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第 15 讲 与圆有关的位置关系及计算
知识点1 点和圆的位置关系
点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。
设点到圆心的距离为d，半径为r，
当d＜r时，点在圆内；
当d=r时，点在圆上；
当d＞r时，点在圆外。
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是
【答案】r＞5
【解析】解：∵点P的坐标为（3，4），
∴OP= =5，
∵点P（3，4）在⊙O内，
∴OP＜r，即r＞5．
2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半
圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最
长不超过
【答案】4m
【解析】解：连接OA，交⊙O于E点，
在Rt OAB中，OB=6m，BA=8m，
△所以OA= =10m；
又因为OE=OB=6m，
所以AE=OA﹣OE=4m．
因此拴羊的绳长最长不超过4m．
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段
CE的最小值为
【答案】2 ﹣2
【解析】解：如图，
∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，∴OC= = =2 ，
则CE′=OC﹣OE′=2 ﹣2
【方法总结】
在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素：
1、点与圆心的距离
2、圆的半径
然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。
【随堂练习】
1．（海曙区期末）已知四边形ABCD，用反证法证明“四边形ABCD中至少有一个角是直
角或钝角”时，应先假设（ ）
A．四个内角都是锐角
B．四个内角都是直角或钝角C．没有一个内角是钝角
D．没有一个内角是直角
【解答】解：用反证法证明“四边形ABCD中至少有一个角是直角或钝角”时第一步应
假设：四个内角都是锐角．
故选：A．
2．（萍乡期末）用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B是锐角”，应先假设（
）
A．在△ABC中，∠B一定是直角
B．在△ABC中，∠B是直角或钝角
C．在△ABC中，∠B是钝角
D．在△ABC中，∠B可能是锐角
【解答】解：用反证法证明命题：“△ABC中，若AB＝AC，则∠B是锐角”，
首先应假设∠B是直角或钝角，
故选：B．
3．（新田县一模）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线垂直且相等
B．到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
C．点到直线的距离就是点到直线的垂线段
D．过三点确定一个圆
【解答】解：A、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
B、到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，正确；
C、点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，故错误；
D、过不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，
故选：B．
4．（涡阳县二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．35° B．45° C．65° D．55°
【解答】解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∴∠C＝ ∠AOB＝55°．
故选：D．
5．（海口一模）如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【解答】解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝64°，
∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°．
故选：A．
6．（济宁二模）已知△ABC的三边a，b，c，满足a2+b2+|c﹣6|+50＝10a+10b，则△ABC
的外接圆半径为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：∵a2+b2+|c﹣6|+50＝10a+10b，
∴a2﹣10a+25+b2﹣10b+25+|c﹣6|＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣5）2+|c﹣6）＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣5＝0，c﹣6＝0，
∴a＝b＝5，c＝6，
∴AC＝BC＝5，AB＝6，
作CD⊥AB于点D，
则AD＝3，∴CD＝ ＝4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC＝r，OD＝4﹣r，OA＝r，
∴32+（4﹣r）2＝r2
解得，r＝ ，
故选：B．
7．（社旗县一模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，
大于 BC的长为半径作弧，两弧相交 M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结
CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为
△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A选项正确；
又∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD＝70°，故B选项正确，D选项错误；
∵AD＝CD，BD＝CD，
∴AD＝BD，即D是AB的中点，故C选项正确；
故选：B．8．（江北区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝2，则⊙O的直径
长为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝2．
∴圆的直径为4．
故选：C．
9．（杭州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α度，则∠OBC的度数为（ ）
A．α B．90﹣α C．90+α D．90+2α
【解答】解：如图，连接OC∵∠A＝α度，∠BOC＝2∠A
∴∠BOC＝2α度
∵OB＝OC
∴∠OBC＝ ＝（90﹣α）度
故选：B．
10．（宜兴市期末）已知⊙O的半径为3，OA＝4，点P是线段OA的中点，则点P与⊙O
的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．以上都有可能
【解答】解：因为OA＝4，P是线段OA的中点，所以OP＝2，小于圆的半径，
因此点P在⊙O内．
故选：A．
11．（金山区一模）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为
3，那么下列说法正确的是（ △ ）
A．点B、点C都在⊙A内 B．点C在⊙A内，点B在⊙A外
C．点B在⊙A内，点C在⊙A外 D．点B、点C都在⊙A外
【解答】解：∵在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，
∴∠A＝30°， △
∴AB＝2BC＝4，AC＝ BC＝2 ，
∵⊙A的半径为3，4＞3，2 ＞3，
∴点B、点C都在⊙A外．
故选：D．
12．（瑞安市期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
13．（卢龙县期末）⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（
）
A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4
【解答】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选：D．
