文档文本内容
八年级-秋季-北师版-基础班
第01讲 复杂的“旋转型”与弦图.......................................................................................................................................................................................................4
知识点1 复杂的“旋转型”........................................................................................................................................................................................................4
知识点2 弦图及其拓展.................................................................................................................................................................................................................7
第02讲 实数......................................................................................................................................................................................................................................... 13
知识点1 平方根.............................................................................................................................................................................................................................13
知识点2 算术平方根....................................................................................................................................................................................................................14
知识点3 立方根.............................................................................................................................................................................................................................16
知识点4 实数................................................................................................................................................................................................................................. 17
第03讲 二次根式................................................................................................................................................................................................................................22
知识点1 二次根式的概念..........................................................................................................................................................................................................22
知识点2 二次根式有意义的条件............................................................................................................................................................................................23
知识点3 二次根式的性质与化简............................................................................................................................................................................................23
知识点4 二次根式的乘除法......................................................................................................................................................................................................25
知识点5 二次根式的加减法......................................................................................................................................................................................................27
知识点6 二次根式化简求值......................................................................................................................................................................................................29
第04讲 平面直角坐标系.....................................................................................................................................................................................................................32
知识点1 有序数对........................................................................................................................................................................................................................32
知识点2 各象限内点的坐标特征............................................................................................................................................................................................33
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征...................................................................................................................................................36
知识点4 规律性--点的坐标.....................................................................................................................................................................................................37
第05讲 坐标方法的简单应用.........................................................................................................................................................................................................43
知识点1 坐标确定位置...............................................................................................................................................................................................................43
知识点2 坐标与图形性质..........................................................................................................................................................................................................46
知识点3 坐标与图形变化—平移............................................................................................................................................................................................47
知识点4 坐标与图形变化—对称............................................................................................................................................................................................49
知识点5 坐标与图形变化—旋转............................................................................................................................................................................................50
第06讲 函数......................................................................................................................................................................................................................................... 57
知识点1 常量与变量.................................................................................................................................................................................................................57
知识点2 函数的概念.................................................................................................................................................................................................................58
知识点3 自变量的取值范围和函数值.................................................................................................................................................................................60知识点4 函数的图象....................................................................................................................................................................................................................61
第07讲 正比例函数...........................................................................................................................................................................................................................68
知识点1 正比例函数的概念......................................................................................................................................................................................................68
知识点2 正比例函数的图象与性质........................................................................................................................................................................................68
知识点3 正比例函数的解析式.................................................................................................................................................................................................71
第08讲 一次函数................................................................................................................................................................................................................................74
知识点1 一次函数的定义..........................................................................................................................................................................................................74
知识点2 一次函数的图像..........................................................................................................................................................................................................75
知识点3 一次函数的性质..........................................................................................................................................................................................................78
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系.............................................................................................................................................................................81
第09讲 一次函数的应用..................................................................................................................................................................................................................84
知识点1 一次函数的解析式......................................................................................................................................................................................................84
知识点2 一次函数的图形变换.................................................................................................................................................................................................86
知识点3 简单的实际问题..........................................................................................................................................................................................................87
知识点4 方案、决策问题..........................................................................................................................................................................................................90
第10讲 二元一次方程组..................................................................................................................................................................................................................94
知识点1 二元一次方程的概念.................................................................................................................................................................................................94
知识点2 二元一次方程的解......................................................................................................................................................................................................95
知识点3解二元一次方程组---代入消元法...........................................................................................................................................................................98
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法..........................................................................................................................................................................98
知识点5 二元一次方程组的解的概念.................................................................................................................................................................................100
知识点6 同解方程组.................................................................................................................................................................................................................101
知识点7 解三元一次方程组...................................................................................................................................................................................................102
第11讲 二元一次方程组的应用..................................................................................................................................................................................................105
知识点1 配套问题......................................................................................................................................................................................................................105
知识点2 行程问题......................................................................................................................................................................................................................106
知识点3 销售问题......................................................................................................................................................................................................................107
知识点4 数字问题......................................................................................................................................................................................................................108
知识点5 梯度收费问题.............................................................................................................................................................................................................109
第12讲 方程组与一次函数...........................................................................................................................................................................................................112
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系.....................................................................................................................................................................112
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系.......................................................................................................................................................114
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系.................................................................................................................................................................118
第13讲 数据的分析.........................................................................................................................................................................................................................124
知识点1 平均数..........................................................................................................................................................................................................................124
知识点2 中位数与众数.............................................................................................................................................................................................................125知识点3 从统计图计算集中趋势..........................................................................................................................................................................................129
知识点4 数据的离散程度........................................................................................................................................................................................................131
第14讲 不等式及不等式组...........................................................................................................................................................................................................137
知识点1 一元一次不等式的概念..........................................................................................................................................................................................137
知识点2 不等式的性质.............................................................................................................................................................................................................138
知识点3 不等式的解和解集...................................................................................................................................................................................................139
知识点4一元一次不等式的解法...........................................................................................................................................................................................141
知识点5 一元一次不等式组...................................................................................................................................................................................................143
第15讲 含参不等式.........................................................................................................................................................................................................................147
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围.......................................................................................................................................147
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围.......................................................................................................................................148
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围............................................................................................................................................148
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围...................................................................................................................................149
第 01 讲 复 杂 的“旋 转 型”与弦 图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”
后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=2❑√2，求AC的长.【方法总结】
在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出
△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的❑√2倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得
解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，
也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于
D，求DE的长.
【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出
1
△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
2
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为___
2.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为___
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90°
D.AG⊥BE
知识点2 弦图及其拓展
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.
图中的等量关系有：
a2+b2=c2；4个小三角形的面积和=2ab；
大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；
小正方形的边长为b-a= ，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；
（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；
（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.
【典例】
1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的
面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.
【方法总结】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.
将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．
本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．
2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM
为Rt△ABM较长直角边，AM=2❑√3EF，则正方形ABCD的面积为______
【方法总结】
设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2❑√3EF可得
a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.
本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．
【随堂练习】
1.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大
正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的长直角边为a、短直角边为b，那么（a﹣b）2=______2.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和
6，则大正方形与中间小正方形的面积差____
3.如图，是第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直
角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2=___________
综合运用
1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果
AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.
2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直
角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．
3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离
是7，则正方形ABCD的面积是________.
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得
到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，若正方
1 2 3
形EFGH的边长为2，求S+S+S 的值．
1 2 3
6.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．7.已知：在 中， ， ，过点 作 于 ， 为 边上一点，且 ，连
结 、 ．求证： ．
A
C
B D
E第 02 讲 实 数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
也就是说，若 ，则 就叫做 的平方根．
一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（宣城期末）实数3的平方根是
A．3 B． C． D．
2．（巴南区期中）若一个正数 的平方根为 和 ，则A．7 B．16 C．25 D．49
3．（滨州）若 与 的和是单项式，则 的平方根为
A．4 B．8 C． D．
4．（梁子湖区期中） 和 是某个正数的两个平方根，则实数 的值为
A． B． C．2 D．
5．（浉河区校级月考）若 与 是同一个数的平方根，则 的值是
A． B．1 C． 或 D．3
6．（无锡期末）若 没有平方根，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
7．（南充期末）若 ，则 ．
8．（高密市期末）若 没有平方根，则 的取值范围为 ．
9．（营山县期末）已知 ，则 的平方根是 ．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 的算术平方根，可用符号表示为“ ”；
有一个平方根，就是 ， 的算术平方根也是 ，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
1. 的算术平方根为____【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数
x的平方等于a，即x2
=a，那么这个正数x叫做
a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（洛宁县期末）实数 的平方根
A．3 B．5 C． D．
2．（婺源县期末） 等于
A． B． C．3 D．
3．（厦门期末）9的平方根是 ，用下列式子表示正确的是
A． B． C． D．
4．（广东）化简 的结果是
A． B．4 C． D．2
5．（建邺区校级二模） 值等于
A． B． C． D．
6．（大丰区期中）正方形的面积为6，则正方形的边长为
A． B． C．2 D．4
7．（海淀区期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数 满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出 将比256增大3.19
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根，也就是说，若 则 就叫做 的立方根.
