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期中重难点复习之选择题分阶练（三阶75题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
二次根式基础题型
1．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，形如 的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件是
被开方数是非负数．
直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、 ，一定是二次根式，故此选项正确；
B、 ，根号下是负数，无意义，故此选项错误；
C、 ，根号下有可能是负数，故此选项错误；
D、 三次根式，故此选项错误；
故选A．
2．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根
式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得， 且 ，解得 且 ．
故选：A．
3．（23-24八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出
的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
，
，
，
故选B．
4．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算 的值是（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为
即可求解．
【详解】解：原式故选：C
5．（2024·河北沧州·一模）若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题
的关键．根据完全平方公式将 变形为 ，再代入 ， 的值求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴
，
故选：D．
6．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握运算法则是关键；分别根据二次根式的加减乘除运算
逐项进行判断即可．
【详解】解：A、 ，负数没有平方根，故计算错误；
B、 ，故计算错误；
C、 ，故计算错误；
D、 ，故计算正确；
故选：D．
7．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式可以得到 ，
再代入求值即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，．
故选： ．
8．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、二次根式的性质、整式的加减，先根据数轴的定义得出
，再根据绝对值运算、二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由题意得： ，
则
．
故选：A．
9．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，用到绝对值的性质，熟记性质是解题的关键．先根据二次根式的
性质把原式化为 ，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解： ，，
，
，
原式 ，
故选：B．
10．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，正方形 的边长为 ，面积为8；正方形 的边长为 ，
面积为32．计算 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据正方形的面积求出 的值，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选B．
勾股定理基础题型
11．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的
第三条线段长是（ ）
A．5 B． C．5或 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当两条线段均为直角边时；当线段 为斜边，线段 为直角
边时；利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当两条线段均为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长 ，当线段 为斜边，线段 为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长 ，
综上所述，两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是5或 ，
故选：C．
12．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形 的面积为 ，点 在数轴上，且表示
的数为 ．现以点 为圆心．以 的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点 （ 在 的右侧），则点E表
示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，结合A点所表示的数及 间距离可得点E所表
示的数．
【详解】解：∵正方形 的面积为5，且 ，
∴ ，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为 ．
故选：A．
13．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图所示，在 中， ，分别以直角三角形
的三条边为直径向外作三个半圆，面积分别为25和9，则以 为直径的半圆的面积是（ ）A．4 B．10 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据圆面积计算公式得到 ，再由勾股定理得到
，据此利用圆面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴以 为直径的半圆的面积是 ，
故选：C．
14．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识，根据勾股定理的逆定理和三角形
内角和定理分析判断即可．
【详解】解：A. 若 ，则有 ，所以 ，故 是直角三角
形，该选项不符合题意；
B. 若 ，则有 ，所以 ，由勾股定理的逆定理可知 是直角三角
形，该选项不符合题意；C. 若 ，设 ， ， ，则有 ，
解得 ，所以 ， ， ，故 是直角三角形，该选项不符合题意；
D. 若 ，设 ， ， ，则有
，解得 ，所以 ， ， ，故 不
是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
15．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的
高度 为 米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离 为 米，
头顶离感应器的距高 为 米，则这名学生身高 为（ ）米．
A． B．14 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作
于E，得到 ， 米，由勾股定理得出 ，进而得到 米，即可得出
答案．
【详解】解：过点D作 于E，如图所示：
则 ， 米，
在 中， 米，
由勾股定理得（米），
∴ （米），
∴ 米．
故选：D．
