文档文本内容
七年级-秋季-北师版-提高班
第01讲 图形的展开与折叠...............................................................................................................................................................................................................4
知识点1：几何体的展开图.........................................................................................................................................................................................................4
知识点2 展开图折叠成几何体................................................................................................................................................................................................7
知识点3：正方体的相对两个面................................................................................................................................................................................................9
第02讲 有理数的概念.....................................................................................................................................................................................................................15
知识点1 正数、负数和0..........................................................................................................................................................................................................15
知识点2 有理数的分类.............................................................................................................................................................................................................16
知识点3 数轴................................................................................................................................................................................................................................17
知识点4 相反数...........................................................................................................................................................................................................................19
知识点5 绝对值...........................................................................................................................................................................................................................20
第03讲 绝对值...................................................................................................................................................................................................................................24
知识点1 绝对值的非负性.........................................................................................................................................................................................................24
知识点2比较大小........................................................................................................................................................................................................................25
知识点3数轴与绝对值...............................................................................................................................................................................................................26
知识点4 绝对值的几何意义....................................................................................................................................................................................................27
第04讲 有理数的加减乘除乘方运算.........................................................................................................................................................................................31
知识点1 加减运算.......................................................................................................................................................................................................................31
知识点2 乘除运算.......................................................................................................................................................................................................................33
知识点3 乘方................................................................................................................................................................................................................................36
第05讲 有理数的混合运算............................................................................................................................................................................................................40
知识点1 常规计算.......................................................................................................................................................................................................................40
知识点2 运算律、规律计算....................................................................................................................................................................................................41
知识点3 求代数式的值.............................................................................................................................................................................................................43
知识点4 实际应用.......................................................................................................................................................................................................................44
知识点5 流程图计算..................................................................................................................................................................................................................47
知识点6 新定义...........................................................................................................................................................................................................................48
第06讲 整式的概念..........................................................................................................................................................................................................................53
知识点1：字母表示数................................................................................................................................................................................................................53
知识点2 整式................................................................................................................................................................................................................................54
知识点3：同类项.........................................................................................................................................................................................................................56
第07讲 整式的加减..........................................................................................................................................................................................................................60
知识点1 合并同类项................................................................................................................................................................................................................60
知识点2 去括号与添括号......................................................................................................................................................................................................61
知识点3：整式的加减................................................................................................................................................................................................................62知识点4：化简求值....................................................................................................................................................................................................................65
第08讲 规律探究..............................................................................................................................................................................................................................68
知识点1：规律探究之数字变化.............................................................................................................................................................................................68
知识点2：规律探究之图形变化.............................................................................................................................................................................................71
第09讲 与线段有关的计算............................................................................................................................................................................................................76
知识点1：直线、射线和线段的概念....................................................................................................................................................................................76
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线.................................................................................................................................................................78
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短.................................................................................................................................................................79
知识点4：两点之间的距离......................................................................................................................................................................................................81
第10讲 与角度有关的计算..........................................................................................................................................................................................................85
知识点1：角的概念以及度分秒的换算...............................................................................................................................................................................85
知识点2：角平分线的定义......................................................................................................................................................................................................86
知识点3：余角和补角................................................................................................................................................................................................................88
知识点4：对顶角和邻补角......................................................................................................................................................................................................90
第11讲 解一元一次方程................................................................................................................................................................................................................96
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项..................................................................................................................................................................96
知识点2 解一元一次方程-去括号.........................................................................................................................................................................................97
知识点3 解一元一次方程-去分母.......................................................................................................................................................................................98
知识点4 一元一次方程的解....................................................................................................................................................................................................99
知识点5 同解方程....................................................................................................................................................................................................................100
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程..........................................................................................................................................................................101
第12讲 一元一次方程的应用一..................................................................................................................................................................................................104
知识点1 一元一次方程的实际问题-日历问题.............................................................................................................................................................104
知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题...............................................................................................................................................................106
知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题...............................................................................................................................................................107
第13讲 一元一次方程的应用二..................................................................................................................................................................................................112
知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题...............................................................................................................................................................112
知识点2 一元一次方程的实际问题-利润问题.............................................................................................................................................................113
知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题...............................................................................................................................................................115
第14讲 数据的收集、整理和描述...........................................................................................................................................................................................119
知识点1：普查和抽样调查....................................................................................................................................................................................................119
知识点2：统计图的选用........................................................................................................................................................................................................122
知识点3：频数和频率.............................................................................................................................................................................................................125
知识点4：频数分布表和频数分布直方图........................................................................................................................................................................126
第15讲 幂的运算...........................................................................................................................................................................................................................135
知识点1 同底数幂的乘法......................................................................................................................................................................................................135知识点2 幂的乘方....................................................................................................................................................................................................................137
知识点3 积的乘方....................................................................................................................................................................................................................138
知识点4 同底数幂的除法......................................................................................................................................................................................................140第 01 讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是
A． B．C． D．
2．在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是
A． B．
C． D．
3．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是
A． B．
C． D．
4．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是A． B． C． D．
5．下列几何体中，侧面展开图是矩形的是
A． B．
C． D．
6．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
7．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出
， 宽 留 出 ， 则 该 六 棱 柱 的 侧 面 积 是A． B． C． D．
8．如图，一个正六棱柱的表面展开后正好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出
，宽留出 ，则该六棱柱的侧面积是
A． B． C． D．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是A． B．
C． D．
2．“流浪地球”是年春节档冲出的一匹黑马，备受关注．将图中的图形剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折
成一个正方体，则剪去哪个小正方形不能构成正方体
A．带 B．着 C．地 D．流
3．以下各图均由彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是
A． B．
C． D．
4．将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形是
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥5．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是
A． B．
C． D．
6．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是
A． B．
C． D．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方
形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。【随堂练习】
1．如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是
A．共 B．山 C．绿 D．建
2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是
A．美 B．丽 C．红 D．河
3．如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法
A．5 B．4 C．3 D．6
4．下列正方体展开图中，与“治”字相对面的字为
A．乱 B．扫 C．黑 D．除
5．如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是A．黑 B．除 C．恶 D．☆
6．一个正方体的六个面上分别标有 ， ， ， ， ， 中的一个数，各个面上所标数字都不相同，如
图是这个正方体的三种放置方法，则数字 对面的数字是
A． B． C． D．
7．“教不严师之惰”这六个字分别写在某个正方体纸盒的六个面上，小王将这个正方体展开成如图所示的平面图，
那么在原正方体中，和“教”相对的字是
A．严 B．师 C．之 D．惰
8．如图是一个正方体纸盒的展开图每个面上都标注了字母或数字，在正方体展开前标注 的面的对面上所标注的
数字是
A．3 B．4 C．5 D．6
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的
体积是________cm3．2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的
点数是5，则滚动第次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另 5个正方形能拼成一个正方体的表面
展开图．．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是
一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条
粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．第 02 讲 有理数的概念
知识点1 正数、负数和0
像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数.
0既不是正数，也不是负数.
用正负数可以表示具有相反意义的量.
【典例】
3 1
1.下列各数3，﹣5，0，− ，+1 ，﹣0.03，6.75中，正数有（ ）
4 3
【方法总结】
1
本题主要考查正、负数的概念．根据正、负数的概念可知其中正数有3，+1 ，6.75．掌握正、负数的定义是解题的关键． 注意：0
3
既不是正数，也不是负数.
2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45+0.03
．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的
−0.04
直径大0.03mm，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的
是（ ）
A. 45.02 B. 45.01 C.44.98 D. 44.93所有
【方法总结】
正负数可以表示具有相反意义的量.根据题意可得出合格的轴的直径范围，从而可判断出所给选项中的直径是否为合格品的直径．本
题考查正数和负数的知识，注意先求出合格品的直径的范围是关键．【随堂练习】
1．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如下
表；
与标准质量的 ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
差值/克
袋数 1 4 3 4 5 3
这批样品的质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少？
知识点2 有理数的分类
有理数的分类：
（1）
（2）
非负数是指正数和零的总称，即正数和零.
非正数是指负数和零的总称，即负数和零.
非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0.
非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0.
【典例】
1.把下列各数填在相应的横线上：
1
+5，﹣ ，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100
2
分数：________________________________________；
非负整数：____________________________________.
【方法总结】
考查了有理数，要求熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别.0是整
数，但不是正数．
【随堂练习】1．在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“+”或“﹣”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是_____．
2．把下列各数填在相应的大括号内：
，﹣3.1416，0，，﹣ ，﹣0.23456，10%，10.1，0.67，﹣89
正数集合：{ …}
_______________
整数集合：{_______________…}
分数集合：{ …}．
__________________
知识点3 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数.
