(314)--周周清第二十一周（7.28-8.3）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 7.28-8.3
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
n (n2 1)(n2 2)(n2 n2)
1.（数一二三）计算lim
n n22.（数一二三）已知a为非零常数，函数
 x

 (1 12sin2t)dt
  
f(x) 0
xk(1cosx)
, x 


4
,
4


‚{0}

a, x 0
在x 0处连续，则a  ____.3.（数一二三）设函数 f(x)在[1,1]上有三阶连续导数，且 f(1) f(1).证明：存在
(1,1)，使得 f()6f(0).4.（数一三）设随机变量(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)，
1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率
1 2 1 1 2 2
1 2
密度 f(x,y)满足 f(x,y) g (x,y) g (x,y)，则X 与Y 的相关系数  ____.
3 1 3 2 XY
1 1 2 2
(A) . (B)  . (C) . (D)  .
3 3 3 35.（数一二三）计算累次积分
0 −  d 
=− 1 d  1− 1−  2  2 +  2 4−  2 −  2 =______.6.（数一二三）设 ， 可导且 则
'
=0  −2    −  d      <0.
是 的极小值
(A)  0 是   的极大值.
(B)曲  线0   在点 . 的左侧是凸的，右侧是凹的
(C)曲线  =  (  )在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的.
(D)  =   (0,0) .7.（数一二三）
99 100 .
0 1 0 1 2 3 0 0 1
1 0 0 4 5 6 0 1 0 =________
0 0 1 7 8 9 1 0 0周周清 7.28-8.3
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
n (n2 1)(n2 2) (n2 n2)
1.（数一二三）计算lim
n n2
[知识点]：利用定积分定义求极限

2
[解析]：答案：2e2
n (n2 1)(n2 2) (n2 n2)
记a  ，则
n n2
1 n 1 n   k2  
lna  ln(n2 k2)2lnn  ln1 2lnn2lnn
n n k1 n k1  n2  
1 n  k2  1 n  k2 
 ln1 2lnn2lnn ln1 
n  n2  n  n2 
k1 k1
根据定积分定义，
limlna lim 1  n ln  1 k2   1 ln(1x2)dx xln(1x2) | 1  1 x 2x dx
n n nn  n2  0 0 0 1x2
k1
1 1  | 
ln22

1

dxln222arctanx 1ln22
0 1x2  0 2
因此，
 
limlna ln22 2
lima limelna n en n e 2 2e2
n
n n
[易错点]：项数较多，注意细心，并合理利用定积分定义。2.（数一二三）已知a为非零常数，函数
  x (1 12sin2t)dt
   
0 , x  , {0}
f(x) xk(1cosx)   4 4  

a, x0
在x0处连续，则a ____.
[知识点]：函数的连续性
2
[解析]：答案：
3
由于当x0时，(1x)1~x(0)，故
1
12sin2 x 1~ (2sin2 x)sin2 x
2
x
进一步可得1 12sin2 x 与x2同阶，从而 (1 12sin2t)dt与x3同阶。另一方
0
x2
面，由于1cosx~ (x0)可得，xk(1cosx)与xk2同阶.
2
又因为 f(x)在x0处连续，且a为非零常数，所以当x0时，
x
 (1 12sin2t)dt与xk(1cosx)同阶，即x3与xk2同阶.由此可得，k 1.于是，
0
  x (1 12sin2t)dt
   
0 , x  , {0}
f(x)
x(1cosx)