16．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形 中，若 ， ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，先证明
，得到 ，再证明 ，即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
17．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，钓鱼竿 的长为 m，露在水面上的鱼线 长为
m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 转到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长为 m，则
的长为（ ）A． m B． m C． m D． m
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解∶ 在 中， m， m，
根据勾股定理得， m
在 中， m， m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
18．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东
方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别
位于 、 处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西
【答案】B
【分析】此题考查勾股定理的应用，根据路程=速度×时间分别求得 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明 是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得 （海里）， （海里）， （海里）．
∵ ，即 ，
∴ ．
由“远航号”沿东北方向航行可知， ，则 ，即“海天”号沿北偏西 方向航行．
故选：B．
19．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别是 、
，以点 为圆心，以 长为半径画弧交 轴于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形，根据两点间的距离公式，求出 的长，进而得到 的长，设 ，
再根据两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵点 和点 的坐标分别是 、 ，
∴ ，
∵以点 为圆心，以 长为半径画弧交 轴于点 ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ 或 ；∴ 或 ，
故选D．
20．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在 中， ．斜边
的垂直平分线交边 于点 ，交 于点 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，二次根根式的运算．根据勾股定理求出 的长，中垂线的
性质，得到 ，进一步求出 的长即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵斜边 的垂直平分线交边 于点 ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
平行四边形基础题型
21．（23-24八年级下·全国·课后作业）在 中， ，点D，E，F分别为边
的中点，则 的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：如答图，∵点D，E，F分别为边 的中点，
∴ 都是 的中位线，
∴
∴ 的周长 ．
故选：A．
22．（2024·河北沧州·一模）如图，在▱ 中， ，下列两种方案中所得四边形为平行四边形
的是（ ）
方案Ⅰ：在 和 上分别截取 和 ，使 ，连接 和 ，得到四边形 ．
方案Ⅱ：作 的平分线 交 于点 ， 的平分线 交 于点 ，得到四边形 ．
A．方案Ⅰ B．方案Ⅱ C．两种方案都行 D．两种方案都不行
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的的判定及性质及角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质及判定是
解题的关键．方案Ⅰ：由四边形 是平行四边形，得 ，进而得四边形 是平行四边形，
方案Ⅱ：四边形 是平行四边形，得 ， ， ，根据角平分线
的定义得 ， ，从而得 ， ，于
是有四边形 是平行四边形．
【详解】解：方案Ⅰ：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
方案Ⅱ：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
综上两种方案都行，
故选： ．
23．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，熟练掌
握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题
意；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
24．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，
点 落在点 处，则重叠部分 的面积为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质．根据矩形的性质得到 ，由折叠的性
质得到 ，得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到 ，根据勾股定理求出
，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
在 中， ，即 ，
解得， ，
则 的面积 ，
故选：C．
25．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．由平行四边形的性质得 ， ，再由勾股定理解得 即可得到 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得：
，
即 ，
故选：B．
26．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习） 中，E是 的中点， 平分 ， 于点
D，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长 交 于F，证明
，得到 ，结合中位线定理，得到
，代入计算即可．．
【详解】解：如图，延长 交 于F，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∵E是 的中点，，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．
27．（2024·河北石家庄·一模）如图，矩形 中，点E，F，G分别在边 ， ， 上，将矩形分
别沿 ， ， 折叠，使点A，D恰好都落在点O处，点B落在点 处．以下结论：
Ⅰ：若点 落在 上，则 ．
Ⅱ：若点 与点O重合，则 ．
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确
【答案】C
【分析】
本题考查矩形的性质，勾股定理的应用以及折叠变换．根据折叠的性质和矩形的性质分析判断结论Ⅰ；通过点 为 中点，点 为 中点，设 ， ，利用勾股定理求得 与 的数量关系，
从而判断结论Ⅱ．
【详解】
解：若点 落在 上，由折叠性质可得：