数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
【典例】
1.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（ ）
A. 在点A，B之间 B. 在点B，C之间
C. 在点C，D之间 D. 在点D，E之间
【方法总结】
此题主要考查了数轴的特征和应用，利用数形结合的思想，根据图示，求得 AF间的距离，然后由已知条件AB=BC=CD=DE=EF确定
每一个小格的长度，再由正数都大于0，负数都小于0来确定条数轴的原点的大致位置．
【随堂练习】
1．如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3，则数轴上表示数﹣x+2的点应落在 ．
2．如图，数轴上，点A表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A，第2次从点A 向右移动6个单
1 1
位长度至点A，第3次从点A 向左移动9个单位长度至点A，…，按照这种移动方式进行下去，点A表示的数是 ．
2 2 3二．解答题（共2小题）
3．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．
（Ⅰ）求点A，点B对应的数；
（Ⅱ）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左移动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左移动，在点C处追上了点A，求点
C对应的数．
（Ⅲ）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位
长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中，线段 的值是否变化？若不变，请说明理由并求其值；若变
化，请说明理由．
4．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞6且x＜14，单位：
km）：
第一次 第二次 第三次 第四次
x x﹣5 2（6﹣x）
（1）写出这辆出租车每次行驶的方向；
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置（结果可用x表示）；
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程（结果用x表示）？
知识点4 相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
0的相反数是0.
互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
【典例】
1.对于﹣a表示的数理解不正确的是（ ）
A. 一定是负数 B. 可以表示a的相反数
C. 有可能是正数 D. 有可能是0
【方法总结】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0
的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.如图，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则a，﹣a，b，﹣b，1比较大小正确的是（ ）
A. a＜﹣a＜b＜﹣b＜1 B. a＜﹣b＜b＜1＜﹣aC. a＜b＜﹣a＜﹣b＜1 D. a＜﹣b＜1＜b＜﹣a
【方法总结】
本题考查的是互为相反数的两数的几何意义和利用数轴比较有理数的大小.正确运用数形结合思想，在数轴上确定a，b及他们的相反
数的位置，根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，从而得到答案．
【随堂练习】
1．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
A． B．﹣5 C．﹣ D．﹣1
2．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为____；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为____；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
3．已知m是8的相反数，n比m的相反数小2，求n比m大多少？
4．π的相反数是（ ）
A．π B．一π C． D．﹣
5． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
知识点5 绝对值
绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）|+5|；（3）|﹣（﹣3）|；
（4）﹣[﹣（+5）]．
【方法总结】
（1）先求绝对值，再求相反数；（2）直接求绝对值；（3）先求相反数，再求绝对值；（4）连续求两次相反数.
本题考查了绝对值和相反数的求法.求一个数的相反数是求一个数的绝对值的基础.
【随堂练习】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个有理数的绝对值不小于它自身
B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D．﹣a的绝对值等于a
二．填空题（共3小题）
2．若实数m，n，p满足m＜n＜p（mp＜0）且|p|＜|n|＜|m|，则|x﹣m|+|x+n|+|x+p|的最小值是 ．
综合运用
3
1.− 的相反数是__________,绝对值是____________.
2
2.每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是______ kg．
3.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是_____________________________________.
4.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期________水位最低.5._____的绝对值是它本身，绝对值最小的数是___，最小的正整数是___，最大的负整数是____，最小的自然数是___．
6.把下列各数分别填人对应的集合里．
3 22
﹣5，|﹣ |，0，﹣3.14， ，﹣12，+1.99，﹣（﹣6）
4 7
（1）正整数数集合：{_______…}
（2）负分数集合：{_______…}
（3）非正整数集合：{__________…}
（4）分数集合：{________________…}．
7.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）﹣（﹣3.4）；
（3）+|﹣4|；
（4）|﹣（﹣3）|．
8.（1）画一条数轴，在数轴上表示下列数：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）求出（1）中各数的相反数；
（3）求出（1）中各数的绝对值．
9.邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？第 03 讲 绝对值
知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：
互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键.
2.已知|x-|+|y﹣|=0，则x+y=____
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+=0，y﹣=0，
计算出x、y的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（1）已知|x﹣5|=3，求x的值；
（2）已知n=4，且|x﹣5|+|y﹣2n|=0，求x﹣y+8的值．2．已知|a+1|与|b﹣2|互为相反数，求a﹣b的值．
3．已知|x﹣4|+|y+2|=0，求y﹣x的值．
知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是
解本题的关键．
【随堂练习】
1．a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则这三个数中绝对值最大的是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
2．如图，下列关于数m、n的说法正确的是（ ）A．m＞n B．m=n C．m＞﹣n D．m=﹣n
3．比较大小：﹣（﹣0.3）____|﹣ |（填＜、＞、=）．
知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.
【随堂练习】
1．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．
求|a+b|+ +|a+1|的值．
2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c_____0，
a+b_____0，c﹣a______0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据
线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优
点．
2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你
借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|
x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点
之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.【随堂练习】
1．同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为 5与﹣2两数在数轴上所
对的两点之间的距离，试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|=____．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7成立的整数是_____
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果
没有，说明理由．
2．已知A、B在数轴上分别表示a、b．
（1）对照数轴填写下表：
a 6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5
b 4 0 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5
A、B两点的距 2 0
离
（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；
（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____，此时代数
式|x+1|+|x﹣2|的最小值是_____．
3．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为 4与﹣2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|=____；
（2）若|x﹣2|=5，则x=_____；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．
综合集训
2
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣ |中，负数有_______________.
3
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
1 2 1 1
3.在数﹣5，﹣ ，− ，− 中，大于﹣ 的数有___________.
3 5 6 54.填空：
3
（1）﹣ 的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
4
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．
6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；
（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．第 04 讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
1 2
（2）（﹣1 ）+（- ）；
6 3
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
7 1 1 17
（2）(−4 )−(−5 )+(−4 )−(+3 )；
8 2 4 8
5 2 3 1
（3）−2009 −(+2008 )−(−4018 )+(−1 )；
6 3 4 2
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…++（﹣）++（﹣）.
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所
有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的
要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为 ．
2．若|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，那么a﹣b＝ ．
3．我们知道，在三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在如图的三阶幻方中已经填入了两个数 9和15，
则图中最右上角的数n应该是 ．
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝ ．
二．解答题（共1小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于
1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3， ＝﹣1， ＝﹣ ，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣ ．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同 相乘，都得 ．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为 ，那么积等于 ．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是 的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
1 4
（3）11÷ ×(− )；
7 11
4 2 3
（4）(−1.5)× ÷(− )× ．
5 5 4【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
3 4 7 5
（1） ×（﹣ ）× × ；
7 5 12 8
23 1
（2）29 ÷（﹣ ）；
24 12
11 11 11
（3）﹣5×（﹣ ）+13×（﹣ ）﹣3×（﹣ ）.
5 5 5
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
二．填空题（共2小题）
2．已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：
（1）当a＞0时， ＝ ；当ab＜0时， ＝ ．
（2）若a+b+c＝0．那么 + + + 的值为 ．
3．若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a•b＝ ．
三．解答题（共1小题）
4．阅读材料题：
求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法
﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，
当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：91﹣56＝35
56﹣35＝21
35﹣21＝14
21﹣14＝7
14﹣7＝7
所以，91与56的最大公约数是7
请用以上方法解决下列问题：
（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．
知识点3 乘方
乘方的概念：求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地， 个相同的因数 相乘，即 ，记作 an，读作“ 的 次方”；
（2）在an中， 叫做底数， 叫做指数；
（3）当an看作 的 次方的结果时，读作 的 次幂．
注意： ，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如， 就是 ，指数 通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于 的数表示成 的形式（其中 ， 是正整数）．
用科学记数法表示一个 位整数，其中 的指数是 ， 的指数比整数的位数少 ．万 ，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折 15次后，
所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第 8次的厚度．一张纸的厚度为
0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折
n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某
个数字的乘积．
2 2
2.若| x−2| +(y− ) =0，则yx=__________．
3
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值
代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，
n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．已知2n+218+1是一个有理数的平方，则n不能为（ ）
A．﹣20 B．10 C．34 D．36
2．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．计算24+24+24+24的结果等于（ ）
A．26 B．84 C．216 D．28
4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣ 的值为（ ）A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
1 1
2.2.5+（﹣2 ）﹣1.75+（﹣ ）=____．
4 2
3.某外贸企业为参加年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后
剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到 1条折痕（图中虚线），第二次对折
后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
1 1
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6 |﹣（﹣7 ）﹣（﹣4.75）．
4 2
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
18
（2）9 ×15；
19
1
（3）﹣100× ﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
8
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.第 05 讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
1、 先乘方，再乘除，最后加减；
2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1
1.计算：（1）（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]；
4
1
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）× ；
3
1 3
（3）− ×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）× +1|.