一个数 的立方根可用符号表示“ ”，其中“ ”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“ ”其实省略了根指数“ ”，即： 也可以表示为 ．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
【典例】
1.计算 的结果是（ ）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若 则 就叫做 的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64， =5，则m+n﹣x的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（天津期末）计算 等于
A．8 B．3 C． D．
2．（商南县期末）已知一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数的立方根是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（洛阳期中） 的算术平方根是
A． B． C． D．4．（河东区期末）有下列说法
①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③ ；④ 的立方根是 ；⑤ 的平方根是4；⑥81的算
术平方根是 ，其中正确的个数是
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
5．（马山县期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
6．（长垣县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
7．（和平区期末）若 ，则 的值为
A． B． C． D．
8．（济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
9．（雨花区期末）实数8的立方根是 ．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中： ， ， ，﹣π， ，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、 、π、﹣3.14、 、﹣ 、 、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与 最接近的整数是______
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小， 在紧邻 前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（濉溪县期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
2．（东河区二模）在实数 、 ， ， ， ，1.414中有理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（大同期末）如图，以原点 为圆心， 长为半径画弧与数轴交于点 ，若点 表示的数为 ，则 的值为
A． B． C． D．
4．（嘉祥县期末）如果 ， ， 为有理数，那么
A．3 B． C．2 D．
5．（微山县期末）如果 ， ， 为有理数，那么
A． B．11 C．7 D．3
6．（肥城市期末）下列说法其中错误的个数有
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；
④16的平方根是 ，用式子表示是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（左贡县期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
8．（洛阳期中）如图，若实数 ，则数轴上表示 的点应落在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
9．（东城区期末）若实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
A． B． C． D．
综合运用
1. 的平方根是 ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
3.计算： = ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）的值为 ．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
6.在 ，2π，﹣2 ，0，0.454454445…，﹣ ， 中，无理数的有 个．7.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为 ．
8.比 大且比 小的整数是 ．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14， ，﹣ ，﹣ ，0， ，π，1010010001…
① 有理数集合{ …}
② 无理数集合{ …}
③ 负实数集合{ …}．
10.计算： ﹣2 +| ﹣2|．
11.计算：
﹣ ﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．第 03 讲 二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“❑√ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①❑√y+2；②❑√(−2) 4 ；③❑√a2 +3；④❑√x2 +6x+9；⑤❑√x2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（洛宁县期中）式子 是二次根式的条件是_____．
2．（桐乡市月考）当x=﹣1时，二次根式 的值是____．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．❑√a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
❑√x−2
1.若代数式 有意义，则x满足的条件是______________．
3
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于 0可以
求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（南陵县模拟）如果代数式 有意义，那么字母x的取值范围是____．
2．（黑山县一模）使y= 有意义的x的取值范围是____．
3．（雨花区校级期末）使代数式 + 有意义的x的取值范围是____
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①❑√a≥0； a≥0（双重非负性）．
②(❑√a)²=a（a≥0）．
{&a(a≥0)
③❑√a2=|a|=
&−a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
√a ❑√a
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．❑√ab=❑√a•❑√b (a≥0，b≥0)，❑ = (a≥0，b＞0)
b ❑√b
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【典例】
1.实践与探索
（1）填空：❑√32= _______； ❑√(−5) 2 = ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时❑√a2= ___ ；当a＜0时，❑√a2= ____ ；
（3）利用你总结的规律计算：❑√(x−2) 2 +❑√(x−3) 2 ，其中2＜x＜3．
【方法总结】
{&a(a≥0)
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握❑√a2=|a|=
，进而化简求出即可．
&−a(a＜0)
【随堂练习】
1．（龙泉驿区期中）把 a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ______ ．
2．（襄城区期末）若要化简 我们可以如下做：
∵3+2
∴ = +1
仿照上例化简下列各式：
（1） =____
（2） =_____
3．（宜城市期末）一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把
满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因
式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：❑√a⋅b=❑√a•❑√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）
√a ❑√a
（3）商的算术平方根的性质：❑ = （a≥0，b＞0）
b ❑√b
❑√a √a
（4）二次根式的除法法则： =❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
规律方法总结：
在使用性质❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，
如（❑√−4）×（❑√−9）≠❑√（﹣4）×（﹣9）；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法
运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
1 1 ❑√a 1 ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b
例如：① = ∙❑√a = ；② = = ．
❑√a ❑√a×❑√a a ❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)∙(❑√a+❑√b) a−b
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式
不止一个．例如：2﹣❑√3的有理化因式可以是2+❑√3，也可以是a（2+❑√3），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A.❑√45 B.❑√a2 +b2 C.❑ D.❑√3.6
2
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含
能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的
两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，
被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．
2.计算(1)❑√2a•❑√8a（a≥0）= ； （2）❑√12÷❑√6= ．【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：
❑√a √a
乘法法则❑√a⋅❑√b=❑√ab；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则： =❑ （a≥0，b＞0）．
❑√b b
1 1
3.已知：a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
2−❑√3 2+❑√3
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出 a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、
a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（钦南区校级月考）计算：
（1） × ；
（2） × ．
2．（吉林月考）计算3 ÷ × ．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加
减，根式不变．
（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A.❑√9 B.❑√27 C.❑√18 D.❑√24
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次
根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
√1 √1
2.计算2❑ ﹣6❑ +❑√8的结果是（ ）
2 3
A.3❑√2﹣2❑√3 B.5﹣❑√2 C.5﹣❑√3 D.2❑√2
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同
类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1） ❑√18a⋅❑√2a(a≥0)
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2
2 4
（3）❑√12+❑√18−❑√8−❑√32
（4）(3+❑√10)(❑√2−❑√5)．
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（博兴县期中）计算：（1） ÷ +2 × ﹣（2 + ）2
（2）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）× ﹣ +
2．（兴义市期中）（1）5 ．
（2） ．
3．（矿区期中）（1）计算（ ﹣2 +3 ）×
（2）已知a= +2，b= ﹣2．求a2b+ab2的值
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，求下列各式的值：
x y
（1）x2y+xy2； （2） + ．
y x
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次
x y
根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y）， + 变
y x
(x+y) 2−2xy
形为 ，然后利用整体代入的方法计算．
xy
【随堂练习】
1．（沧州期末）（1）计算：3 ﹣ × +
（2）已知：x= +1，求x2﹣2x的值．2．（遵义期末）已知x= （ + ），y= （ ﹣ ），求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2） + ．
3．（宁晋县期中）已知a= ，b= ，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
综合运用
√5 √ 5
1.计算：❑√2xy•❑√8 y= ___ ，❑√12×❑√27=_________；❑ ÷❑ = _____ ．
3 54
2.化简❑√27的结果是____________．
3.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
1 ❑√3−x ❑√x−3
（1） ； （2） ； （3） ；
❑√4−3x x−2 x−2
（4）❑√−x2 ； （5）❑√2x2 +1； （6）❑√2x−3+❑√3−2x．
√1 1
5.计算：3❑√5+2❑ −❑√20− ❑√32．
2 2
√1
6.计算：①（3﹣❑√7）（3+❑√7）+❑√2（2﹣❑√2） ②❑√48÷❑√3﹣❑ ×❑√12+❑√24
2
7.已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3﹣❑√2．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．第 04 讲 平面直角坐 标 系
知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把
这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
注意：当 时， 和 是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）
一 二 三 四 五 六
列 列 列 列 列 列
一行
二行
C D
三行
A
四行
B
五行
六行
A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？
(巷)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5(街)
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在
前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右
或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．【随堂练习】
1．（宁晋县期末）以下描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．万达电影院2排B．距薛城高铁站2千米
C．北偏东30℃D．东经106℃，北纬31℃
2．（沙河市期末）如图，小明从点 O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M
的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．（定陶区期末）下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．5楼6号 B．北偏东30°
C．大学路19号 D．东经118°，北纬36°
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或 轴，习惯上取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做纵轴或 轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，
第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
3、点的坐标
对于坐标平面内的一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 、 分别叫做点 的横坐标和
纵坐标，有序实数对 叫做点 的坐标，记作 ．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
4、各象限内点的坐标特征点 在第一象限 ；
点 在第二象限 ；
点 在第三象限 ；
点 在第四象限 ．
【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长度的点有____________．
2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，
可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．若xy＞0，且x+y＜0，则点P（﹣x，x+y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（攀枝花）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（港南区一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 即在 轴上，又在 轴上 ，即点 的坐标为 ．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点 在第一、三象限夹角的角平分线上 ；
点 在第二、四象限夹角的角平分线上 ．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（ ）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
2.已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是_________．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（赫章县期末）点（2，3），（1，0），（0，﹣2），（0，0），（﹣3，2）中，不属于任何象