， ， ， ，
， ，
，
∴ ，故结论Ⅰ正确；
若点 与点 重合，如图所示，
设 ， ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
，故结论Ⅱ错误；
故选：C．
28．（2024·陕西宝鸡·一模）如图，正方形 的边 上有一点E，连接 交对角线 于点F，连接
． 若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据正方形的性质得到
， ， 结 合 得 到 ， 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 及
即可得到答案；
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
29．（2023·山东菏泽·二模）如图，菱形 中， 是 的中点， 是对角线 上的一
个动点，若 的最小值是 ，则 长为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接
，由菱形的性质得到 ， 垂直平分 ，则 ，故当 三点共线
时， 最小，即此时 最小，则 ；证明 是等边三角形，得到 ，，求出 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
由菱形的性质可得 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选；A．
30．（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，菱形 的对角线 交于点 ，菱形 的
周长为 40，直线 过点 ，且与 分别交于点 ，若 ，则四边形 的周长是
（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】A
【分析】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关键．由菱形
的 性 质 得 ， ， ， 则 ， 进 而 可 证
， 则 ， ， 则 ， ， 由
，则 ，计算求解即可．
【详解】
解： 菱形 的周长为40，对角线 、 交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
， ，
， ，
∵ ，
，
，
∴四边形 的周长是 ，
故选：A．
二次根式提高题型
31．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若 能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是
解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案．【详解】A、 有意义的条件是 ，则 ， 能使二次根式有意义，故此选项符合题意；
B、 有意义的条件是 ，则 ， 不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
C、 有意义的条件是 ，则 ， 不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
D、 有意义的条件是 ，则 ， 不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
故选：A．
32．（2024·河南漯河·一模）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】本题考查的是无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟记运算法则以及估算方法是解本题的关键．
先计算二次根式的乘法再估算即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
33．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知 ，则与 最接近的整数为
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再进行估算即可．
【详解】解：
，
∵ ，∴ 且更接近7，
故选A．
34．（23-24八年级下·重庆忠县·阶段练习）实数 在数轴上的位置如图，化简 得（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质，由数轴得出 ，从而得出 ，
，再根据绝对值的意义以及二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得： ，
， ，
，
故选：C．
35．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简求值， 二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法， 先计算出
的值，然后根据积的乘方 ，然后利用整体代入的方法计算，注意掌握积的乘方与同
底数幂的乘法公式的逆用是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．36．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
本题考查代数式求值，涉及二次根式性质、二次根式减法运算、由式子判断字母符号等知识，先由题中条
件判断 ，再由二次根式性质对所求代数式变形化简，最后代值求解即可得到答案，熟练掌握二
次根式性质及运算是解决问题的关键．
【详解】解： ， ，
，
当 时，原式 ，
故选：B．
37．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）已知 ，且 ，化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键，
根据二次根式被开方数是非负数，以及 ，可得 ，再化简即可，【详解】解： 有意义，且 ，
，
故选：A
38．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠
地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为 ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分
用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，二次根式加减运算等知识，根据题意列出关系式，去
括号合并同类二次根式即可得到结果，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
【详解】
解：设图1小长方形卡片的长为 ，宽为 ，根据题意得 ，
则图2中两块阴影部分周长和是，
故选：D．
39．（23-24八年级下·河南·阶段练习）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，平方差公式，先利用夹逼法估算出 的取
值范围，进而得到 的值，代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法估是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
40．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列二次根式的运算：① ，② ，③
，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ；其中运算正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
