(314)--周周清第二十一周（7.28-8.3）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 7.28-8.3 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 n (n2 1)(n2 2)(n2 n2) 1.（数一二三）计算lim n n22.（数一二三）已知a为非零常数，函数  x   (1 12sin2t)dt    f(x) 0 xk(1cosx) , x    4 , 4   ‚{0}  a, x 0 在x 0处连续，则a  ____.3.（数一二三）设函数 f(x)在[1,1]上有三阶连续导数，且 f(1) f(1).证明：存在 (1,1)，使得 f()6f(0).4.（数一三）设随机变量(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)， 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率 1 2 1 1 2 2 1 2 密度 f(x,y)满足 f(x,y) g (x,y) g (x,y)，则X 与Y 的相关系数  ____. 3 1 3 2 XY 1 1 2 2 (A) . (B)  . (C) . (D)  . 3 3 3 35.（数一二三）计算累次积分 0 − d =− 1 d 1− 1− 2 2 + 2 4− 2 − 2 =______.6.（数一二三）设 ， 可导且 则 ' =0 −2 − d <0. 是 的极小值 (A) 0 是 的极大值. (B)曲 线0 在点 . 的左侧是凸的，右侧是凹的 (C)曲线 = ( )在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的. (D) = (0,0) .7.（数一二三） 99 100 . 0 1 0 1 2 3 0 0 1 1 0 0 4 5 6 0 1 0 =________ 0 0 1 7 8 9 1 0 0周周清 7.28-8.3 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 n (n2 1)(n2 2) (n2 n2) 1.（数一二三）计算lim n n2 [知识点]：利用定积分定义求极限  2 [解析]：答案：2e2 n (n2 1)(n2 2) (n2 n2) 记a  ，则 n n2 1 n 1 n   k2   lna  ln(n2 k2)2lnn  ln1 2lnn2lnn n n k1 n k1  n2   1 n  k2  1 n  k2   ln1 2lnn2lnn ln1  n  n2  n  n2  k1 k1 根据定积分定义， limlna lim 1  n ln  1 k2   1 ln(1x2)dx xln(1x2) | 1  1 x 2x dx n n nn  n2  0 0 0 1x2 k1 1 1  |  ln22  1  dxln222arctanx 1ln22 0 1x2  0 2 因此，   limlna ln22 2 lima limelna n en n e 2 2e2 n n n [易错点]：项数较多，注意细心，并合理利用定积分定义。2.（数一二三）已知a为非零常数，函数   x (1 12sin2t)dt     0 , x  , {0} f(x) xk(1cosx)   4 4    a, x0 在x0处连续，则a ____. [知识点]：函数的连续性 2 [解析]：答案： 3 由于当x0时，(1x)1~x(0)，故 1 12sin2 x 1~ (2sin2 x)sin2 x 2 x 进一步可得1 12sin2 x 与x2同阶，从而 (1 12sin2t)dt与x3同阶。另一方 0 x2 面，由于1cosx~ (x0)可得，xk(1cosx)与xk2同阶. 2 又因为 f(x)在x0处连续，且a为非零常数，所以当x0时， x  (1 12sin2t)dt与xk(1cosx)同阶，即x3与xk2同阶.由此可得，k 1.于是， 0   x (1 12sin2t)dt     0 , x  , {0} f(x) x(1cosx)   4 4    a, x0 由前面的分析可知， x  (1 12sin2t)dt 洛必达 1 12sin2 x a f(0)lim f(x)lim 0 lim x0 x0 x3 x0 3 x2 2 2 2 sin2 x 2 x2 2  lim  lim  3 x0 x2 3 x0 x2 3 2 故a . 