8 4
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题
的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．计算：
（1）|﹣12|﹣（﹣6）+5﹣10
（2）﹣12×5+（﹣2）3÷4．2．计算
（1）﹣13﹣5+8
（2）（﹣6）÷2×（﹣ ）
（3）（ ）×45
（4）（﹣1）﹣（1﹣ ）÷3×|3﹣（﹣3）2|
3．计算：
（1）﹣1+18÷（﹣3）×|﹣ |
（2）18× +22×（﹣ ）﹣4×（﹣ ）
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的
分配律.
【典例】
1.计算：
2 3 1
（1）﹣14﹣（ ﹣ + ）×24；
3 4 6
7 7 7
（2） ×（﹣5）+（﹣ ）×9﹣ ×8；
22 22 22
1 1 2 1 1
（3）|4﹣4 |+（− + − ）÷ −22 ﹣（+5）．
2 2 3 6 12
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练
掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…++.
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始
到的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．观察下列各式：
， ， ，…
（1）根据以上式子的特点完成下列各题：
① = ；② = （n是正整数）．
（2）计算：
（3）计算： ．
2．（1）填空：﹣ ×（1×2×3﹣0×1×2）=_____
﹣ ×（2×3×4﹣1×2×3）=___﹣ ×（3×4×5﹣2×3×4）=_____
（2）请按以上规律，写出一个新的算式并求出结果
（3）请从以下两个问题中任选一个解答，选择①解答正确的4分，选择②解答正确得2分
①﹣1×2+（﹣2）×3+（﹣3）×4+…+（﹣n）×（n+1）= ____ （用含有n的式子表示）
②﹣ ×（1×2×3﹣0×1×2）+（﹣ ）×（2×3×4﹣1×2×3）+…+（﹣ ）×（7×8×9﹣6×7×8）
=_____．
故答案为：（1）﹣2；﹣6；﹣12；（3）①﹣ n（n+1）（n+2）；②﹣168
3．探索规律，观察下面算式，解答问题：
第1个等式：1=12；
第2个等式：1+3=22；
第3个等式：1+3+5=32；
第4个等式：1+3+5+7=42；
……
（1）按以上规律列出第5个等式_______；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=_____；（n为正整数）；
（3）请用上述规律计算：61+63+65+…+197+199．
知识点3 求代数式的值重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m的
值．
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入
代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．已知：有理数m绝对值为2，a、b互为相反数，且都不为零，c、d互为倒数．
求：2a+2b+（ ﹣3cd）﹣m的值．
2．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于4，求：3cd﹣|a+b|﹣4x的值．
3．已知a+b=0，且a，b均不等于零，c，d互为倒数，且|x|=0.3，求： +c•d+x2的值．
4．a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，试求x3﹣（a+b+cd）x2+（a+b）x+（﹣cd）
的值．知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产
量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒
扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工
资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则
进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．10袋大米的称重记录如下表所示（单位：kg），求10袋大米的总质量．
每袋大米的质量 47 50 46 51
（kg）
袋数 3 2 1 4
小明的计算过程：10袋大米的总质量为47×3+50×2+46×1+51×4=…
（1）请你将小明的计算过程补充完整；（2）若每袋大米的标准质量是50kg，请运用正负数的相关知识求这10袋大米的总质量；
（3）结合（2）中的计算说明：与10袋标准质量的大米相比，这10袋大米总计超过多少千克或不
足多少千克？
2．某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量 ﹣3 4 ﹣1 2 ﹣5
（单位：
吨）
进出次数 2 1 3 3 2
（1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？请说明理由；
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨冷冻食品费用500元，运出每吨冷冻食品费用800元；
方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上
括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣3时，则输出的数值为____．
2．根据如图所示的程序计算，若输出的数为﹣2，则输入的数应为______．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的
四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈
（加乘）运算中是否适用，并举例验证．”
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣
12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或
任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．若“*”是一种新的运算符号，并且规定a*b= ．例如：3*5= ，求[2*（﹣2）]*（﹣3）
的值．
2．已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b=a2+ab﹣5，例如：1#2=12+1×2﹣
5=﹣2．
求：（1）（﹣3）#6的值；（2）[2#（﹣ ）]﹣[（﹣5）#9]的值．
3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2﹣2ab+a． 如：1☆3=1×32﹣
2×1×3+1=4．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若 ☆3=8，求a的值；
（3）若m=2☆x，n=（1﹣x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m____n（填“＞”、“＜”或
“=”）．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出
y=3，则输入的x的值为___________．a+b
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+ 值为_________.
m
1
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣ ）；
3
5 2 7 7
（2）（− + ）÷（﹣ ）× ；
6 3 12 2
1
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷ ×[2﹣（﹣3）2]；
7
1
(−2) 3−13÷[−(− ) 2 ]
2
（4） .
0.125×8+[1−32×(−2)]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
那么：
1
（1） =_________；
×
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律__________；
1 1 1 1
（3）计算： + + +…… ．
1×2 2×3 3×4 ×
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上
限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上
用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：根据以上材料解决问题：
若小明家在年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的
乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，
一般地， 把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③=_______，（﹣ ）⑤=_______；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣ ）⑩=_________________．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
1 1
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
3 3第 06 讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母
可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
4
1.年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（ a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商
5
店促销方法的是（ ）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【方法总结】
4
根据四则运算法则，代数式（ a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
5
【随堂练习】
1．代数式 的意义是（ ）
A．a除以b减1
B．b减1除a
C．b与1的差除以a
D．a除以b与1的差所得的商
2．请你用实例解释下列代数式的意义．（1）﹣4+3；
（2）3a；
（3）（ ）3．
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的
次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐
个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（ ）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
3
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
x
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
2 1
3.对于多项式2x2+ x3 +x− ，按x的升幂排列正确的是（ ）
5 3
1 2
A． − +x+2x2 + x3
3 5
2 1
B．
x+2x2
+
x3−
5 3
1 2
C． − + x3 +2x2 +x
3 52 1
D． x3 +2x2 +x−
5 3
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．下列说法错误的是（ ）
A．单项式 的系数是
B．单项式3a2b2的次数是4
C．多项式a3﹣1的常数项是1
D．多项式4x2﹣3是二次二项式
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣ 的系数是﹣2 B．x2+x﹣1的常数项为1
C．22ab3的次数是6次 D．2x﹣5x2+7是二次三项式
3．下列说法正确的是（ ）
A．单项式﹣ 的次数是8
B．最小的非负数是0
C．0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身
D．如果a＝b，那么 ＝
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣ 的系数是﹣2 B．ab3的次数是3次
C．2x2+x﹣1的常数项为1 D． 是多项式
5．在代数式x﹣y，3a，x2﹣y+ ， ，xyz，0，π， 中有（ ）A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式
6．下列说法中正确的是（ ）
A．xy﹣x+y﹣4的项是xy，x，y，4
B．单项式m的系数为0，次数为0
C．单项式2a2b的系数是2，次数是2
D．1是单项式
7．在代数式﹣15a3b， ，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a， ，0中，单项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点3：同类项
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
1. 已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．如果2xa+1y3与x5yb﹣1是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
2．下列各组中，同类项是（ ）
A．52与25 B．a2b与﹣b2a
C．0.2ab与﹣a2b D．a2b3与﹣a3b2
3．下列各组代数式中，不是同类项的是（ ）
A．12a3b与 B． m3n2与﹣ n3m2
C．2abx3与πabx3 D．6a2m与﹣9a2m4．如果单项式x2ym+2与是xny同类项，则m、n的值是（ ）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
5．若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（ ）
A．3，5 B．2，3 C．2，5 D．3，﹣2
6．下列各组整式中，不是同类项的是（ ）
A．﹣ab与ba B．52与25
C．0.2a2b与﹣ D．a2b与﹣a3b2
7．下列各组单项式中，是同类项的为（ ）
A．2ab3与2a3b B．2ab3与3b3a
C．6a2b与﹣9a2bc D．2a与2b
8．若单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）
米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
a 5
4.若− x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为 ，次数为3，求a、n的值．
2 41
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
a
1
6.已知多项式﹣ x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
5
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．
1
10.如果﹣a|m﹣3|b与
ab|4n|
是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
3
3m3−m2n+3mn2 +9n3
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求 的值．
5m3 +3m2n−6mn2 +9n3第 07 讲 整式的加减
知识点1 合并同类项
根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
【典例】
1.下列计算正确的是（ ）
A. 3a﹣2a=1 B. x2y﹣2xy2=﹣xy2 C. 3ax﹣2xa=ax D. 3a2+5a2=8a4
【方法总结】
1.合并同类项首先找到同类项，即满足两个“相同”的项，跟字母的先后顺序无关.