限的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（埇桥区期末）点A在x轴上，且到坐标原点的距离是2，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2）或（0，2） D．（﹣2，0）或（2，0）3．（乌拉特前旗期末）已知点 P（0，a）在 y 轴的负半轴上，则点 Q（﹣a2﹣1，﹣a+1）在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（定州市期末）点P（m+3，m+1）在直角坐标系x轴上，则点P坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，2 C．（﹣2，0） D．（2，0）
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A，逆时
1 2
针旋转90°后前进3个单位长度到达A，…，逆时针旋转90°后前进个单位长度到达点A，则点A的坐标为________．
3
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点A在第一象限；再观察
第一象限内的点A（1，2），A（3，4），A （5，6）的规律，发现第一象限内的点A 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以
2 6 10 n
第一象限内点A的坐标为 ，所以点A点的坐标为（1009，1010）．【随堂练习】
1．对有序数对（x，y）的一次操作变换记为 P （x，y），定义其变换法则如下：P （x，y）=
1 1
（x+y，x﹣y）；且规定 P （x，y）=P （P （x，y））（n为大于1的整数），如 P （1，2）=
n 1 n﹣1 1
（3，﹣1），P （1，2）=P （P （1，2））=P （3，﹣1）=（2，4），P （1，2）=P （P （1，
2 1 1 1 3 1 2
2））=P （2，4）=（6，﹣2），则P（1，﹣1）=（ ）
1
A．（0，21007）B．（21007，﹣21007） C．（21008，﹣21008） D．（0，21008）
2．如图，在平面直角坐标系中，直径为 1个单位长度的半圆O 、O 、O ，…组成一条平滑的曲线，
1 2 3
点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第秒时，OP的长度是（
）
A．1008 B．1009 C．D．1008π
3．（广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O出发，按向右，向上，
向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A ，第2次移
1
动到A ，…，第n次移动到A ．则△OA A的面积是（ ）
2 n 2A．504m2 B． m2C． m2D．1009m2
综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→
（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由 A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→
（_______）→（_______） → （1，3）．（答案不唯一）
3.已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为____________．
4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测
出，从里向外第41个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．
6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点（2，﹣1），…，按照这样的规律，第次到达点的坐标应为_______．
7.请写出点A，B，C，D，的坐标．
8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．第 05 讲 坐 标 方法的 简单应 用
知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我们能看到许多这种方法的应用，如用经度和
纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一
个坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，
﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，
又回到家里，写出路上她经过的地方．【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位置的坐标，主要是先
确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出
了平面直角坐标系，那我们只需要按照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（怀集县期末）如图，在一座高层的商业大厦中，每层的摊位布局基本相同．若第六层高档服装销售摊位可表
示为 ，2， ，则第六层的手表摊位可表示为
A． ，2， B． ，4， C． ，3， D． ，4，
2．（武安市期末）根据下列表述，能确定具体位置的是
A．奥斯卡影院2号厅3排 B．武安市富强大街
C．东经 D．舍利塔北偏东 ， 处
3．（庐江县期末）小明家位于公园的正东 处，从小明家出发向北走 就到小华家，若选取小华家为原点，
分别以正东、正北方向为 轴、 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 长，则公园的坐标是
A． B． C． D．
4．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点 ， ．则“宝藏”点 的坐标是A． B． C． D．
5．（昌平区二模）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标 ，长陵的位置坐标
，则定陵的位置坐标为
A． B． C． D．
6．（沈河区期末）如图， 象棋盘上， 若“将”位于点 ，“车”位于点 ，则“马”位
于点
A ． B ． C ． D ．
7．（东莞市期末）会议室“ 2 排 3 号”记作 ，那么“ 3 排 2 号”记作
A ． B ． C ． D ．
8．（阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用 表示左眼，用 表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成
A． B． C． D．
9．（冠县期末）下列说法中，能确定物体位置的是
A．天空中的一只小鸟 B．电影院中18座
C．东经 ，北纬 D．北偏西 方向
知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐
标相同。
【随堂练习】
1．（崇川区校级月考）点 ，以 为圆心，5为半径画圆交 轴负半轴的坐标是
A． B． C． D．
2．（监利县期末）经过点 与点 的直线平行于 轴，且点 到 轴的距离等于5，则点 的坐标是
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
3．（浦东新区期末）平面直角坐标系中，到 轴距离为2， 轴距离为2的点有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（张店区二模）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 ， ， 的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点 ， ， 的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派
送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：
①上午派送快递所用时间最短的是甲；
②下午派送快递件数最多的是丙；
③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．② D．②③
5．（行唐县期末）已知点 ， ， ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法判断
6．（开福区校级期末）如图所示，长方形 中， ， ， ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
7．（邵东县期末）如图， 顶点 的坐标是 ，过点 作 边上的高线 ，则垂足 点坐标为
A． B． C． D．二．填空题（共2小题）
8．（江汉区期末）点 是 轴上位于原点左侧的一点，且与点 的距离为3个单位长度，则点 的坐标为
．
9．（官渡区期末）已知 轴，点 的坐标为 ，并且 ，则点 的坐标为 ．
知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平
移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长
度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），
△ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P′（x+6，y+4）.
1 1 1 1
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上
（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一
个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【随堂练习】
1．（华蓥市期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将点 向右平移3个单位长度后得到 ，则点
的坐标是
A． B． C． D．
2．（汉阳区期末）点 向右平移 个单位后到 轴的距离等于到 轴的距离，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（古冶区期末）将点 向上平移4个单位，再向左平移4个单位得到点 ，则下列说法不正确的是
A．点 的坐标为
B．点 在第三象限
C．点 的横坐标与纵坐标互为相反数
D．点 到 轴与 轴的距离相等
4．（天津期末）在平面直角坐标系中，将点 向右平移5个单位长度后，那么平移后对应的点 的坐标是
A． B． C． D．
5．（青岛期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ，如果将 先向左平移2个单位，
再向上平移1个单位得到△ ，那么点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
6．将点 先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．7．（孝义市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，将三角
沿一确定方向平移得三角形 ， ， ，点 的对应点 的坐标是 ，则点 ， 坐标分别是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（天台县期末）把平面直角坐标系中的一点 向上平移2个单位长度后，点 的对应点 刚好落在 轴上，
则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P（﹣1，2）关于直线m
的对称点的坐标为_______．
【随堂练习】
1．（南开区期末）已知点 和点 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线 对称，则平面内点 的坐标为
A． B． C． D．
2．（德州一模）如图， 的顶点都在正方形网格格点上，点 的坐标为 ．将 沿 轴翻折到第一
象限，则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
3．（潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用 表示，右下角
方子的位置用 表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是
A． B． C． D．
4．（临沂）在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别
是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时
点B的坐标是____．【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图
形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是作出图形，利用数形结合的思想求解更形
象直观．
【随堂练习】
1．（孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点 顺时针旋转 得到点 ，则 的坐标为
A． B． C． D．
2．（青岛）如图，将线段 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，
则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
3．（湖北模拟）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，将点 绕原点 顺时针旋转 得到点 ，则点的坐标是
A． B． C． D．
4．（江门期末）如图， 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是
A． B． C． D．
5．（青岛模拟）如图，点 ， 的坐标分别为 、 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到△
，则 点的坐标为
A． B． C． D．
6．（邵阳）如图，将等边 放在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在第一象限，将等边
绕点 顺时针旋转 得到△ ，则点 的坐标是 ．7．（海沧区校级月考）点 的坐标为 ， ，现将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，则 坐
标为 ．
综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，
﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是 ．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为 ．
3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至AB，A、B 的坐标分别为（2，a）、（b，3），则
1 1 1 1
= ．
6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积
为9，则D点坐标为 ．7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，3）的对应点D的坐标是 ．
8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x
轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），
（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．
9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在 4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，
试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；（7）3楼7门的是 ．
10.三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．
11. ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1△）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．第 06 讲 函数
知识点1 常量与变量
1.变量与常量：
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.
注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.
【典例】
1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：
则下列说法中正确的是（ ）
A. 定价是常量，销量是变量
B. 定价是变量，销量是不变量
C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【随堂练习】
1．（丹东期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，
这个问题中因变量是（ ）
A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器
2．（迁安市期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中
的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
知识点2 函数的概念1.一般地，在一个变化过程中的两个变量 和 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，那么我们称 是 的函数，
其中 是自变量， 是因变量.
2.函数的图像:
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
【典例】
1.下列说法正确的是（ ）
A. 在球的体积公式V= πr2中，V不是r的函数
B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
C. 在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数
D. 若变量x、y满足y= x+ ，则y是x的函数
2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法正确的是______________．
①x与y都是变量；
②弹簧不挂重物时的长度为0cm；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．
3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（ ）
A.
B.C.
D.
4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数
关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后
回家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有________米；
（2）邮亭离公共阅报栏有________米；
（3）小红从邮亭走回家用了________分．
【随堂练习】
1．下列表达式中能够表示y是x的函数的是（ ）
A．y= （x＞0） B．x2+y2=1 C．y= D．x=9y2
2．（灵石县期末）下表反映的是某地区电的使用量 x（千瓦时）与应交电费 y（元）之间的关系，
下列说法不正确的是（ ）
用电量x（千瓦 1 2 3 4 …
时）
应交电费y 0.55 1.1 1.65 2.2 …
（元）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是函数
B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
D．y不是x的函数3．（娄星区期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 自变量的取值范围和函数值
函数自变量的取值范围，一般从下面几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；
（4）当函数表达式含有0次幂时，需要满足0次幂的底数不等于0.