3 [易错点]：无穷小阶数的判定要熟练，且连续性的定义要准确。3.（数一二三）设函数 f(x)在[1,1]上有三阶连续导数，且 f(1) f(1).证明：存在 (1,1)，使得 f()6f(0). [知识点]：泰勒公式，中值定理 [解析]：证明如下： 函数 f(x)在x 0处的二阶泰勒公式为 0 f(0) f() f(x) f(0) f(0)x x2  x3 （1） 2 6 其中，介于0和x之间 分别在（1）式中令x1,x1可得 f(0) f() f(1) f(0) f(0)  1 , (0,1) （2） 2 6 1 f(0) f() f(1) f(0) f(0)  2 ,  (1,0) （3） 2 6 2 由于 f(1) f(1)，故（2）式减去（3）式可得 f() f() 02f(0) 1 2 （4） 6 记M max{f(), f()},mmin{f(), f()}，则 1 2 1 2 f() f() m 1 2 M 2 由于 f(x)连续，故由连续函数的介值定理可得，存在[,](1,1) ，使得 2 1 f() f() f() f() 1 2 ，从而由（4）式可得2f(0) 0，即 f()6f(0). 2 3 [易错点]：中值定理是压轴考点，需要多积累解题思路。4.（数一三）设随机变量(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)， 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率 1 2 1 1 2 2 1 2 密度 f(x,y)满足 f(x,y) g (x,y) g (x,y)，则X 与Y 的相关系数  ____. 3 1 3 2 XY 1 1 2 2 (A) . (B)  . (C) . (D)  . 3 3 3 3 [知识点]：二维正态分布，相关系数 1 [解析]：答案：(B)   3 由(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)可得 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 E(X ) E(X ),D(X ) D(X )2，从而E(X2) E(X2)2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 根据数学期望的定义，   1   2   E(X)  xf(x,y)dxdy    xg (x,y)dxdy   xg (x,y)dxdy   3   1 3   2 1 2 1 2  E(X ) E(X )   . 3 1 3 2 3 1 3 1 1   1   2   E(X2)  x2f(x,y)dxdy    x2g (x,y)dxdy   x2g (x,y)dxdy   3   1 3   2 1 2 1 2  E(X2) E(X2) (2 2) (2 2)2 2. 3 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 1 进一步可得D(X)2.同理可得E(Y),E(Y2)2 2,D(Y)2. 1 2 2 2 2 下面计算E(XY). 对(X ,Y),E(X Y)Cov(X ,Y)E(X )E(Y) ，同理可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 E(X Y )  2 2 1 2 1 2   1   2   E(XY)  xyf(x,y)dxdy    xyg (x,y)dxdy   xyg (x,y)dxdy   3   1 3   2 1 2 1 2  E(X Y) E(X Y ) ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1   . 3 1 2 1 2 1     Cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 3 1 2 1 2 1 2 1 则      XY D(X) D(Y) D(X) D(Y)  3 1 2 [易错点]：计算量大，并注意二元正态分布的概念和理解。0 −𝑥 d𝑦 5.（数一二三）计算累次积分 𝐼 =∫ d𝑥∫ =______. −1 1−√1−𝑥2 √𝑥2+𝑦2√4−𝑥2−𝑦2 [知识点]：针对直角坐标累次积分，分析积分区域与被积函数特点，转换为极坐标计算， 涉及积分区域极坐标表示、极坐标下累次积分运算。 [答案]： 1 𝜋2. 32 [解析]：这是直角坐标系xOy中的一个累次积分，直接求很复杂，先表成 𝑑𝜎 𝐼 =∬ . 𝐷 √𝑥2+𝑦2√4−𝑥2−𝑦2 确定积分区域D: −1≤𝑥 ≤0,1−√1−𝑥2 ≤𝑦 ≤−𝑥. 如右图所示，圆域的一部分. 交换积分顺序达不到简化计算的目的，从积分区域与被积函数的特点，应改用极坐标,，𝐷 的极坐标表示: 3 𝜋 ≤𝜃 ≤𝜋, 0≤𝑟 ≤2𝑠𝑖𝑛𝜃 4 (D的圆边界𝑥2+(𝑦−1)2 =1，即𝑥2+𝑦2 =2𝑦，极坐标方程是𝑟 =2𝑠𝑖𝑛𝜃). 因此 𝜋 2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 𝜋 𝑟 𝐼 =∫ 𝑑𝜃∫ 𝑑𝑟 =∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 |2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 3 𝑟√4−𝑟2 3 2 0 𝜋 0 𝜋 4 4 𝜋 𝜋 1 =∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜃 =∫ (𝜋−𝜃)𝑑𝜃 = 𝜋2. 3 3 32 𝜋 𝜋 4 4 所以答案为 1 𝜋2. 32 [易错点]：确定积分区域极坐标范围（角度、极径 ）易出错，极坐标积分计算（尤其是含 反三角函数、换元积分 ）时运算失误 。6.（数一二三）设 𝐹(𝑥)=∫ 𝑥 (𝑥−2𝑡)𝑓(𝑥−𝑡)d𝑡，𝑓(𝑥)可导且 𝑓′(𝑥)<0.则 0 (A)𝐹(0)是𝐹(𝑥)的极小值. (B)𝐹(0)是𝐹(𝑥)的极大值. (C)曲线 𝑦=𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凸的，右侧是凹的. (D)曲线 𝑦 =𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的. [知识点]：通过换元法处理变限积分，求导得到一阶、二阶导数，依据导数符号判断函数极 值与曲线凹凸性 。 [答案]：D. [解析]：讨论𝐹(𝑥) 的极值与曲线 𝑦 =𝐹(𝑥) 的凹向，要求𝐹′(𝑥)与𝐹′′(𝑥). 变限求导应先将𝑓(𝑥−𝑡)中的𝑥变换到𝑓的外边然后再到积分号外边. 为此，对于积分，令 𝑥−𝑡 =𝑢，𝑡 =0时𝑢 =𝑥;𝑡 =𝑥时𝑢 =0，于是 𝑥 0 𝐹(𝑥)=∫ (𝑥−2𝑡)𝑓(𝑥−𝑡)d𝑡 =∫ (2𝑢−𝑥)𝑓(𝑢)(−d𝑢) 0 𝑥 𝑥 𝑥 =∫ 2𝑢𝑓(𝑢)d𝑢−𝑥∫ 𝑓(𝑢)d𝑢， 0 0 𝐹′(𝑥)=2𝑥𝑓(𝑥)−𝑥𝑓(𝑥)−∫ 𝑥 𝑓(𝑢)d𝑢 =𝑥𝑓(𝑥)−∫ 𝑥 𝑓(𝑢)d𝑢， 0 0 𝐹′′(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)， 𝐹′(0)=0，𝐹′′(0)=0，当𝑥 <0时𝐹′′(𝑥)>0；当𝑥 >0时𝐹′′(𝑥)<0. 故曲线𝑦=𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的，选(D). [易错点]：换元时积分上下限、变量替换出错，求导（尤其是变限积分求导）过程中遗漏 项或符号错误，分析二阶导数符号与凹凸性关系时判断失误。0 1 0 99 1 2 3 0 0 1 100 7.（数一二三）[1 0 0] [4 5 6][0 1 0] =________. 0 0 1 7 8 9 1 0 0 [知识点]：识别初等矩阵（行/列互换型），利用其幂次规律（偶数次幂为单位矩阵，奇数次 幂为自身），结合矩阵乘法计算矩阵幂次乘积。 4 5 6 [答案]：[1 2 3]. 7 8 9 0 1 0 0 0 1 [解析]：𝐸 =[1 0 0]和𝐸 =[0 1 0]都是初等矩阵且是两行(列)互换的初等矩阵， 12 13 0 0 1 1 0 0 那么 𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ，𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ， 12 12 12 13 13 13 于是 4 5 6 𝐸99𝐴=𝐸 𝐴=[1 2 3]， 12 12 7 8 9 又𝐴𝐸2𝑛 =𝐴𝐸 =𝐴 13 4 5 6 所以结果为[1 2 3]. 7 8 9 [易错点]：判断初等矩阵类型及幂次规律出错，矩阵乘法时行与列的对应关系、顺序处理 失误，导致结果错误。