知识点2 直线和圆位置关系
直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公
共点叫做切点．
(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
【典例】
1.已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为
【答案】相离、相切、相交均有可能
【解析】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5，
则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4，
所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交．
2.已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果
半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是
【答案】0＜x≤
【解析】解：
当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，
∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1，
∴AD=OD=1，由勾股定理得：AO= ，即此时x= ，
所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x
3.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任
意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是
【答案】6
【解析】解：连接AC，DE，如图，
∵∠AOC=90°，∴AC为⊙D的直径，
∴点D在AC上，
∵AO=BO=CO=1，
∴A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC= ，D（ ， ），
设E（m，n），
∵EB2+EC2=（m﹣1）2+n2+（m+1）2+n2
=2（m2+n2）+2，
而m2+n2表示E点到原点的距离，
∴当OE为直径时，E点到原点的距离最大，
∵OD为平分∠AOC，
∴m=n，
∵DE= AC= ，
∴（m﹣ ）2+（n﹣ ）2=（ ）2，
即m2+n2=m+n
∴m=n=1，
∴此时EB2+EC2=2（m2+n2）+2=2（1+1）+2=6，即CE2+BE2的最大值是6．
【方法总结】
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转
化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与
圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，
（1）d＜r 直线l与⊙O相交；
（2）d=r 直线l与⊙O相切；
（3）d＞r 直线l与⊙O相离.
【随堂练习】
1．（日照一模）如图，已知直线 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以
为圆心，1为半径的圆上一动点，连结 、 ，则 面积的最小值是
A．6 B．5.5 C．5 D．4.5
【解答】解：过 作 于 ，连接 ， 的延长线交 于 ，则由三角形面积公式得， ，
，
，
圆 上点到直线 的最小距离是 ，
面积的最小值是 ，
故选： ．
2．（松江区二模）在直角坐标平面内，已知点 ，以 为圆心， 为半径的圆与
轴相交，与 轴相离，那么 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 点 的坐标是 ，
点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是4，
点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 轴相交，与 轴相离，
的取值范围是 ，
故选： ．
3．（资中县一模）已知 的半径为4，直线 上有一点与 的圆心的距离为4，则直线
与 的位置关系为
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相交均有可能
【解答】解： 若直线 与 只有一个交点，即为点 ，则直线 与 的位置关系为：
相切；
若直线 与 有两个交点，其中一个为点 ，则直线 与 的位置关系为：相交；
直线 与 的位置关系为：相交或相切．故选： ．
4．（江阴市期末） 的直径为4，圆心 到直线 上的距离为3，则直线 与
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【解答】解： 的直径是4，
的半径 ，
圆心 到直线 的距离为3， ，
直线 与 相离．
故选： ．
5．（武昌区模拟） 中， ， ， ，以点 为
圆心 为半径的圆与直线 的位置关系是
A ． 相交 B ． 相切 C ． 相离 D ． 无法确定
【解答】解： 过 点作 ，垂足为 ，
， ， ，
由勾股定理， 得 ，
根据三角形计算面积的方法可知， ，
，
与直线 相交 ．
故选： ．
6．（江岸区校级模拟）如图，在 中， ， ， ，若以点
为圆心，以 为半径作 ，则 与 的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【解答】解：
过 作 于 ，则 ，
中， ， ， ，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
以点 为圆心，以 为半径作 ，
此时 与 的位置关系是相交，
故选： ．
7．（武昌区模拟） 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径
作 ，则正确的是
A．当 时，直线 与 相交 B．当 时，直线 与 相离
C．当 时，直线 与 相切 D．当 时，直线 与 相切
【解答】
解：过 作 于 ，
在 中，由勾股定理得： ，
由三角形面积公式得： ，
，即 到 的距离等于 的半径长，
和 的位置关系是相切，
故选： ．
8．（东兰县三模）如图，已知 圆心是数轴原点，半径为1， ，点 在数
轴上运动，若过点 且与 平行的直线与 有公共点，设 ，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
【解答】解： 半径为1的圆， ，过点 且与 平行的直线与 有公共点，
当 与圆相切时，切点为 ，
，
， ， ，
过点 且与 平行的直线与 有公共点，即 ，
同理点 在点 左侧时，
．
故选： ．
知识点3 切线的性质及判定定理
1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共
点叫做切点。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径
垂直，缺一不可。
4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
5.切线长定理推论：
1、圆的外切四边形的两组对边的和相等；
如图，ABCD为圆O的外切四边形，∵AL=AP，BL=BM，CM=CN，DN=DP，故：
AB+CD=AD+BC，即有以上结论。
2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【典例】
1.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，要使
射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转
【答案】50°或110°
【解析】解：如图；①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°；
Rt OPB中，OB=2OP，
∴△∠A′BO=30°；
∴∠ABA′=50°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；
同①，可求得∠A′BO=30°；
此时∠ABA′=80°+30°=110°；
故旋转角α的度数为50°或110°，
2.如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O 为正方形ABCD的中心，