2.合并同类项只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【随堂练习】
1．若单项式am﹣1b与a2bn的和仍是单项式，则mn的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
2．若单项式am﹣1b2与 a2bn的和是单项式，则mn的值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
3．化简m3+m3的结果等于（ ）
A．m6 B．2m6 C．2m3 D．m9
4．已知单项式3xmy3与4x2yn的和是单项式，则|m﹣n|的值是（ ）
A．2 B．1 C．5 D．﹣1
5．若单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．8
6．若单项式am+4b2与 的和是单项式，则mn的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．47．下列计算的结果中正确的是（ ）
A．3x+y＝3xy B．5x2﹣2x2＝3
C．2y2+3y2＝5y4 D．2xy3﹣2y3x＝0
知识点2 去括号与添括号
1.去括号法则：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面各项的符号都不改变.
括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面各项的符号都要改变.
2.添括号法则：
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
【典例】
1.下列去括号错误的是（ ）
A. 3a2﹣（2a﹣b+5c）=3a2﹣2a+b﹣5c
B. 5x2+（﹣2x+y）﹣（3z﹣a）=5x2﹣2x+y﹣3z+a
C. 2m2﹣3（m﹣1）=2m2﹣3m﹣1
D. ﹣（2x﹣y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
【方法总结】
1.括号前面有系数的在去括号时可以先把数字乘到括号里面，再根据去括号法则进行运算.
2.两个层次的括号同时存在时，可以按照从里到外先去小括号，再去中括号；也可以将小括号看成一个整体先去中括号再去小括号.
【随堂练习】
1．去括号2﹣（x﹣y）＝（ ）
A．2﹣x﹣y B．2+x+y C．2﹣x+y D．2+x﹣y
2．下列各项去括号正确的是（ ）
A．﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m+3n﹣mn
B．﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2
C．ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣3
D．x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x﹣2y+4
3．若式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，mn（ ）
A． B． C． D．4．下列变形中，不正确的是（ ）
A．a﹣b﹣（ c﹣d ）＝a﹣b﹣c﹣d B．a﹣（b﹣c+d ）＝a﹣b+c﹣d
C．a+b﹣（﹣c﹣d ）＝a+b+c+d D．a+（b+c﹣d ）＝a+b+c﹣d
5．下列运算中“去括号”正确的是（ ）
A．a+（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．x2﹣（﹣x+y）＝x2+x+y
6．下列各式，去括号正确的是（ ）
A．x2﹣（2y﹣z）＝x2﹣2y﹣z B．a﹣[﹣（﹣b+c）]＝a﹣b+c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．a+（b﹣c﹣2d）＝a+b﹣c+2d
7．关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项，则k＝（ ）
A．4 B． C．3 D．
知识点3：整式的加减
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。然后去括号，再合并同类项.
【典例】
1.已知一个多项式加上x2﹣3得到﹣x2+x，那么这个多项式为（ ）
A. x+3 B. x﹣3 C. ﹣2x2+x﹣3 D. ﹣2x2+x+3
【方法总结】
多项式与多项式、单项式相加减运算中，可以先把所求的未知整式作为整体，用某个大写字母表示，根据已知条件列出等式，最后通
过对等式的变形、计算求出未知整式。
【典例】
1.一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为____
【方法总结】
解决整式加减的实际问题时，需要将整式运算与实际问题相结合，首先找出实际问题公式、等量关系，将给定的整式带入对应的位置，
求出未知的量即可。
2.若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|2b|=_____
【方法总结】整式的加减与绝对值相结合时，首先根据数轴上点的位置确定各字母的大小关系，再判断绝对值号里面整式的正负，并去绝对值号化
成一般整式.
【随堂练习】
1．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部
（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
2．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部
（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l，图③中两个阴影部分图形的周
1
长和为l，若 ，则m，n满足（ ）
2
A．m＝ n B．m＝ n C．m＝ n D．m＝ n
3．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S，空白部分的面积为S，若S
1 2 2
＝2S，则a，b满足（ ）
1
A．a＝ B．a＝2b C．a＝ b D．a＝3b4．如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二．解答题（共2小题）
5．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
6．材料题：
材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，
当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．
（1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除．
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数 的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数 对3同余，求这个四位k阶
数．
知识点4：化简求值
【典例】
1.已知a﹣b=3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）=_____
【方法总结】
对复杂多项式化简求值首先将多项式去括号、合并同类项进行化简、加减运算，找到化简结果与已知条件的关系，代入求值即可。
2.若|x+y+2|+（xy﹣1）2 =0，则（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）=_____
【方法总结】
绝对值与平方都具有非负性，几个非负数之和为0，则每个非负数都为0.
【随堂练习】
1．已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
二．填空题（共1小题）
2．已知（a+b）2＝7，|ab|＝3，则 （a2+b2）﹣ab＝ ﹣ ．三．解答题（共4小题）
3．化简与求值
（1）化简：2m2﹣2m﹣m2﹣3；
（2）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣3（ab2+1），其中a＝﹣2，b＝2
4．有这样一道题：“计算﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）+（2x3﹣3x2y﹣2xy2）的值，其中x＝ ，y＝﹣3”甲同学把“x＝ ”
错抄成“x＝﹣ ”，但他计算的结果也是正确的．你能说这是怎么回事吗？并求出正确的结果．
5．先化简，再求值：3x2y﹣2x3﹣2（x2y﹣x3），其中x＝﹣3，y＝2
6．先化简后求值：M＝（﹣2x2+x﹣4）﹣（﹣2x2﹣ ），其中x＝2．
综合运用
1.若x+y=，xy=，则整式（x+2y﹣3xy）﹣（﹣2x﹣y+xy）+2xy﹣1=________．
2.合并同类项
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2
2 1 3
（2） a2﹣ ab+ a2+ab﹣b2．
3 2 4
3.有人说代数式（a2﹣3﹣3a+a3）﹣（2a3+4a2+a﹣8）+（a3+3a2+4a﹣4）的值与a无关，你认为正确吗？请说明你得出的结论和理由．
4.已知：A=x2﹣2xy+y2，B=x2+2xy+y2
（1）求A+B；
（2）如果2A﹣3B+C=0，那么C的表达式是什么？
5.已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）
a﹣b_______0，b﹣c_______0，c﹣a_______0，b+c_______0
（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．6.一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x
﹣2，求正确答案．
7.已知代数式mx2﹣mx﹣2与3x2+mx+m的和是单项式，求代数式m2﹣2m+1的值．
8.先化简下式，再求值：
1 2 1
2x2﹣[3（﹣ x2+ xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x= ，y=﹣1．
3 3 2
1
9.先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣ （4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
2
10.一辆公交车上原来有（6a﹣6b）人，中途下去一半，又上来若干人，使车上共有乘客（10a﹣6b）人，问上车的乘客是多少人？当
a=3，b=2时，上车的乘客是多少人？第 08 讲 规律探究
知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时
针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那
么第个结点在（ ）
A. 线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循
环节；最后找到在循环节中的位置。
2 4 6 8
2.一组数 ， ， ， …按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____
3 5 7 9
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，
可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整
数）分别是______
【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数
平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．计算 + + + + +…+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，……
它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出9的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
3．将连续正奇数按如图所示规律排列，将（1，3，5，7）称为正方形1组，（9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31）
称为正方形2组，（33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71）称为正方形3组，
…则在正方形（ ）组．
41 43 45 47 49 51
39 13 15 17 19 53
37 11 1 3 21 55
35 9 7 5 23 57
33 31 29 27 25 59
71 69 67 65 63 61
A．16 B．17 C．23 D．254．计算 + + + +…+ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．按照一定规律排列的n个数： ，若最后两个数的乘积为 ，则n的值为（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18
6．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+7的结果的个位数
字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
7．一列数按某规律排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若第n个数为 ，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
8．已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝﹣1，﹣1的差倒数是 ＝ ．如果a＝﹣2，a
1 2
是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数……依此类推，那么a+a+…+a 的值是（ ）
1 3 2 4 3 1 2 100
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝
试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形
中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律，所以需要从横向切割，发现最上面的都是
两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。【随堂练习】
1．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
2．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每
张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如用9枚图钉将4张作品钉在墙上如图）．