【典例】
1.求下列函数中自变量的取值范围：
（1）
（2）
（3）
（4） ．
2.根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为_________.【随堂练习】
1．（内江）已知函数y= ，则自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1
2．（包头）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
3．（高新区期末）已知函数 y=|x﹣b|，当x=1或x=3时，对应的两个函数值相等，则实数 b的值是
（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（蓝田县期末）如图是我国古代某种铜钱的平面示意图，该图形是在一个圆形的中间挖去一个正
方形得到的．若圆的半径是3cm，正方形的边长为xcm，设该图形的面积为ycm2．（注：π取3）
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）当x=1时，求y的值．
知识点4 函数的图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
【典例】
1．（文登区期末）某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15分钟，于是
立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给她送学习用品，两人在途中相遇，在这
个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离S（米）与所用时间t（分钟〕之间的关系如图所示，若爸
爸骑自行车的速度是小颖步行的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）学校离家的距离是____米，爸爸出发 _____ 分钟后与小颖相遇；
（2）请求出小颖步行的速度；
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度不变）小颖能在上课
前到达学校吗？请说明理由．【随堂练习】
1．（桑植县期末）下列各图象中，不是 关于 的函数图象的是
A． B．
C． D．
2．（贵阳期末）中国国际大数据产业博览会于年5月26日在贵阳开幕，小咏从家出发前往会展中心参观，先匀速
步行至轻轨车站，等了一会儿，小咏搭乘轻轨至会展中心参观，参观结束后，小咏搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家，
下面的哪个图更好地刻画小咏离家距离与时间的关系
A． B．
C． D．
3．（顺德区期末）如图是一辆汽车行驶的速度（千米 时）与时间（分 之间变化图，下列说法正确的是A．时间是因变量，速度是自变量
B．从3分到12分，汽车行驶的路程是150千米
C．时间每增加1分钟，汽车的速度增加10千米 时
D．第3分钟时汽车的速度是30千米 时
4．（邯郸三模）定义新运算： ，则函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
5．（简阳市 期末）下列情境分别可以用图4中哪幅图来近似地刻画？
（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；
（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．
对应正确的是
A．③④①② B．②③①④ C．③①④② D．①②③④
6．（九江期末）如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度 与放水时间 之间的变化情况的是
A． B．
C． D．
7．（太原期末）如图，一辆汽车在龙城大街上沿东向西方向正常行驶，从点 处开始减速驶入路况良好的祥云
桥北匝道桥，接着驶入滨河东路后沿北向南继续正常行驶．下列四个图象中能刻画该汽车这个过程中行驶速度
（千米 时）与行驶时间 （时 之间关系的是
A． B．
C． D．
8．（万安县期末）某同学放学回家，在路上遇到一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家．下列图象能表示这位同学所剩路程与时间变化关系的是
A． B．
C． D．
9．（西湖区期末）定义新运算： ，则函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
10．（利津县期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程 （米 与时间 （秒 的关系如图所示，则下列结论错误的是
A．甲的速度为8米 秒 B．甲比乙先到达终点
C．乙跑完全程需12.5秒 D．这是一次100米赛跑
11．（丰南区期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学情景，下列说法中错误的是
A．用了5分钟来修车
B．自行车发生故障时离家距离为1000米
C．学校离家的距离为2000米
D．到达学校时骑行时间为20分钟
综合运用
1.下列图象不能表示变量y是变量x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列关系式中，y是x的函数有（ ）
①y= ；②y=x2；③y2=x（x≥0）；④y= （x≥0）；⑤y=± （x≥0）；⑥|y|=x（x≥0）；⑦y=|x|．
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
3.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示
的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是__________________________________.
4.已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地的距离为y km，步行的时间为x h．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．第 07 讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中 是自变量， 是因变量， 是 的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
2.已知 ，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【方法总结】
1.判断某两个变量 之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是
否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（日照期末）下列式子中，表示 是 的正比例函数的是
A． B． C． D．
2．（江门期末）下列函数中，正比例函数是
A． B． C． D．
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数 （ 为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；
当 时，图象过二、四象限， 随 的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1） ；（2） ．
2.已知函数 ， ， ， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与 轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数 ， 在同一坐标系中的图象如图所示，则 与 的大小关系为____________．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；当 时，图象过二、四
象限， 随 的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的 值的大小时，只需比较每条直线与 轴所夹锐角的大小，锐角越大， 越大，分别确定
一、三象限中 的大小和二、四象限中 的大小，再按照“一、三象限的 值>二、四象限的 值”将 值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（中山市期末）如图为正比例函数 的图象，则一次函数 的大致图象是A． B．
C． D．
2．（潍坊期末）能表示一次函数 与正比例函数 ， 是常数且 的图象的是
A． B． C． D．
3．（白水县一模）正比例函数 的图象如图所示，则 的值为
A． B． C． D．
4．（新化县期末）下列函数中， 随 的增大而减少的函数是
A． B． C． D．
5．（碑林区校级三模）正比例函数 ，当 每增加3时， 就减小2，则 的值为A． B． C． D．
6．（大庆）正比例函数 的函数值 随着 增大而减小，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
7．（常熟市期末）下列函数中，函数值 随自变量 增大而减小的是
A． B． C． D．
8．（蚌埠期末）已知正比例函数 的图象经过二、四象限，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对 ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
【典例】
1．（常熟市校级期中）若y=y +y 且y 与x成正比例，y 与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当
1 2 1 2
x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
2．（廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣ ，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为 y=kx这种形
式，然后需要代入一个点的坐标即可求出 k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是
y=kx。
【随堂练习】
1．（绍兴期末）已知正比例函数的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式为
A． B． C． D．
2．（榆林期末）已知正比例函数 的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式为
A． B． C． D．
3．（温江区期末）若一个正比例函数的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式为
A． B． C． D．4．（萧山区期末）已知 关于 成正比例，且当 时， ，则当 时， 的值为
A．3 B． C．12 D．
5．（玉田县期末）已知 与 成正比例，并且 时， ，那么 与 之间的函数关系式为
A． B． C． D．
综合运用
1．（宜兴市校级月考）已知 y=y +y ，其中y 与x成正比例，y 与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，
1 2 1 2
y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
2．（昭平县一模）y= x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
3．（曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）
所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x ，y随x的增大而减小，则m的值是______．
5．（南岸区期末）设 min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如 min{0，1}=0．min{4，3，2}
=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（ ）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3第 08 讲 一次函数
知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
5
1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=x；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y= 中，是一
次函数的有________________.
2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【方法总结】
一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．
牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.
【随堂练习】
1．（福清市模拟）下列函数的解析式中是一次函数的是（ ）
A．y= B．y= x+1C．y=x2+1 D．y=
2．（昭阳区模拟）要使函数y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（ ）
A．m≠2，n≠2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=2 D．m=2，n=0
3．（奉贤区期末）下列函数中，一次函数是（ ）A．y=xB．y=kx C．y= +1 D．y=x2﹣2
4．（广元期末）若函数y=2xk﹣2+（k+1）是关于y是x的一次函数，则k=_____．
知识点2 一次函数的图像
b
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（− ，0）的直线，一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
k
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两
个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即为一次函数的图像.
【典例】
1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【随堂练习】
1．（德阳期末）在平面直角坐标系中，函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
2．（成武县期末）函数 的图象大致是
A． B．C． D．
3．（綦江区期末）如图所示，函数 的图象可能是下列图象中的
A． B．
C． D．
4．（高密市期末）若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
5．（凉州区期末）一次函数 的图象大致是
A． B．C． D．
6．（巍山县期末）正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
7．（唐河县期末）直线 与直线 在同一坐标系中的大致位置是
A． B．
C． D．
8．（即墨区期末）如图所示，表示一次函数 与正比例函数 ， 是常数，且 的图象是
A． B．C． D．
知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
2.两条直线y=ax+b与y=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2
A. B. C. D.
3.一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是________________________.
【随堂练习】
1．（新华区期末）已知函数 如果 随 的增大而减小，则它的图象可能是A． B．
C． D．
2．（珠海期末）一次函数 的图象经过
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限
3．（海宁市二模）已知：实数 满足 ， ， ，对于每一个 ， 都取 ，
中的较大值．若 的最小值是 ，则 的值是
A．0或 B．2或 C．1或2 D．2或
4．（巴南区期末）如果关于 的分式方程 有非负整数解，且一次函数 不经过四象限，
则所有符合条件的 的和是
A．0 B．2 C．3 D．5
5．（万州区期末）要使关于 的分式方程 有整数解，且使关于 的一次函数 不经过
第四象限，则满足条件的所有整数 的和是
A． B． C．2 D．1
6．（渝北区期末）若关于 的分式方程 有正数解，且关于 的一次函数 ， 随
的增大而减小，则满足条件的所有整数 的和为
A． B． C． D．
7．（封开县期末）若直线 经过第一、二、四象限，则直线 的图象大致是A． B．
C． D．
8．（官渡区期末）关于直线 的说法正确的是
A．图象经过第二、三、四象限 B．与 轴交于
C．与 轴交于 D． 随 增大而增大
9．（新乐市期中）函数 中， 随 的增大而增大，则直线 经过
A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限
10．（新左旗期中）一次函数 的图象经过 象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
11．（和县期末）若 ， ，则一次函数 的图象不经过下列个象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（黄冈期末）下列四个选项中，关于一次函数 的图象或性质说法错误的是
A． 随 的增大而增大 B．经过第一，三，四象限
C．与 轴交于 D．与 轴交于
13．（思明区校级二模）关于 的一次函数 ，当 时， 的最大值是
A． B． C． D．
14．（姜堰区二模）已知过点 的直线 不经过第四象限，设 ，则 的取值范围为A． B． C． D．
15．（常州期末）已知一次函数 ，函数值 随自变量 的增大而减小，且 ，则函数 的图
象大致是
A． B．
C． D．
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l：y＝kx＋b 与l：y＝kx＋b 的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．
【典例】
1
1.已知直线l：y=﹣ x+1，请分别写出一条与直线l互相平行、互相垂直的直线的解析式：______________，_______________.