本题主要考查二次根式的性质及运算，分别根据二次根式的性质以及运算法则计算出各小题后再判断即可
【详解】解：① ，故①运算正确；② ，故②运算错误；
③ ，故③运算正确；
④ ，故④运算错误；
⑤ ，故⑤运算错误；
⑥ ，故⑥运算错误；
⑦ ，故⑦运算错误，
∴运算正确的是①③，共2个，
故选：A
勾股定理提高题型
41．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，一个梯子 长 米，顶端A靠在墙 上，这时梯子
下端B与墙角C的距离为 米，梯子滑动后停在 的位置上，测得 长为 米，则 是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，由题意可知 ， 米， 米，
米，根据勾股定理可分别求出 的长，再求出 的长即梯子顶端A下落的距离．
【详解】解：由题意可知， ， 米， 米， 米，
（米），
在 中， （米），在 中， （米），
（米），
即梯子顶端A下落了 米．
故选：B．
42．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图， 中， ， ，O为 中点，
点P在 边上，且 ，点Q为 边上一动点，将 沿直线 翻折，使得点B落在点M，连
接 ，则 长的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接 ，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ ， ，O为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，∴ ；即： 的最小值为 ；
故选D．
43．（2024·陕西西安·一模）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点
上， 为 的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得
的面积，利用勾股定理算出 的长，再利用等面积法即可求得 的长．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
解得： ，
故选：D．
44．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图所示，数轴上的点A表示的数是 ，点D表示的数是1，
，与AB交于点B，以点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点C， ．则数轴上点B表
示的数是（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是勾股定理、实数与数轴的关系等知识点，正确运用勾股定理求出AC的长以及
理解数轴上的点与实数的对应关系是解答本题的关键．
【详解】解： 数轴上的点A表示的数是 ，点D表示的数是1，
，
在 中， ，
B表示的数是
故选： ．
45．（2024·山东济南·一模）如图，在等腰 中， ， ．在 、 上分别截取
、 ，使 ，再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点
，作射线 ，交 于点 ．若点 、 分别是线段 和线段 上的动点，则 的最小值
为（ ）
A．9.6 B．10 C．12 D．12.8
【答案】A
【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
过点 作 于点 ，交 于点 ，由作图过程可知， 为 的平分线，结合 可得
垂直平分 ，则 ．可知当点 与点 重合，点 与点 重合时， 取得最小值，
最小值为线段 的长，结合三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，由作图过程可知， 为 的平分线，
，
垂直平分 ，
， ， ．
当点 与点 重合，点 于点 重合时， ，为最小值．
在 中，由勾股定理得， ，
，
，
，
的最小值为9.6．
故选：A．
46．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 是边长为6的等边三角形，点P是三角形内一点，
并且点P到三角形三条边的距离相等，若 ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，根据等边三角形的性质和垂直平分线的性质，得
到 ，再利用四边形内角和，得出 ，易证 ，得到
，再证明 ，得到 ，然后由勾股定理求出 ，进而
得出四边形 的面积，即为阴影部分的面积．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，
是边长为6的等边三角形，
， ，
点P到三角形三条边的距离相等，
，
∵点P到三角形三条边的距离相等，
∴点P是等边三角形的中心，即点 是垂直平分线的交点，
， ，
在四边形 中， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，即阴影部分的面积是 ，
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
含30度的直角三角形等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
47．（2024·陕西西安·三模）如图，在 中， ， ， 为 中点，且
交 于点 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题
的关键．连接 ，根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的判定与性质求出 ，根据
等腰三角形的性质及三角形外角性质求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，
解直角三角形求出 ， ，再根据线段的和差求解即可．
【详解】
解：如图，连接 ，
， ，
，
为 中点，且 交 于点 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
48．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在四边形 中， ，分别以四
边形 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且 ．若 ，
．则下列判断错误的是（ ）A． B．
C．四边形 的面积是24 D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，根据题意可知：
，结合题意可以比较出 ，根据勾股定理可以表示出
，进而求出d的长，得到 ，再利用 ，表示出 ，再根据
对选项C作出判断即可．
【详解】解：如图，连接 ，
根据题意可知： ，
，
，故选项D正确，不符合题意；
在 与 中，
， ，
，
， ，
，故选项A正确；
，故选项B正确；
，即 ，
，同理
，
故选项C不正确，符合题意，
故选：C．
49．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 于点D， 平分 交
于点E，交 于点F． ，则 的长等于（ ）
A．5 B．20 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解
题的关键．利用勾股定理可得 和 的长，由角平分线定理可得 ，根据 证明
，可得 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
过点E作 于G，∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
中， ，
，
∴ ．
故选：D．
50．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图， ，点 在 上，连接 ，且