若有28枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（ ）
A．16张 B．18张 C．20张 D．21张
3．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h；还原
1 1
纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D 的直线折叠，使点A落在DE边上的A 处，称为第2次操作，折痕DE 到BC的距离记为
1 2 1 1
h：按上述方法不断操作下去…，经过第次操作后得到的折痕DE，到BC的距离记为h：若h＝1，则h的值为（ ）
2 1
A． B． C． D．
4．如图，下列图形都是由大小和形状完全相同的菱形按照一定的规律排列组成的，其中第①个图形中一共有5个菱形第②个图形中
一共有8个菱形，第③个图形中一共有11个菱形，第④个图形中一共有14个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的
个数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．295．下列图形都是由同样大小的小黑点按照一定规律所组成的，图1中共有8个小黑点，图2中共有11个小黑点，…，按此规律，则
图7中小黑点的个数是（ ）
A．29 B．26 C．23 D．20
6．用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火柴棒的根数是（ ）
A．32 B．37 C．42 D．47
7．观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（ ）
A．第504个菱形的左边 B．第505个菱形的左边
C．第504个菱形的上边 D．第505个菱形的下边
8．下列图形都是由同样大小的〇按一定的规律组成，其中第l个图形有3个〇，第2个图形有10个〇，第3个图形有19个〇，算4
个图形有30个〇，……依照此规律，第6个图形中共有（ ）个〇．
A．43 B．55 C．58 D．65
9．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案．第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有9个菱形纸片，第3个图案有13个菱形
纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（ ）A．17 B．21 C．25 D．29
综合运用
1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋
子的个数是_________．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数为_________个．
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
2 4 8 16
4.下面是按一定规律排列的一列数： ，﹣ ， ，﹣ …那么第8个数是_________．
3 5 7 9
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，
“峰206”中C的位置的有理数是_________．1 3 7 13 21
7.一组按规律排列的数： ，− ， ，− ， ，…，请你推断第n个数是_________．
4 9 16 25 36
9 16 25 36
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出
5 12 21 32
第9个数据是_________．第 09 讲 与线段有关的计算
知识点1：直线、射线和线段的概念
1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可以用一个小写字母表示。
2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外一点来表示，也可以用一个小写字母表示；
可以向一方无限延伸。
3.线段有两个端点，不可延伸。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线段a。表示线段的字母也可以表示线段长度，
如AB=6。
【典例】
1.已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 点O不在直线AC上 B. 射线AB与射线BC指的是同一条射线
C. 图中共有5条线段 D. 直线AB与直线CA指的是同一条直线
【方法总结】
确定射线需要两个要素：（1）端点；（2）方向。
确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。
2. 由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火
车票有______种
【方法总结】
求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：
1.简单图形直接数线段的条数；
2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。由于每条线段都被重复计算一次，所以最终结果是其一半。
【随堂练习】
1．用一笔画出所给图形，不允许重复经过同一条线段，但可以多次经过同一交点，则不同的画法共有
A．8种 B．16种 C．24种 D．32种
2．已知三点 、 、 ，画直线 、画射线 、连结 ，按照上述语句画图正确的是
A． B．
C． D．
3．下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是
A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
4．如图，能用字母表示的以点 为端点的线段的条数为 ，能用字母表示的以点 为端点的射线的条数为 ，则
的值为 ．
5．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．
回答下列问题：
（1）如图1，直线 ， 和线段 将平面分成五个区域（不包含边界），当点 落在区域 时，线段
与 相交（直接填写区域序号）；（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图 2，如果沿着图中的格线连
接印有相同字母的元件，那么一共有 种连线方案．
6．如图，以图中的 、 、 、 为端点的线段共有 条．
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线
两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的人只需要看着自己前面的一个人，一个个的
排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就
可以确定命中了。
【典例】
1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是（ ）
A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线
C． 两点之间，直线最短 D． 过一点可以作无数条直线
【方法总结】
生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一条直线。
2. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．
【方法总结】
通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。当没有出现三点共线时，直线的数量直接带入公式
n(n−1)
（n≥2）即可；当出现三点或者更多点共线时，则需要单独讨论。
2
【随堂练习】
1．经过平面上的三点中的任两点可以画直线
A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．以上都不对
2．下列说法：①平方等于其本身的数有0， ；② 是4次单项式；③将方程 中的分母化为整数，得 ；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
4．下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有
A．（2） B．（3） C．（4） D．（4）
二．填空题（共1小题）
5．如图，将甲，乙两个尺子拼在一起，两端重合．若甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的；用数学知识
解释这种生活现象为 ．
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短
【典例】
1.年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山
山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方式缩短了路程，这样做的主要依据是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 直线比曲线短 D. 两条直线相交于一点
【方法总结】
该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。两点确定以后，两点之间的曲线要比线段长。
【随堂练习】
1．把一条弯曲的道路改成直道，可以缩短路程，其道理是A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．以上都不正确
2．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现
象的数学知识是
A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线
C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短
3．“在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短路程”其中蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离
4．折多山隧道今年开建，建成后，可将原来一个半小时的车程缩短为 8分钟．也就是“把弯曲的公路改直，就能
缩短路程”，这其中蕴含的数学原理是
A．两点之间直线最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
5．下列说法错误的是
A．符号不同的两个数互为相反数
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．最小的正整数是1
知识点4：两点之间的距离
两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。
【典例】
1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【方法总结】
解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最
后假设线段AB的长找出正确答案。
2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF=1：2：3，若MN=8cm，则线段EF的长______
【方法总结】
题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成MA、AB和BN，然后根据已知条件，将
MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。通过设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。
【随堂练习】
1．下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式 的次数是3；③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；
④若 ，则点 是线段 的中点；⑤若 表示有理数，且 ，则 ．其中正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，点 、 为线段 上两点， ，且 ，则 等于
A． B． C． D．
3．已知线段 ， ，则下列说法正确的是
A．点 一定在线段 的延长线上
B．点 一定在线段 的延长线上
C．点 一定不在线段 上
D．点 一定不在直线 外
4．已知点 、 、 都是直线 上的点，且 ， ，那么点 与点 之间的距离是
A． B． 或 C． D． 或
5．已知线段 ，点 为 的中点， 是直线 上的一点，且 ， ，则线段 的长为A． B． C． 或 D． 或
6．如图，点 、 为线段 上两点， ，且 ，则 等于
A． B． C． D．
7．如图， 线段 ，点 为线段 上一点， ，点 ， 分别为 和 的中点，
则线段 的长为
A ． B ． 1 C ． D ． 2
二．填空题（共2小题）
8．如图，数轴上线段 ， ，点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是16，若线段
以6个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速度向左匀速运动．当 点运动
到线段 上时， 是线段 上一点，且有关系式 成立，则线段 的长为 ．
9．如图，数轴上线段 及可移动的线段 （点 在点 的左侧，点 在点 的左侧），已知线段 覆盖8
个整数点（数轴上对应整数的点），线段 覆盖2个整数点，点 ，点 分别为 、 的中点，则线段
覆盖 个整数点．
综合集训
1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学
道理是____________________．2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段_________条．
3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平面上共有个________已知点．
3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．
4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线段CD长为_________．
5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点 D，使DA=2AB，那么线段AC：
DB=_________．第 10 讲 与角度有关的计算
知识点1：角的概念以及度分秒的换算
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角通常用三个字母及符号
“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．