2
【随堂练习】
1．（内江期末）已知一次函数 的图象经过一、三、四象限，则 ， 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（鄂伦春自治旗期末）函数 的图象不经过第二象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（北流市期末）已知正比例函数 且 随 的增大而减小，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（甘井子区期末）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，则 的取值范围是A． B． C． D．
5．（九龙坡区校级期末）已知一次函数 中，函数值 随自变量 的增大而减小，那么 的取值范
围是
A． B． C． D．
6．（忻州期末）已知直线 经过第一、二、四象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（赛罕区期末）若一次函数 的图象经过第一，二，三象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．（隆回县期末）若一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则 的取范围为
A． B． C． D．
9．（永年区期末）已知函数 的图象经过第一、三、四象限，则 的值可以是
A．3 B．2 C．1 D．0
综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（ ）
A． B． C． D．
1
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y= x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次函数的个数为_______.
33.若函数y=(m−2)xm2−3
+4是一次函数，则m的值为______________.
1
4.已知直线l1：y=2x+1，l2：y＝− x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直线与l1平行，则该直线的未知数的系数为
2
_____________.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.
1
7.关于函数y= x−3，下列结论中正确的是_____________________.
2
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．第 09 讲 一次函数的 应 用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析
式.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的
解析式.
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过
原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（宁德期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ）x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 6 9 …
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（长安区一模）已知等腰△OAB的面积为3，其底边OB在x轴上，且点B的坐标为（2，0），点A在第四象限，则OA所在的直
线的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝ x D．y＝﹣ x
3．（荔湾区校级模拟）能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）
A．y＝2x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣2
4．（乐亭县期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为 3，则这个一次函数的表达式为
（ ）
A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
5．（白山期末）若点P（﹣1，3）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝ x C．y＝3x﹣1 D．y＝1﹣3x
二．填空题（共2小题）
6．（铜仁市期末）试写出经过点A（1，2）的一个一次函数表达式 ．
7．（东丽区一模）已知一次函数y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为 ．
8．（雨花区校级期末）已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
9．（平谷区期末）如图，一次函数y＝kx+4的图象交x轴于点A（2，0），与y轴交于B点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求线段AB的长．知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的
表达式是_______________.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要
找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（松北区期末）将直线 平移后，得到直线 ，则原直线
A．沿 轴向上平移了8个单位 B．沿 轴向下平移了8个单位
C．沿 轴向左平移了8个单位 D．沿 轴向右平移了8个单位
2．（邓州市期末）将直线 怎样平移可以得到直线
A．向上平移2个单位 B．向上平移3个单位
C．向下平移2个单位 D．向下平移3个单位
3．（锦江区期末）将一次函数 的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为
A． B． C． D．4．（翔安区模拟）如果将直线 平移后得到直线 ，那么下列平移过程正确的是
A．将 向左平移2个单位 B．将 向右平移2个单位
C．将 向上平移2个单位 D．将 向下平移2个单位
5．（罗庄区期末）把直线 向上平移 个单位后，与直线 的交点在第二象限，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
6．（天河区期末）把直线 沿着 轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为 ．
7．（石景山区期末）直线 向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为 ．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，
乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车
前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化
为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相
同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，
两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速
度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点
的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（沙坪坝区校级二模）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途
中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往 B地，当快递车到达B地后立即掉头
以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车
与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则
货车到达B地后，快递车再行驶_____h到达A地．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（1）设方案A的收费金额为y 元，方案B的收费金额为y 元，分别写出y，y 关于x的函数解析式；
1 2 1 2
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y﹣y 的值，根据一次函数的性质
1 2
即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（内黄县期末）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方
式可供选择
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用 （元 ， （元 与运输路程 （公里）间的函数关系式
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
2．（梧州一模）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间，学校组织七年
级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树100棵，乙班共植树120棵，两班完成植树任务所用时间相
同，且甲班每天比乙班少植树5棵．
（1）问甲、乙两班每天各植树多少棵？
（2）学校计划购进桂花树苗和榕树苗共200棵，桂花树苗每棵80元，榕树苗每棵70元．设桂花树苗买了 棵，
购买两种树苗所需总费用为 元，求 与 的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花树苗多少棵时总费用最
低？
3．（南山区期末）某校为奖励该校在南山区第二届学生技能大赛中表现突出的20名同学，派李老师为这些同学
购买奖品，要求每人一件，李老师到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2
支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？
（2）售货员提示，购买笔记本没有优惠：买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可
以享受8折优惠，若买 支钢笔，所需费用为 元，请你求出 与 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低．综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度 L（cm）与所挂物体重量 x（kg）之间的几个对应值，则可以推测 L与x之间的关系式是
________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线l：y=﹣2x+4平移后得到直线l，l 与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
1 2 2
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快
列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹
果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面
积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么
应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
3
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=
2
5
，A点坐标为（ ，0），求线段AD所在直线的解析式．
2第 10 讲 二元一次方程 组
知识点1 二元一次方程的概念
方程 、 ，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程，叫做二元一
次方程.
二元一次方程需要满足的条件：
1、只含有两个未知数；
2、含未知数项的最高次数是1；
3、整式方程.
【典例】
1.若方程 是关于 的二元一次方程，则 ．
【方法总结】
有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手，通过建立方程模型，从而求出待定系数或
相关字母值.
【随堂练习】
1．（新化县期末）下列各式中是二元一次方程的是
A． B． C． D．2．（嘉兴期末）下列属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
3．（满城区期末）已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ， 的值为
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（道外区期末）下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
5．（杜尔伯特县期末）若 是关于 ， 的二元一次方程，则
A． ， B． ， C． ， D．
，
6．（万州区期末）若 是关于 的二元一次方程，则 的值是
A．0或1 B．0 C．1 D．任何数
7．（洛宁县期中）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
8．（道里区期末）若方程 是关于的 ， 二元一次方程，则 的取值范围是
A． B． C． D．
知识点2 二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.如 是方程 的一个解，记作 .
【典例】
x、y
1.已知关于 的二元一次方程 ，当 时， ；若无论 取任何实数，该二元
一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．
【方法总结】
1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数的方程，解方程即可求
出参数的值.
2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参数的项进行合并，并令
合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.
【随堂练习】
1．（雨花区校级期末）已知 是方程 的一个解，则 的值是
A．3 B．1 C． D．
2．（海淀区校级期末）若 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
A． B．3 C． D．4
3．（通州区期末）已知关于 ， 的二元一次方程 ，其取值如下表，则 的值为
5
A．9 B．11 C．13 D．15
4．（永州期末）下列选项不是方程 的解的是
A． B． C． D．5．（江汉区期末）若 和 是方程 的解，则 ， 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程 的解的是
A． B． C． D．
7．（泰山区期中）下列数值是二元一次方程 的解的是
A． B． C． D．
8．（阳谷县期中）已知二元一次方程 的一个解是 ，求 的值
A． B． C． D．
9．（惠阳区期末）若 是关于 和 的二元一次方程 的解，则 的值等于
A． B． C．1 D．3
10．（遵义期末）已知 ， 与 ， 都是方程 的解，则 ， 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
11．（庐江县期末）下列各组数中，是二元一次方程 的一个解的是
A． B． C． D．12．（和田地区期末）已知 是方程 的解，则 ．
知识点3解二元一次方程组---代入消元法
代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而
把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
【典例】
1.用代入法解方程组（1） ； （2） .
【方法总结】
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，
则选取系数的绝对值较小的方程变形.
【随堂练习】
1．（资中县期中）解方程组
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法
把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种
解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.
【典例】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组
{&2x+3(y−2)=6
{&7x+4 y=2①
（1） y ；（2） ．
&x− =2 &3x−6 y=24②
2
【方法总结】
先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如下：
1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；
2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.
3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过
变形，把系数变为相同或相反.【随堂练习】
1．（宿迁）解方程组： ．
2．（湘西州）解方程组：
【补充练习】
1．（来宾期末）方程组 的解是
A． B． C． D．
2．（谢家集区期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用① ② 消去 ，则
、 的值可能是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（云梦县期末）方程组 的解是
A． B． C． D．
4．（孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是
A． B．5 C． D．6
5．（从化区一模）已知 ，则 等于
A．1 B．3 C． D．6．（莒县期中）若 ，则点 在第 象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
7．（鞍山一模）若 ，则 ， 的值为
A． B． C． D．
8．（冠县期中）解方程组① ，② ，比较简便的方法是
A．都用代入法 B．都用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
9．（贵阳模拟）若关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则 的值为
A． B． C．1 D．3
10．（兰州期末）如果方程组 的解是二元一次方程 的一个解，那么 的值为
A．7 B．6 C．3 D．2
11．（海淀区校级期末）解关于 、 的二元一次方程组：
（1）
（2）
知识点5 二元一次方程组的解的概念二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
【典例】
1.已知方程组 的解为 ，则 的值为________．
【方法总结】
已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，
求出参数的值，进而求得含参代数式的值.
