2025年线性代数基础课01章行列式（紧凑版）_已解密_07.2026考研数学李永乐全程班_02.2026考研数学B站李永乐_00.讲义_基础阶段_讲义

线性代数基础课 金榜时代 @硕哥 第 01 章 行列式 一、n阶行列式的定义 1. 一阶行列式： 2. 二阶行列式： 【注】其中a 的脚标i,j分别表示位于第i行 j列的元素. ij 3. 三阶行列式： 4.逆序数 【例题1】 （1）(1,2,3, ,n1,n). （2）(n,n1, ,3,2,1). 5. n阶行列式的定义： （1） （2） （3） a a a a 11 12 13 14 a a a a 6. 4阶行列式 21 22 23 24 . a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44 【注】故当n4时，行列式不能用对角线展开法则计算．二、 六种特殊的n阶行列式（利用n阶行列式的定义） a 11 a （1） 22 . a nn a a a 11 12 1n a a （2） 22 2n . a nn a 11 a a （3） 21 22 . a a a n1 n2 nn a 1n a （4） 2,n1 . a n1 a a a 11 1,n1 1n a a （5） 21 2,n1 . a n1 a 1n a a 2,n1 2n （6） . a a a n1 n,n1 nn三、行列式的六个性质 【例题2】计算三阶行列式 . （1）行列式的转置：将行列式的行换成相应的列，形成一个新的行列式. 性质1：D DT，行列式与其转置的行列式的值相等. （2）交换行列式的两行. 性质2：r r ，两行互换，行列的值变号． i j 【注1】r r 表示两行互换，c c 表示两列互换. i j i j 【注2】row表示行，column表示列. （3）行列式第i行乘以k. 性质3：kr ，某一行有公因子，可以把公因子提到行列式前面． i （4）计算行列式 . 交换行列式第i 行和第 j行，注意到：DD，D0. r 性质4： i k，两行成比例，行列式的值为零． r j （5）将行列式的第i行每个元素任意拆成两部分. 性质5：某一行的元素分别写成两个数的和，则行列式可以拆成两个行列式的和． （6）将行列式运用（4）（5）性质得 性质6：r kr ，某一行的k倍加到另外一行，行列式的值不变． j i3 1 1 1 1 3 1 1 【例题3】计算行列式的值D . 1 1 3 1 1 1 1 3 【注】观察行列式的步骤 （1）主对角线 （2）行和（或列和）是常数 （3）寻找公共元素 （4）零占优的行（或列） x a a a a a x a a a 【练习4】计算n阶行列式D  a a x a a . n a a a a x 四、余子式和代数余子式 【例题5】三阶行列式 . 五、行列式展开的两个重要定理 1. a A a A  a A =D. i1 i1 i2 i2 in in 某一行元素乘以其自己（对应的）代数余子式乘积的和为行列式的值. 2. a A a A  a A =0,(i j). i1 j1 i2 j2 in jn 某一行元素乘以另外一行元素（对应的）代数余子式乘积的和为零. 3 1 1 2 5 1 3 4 【例题6】计算D ．（行列式性质+展开定理） 2 0 1 1 1 5 3 33 5 2 1 1 1 0 5 【例题7】设D ， A 的(i,j)元的余子式和代数余子式记作M 和A ． 1 3 1 3 ij ij 2 4 1 3 求A  A  A  A 及M M M M ． 11 12 13 14 11 21 31 41 六、特殊行列式的计算 1 1 1 x x x 1 2 n 1.范德蒙行列式 D  x2 x2 x2   (x x )． n 1 2 n j i 1ijn xn1 xn1 xn1 1 2 n 1 1 1 【例题8】 D  x x x 3 1 2 3 x2 x2 x2 1 2 3 【注】体会保持结构的特点，注意归纳证明的思路. 1 1 1 1 x x x x 【例题9】 D  1 2 3 4 . 