乡县一模）已知 是不等式 的一个解，那么 的取值范围是
．
【解答】解：由题意得， ，
，
，，
故答案为： ．
4．（铜陵期末）已知不等式组 的解集为 ． 则 的范围是
．
【解答】解： 不等式组 的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为：
5．（和田地区期末）不等式组 的解集是 ．
【解答】解：如图所示，
，
故不等式组的解集为： ．
故答案为： ．
6．（城步县模拟）若关于 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为
．
【解答】解：由图可得，则其解集为 ，
故答案为： ．
7．（北京期末）若不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【解答】解： 不等式组 无解，
的取值范围是 ．
故答案为： ．二．解答题（共1小题）
8．（雁江区期末）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
（1）求 的取值范围；
（2）化简： ；
（3）在 的取值范围内，当 为何整数时，不等式 的解为 ．
【解答】解：（1）解原方程组得： ，
， ， ，
解得 ；
（2） ；
（3）解不等式 得， ，
， ， ， ， ．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
系数化为1得：x＞﹣1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：．
（2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），
去括号得：3x﹣9≥4x﹣10，
移项得：3x﹣4x≥﹣10+9，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式的正整数解为x=1．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或
除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本
性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（内黄县期末）若 和 是实数 的平方根， 且 ，则不等
式 的解集为
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 和 是实数 的平方根，
，
解得： ，
，
所以 ，，
，
，
解得： ，
故选： ．
2．（巴彦淖尔）若关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 的最
小整数解为
A． B． C． D．0
【解答】解： ，
① ②得： ，
关于 ， 的方程组 的解满足 ，
，
解得： ，
的最小整数解为 ，
故选： ．
二．解答题（共6小题）
3．（乐陵市期末）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝
对值不等式，求绝对值不等式 的解集．
小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出 恰好是3时 的值，并在数轴上表示为点 ， ，如图所示．
观察数轴发现，以点 ， 为分界点把数轴分为三部分：
点 左边的点表示的数的绝对值大于3；
点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于3；
点 右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式 的解集为： 或 ．
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① 的解集是 或 ．② 的解集是 ．
（2）求绝对值不等式 的解集．
（3）直接写出不等式 的解集是 ．
【解答】解：（1）① 的解集是 或 ．② 的解集是 ．
故答案是：① 或 ；② ；
（2）
的解集可表示为 或
的解集为 或 ；
（3）不等式 的解集是 或 ．
故答案是： 或 ．
4．（顺义区期末）小军解不等式 的过程如图，请你指出他解答过程中错误
步骤的序号，并写出正确的解答过程．【解答】解：错误的是①⑤，正确解答过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边都除以 ，得 ．
5．（深圳期中）已知 是关于 的不等式 的解，求 的取值范围．
【解答】解： 是关于 的不等式 的解，
，
解得 ．
故 的取值范围是 ．
6．（卢龙县期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
求满足条件的 的所有非负整数值．
【解答】解：
① ②得：
，
把 代入②得
，
，
，
，所以满足条件的 的所有非负整数值为：0，1，2．
7．（南岗区校级月考）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求
的取值范围．
【解答】解：方程组 的解为：
，
，
．
8．（雅安期末）在关于 ， 的方程组 中，若未知数 ， 满足
，求 的取值范围，并在数轴上表示出来．
【解答】解：
由① ②，得 ，
，
，
，
，
在数轴上表示如下： ．
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；（2）
【答案】略
【解析】解：（1）
解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-2 -1 0 3 1 2
5
∴不等式的解集为 .
（2）
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞2，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，
并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定 ）：2.解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最
小整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
由①解得x≤3
由②解得x＞﹣2
不等式组的解集在数轴上表示如图所示
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3
不等式组的最小整数解为﹣1．
【随堂练习】
1．（福建模拟）解不等式组 ．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ．2．（天津期末）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
故原不等式的解集是 ，在数轴上表示如下图所示，
3．（洛江区期末）解不等式组： （注 必须通过画数轴求解集）
【解答】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
所以原不等式组的解是： ．
4．（玉田县期末）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，5．（高密市期末）请从不等式 ， ， 中任选两个组成
一个一元一次不等式组．解出这个不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【解答】解：由 得 ①；
由 得 ②；
由 得 ③，
（1）不等式组 的解集是 ；
（2）不等式组 的解集是无解；
（3）不等式组 的解集是 ．表示在数轴上如图：
6．（渝北区期末）解下列不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）
（2） ．
【解答】解：（1）去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，把 的系数化为1得， ，
在数轴上表示为：
；
（2）由①得， ，由②得， ，
故不等式组的解集为： ，
在数轴是表示为：
．
综合运用
1.不等式 的解集是_______
【答案】x＜﹣2
【解析】解：﹣ x+1＞2，
﹣ x＞1，
x＜﹣2，
2.在式子：①﹣3＜0；② 4x+3y＞0；③ x=3；④ x2+xy+y2；⑤ x≠5 中是不等式的有
__________．（填序号）
【答案】①②⑤
【解析】解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，
分析可得这5个式子中，①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式；
故答案为①②⑤．
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【答案】略
【解析】解：化简不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3，得
-3≤mx2+(n-3)x﹣3.
∵它是关于x的一元一次不等式，
∴m=0，n﹣3≠0．
解得m=0，n≠3．4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
【答案】略
【解析】解：∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴2﹣3x＞2﹣3y．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的
解集是x＞0”？为什么？
【答案】略
【解析】解：不能说不等式x+3＞2的解集是x＞0．
因为根据不等式性质1，由x+3＞2可得x＞﹣1.
∴x＞﹣1为不等式x+3＞2的解集．
6.解不等式 ﹣ ＜1，并把解表示在数轴上．
【答案】略
【解析】解：去分母，得3（t-1）-5（2-t）<15，
去括号，得3t-3-10+5t<15，
移项，得3t+5t<15+3+10，
合并同类项，得8t<28
系数化为1，得t＜ ，
在数轴上表示为：
7.求不等式 的负整数解
【答案】略
【解析】解：去分母，得2x≤6+3（x﹣1），
去括号，得2x≤6+3x﹣3，
移项，得2x﹣3x≤6﹣3，
合并同类项，得﹣x≤3，
系数化为1，得x≥﹣3，
∴不等式的负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．8.解不等式组： ，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】略
【解析】解： ，
由①得，x≥ ，
由②得x≥﹣1，
把①、②的解集在数轴上表示如下：
∴该不等式组的解集为x≥ ．
9.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】略
【解析】解：解不等式x﹣1≤2﹣2x，得：x≤1，
解不等式 ＞ ，得：x＞﹣3，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
10.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤2，所以不等式组的解集：﹣3＜x≤2，
它的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