【随堂练习】
1．（白云区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点6 同解方程组
【典例】
1.（1）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
（2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为 ；乙看错了方程②
中的 ，得到方程组的解为 ．
试计算： ．
【方法总结】
1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程组，求得它们共有的解，
再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.
2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.
【随堂练习】1．（雁塔区校级期末）已知方程组 与 有相同的解，则m=____，n=___．
知识点7 解三元一次方程组
1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，
求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
【典例1】
1.解三元一次方程组 ．
【方法总结】
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案.
例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，
即“缺某元，消某元”.
2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求 的值．
【方法总结】
已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的值，只需把其中一个未知数（如： ）
当作一个常数，解关于另外两个未知数（如： ）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.
【随堂练习】
1．（武昌区期中）在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，则
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（南江县期末）下列四组数值中，为方程组 的解是A． B． C． D．
3．（莘县期中）关于 ， 的方程组 的解互为相反数，则 的值是
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（丰润区一模）已知 ，如果 与 互为相反数，那么
A． B． C． D．
5．（九龙坡区校级期末）育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有 1个笔袋，
2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文
具厂将员工分为 、 、 三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天 24小时轮班连
续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点 组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点
组完成低务，再过几天（不少于一天）后的 6时 组完成任务．已知 、 、 三个组每天完成的任务数分别是
270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了 套文具套装．
6．（大丰区期中）若 ，则 ．
7．（洛江区期末）三元一次方程组 的解是 ．
8．（雨花区期末）已知： ，且 ，则 的值等于 ．
9．（武昌区期中）解方程组 ．综合运用
1.关于 的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出 ，则 的值是____
2.已知 是方程组 的解，则 ．
3.已知方程 是二元一次方程，则 ．
4.解方程组 ．
{&3(x−1)=y+5
5.用加减消元法解二元一次方程组 ．
&5 y−6=3(x+4)
6.已知方程组 和 有相同的解，求 的值．
7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的
b，得到方程组的解为 ．请计算代数式 的值．
{&3x−y+z=10①
8.解方程组： &x+2y−z=6② ．
&x+y+2z=17③
9.已知： ，求 的值．第 11 讲 二元一次方程 组 的 应 用
知识点1 配套问题
在配套问题中，已知a件甲商品和b件乙商品恰好配成一套，即一套中甲乙的数量比是a：b，要使生产出的产品配套，就得满足甲乙
的总数量之比也为a：b.
【典例】
1.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多
少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【随堂练习】
1．（深圳模拟）玩具车间每天能生产甲种玩具零件 24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一
个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在 60天内组装出最多的玩具设生
产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．（嵊州市校级月考）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 12个或螺母18个，一个螺栓配两个螺母，应分配____人生产螺栓，____人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺
母正好配套．
知识点2 行程问题
一、路程=速度×时间
二、设甲、乙两人相距一定距离.
1.相遇问题---甲、乙两人相向而行后相遇：
甲、乙两人之间的初始距离=甲所走的路程+乙所走的路程.
2.追及问题---甲、乙同向而行后相遇：
①同时不同地：速度快的所走路程=速度慢的所走路程+甲乙之间的初始距离；
②同地不同时：甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+慢者比快者多用用的时间.
三、航行问题
1.船：顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速.
2.飞机：顺风速度=静风速度+风速 逆风速度=静风速度-风速.
3.静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2
4.水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
【典例】
1.甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则甲、乙二人每小时各走多少千米？
2.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？
【随堂练习】
1．（丹江口市期中）甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；
如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
2．（厦门期中）甲，乙两人相距42千米，两人同时出发相向而行，两小时后相遇；同时出发同向
而行，甲14小时可追上乙，求甲，乙两人的速度．知识点3 销售问题
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣
【典例】
1.小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的
数量和费用如表所示，
（1）在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；
（2）求出商品A、B的标价；
（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
2.有一商场计划用7万元从厂家购进60台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种
每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利200元，销售一台乙种电视机可获利300元，销售一台丙种电视机可获利400元，在同时购
进两种不同型号电视机方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
【随堂练习】
1．（绥阳县模拟）某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，
其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．562.5元B．875元 C．550元 D．750元2．（泗洪县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲 3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1
件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．100元 B．130元 C．150元 D．160元
知识点4 数字问题
1.两位数的表示方法：
2.三位数的表示方法：
【典例】
1.有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1，第一个数加上第二个数后仍为
两位数，且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数．
2.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，
也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
【随堂练习】
1．（邵阳模拟）一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为
12，则这个两位数为（ ）A．46 B．64 C．57 D．75
2．（株洲）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月
数和日数的和为____．
知识点5 梯度收费问题
1.用电收费问题：标准电价部分的电费+超过标准用电量部分的电费=总电费.
2.用水收费问题：标准水价部分的水费+超过标准用水量部分的水费=总水费.
【典例】
1.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．
例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，
请问表中二档电价、三档电价各是多少？
【随堂练习】
1．（九江期末）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度，若每月用水量不超过14吨
（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价 m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市
场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价m和市场价n分别是多少元？
（2）小明家5月份交水费70元，则5月份他家用了多少吨水？综合运用
1.某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产
才能在 30 天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件 x 天，乙种零件 y 天，则根据题意列二元一次方程组是
________________________．
2.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装
（不考虑布料的损耗），设用 m布料做衣身，用 m布料做衣袖，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
3.已知，甲、乙两人相距36千米．
（1）如果甲、乙两人相向而行，若甲比乙先走2小时，则他们在乙出发2.5小时后相遇，若乙比甲先走2小时，则他们在甲出发3小
时后相遇，求甲、乙两人每小时各走多少千米？
（2）如果甲、乙两人保持（1）中速度，两人同时、同向而行，直接写出1小时后两人相距多少千米．
4.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，求这个
两位数是多少？
5.一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这
个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数．
6.某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，
（1）这种商品A的进价为多少元？
（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，
则需对商品A、B分别进货多少件？
7.为鼓励居民节约用水，某市试行阶梯水价收费制，具体执行方案如下：
例如：一户居民七月份用水12方，则需缴水费12×3.5=42（元）．某户居民六、七月份共用水18方，缴水费54元，已知该用户七月份用水量大于六月份，且六、七月份的用水量均大于5方．问该户
居民六、七月份各用水多少方？第 12 讲 方程 组 与一次函数
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标的值即为方程kx+b=0的解；
方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值，也是一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标．
【典例】
1.已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为______
【方法总结】
由一次函数和一元一次方程的关系可知，方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b是一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标．题中（3，
0）是y=mx+n与x轴交点坐标，所以mx+n=0的解为x=3．
【随堂练习】
1．（无棣县期末）已知直线 ， 为常数）经过点 和 ，则关于 的方程 的解为
A． B． C． D．
2．（建昌县期末）一次函数 的图象如图所示，那么方程 的解是
A． B． C． D．
3．（宁津县期末）如图，已知一次函数 的图象为直线，则关于 的方程 的解 的值为A．1 B．4 C．2 D．
4．（南充期末）如图，函数 和 的图象交于点 ，则方程 的解是
A． B． C． D．不确定
5．（达川区期末）直线 经过点 ，且 ，则 的值是
A． B．4 C． D．8
6．（桐城市期末）已知方程 的解是 ，则函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
7．（前郭县期末）一次函数 、 为常数，且 的图象如图所示，根据图象信息可得到关于 的方
程 的解为 ．8．（隆回县期末）已知直线 过点 和点 ，那么关于 的方程 的解是 ．
9．（亭湖区校级期末）同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与一次函数 的图象如图所示，
则关于 的方程 的解为 ．
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx﹣y+b=0的解；以二元一次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一
次函数y=kx+b的图像上．
2.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．
3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．
【典例】
{&x−y=−1
1.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组 的解是________
&ax−y=−3
【方法总结】
如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．题中所求二元一次方程组是两个一次函数的变
形．两个一次函数的交点为P，P点的坐标就是对应的方程组的解．只需要将P点的横坐标带入函数y=x+1中，求出其纵坐标即可．2.如图中的两直线l、l 的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
