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第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线
【考点梳理】
1、求曲线的轨迹方程
直接法、定义法、相关点法
2、椭圆方程
椭圆相关计算
2 2 2
（1）椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义 a =b +c
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经 ，最长为 。
（3）最大角: 是椭圆上一点，当
是椭圆的短轴端点时，∠F PF
为最大角。
1 2
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积 ，其中 （注意公式的推导）
3、双曲线
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ;
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
（4）双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．若点
点
在双曲线 外，则点 对应切点弦方程为
4、抛物线
（1）、焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ，
．
（2）、焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） ．（2） ．
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦取最小值 ，即
所有焦点弦中通径最短，其长度为 ．
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（3）、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 ．
、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
（4）
（5）、焦点弦的常考性质
已知 、 是过抛物线 焦点 的弦， 是 的中点， 是抛物线的准线，
， 为垂足．y
C A
N M
O F x
D B
（1）以 为直径的圆必与准线 相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2） ，
（3） ；
（4）设 ， 为垂足，则 、 、 三点在一条直线上
【典型题型讲解】
考点一：椭圆
【典例例题】
例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆 的焦距为6，则实数 （ ）
A．13 B．40 C．5 D．
【答案】．A
【详解】解：因为椭圆 的焦距为6，
可知 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得： .
故选：A.
例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆 的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的
距离为 ，F为右焦点．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线 时，求F在l上的射影H的轨迹方程．
【答案】21．(1) ，离心率为 (2)
（1）
由题意可得： ， ， ，
可得 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 ，
离心率为 ．
（2）
当直线斜率存在时，可设 代入椭圆方程 ，
得： ．
设 ， ，则 ．
因为直线 ， 垂直，斜率之积为 ，所以 ，
所以 ．
将 代入，整理化简得： ，
所以 或 ．
由直线 ，当 时，直线l经过 ，与B点重合，舍去，当 时，直线l经过定点 ，
当直线斜率不存在时，可设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，舍去．
综上所述，直线l经过定点 ，
而F在l上的射影H的轨迹为以 为直径的圆，
其 ， ，所以圆心 ，半径 ，
所以圆的方程为 ，即为点H的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
标准方程
图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
性质
对称性 关于 轴、 轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶
点为B，且 ，点P在C上，线段 与 交于Q， ，则（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得
C．直线 的斜率为 D． 平分
【答案】ACD
【详解】令椭圆半焦距为c，则 ，由 得 ， ，椭圆
，
，而 ，则点 ，
对于A，椭圆C的离心率 ，A正确；
对于B，设 ，即有 ，
，
即 为锐角，B不正确；
对于C，直线 的斜率 ，C正确；对于D，直线 的方程为 ，点Q到直线 的距离 ，
即点Q到直线 与 的距离相等，则 平分 ，D正确.
故选：ACD
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆 ： 与圆 ： ，若在椭
圆 上不存在点P，使得由点P所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是
________.
【答案】
【详解】
设过 的两条直线与圆 分别切于点 ，
由两条切线相互垂直，知： ，
又在椭圆C 上不存在点P，使得由P所作的圆C 的两条切线互相垂直，
1 2
所以 ，即得 ，所以 ，
所以椭圆C 的离心率 ，又 ，
1所以 .
故答案为： .
3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知 分别是椭圆C： 的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四
个不同的点P，使得 ，的面积为 ，则正实数m的取值范围为______．
【答案】
【详解】当点P在椭圆C上运动时， ，
故只需 ，即 ，
，解得： ．
故答案为： .
4．（2022·广东肇庆·二模）已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点A是椭圆
上一点，点О为坐标原点，若 ，直线 的斜率为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，由 ，得 ，故 ．因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
又 ，
故 ，得 ，
所以 .
故选：D．
5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两点，
当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正三角形 的边长为 ，
设椭圆的标准方程为： ，设左、右焦点分别为 ，
设 ，则有 ，
由椭圆的定义可知： ，
，解得： ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，故选：B
6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆 的右焦点为 ,离心率为 ,直线
被椭圆截得的弦长为
求椭圆 的标准方程
若 是椭圆 上一点, 是坐标原点,过点 与直线 平行的直线与椭圆 的两个交点为 ,且
,求 的最大值
【答案】（1） （2）
【详解】 设椭圆 的焦距为 ,则
椭圆 的方程化为
由 得
由条件知
椭圆 的方程为 .
由 知 ,过 与直线平行的直线方程
由 得设 ,则
由点 是椭圆 上一点,得
,当且仅当 时,取等号,
的最大值为
7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的左，右顶
点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点， ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、 、 ．若 ，
证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1) ；(2)证明见解析，(－5,0).
