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第 14 讲 圆的有关性质
知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧
记作 ,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 .
小于半圆的弧叫做劣弧，如 。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是
等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，
则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心
对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相
等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r 与半径为r
1 2
的⊙O叫做同心圆。
（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 与⊙O 的半径都是
1 2
r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是
【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为
（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，
既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径
OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×24=12，
在Rt OAD中，OA=5，OD= =5，
△∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与
圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
在Rt BOE中，
OE2+△BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r= =3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（镇海区期末）如图， 是 的直径， ， 是半径 上的一动
点， 交 于点 ，在半径 上取点 ，使得 ，
交 于点 ，点 ， 位于 两侧，连接 交 于点 ，
点 从点 出发沿 向终点 运动，在整个运动过程中， 与的面积和的变化情况是
A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【解答】解：连接 ， ， ， ．设 ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．二．解答题（共2小题）
2．（云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 米，拱高 米．
（1）求圆弧所在的圆的半径 的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即
米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结 ，
由题意得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得， ；
（2）连结 ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，即： ，
解得： ．
．
，
不需要采取紧急措施．
3．（道外区一模）如图， 为 直径，点 为 下方 上一点，点 为弧 中
点，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 于 ，交 于 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求线段 的长【解答】解：（1）如图1，设 ， ，
则 ，
点 为弧 中点，
，
，
，
连接 ，
为 直径，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，连接 ，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
．
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是 的
三等分点（ ＞ ），BG交AF于点H，若 的度数为30°，则∠GHF等于
【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，
∵ 的度数为30°，
∴ 的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是 的三等分点，
∴ 的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
【答案】57°
【解析】解：∵ = = ，∠COD=38°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【答案】26°
【解析】解：如图，
由OC⊥AB，得
= ，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B△=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．（泸县模拟）如图， 是 的直径， ， 分别是 上的两点， ，
， ，则 的半径是A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 ，与圆交于点 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 连接 、 、 ．
， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，四边形 为等腰梯形，
， ， ，
，
同理
，
在 中， ，
，
故选： ．2．（福建模拟）如图， 是 的直径， ，点 为弧 的中点， 交
于点 ， ，则 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ．
，
，
，
，
，
，设 ，则 ，
，
，
故选： ．
3．（沙坪坝区校级月考）如图，在 中， ，若 ，则 的度
数为
A． B． C． D．【解答】解： ， ，
，
，
由圆周角定理得： ，
故选： ．
二．填空题（共8小题）
4．（海安县一模）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ， ， 的
长分别是 和 ，上部是圆心为 的劣弧 ，圆心角 ．现欲以 点为
支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4
所示记拱门上的点到地面的最大距离 ，则 的最大值为 ．
【解答】解：如图所示，过点 作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点 ，交地面于
点 ，
如图1， ， 的长分别是 和 ，圆心角 ，
， ，
， ，当点 在线段 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距离，即点
与点 重合时，此时
，
如图2所示，当点 在劣弧 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于 的半径长与
圆心 到地面的距离之和，
易知， ，
而 ，
当点 与点 重合时， 取得最大值，
由图1可知， ， ，则 ，
的最大值为 ，即 ．
故答案为： ．
5．（晋江市二模）点 、 为直径是 的圆周上两点，点 为 的中点，以线段 、
为邻边作菱形 ，顶点 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6 或
．
【解答】解：过 作直径，连接 交 于 ，
点 为 的中点，
，
如图①，
点 恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
连接 ，，
边 ；
如图②， ，
同理可得， ， ， ，
连接 ，
，
边 ，
故答案为6或 ．
6．（下城区二模）已知 是优弧 的中点，若 ， ，则
．【解答】解：如图，连接 ，延长 交 于 ．
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为 ．
7．（崇明区二模）如图，在 中，点 为弧 的中点， 交弦 于 ，如果
， ，那么 的长为 3 ．
【解答】解：连接 ，
点 为弧 的中点，
，
， ，
，
，，
故答案为：3．
8．（江岸区校级模拟）如图，已知四边形 外接圆 的半径为5，对角线 与
交于点 ， ， ，且 ，则四边形 的面积为 1 0 ．
【解答】解： ， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
连接 ，交 于 ，连接 ，
，
，
，
，
， ．
，
是 的中点，， ，
，
，
故答案为10．
9．（浙江模拟）如图，已知半 的直径 为3，弦 与弦 交于点 ， ，
垂足为点 ， ，则弦 的长为 ．
【解答】解： ，
， ，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
则 ；
10．（荆州一模）点 、 为半径是3的圆周上两点，点 为弧 的中点，以线段 、为邻边作菱形 ，顶点 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
或 ．
【解答】解：过 作直径，连接 交 于 ，
点 为 的中点，