1 2
{ 1 { 1 { 1
&y=− x−1 &y= x−1 &y=− x−1 {&y=3x−1
A. 3 B. 3 C. 3 D.
&y=−2x+4
&y=−2x+4 &y=−2x+4 &y=−2x−4
【方法总结】
本题考查通过两个一次函数与对应的二元一次方程组的关系．题中已知一次函数的图像和他们的交点以及与坐标轴的交点，求对应的
方程组．只需要通过已知点求出函数的解析式，将其联立即可．
【随堂练习】
1．（潍坊期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所
示），则所解的二元一次方程组是
A． B．
C． D．
2．（成武县期末）如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组A． B． C． D．
3．（黔东南州期末）若关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，一次函数 与
的图象的交点坐标为
A． B． C． D．
4．（平顶山期末）如图，函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，关于 ， 的二元一次方
程组 中的解是
A． B． C． D．
5．（桓台县二模）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于 ， 的二元一次方程
组 的解是A． B． C． D．
6．（衢州一模）已知一次函数 与 的图象如图所示，则关于 与 的二元一次方程组
的解的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解是 ．则直线 与 的交点坐标 ．
7．（永昌县期末）若方程组
8．（莱芜区期末）已知一次函数 与 的交点为 ，则方程组 的解为 ．
9．（朝阳区期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线 与直线 相交于 ，则方程组
的解是 ．10．（邹城市期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，点 的横坐标为1，
， 的方程组 的解是 ；
（1）关于
（2） ；
（3）求出函数 和 的图象与 轴围成的几何图形的面积．
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系
1.一元一次不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围，也是直线y=kx+b在x轴上方部分
所有点的横坐标范围．
2.一元一次不等式y
1
≤kx+b≤ y
2
(y
1
，y
2
是已知数，且y
1
＜y
2
)的解集就是直线y=kx+b上满足y
1
≤y≤ y
2
那条线段
所对应的自变量的取值范围．
3. ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线
y=cx+d的上方对应点的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A（0，2），B（3，0）两点，则不等式ax+b＞0的解是_______【方法总结】
不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围．题中求ax+b＞0的解集只需要找出一次函数
y=ax+b的图像位于x轴上方的部分自变量x的范围．
2.如图，关于x的一次函数l：y=kx+b，l：y=kx+b 的图象如图所示，则y＞y 的解集表示在数轴上为（ ）
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
A. B.
C. D.
【方法总结】
题中已知两个一次函数的图像求不等式y＞y 的解集，方法如下：
1 2
1.通过观看图像找出两个一次函数的交点，观察交点的左右两侧哪个函数的图像在上方；
2.图像位于上方的函数值较大， 找出所求不等式对应的函数图像的部分；
3.写出该部分自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．（双鸭山期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 ， 分别是函数 和 的图象，则
关于 的不等式 的解集为
A． B． C． D．2．（顺德区期末）如图是一次函数 、 是常数）的图象，则不等式 的解集是
A． B． C． D．
3．（钦州期末）如图，直线 经过 和 两点，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
4．（沙河口区期末）函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集是
A． B． C． D．
5．（东湖区校级期末）直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的
不等式 的解集为 ．6．（简阳市 期末）已知：函数 ， ，若 ，则 （填“ ”或 或“ ”
综合运用
1.已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是
____________．
2.已知方程3x+9=0的解是x=﹣3，则函数y=3x+9与x轴的交点坐标是____________，与y轴的交点坐标是___________．
{ 4
{&−3x+y+3=0 &x= 3
3.已知方程组 的解是 3，则直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标为_____________．
&3x+2y−6=0 2
&y=1
4.如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=_________．
{&y=x+2
5.如图，直线l：y=x+2与直线l：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组 的解是_______________．
1 2 &y=kx+b
6.直线l：y=kx+b与直线l：y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞kx的解集为__________．
1 1 2 2 1 23
7.如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(− ，−1)，则不等式mx+2＜kx+b＜
2
0的解集为____________．
8.如图，函数y=3x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），不等式3x≥ax+4的解集为_________．
9.如图，直线y=2x+6与直线l：y=kx+b交于点P（﹣1，m）
（1）求m的值；
{&y=2x+6
（2）方程组 的解是_______________；
&y=kx+b
（3）直线y=﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．10.如图，直线l 过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l 过点C（0，﹣1），l、l 相交于点D，且△DCB的面积等于8．
1 2 1 2
（1）求点D的坐标；
（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．第 13 讲 数据的分析
知识点1 平均数
1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所
得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
【随堂练习】
1．（红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：
月用水量 4 5 6 8 9
户数 2 3 3 1 1
这10户家庭的月平均用水量是
A． B． C． D．
2．（南岗区期末）某市连续7天的最高气温为： ， ， ， ， ， ．这组数据的平均数
是
A． B． C． D．
3．（蚌埠期末）某校规定学生的学期数学成绩满分为 100分，其中研究性学习成绩占 ，期末卷面成绩占
，小明的两项成绩（百分制）依次是90分、80分，则小明的学期数学成绩是
A．80分 B．82分 C．84分 D．86分
4．（琼中县期末）如果一组数据 ， ，0，1， ，6，9，5的平均数为5，则 为
A．22 B．11 C．8 D．5
5．（遵义）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球队，这22名运动员
的年龄（岁 如下表所示，该足球队队员的平均年龄是
12 13 14 15
年龄（岁人数 7 10 3 2
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
6．（防城区期末）一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩（单位：分）分别是110，90，105，91，85，
95．则该小组的平均成绩是
A．94分 B．95分 C．96分 D．98分
7．（门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面
水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其
中合理的是
应聘者 面试 笔试 平均
成绩
听 说 译 写
甲 97 90 94 87 92
乙 85 94 97 92 92
A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25
C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0
8．（鹿城区校级二模）某学校规定学生的数学学期总评成绩由三部分组成，期末考试成绩占 ，期中考试成绩
占 ，平时作业成绩占 ，某人上述三项成绩分别为90分，85分，80分，则他的数学学期总评成绩是
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
9．（确山县期末）某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100，其中早锻炼及体育课外活动占 ，期中考试成
绩占 ，期末考试成绩占 ．小明的三项成绩（百分制）依次是90，80，94，小明这学期的体育成绩是
A．88 B．89 C．90 D．91
10．（行唐县期末）某校规定学生的平时作业，期中考试，期末考试三项成绩分别是按 、 、 计人学
期总评成绩，小明的平时作业，期中考试，期末考试的英语成绩分别是93分、90分、96分，则小明这学期的总评
成绩是
A．92 B．90 C．93 D．93.3
知识点2 中位数与众数中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中
位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。一组数据的中位数
是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
【典例】
1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________
2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并
绘制成下面的统计图.
第11题图
（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数
【随堂练习】
1．（钦州期末）某市6月份日平均气温如所示，在平均气温这组数中众数和中位数分别是
A．21，22 B．21，21.5 C．10，21 D．10，22
2．（北流市期末）数据2，3，3，5，6，10，13的中位数为
A．5 B．4 C．3 D．6
3．（云南模拟）年2月18日，《感动中国年度人物颁奖盛典》在央视综合频道播出，其中乡村教张玉滚的事迹令
人非常感动．某校区委组织“支援多村教育，帮助教师张玉滚”的捐款活动，以下为九年级（1）班捐款情况：
5 10 20 50
捐款金额（元
12 13 16 11
人数（人则这个班学生捐款金额的中位数和众数分别为
A．15，50 B．20，20 C．10，20 D．20，50
4．（红河州二模）年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分
钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了 40名同学每天做书面家
庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是
书画家庭作业时间（分钟） 70 80 90 100 110
4 7 20 8 1
学生人数（人
A．众数是90
B．中位数是90
C．每天做书面家庭作业的平均时间是90分钟
D．每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人
二．填空题（共1小题）
5．（东莞市期末）数据15、19、15、18、21的中位数为 ．
三．解答题（共7小题）
6．（东莞市期末） 、 两店分另选5名销售员某月的销售额（单位：万元）进行分析，数据如下图表（不完
整）
平均数 中位数 众数
店 8.5
店 8 10
（1）根据图 数据填充表格 所缺的数据；
（2）如果 店想让一半以上的销售员达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
7．（新化县期末）在“捐资助教”自愿捐款活动中，某班50名同学的捐款情况如表：
5 10 15 20 25 30 50 100
捐款（元
人数 6 7 9 11 8 5 3 1
（1）问这个班级捐款总数是多少元？（2）求这50名同学捐款的平均数、中位数、众数．
8．（沙河口区期末）某校为了解八年级学生课外阅读情况，随机抽取 20名学生平均每周用于课外阅读的时间
（单位： ，过程如表；
【收集数据】
30 60 81 50 40 110 130 146 90 100
60 81 120 140 70 81 10 20 100 81
【整理数据】
课外阅读时间
等级
人数 3 8
【分析数据】
平均数 中位数 众数
80
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ， ；
（2）如果每周用于课外阅读的时间不少于 为达标，该校八年级现有学生200人，估计八年级达标的学生有
多少人？
9．（嘉兴期末）某电子科技公司有10名技术员，某月他们组装一批电子产品的个数统计如表：
组装个数 55 60 65 70 80
2 2 2 3 1
技术员（人
（1）求这10名技术员组装个数的众数、中位数与平均数；
（2）为了激励技术员的工作积极性，管理者决定对完成定额或超额完成的员工给予奖励．你认为这个“定额”确
定为多少比较合理？请说明理由．
10．（杜尔伯特县期末）某学校抽查了某班级某月10天的用电量，数据如表：
用电量 度 8 9 10 13 14 15
天数 1 1 2 3 1 2
（1）这10天用电量的众数是 度，中位数是 度；
（2）求这个班级平均每天的用电量；
（3）该校共有20个班级，该月共计30天，试估计该校该月总的用电量．
11．（商南县期末）某工厂车间为了了解工人日均生产能力的情况，随机抽取10名工人进行测试，将获得数据制
成如下统计图．
（1）求这10名工人的日均生产件数的平均数、众数、中位数．
（2）若日均生产件数不低于12件为优秀等级，该工厂车间共有工人120人，估计日均生产能力为“优秀”等级的工人约为多少人？
12．（海曙区期末）为了解某校学生平均一周使用体育馆的时间，在今年5月份随机调查了该校200名学生平均一
周使用体育馆的时间，统计结果如下：
100 200 300 400 500
时间（分
人数 20 70 50 40 20
根据上述信息完成下列各题：
（1）直接写出这200名学生平均一周使用体育馆的时间的众数是 分钟，中位数是 分钟．
（2）全校学生共有2000名，请估计该校学生平均一周使用体育馆的时间不少于300分钟的学生人数．
知识点3 从统计图计算集中趋势
数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
【典例】
某校分别于年、年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四
种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：
第5题图
（1）a=_____%,b=______%,“总是”对应阴影的圆心角为________°;
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
（4）相比年，年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？【随堂练习】
1．（娄底）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽
取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整
统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n=_____；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
2．（陇南）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球
的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 A，B，C，D四个等
级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：
6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是 _____ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在____等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
知识点4 数据的离散程度
极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小。
方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s².