1 2
OO⊥CD于点P，OO=5．现将⊙O 绕点P按顺时针方向旋转180°，则在旋转过程中，
1 2 1 2 1
⊙O 与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 次？
1
【解析】解：∵⊙O 的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O 为正方形ABCD的中心，
1 2
OO 垂直CD于P点，
1 2
圆O 与以P为圆心，以2为半径的圆相外切，
1
∴根据图形得出有3次．
3.如图，⊙O 的半径 OC=5cm，直线 l⊥OC，垂足为 H，且 l 交⊙O 于 A、B 两点，
AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 .【答案】2cm或8cm
【解析】解：如图，连接OB，
∵AB⊥OC，∴AH=BH，
∴BH= AB= ×8=4，
在Rt BOH中，OB=OC=5，
△
∴OH= =3，
又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离=5﹣3=2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离=5+3=8（cm）．
综上：平移的距离是2cm或8cm。
【方法总结】
1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。
2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，
来构造一个直角三角形。
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、
M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。【解析】证：AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM=OB，∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；
5.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，
交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM,判断CM与⊙O的位置关系，
并说明理由.
【解析】解：CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，
∵OB=OC，∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；
6.如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA=∠AED．
【解析】证明：（1）CD是⊙O的切线，
如图，连接OD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA=90°，∴∠ODA+∠CDA=90°，
∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠B=∠AED，
∴∠AED+∠BAD=90°，
∵∠CDA+∠CAD=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CDA=∠AED．
【方法总结】
在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：
1、知半径，证垂直
2、知垂直，证半径
解决切线相关问题的技巧
①注意利用切线长定理进行线段转换。
②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。
③见切线连半径是处理切线问题的“通法”。
【随堂练习】
1．（雁塔区校级模拟）已知等边 内接于 ， 为弧 的中点，连接 、 ，
过 作 的平行线，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 长为6，求 长．
【解答】（1）证明：连接 ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
与 相切；
（2） 四边形 是圆的内接四边形，，
，
为弧 的中点，
，
，
，
．
2．（长春模拟）如图，在半圆中，点 是圆心， 是直径，点 是 的中点，过点
作 的垂线，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是半圆的切线．
（2）若 ， ，则 的长为 ．
【解答】证明：（1）如图，连接 ，
点 是 中点
，
，且
，且 是半径，
是半圆 的切线．
（2） ，且 ，的长
故答案为：
3．（金水区校级模拟）如图所示， 内接于 ， 是直径， 在 上，且
平分 ， ，交 于 ， 在 的延长线上，且 ．连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 交 于 ，若 ， ，求 的长．
【解答】证明：（1） 平分
，
，且
是直角三角形
是 的切线
（2）连接 ，
是直径
， ，，
在 中，
， ，
4．（兰州模拟）如图， 是 的直径， 平分 ，交 于点 ，过点 分别
作 ， ，垂足分别为 ， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
【解答】证明：（1） 是 的直径， 在 上，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
是 的切线；
知识点4 弧长和扇形面积
1．相关名词
弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是
扇形）。
圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成
的几何体叫做圆锥。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线
÷2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，
侧面展开图是扇形。
2.圆中有关计算：
（1）圆的面积公式： ，周长C＝2πR．
（2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ．
（3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l， S
（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面
积为2πRl，全面积为 ．
（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl
，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ．
【典例】
1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为【答案】 （m2）
【解析】解：如图，连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2）
【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为
半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是
【答案】50π﹣50
【解析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和
即为餐盘面积．
解：该餐盘的面积为3（ ﹣ ×102）+ ×102=50π﹣50
2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，
圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是【答案】（30π+5 π）m2
【解析】解：设底面圆的半径为R，
则πR2=25π，解得R=5，
圆锥的母线长= = ，
所以圆锥的侧面积= •2π•5• =5 π；
圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，
所以需要毛毡的面积=（30π+5 π）m2
【方法总结】
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