2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
3．角的常用度量单位是度、分、秒．
1°的 为1分，记作1′，即1°=60′．
1′的 为1秒，记作1″，即1′=60″．
【典例】
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示；当某个角的顶点处只有１个角（两条射线）时，该角可以用
“∠”和顶点字母来表示。
【随堂练习】
1．下列说法，正确的是
A．若 ，则
B．
C．一个圆被三条半径分成面积比 的三个扇形，则最小扇形的圆心角为
D．钟表上的时间是9点40分，此时时针与分针所成的夹角是2．如果一个角 的度数为 ，那么关于 的方程 的解为
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
3．计算：① ．
②当 时钟表上的时针与分针的夹角是 度．
4．比较大小： ．
5．把 用度分秒表示为 ．
知识点2：角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
【典例】
1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________
【方法总结】
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。所以作
图分两种情况，即：∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
【随堂练习】
1．已知 ， 为一条射线， ， 分别平分 ， ，那么 的度数为 或
．
2．如图，点 、 、 在一条直线上， ， 是 的平分线，则 度．3．如图所示，已知点 ， ， 在同一直线上，且 是 的角平分线，若 ，则
．
4．如图所示， ， ， 平分 ．则 度．
5．如图所示，两块三角板的直角顶点 重叠在一起，且 恰好平分 ，则 的度数是 度．
二．解答题（共2小题）
6．如图，两个形状、大小完全相同的含有 、 的直角三角板如图①放置， 、 与直线 重合，且三
角板 、三角板 均可绕点 逆时针旋转．
（1）直接写出 的度数．
（2）如图②，在图①基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三角
板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，（当 转到与 重合时，两三角板都停止转
动），在旋转过程中，当 与 重合时，求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下， 、 、 三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋
转的时间．7．如图， ， ， 平分 ， 平分 ，求 和 的度数．
知识点3：余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A=
90°-∠C , ∠A与∠C互余；
余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C , ∠A与∠C互补；
补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：∠C=∠B。
【典例】
1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是
__________
【方法总结】题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为45°，利用平角是
180°，求出剩余角度之和是135°，进而求出二者之间的比例关系。
【随堂练习】
1．如图， 是直线 上一点， 平分 ， ．则图中互余的角、互补的角各有 对．
A．3，3 B．4，7 C．4，4 D．4，5
二．填空题（共8小题）
2．一个角的补角比它的余角的2倍还多 ，这个角的度数为 ．
3．若 ，则 的补角等于 ．
4．如果 的余角是 ，那么 的补角为 ．
5．如果一个角的余角是它的补角的 ，则这个角的度数是 ．
6．一个角补角比它的余角的2倍多 ，这个角的度数为 ．
7．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果 ，那么 ．
8．若 的余角为 ，则 ．9．一个角的补角比它的余角的3倍多 ，则这个角的度数为 ．
知识点4：对顶角和邻补角
1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。
邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。
【典例】
1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF=______
【方法总结】
解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建立关于该未知数的方程，解方程即可求得未
知数的值，从而得到所求角的度数。用代数方法解几何问题是常用方法之一。
【随堂练习】
1．如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， 平分 ． ，则 ．
2．如图，直线 ， 相交于点 ，若 ，则 等于 度．
3．如图，两条直线相交成四个角，已知 ，那么 度．4．若 的对顶角是 ， 的邻补角是 ， ，则 的度数为 ．
5．如图，直线 、 交于点 ，且 ，则 的度数为 ．
6．如图，已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ， ，则 的度数等于
度．
二．解答题（共2小题）
7．如图，直线 、 相交于点 ， ．
（1）求 的度数；
（2）以 为端点引射线 、 ，射线 平分 ，且 ，求 的度数．
8．如图， 、 交于点 ， ， 的余角比 小 （题中所说的角均是小于平角的
角）．
（1）求 的度数；
（2）请写出 在图中的所有补角；（3）从点 向直线 的右侧引出一条射线 ，当 时，求 的度数．
综合集训
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则
∠1=_______°．
2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE= ________°．
3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．
4.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD=__________．5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是 ________．
6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°，∠DOF=58°，则∠BOE=________，∠AOC=________．
7.计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD
（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；
（2）当∠AOD=100°时，求：∠DOE、∠COE的度数；
（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．第 11 讲 解一元一次方程
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。
【典例】
1.对于 类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ）
A. （a-c）x=d-b B. （a-c）x=b-d
C. （a+c）x=b+d D. （a-c）x=b+d
【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。
【随堂练习】
1．下列方程的变形正确的个数有（ ）
（1）由3+x=5，得x=5+3；
（2）由7x=﹣4，得x=﹣ ；
（3）由 y=0得y=2；
（4）由3=x﹣2得x=﹣2﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列方程变形正确的是（ ）
A．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x+1
B．方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=1﹣2
C．方程 x= ，未知数系数化为1，得x=1
D．方程 =1，去分母，得5（x﹣1）﹣4x=103．下列方程的变形中正确的是（ ）
A．由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5 B．由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
C．由 得 D．由 得2x=﹣12
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程
“转化”为 （ 为常数）的形式．
【典例】
1.解方程：
【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变
符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．3x﹣4（2x+5）=x+4．
2．若我们定义a※b=4ab﹣a÷6，其中符号“※’是我们规定的一种运算符号，例如，6※2=4×6×2﹣6÷2=48﹣3=45．
（1）求（﹣4）※（﹣2），（﹣2）※2；
（2）若x※2=15，求x．
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：（1）
（2）
【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小数化为整数
【随堂练习】
1．解方程：
（1）5（x﹣2）﹣2=2（2+x）+x
（2）
2．解方程：
（1）
（2） ．
3．解方程：
（1）x﹣
（2）
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
【典例】
1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣ = x﹣ ，答案显示此方程的解是 ，被墨水遮盖的是一个常数，则这
个常数为_______
【方法总结】一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右
两边相等。
2.已知 为正整数，关于x的方程 的解为整数，则 的最小值为______
【方法总结】
对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为 （ 为常数，且 ）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．数学中有很多奇妙现象，比如：关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，
且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．若关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，则m＝ ．
2．关于x的方程bx﹣3＝x有解，则b的取值范围是 ．
3．若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是 ．
4．已知方程4x﹣3m+2＝0的解是x＝1，则m＝ ．
5．若x＝﹣1是方程2x+a＝0的解，则a＝ ．
6．已知x＝2是关于x的一元一次方程1﹣2ax＝x+a的解，则a的值为 ．
7．如果关于x的一元一次方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣4，那么a的值为 ．
二．解答题（共1小题）
8．已知关于x的方程3（x﹣1）＝3m﹣6与2x﹣5＝﹣1的解互为相反数，求（m+ ）3的值．
知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】1.若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为___
【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．如果关于x的方程3x+2a＝12和方程3x﹣4＝2（x﹣3）的解相同，那么与a互为倒数的数是（ ）
A．3 B．9 C． D．
2．若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
二．填空题（共5小题）
3．当a＝ 时，关于x的方程3x﹣1＝﹣4与方程a﹣5＝6x﹣2的解相同．
4．已知关于x的方程2x﹣3＝ +x的解与|x|﹣1＝0的解相同，则m＝ ．
5．在解分式方程 的过程中，该分式方程等号两边同时乘以6x可以去分母，若6x≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x＝
4，此步骤的依据是 ．
6．若关于x的方程 ＝ 与 ＝x+2m的解相同，则m的值为
7．关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是 ．
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。
【典例】
1.关于x的方程 的解为______
【方法总结】
形如 型的绝对值方程的解法：① 根据绝对值的非负性可知 ；
② 取绝对值，分类讨论，得到： 和 ；
③ 分别解方程 和 ；
④ 将求得的解代入 检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x﹣3|＝2．
解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；
当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．
所以原方程的解是x＝5或x＝1．
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1
综合集训
1.下列方程的变形中正确的是________.
① 由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5
② 由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
③ 由 得
④ 由 得2x=﹣12
2.研究下面解方程 的过程
去分母，得 1+4﹙2x﹣3﹚=5x﹣1﹣3x ①
去括号，得 1+8x﹣12=2x﹣1 ②
移项，得 8x﹣2x=﹣1﹣1+12 ③
合并同类项，得6x=10 ④
系数化为1，得 ⑤对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。
3.已知关于x的方程 的解满足 ，则 的值是________.