4 x2 x2 x2 x2 1 2 3 4 x3 x3 x3 x3 1 2 3 4 2.“箭型”或“爪型”行列式（利用行列式的性质化为上三角行列式）. 1 1 1 1 1 2 0 0 【例题10】D . 1 0 3 0 1 0 0 43.加边法（升阶法） a 1 1 1 1 1 a 1 1 【例题11】计算n阶行列式D  2 ，其中a 0,i1,2, ,n． n i 1 1 a 1 n 4.递归法初步 2 1 0 0 1 2 1 0 【例题12】计算4阶行列式D  ． 4 0 1 2 1 0 0 1 2 2 1 1 2 1 1 2 【练习13】计算n阶行列式D  ． n 2 1 1 2 5.综合题 x x 1 2x 1 x 2 1 【例题14】多项式 f(x) 中x3项的系数为 ． 2 1 x 1 2 1 1 x （2021年，数学二、数学三） 1 1 2 3 1 2x2 2 3 【例题15】计算4阶行列式 ． 2 3 1 5 2 3 1 9x2七、克拉默(Cramer)法则：对应非齐次线性方程组A xb. n D D D x  1,x  2 , ,x  n ， 1 D 2 D n D 其中D0是系数行列式，D 是用非齐次项b代替系数行列式D的第i列得到的行列式. i 【定理】对应非齐次线性方程组A xb. n （1）当D0时，非齐次方程组有唯一解. （2）当D0时，非齐次方程组无解或有无穷解. 【定理】对应齐次线性方程组A x0. n （1）当D0时，齐次方程组有唯一解（零解）. （2）当D0时，齐次方程组有无穷解（非零解）.  x  x  x 1, 1 2 3  【例题16】解线性方程组2x x 3x 4, 1 2 3  4x x 9x 16．  1 2 3 【作业1】设, ,,, 均是4维列向量，且4阶行列式 (, ,,) a， 1 2 3 1 2 1 2 3 1 (, , ,) b，则行列式 (, ,,) （ ）. 1 2 2 3 3 2 1 1 2 （A）ab. （B）ab. （C）ba. （D）(ab). 3 0 4 0 2 2 2 2 【作业2】设行列式D ，则D的第4行各元素的余子式之和 0 7 0 0 5 3 2 2 M M M M （ ）. 41 42 43 44 （A）28. （B）28. （C）14. （D）14.0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 【作业3】计算n阶行列式 A  ． （1997年，数学四改） 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 【作业4】计算D   . 4 0 0 3 1 1 1 1 4 a 1 0 0 0 a 1 0 【作业5】行列式D   . 4 0 0 a 1 4 3 2 a1 a b 0 0 0 1 1 0 a b 0 0 2 2 【作业6】计算n阶行列式D  ，其中a ,b 均不为0． n i i 0 0 0 a b n1 n1 b 0 0 0 a n n ab a a 1 a ab a 【作业7】计算n阶行列式D  2 (b 0)． n i a a ab n 【注】考虑加边法. a x x 1 x a x 【作业8】计算 2 ，其中x0,xa ,i 1,2, ,n. i x x a n 【注】考虑加边法.2a 1    a2 2a 1    a2 2a  【作业9】设A 是n阶矩阵．证明 A (n1)an．    2a 1       a2 2a （2008年，数学一、数学二、数学三、数学四改） x2 x1 x2 x3 2x2 2x1 2x2 2x3 【作业10】记行列式 为 f(x)，则方程 f(x)0的 3x3 3x2 4x5 3x5 4x 4x3 5x7 4x3 根的个数为( )． （A）1． （B）2． （C）3． （D）4． 1 1 1 1 1 2 n1 x 【作业11】求方程 f(x) 0的全部根． 1 2n1 (n1)n1 xn1 x 2x 2x 0, 1 2 3  【作业12】设方程组2x x x 0,有非零解，求的值． 1 2 3  3x  x  x 0,  1 2 3