需根据不同的情况作出不同的处理：
①当弓形所含弧为劣弧时，S =S -S
弓 扇
△
②当弓形所含弧为优弧时，S =S +S
弓 扇
△
③当弓形所含弧为半圆时，S = S
弓 圆
【随堂练习】
1．（莱芜区）如图，点 、 ， ， 在 上， ， ， ，若
的半径为2．则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接 、 、 ，
， ，
，
，
，
，
，
则 ，
又 ，
是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是
，
故选： ．
2．（沙坪坝区校级月考）如图，每个圆的半径都是 ，则图中的三个扇形（即阴影部
分）的面积之和为A． B． C． D．
【解答】解： ，
阴影部分的面积 ．
故选： ．
3．（鞍山二模）如果圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，那么这个圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
【解答】解：圆锥的侧面积 ．
故选： ．
4．（覃塘区三模）如图，在 的内接四边形 中， ， 的半径为4，则
弧 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 、 ，
四边形 是 的内接四边形，
，
由圆周角定理得， ，
弧 的长 ，
故选： ．5．（铅山县二模）如图，菱形 中， ， ，以 为直径的 交
于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，如图所示：
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
的长 ；
故选： ．
6．（云南模拟）如图，边长为1的正方形 的顶点 在 上，顶点 、 在
内， 的延长线交 于点 ，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
四边形 是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积 ，
故选： ．
7．（山西）如图，在 中， ， ， ，以 的中点 为
圆心， 的长为半径作半圆交 于点 ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ， ，
，
，
，，
，
阴影部分的面积是： ，
故选： ．
8．（丰润区二模）如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕 点逆时针旋转 ，
点 ， 的对应点分别为点 ， ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
由题意得， ， ，
为等边三角形，
，
阴影部分的面积
，
故选： ．
9．（南充模拟）如图，矩形 中， ， ，以 为圆心， 为半径画弧，
交 于 ，则图中阴影部分的周长是A． B． C．2十 D．
【解答】解： 矩形 中， ， ，
， ，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，
，
的长度 ，
图中阴影部分的周长 ，
故选： ．
10．（凉山州）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转
后得到 ，则 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
A． B． C． D．
【解答】解： ，阴影部分的面积 扇形 的面积 扇形 的面积 ，
故选： ．
11．（广安）如图，在 中， ， ， ，以 为直径的半
圆 交斜边 于点 ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ，
，
，
， 为半圆 的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积 ，
故选： ．
综合运用：与圆有关的位置关系及计算
1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外
的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
【解析】解：点导火索的人非常安全．理由如下：
导火索燃烧的时间为 =20（s），此时人跑的路程为20×6.5=130（m），
因为130＞120，所以点导火索的人非常安全；
答：点导火索的人非常安全．
2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为 ．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧 的长．
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．
【解析】解：（1）如图，D点坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）AD= =2 ；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD=∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度，
∴ 的长为 = π；
（3）点E到圆心D的距离为4 ，
∴点E在⊙D内部．
3.如图，△ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，∠ACB=120°，在 AB 上取一点 O，使
OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．【解析】解：（1）AC与⊙O相切，
理由：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠ABC=∠A=30°．
∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，
∴∠OCA=120°﹣30°=90°，
∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）如图，在Rt AOC中，
△
∠A=30°，AC=6，则：AO=2CO，由勾股定理，解得：CO=2 ，
∴弧BC的弧长为： = ，
设底面圆半径为：r，
则2πr= ，
解得：r= ．
4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC
交于点P．
（1）求证：四边形ABCF是菱形；
（2）求证：AC2+BF2=4AB2；
（3）若AB=2，求△CDF的周长．【解析】解：（1）证明：正五边形的内角的度数为： =108°，
∵DE=DC，∴∠DEC=36°，∴∠AEC=72°，
∴∠BAE+∠AEC=180°，∴AB∥CF，同理，BC∥AF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵BA=BC，∴四边形ABCF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，
由勾股定理得PB2+PC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2PC）2+（2PB）2=4PC2+4PB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4AB2；
（3）解：∵四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
∵在正五边形ABCDE中，
∴CD2=DF•DA，即AD•（AD﹣2）=4，
整理得，AD2﹣2AD﹣4=0，
解得，AD= +1，
∴△CDF的周长等于 +3．
5.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延
长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠DAC，
∴ = ，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E=60°，
∴∠M=60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM=10，
∴BM=5，则AB= =5 ．