，以 为底边作等腰三角形 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C【分析】根据 ，得到直线 是线段 的垂直平分线， ，
故射线 是 的平分线，直线 是定直线，根据 得点D是定点，根据垂线段最短，故过
点D作 于点G，结合 ，得到 ，根据
，解得 ，选择即可，本题考查了线段的垂直平分线，角的平分线，勾股定
理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理，垂线段最短是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线， ，
故射线 是 的平分线，直线 是定直线，
∵ ，
∴点D是定点，根据垂线段最短，
故过点D作 于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
解得 ，
故选C．
平行四边形提高题型
51．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在 中， ，点E是 的中点，若
平分 ，线段 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，中位线平行于第三边且等于第三边长度的
一半． 延长 交 于 ，证明 ，则 ， ， ，
可证 是 的中位线，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
由题意知， ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是 的中点， ，
又∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：B．
52．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在菱形 中， ， ， ，， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先作 ，垂足为H．由四边形 是菱形，可得 ， ，求得
， ， ，证得 是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：如图，作 ，垂足为H．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，
注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
53．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）在 中， ， ， ，点N是 边上
一点．点M为 边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为 ， 的中点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求
的最小值转化为求 的最小值是解答的关键．先根据勾股定理求出 ，再根据点D、E分别为 ，
的中点，得出 为 的中位线，则 ，最后用等面积法，求出当 时的 的
长度，即可求出 的最小值，再根据 ，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵点D、E分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴当 最小时， 取最小值，
当 时， 取最小值，如图：∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
54．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，正方形 中，点 、 分别在边 、 上，连
接 、 、 ，且 ，下列结论：① ；② ；③正方形 的
周长 的周长；④ ，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
【答案】C
【分析】当E、F不是 和 的中点时， ，则 和 的边对应不相等，由此判断①；延长 至G，使得 ，证明 和 ，即可判断②；通过周长
公式计算，再由 ，即可判断③；证明 ，再由三角形的底与高的数量关系
得 ，进而判断④．
【详解】解：①当E、F不是 和 的中点时， ，
则 不成立，故①错误；
②延长 至G，使得 ，连接 ，如图1，
∵四边形 为正方形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴ ，∴ 的周长 ，
∵正方形 的周长 ，
∴正方形 的周长 的周长，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、
全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．
55．（2024·山西晋中·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 ，顶点A，B分别在
x轴的正半轴和y轴的正半轴上，将正方形 绕点O顺时针旋转 ，则旋转后点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，把正方形 绕点O顺时针旋转 得到正方形 ，连接 、过点 作
轴于点E，根据旋转的性质和勾股定理求得 ， ，再根据直角三角形的性质可得
，再利用勾股定理求得 ，即可求解．【详解】解：根据题意，把正方形 绕点O顺时针旋转 得到正方形 ，连接 、过点
作 轴于点E，
∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题
的关键．
56．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图．在 中， ，且 ， ，点
是斜边 上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段
的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4
【答案】A
【分析】由勾股定理求出 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解： ，且 ，
，
，
，
四边形 是矩形．
如图，连接 ，则 ，
当 时， 的值最小，此时， 的面积 ，
，
的最小值为 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，本题属于中考常考题型．
57．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在 中， ，点 在 上， 为 的中
点，连结 ， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过 作 于 ，得到 ，求得 ，根据勾股定理得到 ，根
据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
，
，
，
为 的中点，
点 是 的中点，
，
， ，
，
，
，
，
，
为 的中点，点 是 的中点，
是 的中位线，
．
故选：A．
58．（2024·河南周口·一模）如图，在 中， 与 的平分线相交于点O，且分别交
于点E，F. 为 的中线.已知 ， ，则 的周长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半等知识，根据 ， 平分 ， 平分 ，得
，根据 是 的中线，得 ，根据 平分 ， ，
得 ，根据 平分 ， ，得 ，即可求得 ，即可求 的周长．
【详解】解： 平行四边形 ，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