(1)
由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
∵ ，∴
解得 从而b2＝a2－c2＝3．
∴椭圆C的方程 ；
(2)
设直线l的方程为y＝kx＋m， ， ．
∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由 得 ．
时， ， ，
∴
．
由 ，可得3k＝m－2k，即m＝5k，
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).
8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆
C的长半轴长为半径的圆与直线 相切．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得
为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在定点 ，使得 为定值
(1)
解：由离心率为 ，得 ，及 ，
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为 ，
且与直线 相切，
所以 ，
所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
(2)
解：假设存在，设 ，
联立 ,消 整理得 ，
，
设 ，
则 ，
由 ，
则，
要使上式为定值，即与 无关，
则应 ，即 ，
此时 为定值，
所以在x轴上存在定点 ，使得 为定值 .
9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点，点 为右焦点，直
线 与 轴的交点为 ，且 ，点 为椭圆上异于点 的任意一点，直线 交 于点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)
由题知 ，得 ，
又因为右焦点为 ，则 ，
解得 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 .
(2)
设点 的坐标为 ，则 ，
所以直线 的方程是 ，
当 时， ，所以点 的坐标为 ，
所以 ， ，
所以 .
因为点 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以，
又因为 和 是锐角，
所以 .
10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，
过点 的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为 ， ，当
时， ．
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)
∵ 在 上，∴ ，
当 时，直线 的方程为： ，
将 代入 ，并整理得 ，
解得 ，或 ，
∴ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为： .
(2)
由题意知，直线 的斜率存在，
不妨设直线 的方程为 ， ， ，联立 得
∴ ，且 ，
∴
，
∴ ，即 为定值 .
11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆 的离心率为 ，又点 在椭圆
上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，试探究： 是
否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) 是定值，且 .
(1)
解：由已知可得 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为 .
(2)
解：①当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，
联立直线 和椭圆 的方程得 ，消去 并整理，得 ，
因为直线 和椭圆 有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，
，化简并整理，得 ，
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 .
，
所以， ；
②当切线 的斜率为 时，直线 ，过点 作直线 的垂线为 ，
即此时 或 ， ；
③当切线 的斜率不存在时，直线 ，过点 作直线 的垂线为 ，
即此时 或 ，则 .
综上所述， 恒为定值．
12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆 为左右焦点, 为短轴端点,长轴长为4,焦距为
,且 , 的面积为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程
(Ⅱ)设动直线 椭圆 有且仅有一个公共点 ,且与直线 相交于点 .试探究:在坐标平面内是
否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ?若存在求出点 的坐标,若不存在.请说明理由.【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)
【详解】(1)由题意知 ，解得： ，故椭圆C的方程是 ．
(2)由 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x ，y )，所以m≠0且Δ＝0，
0 0
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x ＝－ ＝－ ，y ＝kx ＋m＝ ，所以M(－
0 0 0
由 得N(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．
设P(x 0)，则 对满足(*)式的m、k恒成立．
1,
因为 ＝(－ ， ＝(4－x 4k＋m)，由 ，
1,
得- ＋ －4x ＋x＋ ＋3＝0，
1
整理，得(4x －4) ＋x－4x ＋3＝0.(**)
1 1
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以 解得x ＝1.
1
故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.
考点二：双曲线
【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线 的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为
双曲线的右焦点，若 ， ，则双曲线C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 为双曲线左焦点，连接 ， ， ，由平面几何知识可知 ，根据对
称性，四边形 为矩形，在 中， ，所以 ， ，根据双曲线的
定义可知 .故选:D．
例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)设 ，直线 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 与C交于另一点D，求证：
直线 过定点.
【答案】(1)
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为 ，
则可设双曲线的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，所以双曲线C的方程为 ；
(2)
解：显然直线 的斜率不为零，
设直线 为 ， ，
联立 ，消 整理得 ，
依题意得 且 ，即 且 ，
，
直线 的方程为 ，
令 ，
得
.
所以直线 过定点 .【方法技巧与总结】
1.双曲线的定义：焦点三角形
2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末） 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左、
右两支曲线分别交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在双曲线 中， ， ， ，则 、 ，
因为直线 过点 ，由图可知，直线 的斜率存在且不为零，
，则 为直角三角形，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，所以，
，
可得 ，联立 ，解得 ，
因此， .
故选：C.