4.解方程：
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程 中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字
是相同的，且这个方程的解与方程 也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
6.当 为何值时，关于x的方程 的解为正整数？
7.解下列一元一次方程
（1） ；
（2） ．
（3）
（4）
（5）（6）第 12 讲 一元一次方程的应用一
知识点1 一元一次方程的实际问题-日历问题
1、列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 ）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2、日历问题要清楚未知数 与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的数量关系
【典例】
1.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数，若圈出的4个数的和为52，则最大数与最小
数的积为_____
【方法总结】
1、明确各个数在日历中的位置关系，设较简单的数为未知数
2、依据未知数 与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的关系，表示其他位置的数【随堂练习】
1．已知一个有50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下
列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（ ）
A．114 B．122 C．220 D．84
2．在如图的年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，下面列出的这三个数的和
①24，②35，③51，④72，其中不可能的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
3．在如图所示的年1月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27 B．51 C．65 D．72
知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题
在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变
【典例】
1.已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，派派的
年龄为______岁．
【方法总结】
1、在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变
2、看清问题：是问谁的年龄？是现在的年龄还是几年前或几年后的年龄？
【随堂练习】
1．小强的年龄比妈妈小33岁，今年妈妈的年龄正好是小强的4倍，小强今年的年龄是（ ）
A．10岁 B．11岁 C．12岁 D．13岁
2．父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现
在年龄的 ，女儿现在年龄是 _____ 岁．
知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题1、基本量、基本数量关系：路程=速度×时间
2、相遇问题：常用的相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．
3、追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况，
（1）同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；
（2）同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程
4、航行问题：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度
（2）逆水速度=静水速度-水流速度
5、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系
【典例】
1.A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，再过10分钟，甲
所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
【方法总结】
1、行程问题：路程=速度×时间
2、相遇问题，要画线段图来表示和分析数量关系
该题的等量关系为：甲剩余路程=乙剩余路程×2，先用总路程、相遇时间表示出俩人的速度，再将各自的速度带入所列的等量关系中。
遇到需要间接表示出来的量找准突破口是关键。
2.已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方
向跑步，速度为3米/秒．设运动时间为t秒．
（1）若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间；
（2）当t=50时，甲、乙两人第1次相遇，求a的值；
【方法总结】
1、环形跑道问题，首先判断谁的速度快，速度快的追击速度慢的，由此确定路程差和速度差 ，即可由“相遇时间=路程差÷速度差”
确定相遇时间。
2、还需注意在环形跑道上，经常出现多次相遇的问题
3.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h．已
知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）【方法总结】
1、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系
2、解该题的关键是找准等量关系，即甲到乙顺流所用时间+乙到丙逆流所用时间=3
找到等量关系以后带入相关的公式
对于题中丙的位置不确定，解题时要分情况讨论乙、丙的位置与甲、乙位置的关系。
4.有两列火车，客车长200米，每秒行30米，货车长300米，每秒行20米。
（1）两车在平行轨道上齐头同向行进，多少秒后客车超过货车？
（2）如果两车相向而行，从相遇到错车而过，需要多少秒？
【方法总结】
1、在解决火车过定点（或动点）、火车过桥、火车与火车相遇等问题时，需要画线形示意图来表示数量关系，正确找出“路程和
（差）”和“速度和（差）”
2、火车过桥常用公式：
火车速度×时间=车长+桥长
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度
【随堂练习】
1．有m辆客车及n个乘客，若每辆客车乘坐 40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘 43人，
则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m﹣1；②40m+10=43m+1；③ = ；
④ = ，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
2．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为
120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米．则t的值是（ ）
A．2 B．2或2.25 C．2.5 D．2或2.53．一环形跑道长400米，小明跑步每秒行5米，爸爸骑自行车每秒15米，两人同时同地反向而行，
经过____秒两人首次相遇．
4．如图，已知点 A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点
P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从
点C、点B同时出发在直线上运动，则经过_____秒时线段PQ的长为5厘米．
综合运用
1.小明在日历的某月上圈出五个数，呈十字框形，它们的和是55，则中间的数是？
2.小明今年12岁，他爷爷60岁，经过多少年以后，爷爷的年龄是小明的4倍．
3.列方程解应用题
甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返
回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
4.如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65m/min的速度、乙从B点以75m/min
的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的那条边上？5.一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知该船在静水中每小时航行8千米，则两码头间的距离为
多少千米．
6.在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速
度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是？
7.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进，行
进了10千米后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合．从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15分钟．
（1）其他队员的行进速度是多少？
（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1千米？第 13 讲 一元一次方程的应用二
知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题
1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
公式为：
①工作量=工作效率×工作时间，② ，③ 。
2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为 。
3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶段“第一阶段工作量+第二阶段工作量
=1”。
【典例】
1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的
工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是否能按期完成？
【方法总结】
1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做 天”，可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、
丙合做 天”的工作量=工作总量
2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成
2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工
作共需多少天？
【方法总结】
1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成工作进度的 ，可求出甲的工作效率为；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，完成工作进度的 ，列式可求乙的工作效率为 。
2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况
【随堂练习】
1．一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作．
（1）求甲、乙合作多少天才能把该工程完成．
（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为 2500元，乙队每天的施工费用为 3000元，求完成
此项工程需付给甲、乙两队共多少元．
2．某工作甲单独做需15h完成，乙单独做需12h完成，若甲先单独做1小时，之后乙再单独做4h，
剩下的工作由甲、乙两人一起做．问：再做几小时可以完成全部工作？
3．整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．
（1）若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？
（2）计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的 ，应
该安排多少人先工作？
知识点2 一元一次方程的实际问题-利润问题
销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
【典例】
1.东方食品厂年的利润（总产值-总支出）为200万元，年总产值比年增加了20%，总支出减少了10%．年的利润为780万元．问年总
产值、总支出各是多少万元？
【方法总结】
1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得年总产值和总支出的关系，从而设未知数。
2、然后根据：年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。
2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七
折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____
【方法总结】
题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元”都是关于“原售价”的关
系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设“进价”更好列方程.
3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营______
【方法总结】
该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求出总利润。
【随堂练习】
1．某商店换季准备打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损 25元，而按原售价的九折出售，
将盈利20元，则该商品的成本为（ ）
A．230元 B．250元 C．270元 D．300元
2．如图，某商品实施促销“第二件半价”，若购买 2 件该商品，则相当于这 2 件商品共打了
（ ）折．A．5 B．5.5 C．7 D．7.5
3．某商品每件标价为200元，若按标价打八折后，再降价 20元销售，仍获利40%，则该商品每件
的进价为____元．
4．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货
款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题
设而不求（设中间参数）的问题
一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个
量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。
【典例】
1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两
台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？【方法总结】
1、得到每小时雨水增加量为 和每台水泵每小时的排水量 的关系式是解决本题的突破点
2、设 小时可排完积水，等量关系为：3台水泵 小时的工作量﹣ 小时的积水量=1台水泵10小时的工作量-10小时的积水量
【随堂练习】
1．甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为 24千米．甲队步行速度为 4千
米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在
两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时．
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？
2．某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么
比计划少15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？
根据题意，小明、小红分别列出了尚不完整的方程如下：
小明：5x□（ ）=4x□（ ）； 小红： ．
（1）根据小明、小红所列的方程，其中“□”中是运算符号，“（ ）”中是数字，请你分别指
出未知数x、y表示的意义．
小明所列的方程中x表示 ，
小红所列的方程中y表示 ；
（2）请选择小明、小红中任意一种方法，完整的解答该题目．3．某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售
价都为8元/千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过 100千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过 100千克全部按零
售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千 不超过50的 50以上但不 150以上的部
克） 部分 超过150的部 分
分
价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的
95% 85% 75%
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发200千克的苹果；
则总费用=50×8×95%+100×8×85%+50×8×75%．
（1）如果他批发240千克苹果选择哪家批发更优惠；
（2）设他批发x千克苹果（x＞100），当x取何值时选择两家批发所花费用一样多．
综合运用
1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，
其中打9折的钢笔有几支?
2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出的价格），此商场为了促销，又对该电脑
打折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台打多少折出售？3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周
半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.