标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s
【典例】
1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是_______（填“甲”或
“乙”）
2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________（填“变
小”，“不变”或“变大”）
【随堂练习】
1．（赣县区期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出 5
名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 a 85 b s 2
初中
高中部 85 c 100 160
（1）根据图示计算出a、b、c的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s 2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
初中2．（宁德期末）某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据射击运动员的年龄
（单位：岁），绘制出如下的统计图．
（1）你能利用该统计图求出平均数、众数和中位数中的哪些统计量？并直接写出结果；
（2）小颖认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是15岁．你认为她的
判断正确吗？为什么？
（3）小亮认为，可用该统计图求出方差．你认同他的看法吗？若认同，请求出方差；若不认同，请
说明理由．
综合运用：
1.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间
的中位数是
2.年6月2日，贵阳市生态委发布了《年贵阳市环境状况公报》，公报显示，年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的
部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，b= ；（结果保留整数）
（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）
（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气
质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议3.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定
对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随
机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接 受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m= ，n= ；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
4．（宝丰县期末）某公司对应聘者A，B，C，D进行面试，并按三个方面给应聘者打分，每方面
满分20分，最后打分结果如下表，根据实际需要，公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项成绩
得分按6：3：1的比例确定各人的成绩，此时谁将被录用？
A B C D
专业知识 14 18 17 16
工作经验 18 16 14 16
仪表形象 12 11 14 145．（金东区模拟）某市为了解高峰时段从总站乘 16路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路
车人数，结果如下：
14，23，16，25，23，28，26，27，23，25．
（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；
（2）如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总
站乘该路车出行的乘客共有多少？
6．（福州二模）李先生从家到公司上班，可以乘坐 20路或66路公交车，他在乘坐这两路车时，对
所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计图
请根据以上信息，解答下列问题
公交线路 20路 66路
乘车时间统计量 平均数 34 （ i ）
中位数 （ ii ） 30
（I）完成右表中（i），（ii）的数据：
（II）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需 10分钟钟（含等车，步行等）．该公司规定每天 8
点上班，16点下班
（ i ）某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由；
（ii ）公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次．若李先生每天同一时刻从家里出发，则
每天最迟几点出发合适？并说明理理由．（每月的上班天数按22天计）
7．（辽阳期末）某学校八年级共有三个班，都参加了学校举行的书法绘画大赛，三个班根据初赛成
绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：
决赛成绩（单位：分）
八年1班 80 86 88 80 88 99 80
74 91 89
八年2班 85 85 87 97 85 76 88
77 87 88八年3班 82 80 78 78 81 96 97
87 92 84
解答下列问题：
（1）请填写下表：
平均数 众数（分） 中位数
（分） （分）
八年1 85.5 ____ 87
班
八年2 85.5 85 ____
班
八年3 ____ 78 83
班
（2）请从以下两个不同的角度对三个班级的决赛成绩进行分析：
①从平均数和众数相结合看（分析哪个班级成绩好些）．
②从平均数和中位数相结合看（分析哪个班级成绩好些）．
（3）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？
请简要说明理由．第 14 讲 不等式及不等式 组
知识点1 一元一次不等式的概念
像 ， ， ， ， ， ， 等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
不等式 ， ， ， ，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像
这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 是一
元一次不等式的有_____个
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.
2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且未知项的系数不等于0，
求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（莲湖区校级月考）下列给出四个式子，①x＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是
（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n；
⑥2x﹣3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其中正确的不等式有_____个
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，
再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（雅安期末）若 ，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
2．（通州区期末）已知 ，则在下列选项中，正确的是
A． B． C． D．
3．（新华区期末）已知 ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
4．（荔湾区期末）已知 ，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
5．（桥西区期末）若 ，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．
6．（西城区期末）若 ，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
7．（东西湖区期末）若 ，则下列不等式变形错误的是
A． B．
C． D．
8．（安庆期末）若 ，则下列不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a x≤a
a a
x>a x<a
a a
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【方法总结】
用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，
“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（西城区期末）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
2．（黄陂区期末）如图是一个关于 的不等式组的解集，则该不等式组是
A． B． C． D．
3．（宝安区期末）下列各数中，能使不等式 成立的是
A．6 B．5 C．4 D．2
4．（封开县期末）用不等式表示图中的解集，其中正确的是
A． B． C． D．
5．（海港区期末）已知不等式组 无解，则 的取值范围是A． B． C． D．
6．（阳谷县期中）下列不等式的解集在数轴上表示错误的是
A． B．
C． D．
7．（南海区期末）若不等式组的解集为 ，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
8．（大冶市期末）一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为
A． B． C． D．
9．（福田区期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.【典例】
1.（1）解不等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或除以）同一个不等于 0的数时，必须根据这
个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（北流市期末）若关于 ， 的二元一次方程组， 的解满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（泉州期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
3．（内黄县期末）关于 ， 的二元一次方程组 的解满是 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（古冶区期末）关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．（海珠区期末）关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是A． B．
C． D．
6．（滦州市期末）如图是小芳同学解不等式 的过程，其中错误步骤共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（岳池县期末）已知关于 、 的二元一次方程组 ，给出下列说法：①若 与 互为相反数，
则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 的最大整数值为4．其中正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（商南县期末）关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为
A． B． C． D．
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；（2）【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定 ）：
2.解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．
【随堂练习】
1．（天心区校级期末）解下列不等式（组
（1） ．
（2） ．
2．（东湖区校级期末）解不等式（组 ，并将它的解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2） ．
3．（开福区校级期末）解不等式：
（1）（2）解不等式组：
4．（南关区校级期末）解下列不等式（组 ；
（1） ；
（2） ；
5．（鼓楼区校级期末）解不等式（组 ，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
6．（海淀区校级模拟）解不等式
7．（岳麓区校级三模）解不等式组： 将不等式组的解集在数轴上表示出来．
8．（广饶县期末）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
综合运用
1.不等式 的解集是_______2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？
6.解不等式 ﹣ ＜1，并把解表示在数轴上．
7.求不等式 的负整数解
8.解不等式组： ，并在数轴上表示不等式组的解集．
9.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
10.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．第 15 讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
2.若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是_________．
【随堂练习】
1．（江阴市校级月考）若不等式组 的解集为x＜4，则a的取值范围为（ ）
A．a＞﹣12B．a≥﹣12 C．a=﹣12 D．a≤﹣12
2．（新野县三模）若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2D．m≥2
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组 有解，且关于x的方程 有非负整数解，则符合条件的所有整
数k的和是多少？
【随堂练习】
1．（昆都仑区校级期中）若关于x的不等式组 的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】
1.若关于x的不等式组 有四个整数解，求a的取值范围．
【随堂练习】
1．（召陵区期末）若关于x的不等式组 的整数解恰有5个，求a的范围．2．（西城区校级期中）如果关于x的不等式组 只有3个整数解，求a的取值范围．
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于 的二元一次方程组 的解满足条件 ，求 的取值范围．
（2）已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围.
【随堂练习】
1．（新乡期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜3，求m的取值范围．
2．（黄石期末）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式 x+ y≤3，求m的取值范围．
3．（旺苍县期末）已知方程组 的解满足不等式x﹣2y＜4，求a的取值范围．4．（宝丰县期中）已知 ，其中x、y满足x+y＜1，求k的取值范围．
【综合练习】
1.不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是________．
2.已知关于 的不等式 的解集是 ，试求 的解集．
3.已知关于x的不等式 ≤ 的解集是x≥ ，求m的值．
4.已知关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．
5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
6.关于x的不等式组 的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.