2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， ， ，离心率
，
故选：D．
3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
P是双曲线C上位于第一象限的点，过点 作 的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，
，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为
【答案】AC
【详解】如图，延长 交 于Q，则 ，因为 ，所以 ．因为 为
的中位线，所以 ．因为 ，所以 ，故双曲线C的渐近线方程为
，离心率 ．
故选：AC.
4.（2022·广东东莞·高三期末）已知 为双曲线 ： 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近
线的距离为_______.
【答案】
【详解】双曲线 ： 的焦点为
双曲线 ： 的渐近线为
由双曲线 的对称性，不妨取焦点 ，渐近线为
则则点 到渐近线的距离为
故答案为：4
5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 的一个焦点，以 为圆心的圆与 的两条渐近线交于 、 、 三点，若四边形 的面积为 ，则 的离心
率为______．
【答案】
【详解】不妨设点 为双曲线 的右焦点，则 ，
则以 为圆心，且过原点 的圆的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
不妨设点 ，由对称性可知点 ，
由已知可得 ，即 ，
即 ，由已知 ，解得 ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： .
6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C： 在第一象限上一点，点F为双曲
线C的右焦点，O为坐标原点， ，则双曲线C的离心率为___________；若
分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 ，则 ___________．
【答案】 4 -15
【详解】设 ，如图所示：因为 ，所以 .
所以 ， ，即 .
所以 ，整理得： ，
，即 ，解得 或 .
因为 ，所以 ，即 .
设 ，由题知： ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以
又因为 ，
所以 ，
所以 .故答案为： ； .
29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线 ： 经过点A ，且点 到 的渐近线
的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 与双曲线 交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，F．
试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以 为直径的圆经过定点，定点坐标为 和
(1)
由题意得：
因为双曲线C的渐近线方程为 ，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
(2)
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由 可得：
设 、 ，
则由： ，由直线AM方程 ，令 ，得点
由直线AN方程 ，令 ，得点
则以EF为直径的圆的方程为：
令 ，有：
将 ， 代入上式，得
可得：
解得： ，或
即以EF为直径的圆经过点 和 ；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为 、 ，以EF为直径的圆方程为
，该圆经过点 和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点 和
考点三：抛物线
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛
物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D【详解】抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴ ，解得
，∴抛物线的标准方程为 .
故选：D.
例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点 ，动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若抛物线 与轨迹 按顺时针方向依次交于四点 （点 在第一象限）.
①求证：直线 与直线 相交于 点；
②设 的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.
【答案】．(1) （也可写 ）
(2)①证明见解析；②
(1)
据题意，设 ，则
即
故 为轨迹 的方程；（也可写 ）
(2)
如图：由圆与抛物线的对称性，四边形 是以 轴为对称轴的等腰梯形不妨设 ， ， 在第一象限， ，则
联立 消去 整理得：
（1）
据题意，方程（1）有两相异正实根
故
①证明：依据圆与抛物线的对称性，直线 与直线 的公共点必在 轴上，
要证直线 与直线 相交于 点，
只要证： 三点共线；
只要证：
只要证：
只要证：
只要证：上式显然成立，且各步可逆，
故直线 与直线 相交于 点
②解法一：
当且仅当 ，即 时， ，
此时抛物线方程为
解法二：
当且仅当 ，即 时， ，此时抛物线方程为
【方法技巧与总结】
1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.
2.抛物线的性质：焦点弦长
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）设抛物线 的焦点为F，过点 的直线与E相交于A，B两点，与
E的准线相交于点C，点B在线段AC上， ，则 与 的面积之比 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】如图，过点B作BD垂直准线 于点D，则由抛物线定义可知： ，
设直线AB为 ， ， ， ，不妨设 ，则 ，
所以 ，解得： ，则 ，解得： ，则 ，
所以 ，解得： ，则直线AB为 ，
所以当 时，即 ，解得： ，则 ，
联立 与 得： ，则 ，
所以 ，其中 .
故选：C
2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，P为C上一点，若 ，
则点F到直线PO的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，，解得： ，代入抛物线方程得 ，
则 ，直线 的方程式 ，即 ，
点 到直线 的距离 .