，
如图①，
点 恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
连接 ，
，
边 ；
如图②， ，
同理可得， ， ， ，
连接 ，
，
边 ，
故答案为 或 ．11．（新城区校级模拟）点 、 为半径是4的圆周上两点，点 为弧 的中点，以线
段 、 为邻边作菱形 ，顶点 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为
．
【解答】解：如图，连接 ，设 交 于 ， 交 于 ．
四边形 是菱形，
垂直平分线段 ，
是直径，
， ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为
知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相
等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，
那么BC的长是
【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD= OB=1，
∴BD= = = ，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为
【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，∴∠ADO= =65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（青山区模拟）已知 的半径为2， 为圆内一定点， ． 为圆上一动点，以
为边作等腰 ， ， ， 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，
．则 ， ，
， 都是顶角为 的等腰三角形，
，
，
，
，
， ，，
，
，
的最大值为 ，
故选： ．
2．（鹿城区模拟）如图， ， 是 的弦， ，点 在 内，点 为
上的动点，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点．若 的半径为 2，则
的长度的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 、 、 ，作 于 ．
，
， ，
， ，
，
，
， ，
，， ，
，
当 是直径时， 的值最大，最大值为2，
的最大值为 ．
故选： ．
二．解答题（共2小题）
3．（苍南县模拟）如图，在 中， ， 是边 上一点，以 为直径的
经过点 ，并交 于点 ，连结 ．
（1）判断 的形状并证明．
（2）连结 并延长交 于点 ，若 ，求 的长．
【解答】（1）证明： 是等腰直角三角形．
是 的直径
，
．
，
，
是等腰直角三角形．
（2）过点 作 于点 ，
则 是等腰直角三角形，且 ．
， ．
，
，
．
．，
．
4．（南开区一模）已知：如图1，在 中，直径 ， ，直线 ， 相交
于点 ．
（1） 的度数为 ；
（2）如图2， 与 交于点 ，请补全图形并求 的度数；
（3）如图3，弦 与弦 不相交，求 的度数．
【解答】解：（1）如图1，连结 ， ， ，
为等边三角形，
为直径，
的度数为 ；
（2）①如图2，直线 ， 交于点 ，连结 ， ， ．，
为等边三角形，
，
，
，
为直径，
，
，
（3）如图3，连结 ， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 的度数为50°，则∠B+∠D的度数为 ．【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，
∵ 为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F，若
∠E+∠F=70°，则∠A的度数是
【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D 四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，
AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为 cm2．
【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．
∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S =S +S = •AE•CD+ •CF•AB= ×4×5+ ×6×7=31（cm2）
阴 AEC AFC
【方法总△ 结】△
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（雁塔区校级模拟）如图，四边形 是 的内接四边形， ．若
， ，则下列等式成立的是
A． B． C． D．【解答】解：如图设 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
故选： ．
2．（岳麓区校级二模）如图，在圆 的内接四边形 中， ， ，
，点 为弧 的中点，则 的长是
A．4 B． C． D．
【解答】解： 、 、 、 四点共圆， ，，
， 平分 ，
，
如图1，
将 绕点 逆时针旋转 得 ，
则 ， ， ，
，
、 、 三点共线，
过 作 于 ，
，
，
在 中， ；
故选： ．
3．（碑林区校级三模）如图，四边形 内接于圆 ，连接 ， ，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，
， ，
，，
，
故选： ．
4．（德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故选： ．
5．（蓝田县一模）如图，点 、 、 、 在 上， ， ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，，
，
．
故选： ．
6．（江北区一模）如图，点 、 、 、 在 上， ，点 是弧 的
中点，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
点 是 的中点，
，
由圆周角定理得， ，
故选： ．
7．（周村区一模）如图，四边形 内接于 ， ， ， ，
弦 平分 ，则 的长是
A． B． C．12 D．13【解答】解：
过 作 于 ， 交 延长线于 ，则 ，
平分 ，
，
由勾股定理得： ， ，
，
、 、 、 四点共圆，
， ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
解得： ，
，
故选： ．
8．（行唐县模拟）如图，四边形 内接于 ， ，则 的度数A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
9．（雁塔区校级三模）如图，四边形 为 的内接四边形， ，垂足为点
，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 为 的内接四边形， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
综合运用：圆的有关性质1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求
球的半径。
【解析】解：如图，设 EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接
OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于
E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。
【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE= AC=4，
在Rt AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
△解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE= =2 ．
答：BE长为2 。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，
AB=3cm，求⊙O的半径。
【解析】解：如图，连接OB，
设⊙O的半径为r，则Rt AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由
勾股定理得：OB²=OA²+A△B²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，
F为CD的中点，求EF的最大值。【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：
由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO= BC=6、FC= CD= ，
∴OF= = = ，
E′F=OE′+OF=6+ =
则
EF的最大值为
答： 。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD
平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC= =6（cm），∵CD平分∠ACB，∴BD=AD= AB=5 （cm）；
答：AC长6cm；BD长5 cm。
（2）四边形ADBC的面积= ABC的面积+ ADB的面积
△ △
= ×6×8+ ×5 ×5 =49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于 中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是 的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