4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是
亏损了？
5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印
完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完
成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？第 14 讲 数据的收集、整理和描述
知识点1：普查和抽样调查
1. 普查和抽样调查
普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．
好处：调查结果准确；
缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；
抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．
好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；
缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；
2.总体、个体、样本、样本容量
总体：所考察对象的全体；
个体：组成总体的每一个考察对象；
样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中的个体数目；
【典例】
1.下列调查运用哪种调查方式合适？
（1）调查淮河流域的水污染情况；
（2）调查一个村庄所有家庭的年收入情况；
（3）调查某电视剧的收视率；
【方法总结】
适合采用普查方式的调查：
（1）调查结果要求非常准确；（2）所要调查的个体数量少、调查难度相对不大；
（3）调查无破坏性；
适合采用抽样调查方式的调查：
（1）对调查得结果要求不是十分准确；
（2）调查具有破坏性；
（3）调查的问题所包含的个体数量较多；
（4）调查时间和经费有限，全面调查受到限制；
2.请指出下列抽样凋查中的总体、个体、样本和样本容量．
为了解某所学校的学生参加课外体育活动的情况，调查了其中20名学生每天参加课外体育活动的时间；
【方法总结】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体
的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据
的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
3.某池塘里养了鱼苗1万条，根据这几年的经验，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼
重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的质
量．
【方法总结】
用样本估计总体时，样本容量越大，越具有代表性，对总体的估计也就越精确．
用样本估计总体，样本选取合适的情况下，
（1）样本平均数=总体平均数．
（2）样本中某一项占样本的比重=总体中该项占总体的比重
本题计算池塘中鱼的总质量可以用抽样方法估算出每条鱼的质量乘以总数即可．
【随堂练习】
1．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为 A，B，C，D，E五个等级．现随机抽
取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五
个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为______人．
2．某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模式下该校八年级学生选修历史
学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意
向，请说出理由，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数．
知识点2：统计图的选用
常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．
扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；
条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；
折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．
扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．
在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；
若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；
若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．
【典例】
1.全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：
A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受问卷调查的共有______人，图表中的m=______，n=______；
（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是______，不运动的市民所占的百分比是______；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500人，那么估计一下该
社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？
【方法总结】
本题主要考查扇形统计图与统计表的综合计算．根据公式总体=选取部分数量÷所占比例以及变形便可得出第（1）（3）问；根据公式
扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°便可计算得出第（2）问；根据用样本估计总体的方法，样本当中该项目占样本容量
的百分比与总体中该项目数量占总体的百分比相等即可求出第（4）问．
2.某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从乒乓球、羽毛球、篮球和排球四个方面调查了若干名学生，在
还没有绘制成功的“折线统计图”与“扇形统计图”中，请你根据已提供的部分信息解析下列问题．
（1）在这次调查活动中，一共调查了________名学生．
（2）“羽毛球”所在的扇形的圆心角是________度．
（3）请补全折线统计图；
（4）若该校有学生1200名，估计爱好乒乓球运动的约有多少名学生？【方法总结】
本题主要考查扇形图与折线图的综合运用，解题关键在于扇形统计图各部分（项目）与折线图的对应．同一个部分用折线图给出的数
据除以扇形图的比例即可算出调查的总体或者样本容量；用扇形统计图某个项目的比例乘以360°即可计算出所对应的圆心角度数；某
一个项目在样本中所占的比例等于在总体中所占的比例．
【随堂练习】
1．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒
毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随
机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少
的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计
图．
（1）被随机抽取的学生共有多少名？
（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？
2．某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学
生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分
学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不
完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有600名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？知识点3：频数和频率
频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．
频率：频数与总次数的比值称为频率．
【典例】
【选择题】
【题干】袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的频率是0.20，则m的值
是____
【随堂练习】
1．袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白
球的频率是0.20，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．162．某班50名学生在年适应性考试中，数学成绩在100〜110分这个分数段的频率为0.2，则该班在
这个分数段的学生为 _____ 人．
知识点4：频数分布表和频数分布直方图
1.频数分布表
（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画
出的统计图表为频数分布表．
（2）列频数分布表的步骤：
①计算极差，即计算最大值与最小值的差．
②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．
③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．
④列频数分布表．
组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．
分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．
2.频数分布直方图
画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每
组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．
【典例】
1.一组数据的最大值与最小值的差为80，若确定组距为9，则分成的组数为_____
【方法总结】
根据组数=（最大值﹣最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
2.某校从初二年级抽出40名女生的身高数据，分组整理出如下频数分布表：表中a，b，c分别是（ ）
【随堂练习】
1．一个容量为70的样本，最大值是130，最小值为50，取组距为10，则可以分（ ）
A．10组 B．9组C．8组D．7组
2．随着移动终端设备的升级换代，手机己经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假
期使用
手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某
中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如右表格（部分信息未给出）：
根据以上信息解答下列问题：
选项 频数 频率
A 10 M
B N 0.2
C 5 0.1D P 0.4
E 5 0.1
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n的值；
（3）若该中学有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？
综合运用
1.空气使由多种气体混合而成，为了简明扼要地说明空气的组成情况，最好用 ___________统计图．
2.为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株的高度作为样本，统计结果整理后
列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）
试估计该园地内此类花卉高度小于55厘米且不小于45厘米的约为_________株．
3.某中学抽取部分学生对“你最喜欢的球类运动”调查问卷，收集整理数据后列频数频率分布表（部分）如下（其中 m，n为已知
数）：则mn的值为_________．
3.如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到 1cm）整理画出频数分布直方图
（每组数据含最低值，不含最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm之间的人数约有_________人．
4.指出下列调查中的总体、个体、样本和样本容量．
从学校七年级中抽取30名学生，调查学校七年级学生每周用于做数学作业的时间．
5.某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试成绩为样本，按 A（优秀）、B（良
好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表．请你结合图表中所给信息解析下列问题：
（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是___________；
（3）该校八年级共有1200名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数．6.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制
出以下两幅统计图．
请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了___________人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是___________；
（4）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．
7.下列图表是年某校从参加中考体育测试的九年级学生中随机调查的10名男生跑1000米和10名女生跑800米的成绩．（1）按规定，女生跑800米的时间不超过3'24“就可以得满分．该校九年级学生有490人，男生比女生少70人．请你根据上面成绩，
估计该校女生中有多少人该项测试成绩得满分？
（2）假如男生1号和男生10号被分在同组测试，请答案他俩在400米的环形跑道测试的过程中能否相遇．若能，求出发多长时间才
能相遇；若不能，说明理由．
8.为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化
学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不
完整的统计图，请你根据图中信息解析下列问题：
（1）被抽查的学生共有多少人？
（2）将折线统计图补充完整；
（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．9.某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行答案，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
请根据所给信息，解析下列问题：
（1）a=_________，b=_________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？第 15 讲 幂的运算
知识点1 同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（m，n是正整数）
（2）推广： （m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 与 ， 与 ， 与 等；②
可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底
数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例】
【题干】如果a2n﹣1•an+2=a7，则n的值是_____
【方法总结】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相
加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．
2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．
本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将am+n+k变
形为am•an•ak，然后将am=3，an=6，ak=4，代入am•an•ak，求解即可．
3.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+2+2①，将等式两边同时乘2得：
2S=2+22+23+24+25+…+2+2②将②减去①得2S﹣S=2﹣1
即S=2﹣1
即1+2+22+23+24+…+2=2﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【方法总结】
此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键． 解答此题常用的方法是“a倍的错位相减”即可求解．如：求
1+a+a2+a3+a4+…+an(a不等于0)的和．
注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．
【随堂练习】
1．如果ac=b，那么我们规定（a，b）=c，例如：因为23=8，所以（2，8）=3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=____，（4，1）=____（2，0.25）= _____ ；
（2）记（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c．求证：a+b=c．
2．已知xa+b•x2b﹣a=x9，求（﹣3）b+（﹣3）3．
3．规定a*b=2a×2b，求：
（1）求2*3；
（2）若2*（x+1）=16，求x的值．知识点2 幂的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中
“指数相加”的区别．
【典例】
1.若81x=312，则x=__________．
【方法总结】
本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x 化成34x
，即可得出4x=12，解方程即
可求解．
2.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_______
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．
3.比较3555，4444，5333的大小．
【方法总结】
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
知识点3 积的乘方
1．积的乘方
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=an•bn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例】
1.用简便方法计算下列各题：
4
（1）（ ）×（﹣1.25）
5
2 5 1
（2）（2 ）10×（﹣ ）10×（ ）11．
5 6 2
【方法总结】
4 5
此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是 和﹣ ，乘积正好是-1；如（2）
5 4
12 5 1
中底数分别是 、﹣ 、 ，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．
5 6 2
2.（1）已知an=3，bn=5，求（a2b）n的值；
（2）若2n=3，3n=4，求36n．【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n 转变为（an）2 •bn，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．
【随堂练习】
1．计算：（﹣ ）×（2 ）═______
2．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2=2，b3=3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小知识点4 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
2．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00无意义．
3．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
αp
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
【典例】
【题干】（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=______
【方法总结】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．
2.若m=5，n=4，则3m﹣2n等于____【方法总结】
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将3m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成3m÷2n的形式，再利用幂的
乘方法则，将3m，2n分别用（m）3、（n）2代换，即3m÷2n转化成为（m）3÷（n）2，然后将m=5，n=4代入（m）3÷（n）2即可求解．
【随堂练习】
1．某种液体每升含有1012个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌，现在将3L这种液
体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为10﹣3L，要用多少升？
2．已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式，求：（1）22m+3n；（2）24m﹣6n的值．
3．已知2m=3，2n=5，求24m﹣2n的值．
综合运用
1.已知ma+b•ma﹣b=m12，则a的值为_________．
2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．
3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．
5.根据已知求值：（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
6.用简便方法计算下列各题
4
（1）（ ）×（﹣1.25）．
5
1 8
（2）（3 ）12×（ ）11×（﹣2）3．
8 25
7.计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