故选：D
3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C: 的焦点为 ，准线为 ，P是抛物线 上第一象
限的点， ，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4，4） B． C．
D．过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点，则直线 的方程为：
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 ，所以由抛物线的定义得 ，得 ，所以 ，且点
在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确
对于B， 的直线方程为： ，由 与 联立得，Q（ ），由两点距离公式得
，则B正确
对于C，方法一：
方法二：由B得 ，原点O到直线 的距离为 ，所以 ，所以C错误
对于D，设 ，由 得， ，则 ，MA切线方程为： ，
即 ，由 得， ，把点 代入 得，同理 ，即 两点满足方程： ，
所以 的方程为： ，则D正确，
故选：ABD
4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 ， ， ，
（ 且 ）满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 时，
B． 时， 的最小值为9
C． 时，
D． 时， 的最小值为8
【答案】BC
【详解】当 时， ，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则 ，故A错误；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，则 ，
故，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时， 取到最小值9，故B正确；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，
即 ，
故 ，
，
所以 ，故C正确；
由C的分析可知： ，
当 时， 取到最小值16，
即 最小值为16，故D错误；故选：BC
5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ，
， 与C相交于A，B两点， 与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线
C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与l相切
C． 的最小值为32 D．当 最小时，
【答案】BCD
【详解】设 ， ， ， ， ，
直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ,
将直线 的方程 代入 ，化简整理得 ，
则 ， ，
故 ,
所以 ， ,
因为点A到直线l的距离 ，点B到直线l的距离 ，
点M到直线l的距离 ，
又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心M到l的距离为 ，
即以 为直径的圆与l相切，故B正确；同理， ，所以 ， ，
，
则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
.
设 ，则 ， ， .
当 时，即 时， 最小，这时 ，故D正确,
故选:BCD.
6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A
和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，
当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线 ，
则圆心C到A的距离等于圆心C到 的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以 为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线 ，
则圆心C到A的距离等于圆心C到 的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以 为准线的抛物线；
所以 ，当 时，抛物线不完整，
所以 ， ， ， ，
故选：ABD
【巩固练习】
一、单选题
1．椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，经过点 的直线与椭圆 相交于A， 两点，
若 的周长为16，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A.
2．已知椭圆 的左右焦点分别 ，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，
且 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题知： ，因为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，得 ， .
故选：A
3．已知 分别为椭圆 的左右焦点，点P为椭圆上一点，以 为圆心的圆与直线 恰好相
切于点P，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，
设 ，由椭圆定义得 ，
由于以 为圆心的圆与直线 恰好相切于点P，
所以 ，即 ，
整理得 ，得 ，得 ，所以 ．
故选：A
4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋
的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长
轴长与短轴长的比值分别 ，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由 ，
所以 .
故选：B.
5．设F为椭圆 的右焦点，点 ，点B在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，则 ，从而 ．设左焦点为 ，
则 ，所以B为短轴端点，
所以 ．
故选:C．
6．设椭圆 长轴的两个顶点分别为 、 ，点 为椭圆上不同于 、 的任一点，若将
的三个内角记作 、 、 ，且满足 ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 可得 ，即 ，
而在三角形中， ，所以上式可得
而 ，
所以可得 ，即 ，
由题意可得 ， ，设 ， ，
可得 ，由椭圆的对称性设 在第一象限，如图所示：
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以可得 ，
所以离心率
故选： ．
7．已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于 两点.若线段 的长为16，
的中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】设 ， ， ， ，
由抛物线的定义可得 ，
又因为 的中点到 轴的距离是6，所以 ，
所以 ，
所以抛物线的方程为： ，
设直线 的方程 ，
联立直线与抛物线的方程： ，整理可得 ，
，
所以 ，
解得 ，所以 的方程为： ，
.
故选：B
8.过抛物线 的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 ，则直线l的倾斜角等
于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．与p值有关
【答案】C
【详解】如图所示，由抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为 ， ，直线l交准线于 ，如图所示：
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即直线l的倾斜角等于 ，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为 ，
故选：C．
二、多选题
9．已知 为椭圆的焦点， ， 分别为椭圆的两个顶点（且 不是离 最近的那个顶点），若 ，
，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】不妨设焦点在 轴上且 为右焦点，显然 不会是右顶点，分类讨论：①若 为左顶点， 为右顶点，则 ，解得 ，此时离心率 ；
②若 为左顶点， 为上（下）顶点，则 ，无解，不满足；
③若 为上（下）顶点， 为左（右）顶点，则 ，无解，不满足；
④若 为上（下）顶点， 下（上）顶点，则 ，解得 ， ， ，此时离心率为
，
故选：AB.
2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为 ，若曲线C上存在点P满足 ，则曲线C
的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】若曲线是椭圆则其离心率为 ；
若曲线是双曲线则其离心率为 ；
故选：AC
3．双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若 是直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC
【解析】由双曲线 可得 .根据双曲线的对称性只需考虑 或
.
当 时，将 代入 可得 ，所以 的面积为 .
当 时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得 .
因为 ，
所以 ，此时 的面积为
综上所述， 的面积为4或 .
故选： .