是 的中线，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，，
，
，
，
，
，
，
的周长为 ，
故选：D．
59．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ．点E在边 上，且 ，
M，N分别是边 、 上的动点，P是线段 上的动点，连接 ， ，使 ．当
的值最小时，线段 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明
是等腰直角三角形，作点 关于 的对称点 ，则 在直线 上，连接 ，则 ，则
当 三点共线，且 时， 有最小值，即 有最小值，可证明四边形
是矩形，得到 ，则 ，再证明 是等腰直角三角形，即可
得到 ．
【详解】
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，是等腰直角三角形，
∴ ，
作点 关于 的对称点 ，则 在直线 上，连接 ，如图：
∴ ，
∴当 三点共线，且 时， 有最小值，即 有最小值，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选：D．
60．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形 中， ， ，点P是线段 上一个动点，
若将 沿 折叠，使点B落在点E处，连结 、 ，若P、E、D三点在同一条直线上，则 的
长度是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
【答案】C
【分析】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到 ，利用勾
股定理算出 ，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理建立方程求
解，即可解题．【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形 中， ， ， ，
根据折叠的性质，可得 ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
解得 ，
，
故选：C．
二次根式压轴题型
61．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足 ，则 的最大值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将
变形为 ，配方得到 ，根据得到 ，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，
∴ 可化为 ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
故选：B
62．（2024七年级·全国·竞赛）已知 ，则 的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求 的值，再
求 和 的值，最后代入 ，根据根式运算法则求解即可．
【详解】解： ，
，，
，
．
故选：A．
63．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）一般地，如果 （ 为正整数，且 ，那么 叫作 的 次
方根．例如： ， 的四次方根是 ．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实
数都有唯一的奇次方根；③若 ，则 的三次方根是 ；④当
时，整数 的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据新定义的含义结合 可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算
，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解 ，可得非负整数的数量，结
合平方根的含义可判断④，从而可得答案．
【详解】解；∵ ，
∴3是81的四次方根；故①符合题意；
任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意；
∵
，∴ 的三次方根是 ；故③符合题意；
∵
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴非负整数 有 个，其中 的平方根是 ，
∴整数 的二次方根有4051个．故④不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活
运用，理解题意是解本题的关键．
64．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简
，
，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，
，
，
由此可知： ，∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解
题的关键．
65．（22-23八年级下·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如
，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在
进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令 （n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是 的小数部分，则 的值为 ；
②若 （其中b、c为有理数），则 ；
③ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由 ，可得 ，则 ，再根据分母有理化即可判断①；由
可得 ，以此得到方程组 ，求解即可判断②；证明 ，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得： ，
∵ ， 是 的小数部分，
∴ ，则 ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
即
∴ ，即 ，
∵b、c为有理数
∴ ，解得 ，
∴ ，故②正确；
∵，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题
干所给方法进行解决问题是解题关键．
勾股定理压轴题型
66．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， ， ， ，点
分别在边 ， ， 上，连接 ， ．已知点 和点 关于直线 对称，若 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接 ，过点 作
于点 ，首先证明 ，利用面积法求出 ，再利用勾股定理求出 ，根据题意，正确作
出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，∵ 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
67．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形 纸板沿垂线段 进行剪切，得
到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中 与 共线．若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．利用等腰三角形的
性质可以得到 ，设 为x，再运用勾股定理得 ，代入解方程即可解题．