4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上一点，则（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，由椭圆方程知： ， ， 离心率 ，A错误；
对于B，由椭圆定义知： ， ，的周长为 ，B错误；
对于C，当 为椭圆短轴端点时， ，
， ，即 ，
，C正确；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：CD.
5．已知抛物线C： ，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法
正确的是（ ）
A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)
C． D．直线AB的斜率为
【答案】BCD
【详解】解：易知准线方程为 ，∴ ， ： ，故选项A不正确；
抛物线 ： 的焦点为F(0，1)，所以选项B正确；
设直线 ，代入 ，得 ，
当直线与 相切时，有 ，即 ，
设 ， 斜率分别为 ， ，易知 ， 是上述方程两根，故 ，
故 .故选项C正确；
设 ， ，其中 ， .则 ： ，即 .
代入点 ，得 ，同理可得 ，
故 ： ，故 . 故选项D正确.
故选：BCD
三、填空题
1．与双曲线 有相同的焦点，且短半轴长为 的椭圆方程是________.
【答案】
【解析】双曲线 的焦点在 轴上，且焦点为 ，
所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，
依题意，椭圆短半轴 ，则 ，
所以椭圆的方程为 .
故答案为：
2．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ．过 且倾斜角为60°的直线交椭圆的
上半部分于点 ，以 ， （ 为坐标原点）为邻边作平行四边形 ，点 恰好也在椭圆上，则
______．【答案】
【解析】依题意可知 ，设 ， ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ， ，所以 ，
因为 ，且直线 的倾斜角为60°，所以 ，所以 ， ， ，
所以 ，
将其代入 ，得 ，又因为 ，所以 ， ．
故答案为：
3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，上顶点为 ，直线 和 的斜率分
别为 、 ，写出一个满足 的椭圆 的方程：___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意可知 、 、 ，
则 ， ，
所以椭圆 的方程可以为 （只需满足 即可）.
故答案为： （只需满足 即可）.
4.因为正三角形内角余弦值为 ，所以有人将离心率为 的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：
的上下顶点分别为 ，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若
直线 的斜率分别为 ，则 为______.【答案】
【解析】因为椭圆C： ，所以上下顶点的坐标分别为 ，
设 ，则 且 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
5．抛物线 上一点 与焦点F的距离 ，则M到坐标原点的距离为___________.
【答案】
【详解】抛物线 的准线为： ，由抛物线定义得： ，解得 ，
抛物线方程为 ，而 在抛物线上，则 ，原点为O，即有 ，
所以M到坐标原点的距离为 .
故答案为：
四、解答题
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆 ，左焦点为 ，上顶
点为 ，直线BF与椭圆交于另一点Q，且 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ， ，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线
与直线 交于点 .证明： 是等腰三角形.【解析】（1）因为 ， ， ，故 ，
故 ，所以 即 ，
而 在椭圆上，故 ，故 ，解得 ，
所以 ，故椭圆方程为： .
（2）设 ， ，故 ，而 ，
由 可得 ，同理 .
,
因为 在椭圆上，故 ，故 即 ，
而 所以 ，
故 是等腰三角形.
2．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆 经过点 ，且焦距 ，线段
分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E的方程；
(2)若 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线 经过定点．
① ，直线 与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
② ，直线 与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
(1) (2)见解析
（1）由已知， ，点 在椭圆上，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以椭圆的方程为： .
（2）选①，则 ，设 ， 所以
消去 得： ，
所以 ，所以 ，则 ，所以
， ，消去 得： ，
，所以 ，所以 ，则 ，所以，所以 ，所以直线 的方程为：
，所以 ，所以 ，故直
线 恒过定点 .选②，则 ，设 ，
所以 消去 得：
， 所以 ，所以 ， 所以
同理： ，所以 ，所以
所以直线 的方程为： 令
，则 故直线 恒过定点 .
3．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C： 的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直
线AF的距离为 ，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作 轴于点E，过点N作 轴于点Q，QM与NE
交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理
由．
(1)
(2)存在； 或
(1)
由题意知 ， ，
因为△AOF的面积为1，所以 ．
又直线AF的方程 ，即 ，
因为点O到直线AF的距离为 ，
所以 ，解得 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
(2)
依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；
当直线斜率不为0时，设直线MN方程为 ，
联立 ，得 ，
易知 ．
设 ， ，则 ， ，因为 轴， 轴，所以 ， ，
所以直线QM： ①，
直线NE： ②，
联立①②解得 ，
因为 ，ME与直线 平行，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
解得 ，
故存在直线l的方程为 或 ，使得△PMN的面积等于 ．