【详解】解：如图，设 为 为 为 ，图2中 的余角为 ，
是等腰三角形，
，
,
,
, ,
,
设 为 ，
根据勾股定理得 ，解得∶ ，
故选D．
68．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图， 中， ， ，点P是 内一
点， ，若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点 作
，交 延长线于 ，连接 ，由题意可知 ，证明 ，
可知 为等腰直角三角形，易得 ，再证 ，则 ， ，
可证 ，易知 为等腰直角三角形，得 ，
，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点 作 ，交 延长线于 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
69．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴负半轴， 轴正
半轴分别交于点 ， ，在 轴上取点 ，点 是直线 上的一个动点，以 为边，在
的右侧作等边三角形 ，使得点 落在第一象限，连接 ．若 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B【分析】在直线 上取点M，使 ，连接 ，过点M作 轴于点G，连接 并延长，
交y轴于点E，证明 ，得出 ，证明 轴，说明点F在过点
M且平行于x轴的直线上，作点O关于 的对称点N，连接 ，交 于点H，连接 ，说明当点F
在点H处时， 最小，且最小值为 ，求出最小值即可．
【详解】解：在直线 上取点M，使 ，连接 ，过点M作 轴于点G，连接 并延
长，交y轴于点E，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 轴，
∴点F在过点M且平行于x轴的直线上，
∴ 轴，
∴ ，
作点O关于 的对称点N，连接 ，交 于点H，连接 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间相等最短，
∴当点F在点H处时， 最小，且最小值为 ，
根据勾股定理得： ，
即 最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三角形
的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使 最小时，点F的位置．
70．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边 的边长为4，点 分别在边 上，
．以 为边向右作等边 ，则 的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的
一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识．作 于点 ，作射线 ，由等边三
角形的性质可证明 ，再由 ， ，证明 ，推导出 ，进而证
明 ，得 ，可知点 在经过点 且与 垂直的直线上运动，作 交
的延长线于点 ，可证明点 与点 关于直线 对称，则 ，由 ，得
，根据勾股定理计算得到问题的答案．
【详解】解：作 于点 ，作射线 ，则 ，
和 都是等边三角形，
， ， ，
， ，，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
点 在经过点 且与 垂直的直线上运动，
作 交 的延长线于点 ，则 ，
，
，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
，
，的最小值为 ，
故选：C．
平行四边形压轴题型
71．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在 中， ，两直角边 ，在
三角形内有一点P到各边的距离相等，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的
判定定理，
利用等面积法求出 ，再判定四边形 为正方形，进而利用勾股定理即可求解；
【详解】解：在 中，
由勾股定理可得： ,
设
则 ，
即： ，
解得： ，
即 ，
，且 ，
四边形 为正方形，在 中，
，
故选：C
72．（2024·广东湛江·一模）如图，四边形 是菱形，过点 作 交对角线 于点 ．若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求得 的长，然后利用等面积法可求得
的长，再根据勾股定理可求得结果，正确求得边长的结果是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
73．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为2的菱形 中， ，将
沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质得到 ， ，得出 ，根据平移的性质得到 ，
，推出四边形 是平行四边形，得到 ，于是得到 的最小值为
的最小值，根据平移的性质得到点 在过点D且平行于 的定直线上，作点C关于定直线的
对称点 E，连接 交定直线于 ，则 的长度即为 的最小值，求得 ，得到
，于是得到结论．
【详解】
解：在边长为2的菱形 中， ，
∴ ， ，
将 沿射线 的方向平移得到 ，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 的最小值 的最小值，∵点 在过点 且平行于 的定直线上，
∴作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直线于 ，设 交 与点G，
则 的长度即为 的最小值，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理，平移
的性质，正确地理解题意是解题的关键．
74．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，在正方形 中， 是边 上一点， 是 延长
线上一点，连接 交对角线 于点 ，连接 ，若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，
连接 ，根据正方形的性质证明 ，得到 ， ，证得
是等腰直角三角形，过 作 ，交 于 ，然后证明 ，得
，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
过 作 ，交 于 ，
∴ ， ，∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
75．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形 的边长为 ，点 分别在边 ， 上，且 平分
， ，连接 ，分别交 ， 于点 ，点 ． 是线段 上的一个动点，过点 作
，垂足为 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定
与性质、勾股定理，连接 与 交于点 ，交 于点 ，连接 ， ，证明 ，得到 ， ，进而可证明 ，得到 ，推导出 是
线段 的垂直平分线，得到 ，由两点之间线段最短可得，当点 与点 重合时， 的值
最小，进而由 ，求出 即可求解，确定出点 与点 重合时，
的值最小是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 与 交于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
当点 与点 重合时， 的值最小，
此时 ，即 的最小值是 的长，
∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