 4 4



a, x0
由前面的分析可知，
x
 (1 12sin2t)dt 洛必达 1 12sin2 x
a f(0)lim f(x)lim 0 lim
x0 x0
x3
x0
3
x2
2 2
2 sin2 x 2 x2 2
 lim  lim 
3 x0 x2 3 x0 x2 3
2
故a .
3
[易错点]：无穷小阶数的判定要熟练，且连续性的定义要准确。3.（数一二三）设函数 f(x)在[1,1]上有三阶连续导数，且 f(1) f(1).证明：存在
(1,1)，使得 f()6f(0).
[知识点]：泰勒公式，中值定理
[解析]：证明如下：
函数 f(x)在x 0处的二阶泰勒公式为
0
f(0) f()
f(x) f(0) f(0)x x2  x3 （1）
2 6
其中，介于0和x之间
分别在（1）式中令x1,x1可得
f(0) f()
f(1) f(0) f(0)  1 , (0,1) （2）
2 6 1
f(0) f()
f(1) f(0) f(0)  2 ,  (1,0) （3）
2 6 2
由于 f(1) f(1)，故（2）式减去（3）式可得
f() f()
02f(0) 1 2 （4）
6
记M max{f(), f()},mmin{f(), f()}，则
1 2 1 2
f() f()
m 1 2 M
2
由于 f(x)连续，故由连续函数的介值定理可得，存在[,](1,1) ，使得
2 1
f() f() f()
f() 1 2 ，从而由（4）式可得2f(0) 0，即 f()6f(0).
2 3
[易错点]：中值定理是压轴考点，需要多积累解题思路。4.（数一三）设随机变量(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)，
1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率
1 2 1 1 2 2
1 2
密度 f(x,y)满足 f(x,y) g (x,y) g (x,y)，则X 与Y 的相关系数  ____.
3 1 3 2 XY
1 1 2 2
(A) . (B)  . (C) . (D)  .
3 3 3 3
[知识点]：二维正态分布，相关系数
1
[解析]：答案：(B)  
3
由(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)可得
1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
E(X ) E(X ),D(X ) D(X )2，从而E(X2) E(X2)2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
根据数学期望的定义，
  1   2  
E(X)  xf(x,y)dxdy    xg (x,y)dxdy   xg (x,y)dxdy
  3   1 3   2
1 2 1 2
 E(X ) E(X )   .
3 1 3 2 3 1 3 1 1
  1   2  
E(X2)  x2f(x,y)dxdy    x2g (x,y)dxdy   x2g (x,y)dxdy
  3   1 3   2
1 2 1 2
 E(X2) E(X2) (2 2) (2 2)2 2.
3 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 1
进一步可得D(X)2.同理可得E(Y),E(Y2)2 2,D(Y)2.
1 2 2 2 2
下面计算E(XY).
对(X ,Y),E(X Y)Cov(X ,Y)E(X )E(Y) ，同理可得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
E(X Y ) 
2 2 1 2 1 2
  1   2  
E(XY)  xyf(x,y)dxdy    xyg (x,y)dxdy   xyg (x,y)dxdy
  3   1 3   2
1 2 1 2
 E(X Y) E(X Y ) ( ) ( )
3 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2
1
  .
3 1 2 1 2
1
   
Cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 3 1 2 1 2 1 2 1
则     
XY D(X) D(Y) D(X) D(Y)  3
1 2
[易错点]：计算量大，并注意二元正态分布的概念和理解。0 −𝑥 d𝑦
5.（数一二三）计算累次积分 𝐼 =∫ d𝑥∫ =______.
−1 1−√1−𝑥2 √𝑥2+𝑦2√4−𝑥2−𝑦2
[知识点]：针对直角坐标累次积分，分析积分区域与被积函数特点，转换为极坐标计算，
涉及积分区域极坐标表示、极坐标下累次积分运算。
[答案]： 1 𝜋2.
32
[解析]：这是直角坐标系xOy中的一个累次积分，直接求很复杂，先表成
𝑑𝜎
𝐼 =∬ .
𝐷
√𝑥2+𝑦2√4−𝑥2−𝑦2
确定积分区域D:
−1≤𝑥 ≤0,1−√1−𝑥2 ≤𝑦 ≤−𝑥.
如右图所示，圆域的一部分.
交换积分顺序达不到简化计算的目的，从积分区域与被积函数的特点，应改用极坐标,，𝐷
的极坐标表示:
3
𝜋 ≤𝜃 ≤𝜋, 0≤𝑟 ≤2𝑠𝑖𝑛𝜃
4
(D的圆边界𝑥2+(𝑦−1)2 =1，即𝑥2+𝑦2 =2𝑦，极坐标方程是𝑟 =2𝑠𝑖𝑛𝜃).
因此
𝜋 2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 𝜋 𝑟
𝐼 =∫ 𝑑𝜃∫ 𝑑𝑟 =∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 |2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
3 𝑟√4−𝑟2 3 2 0
𝜋 0 𝜋
4 4
𝜋 𝜋 1
=∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜃 =∫ (𝜋−𝜃)𝑑𝜃 = 𝜋2.
3 3 32
𝜋 𝜋
4 4
所以答案为 1 𝜋2.
32
[易错点]：确定积分区域极坐标范围（角度、极径 ）易出错，极坐标积分计算（尤其是含
反三角函数、换元积分 ）时运算失误 。6.（数一二三）设 𝐹(𝑥)=∫ 𝑥 (𝑥−2𝑡)𝑓(𝑥−𝑡)d𝑡，𝑓(𝑥)可导且 𝑓′(𝑥)<0.则
0
(A)𝐹(0)是𝐹(𝑥)的极小值.
(B)𝐹(0)是𝐹(𝑥)的极大值.
(C)曲线 𝑦=𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凸的，右侧是凹的.
(D)曲线 𝑦 =𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的.
[知识点]：通过换元法处理变限积分，求导得到一阶、二阶导数，依据导数符号判断函数极
值与曲线凹凸性 。
[答案]：D.
[解析]：讨论𝐹(𝑥) 的极值与曲线 𝑦 =𝐹(𝑥) 的凹向，要求𝐹′(𝑥)与𝐹′′(𝑥).
变限求导应先将𝑓(𝑥−𝑡)中的𝑥变换到𝑓的外边然后再到积分号外边. 为此，对于积分，令
𝑥−𝑡 =𝑢，𝑡 =0时𝑢 =𝑥;𝑡 =𝑥时𝑢 =0，于是
𝑥 0
𝐹(𝑥)=∫ (𝑥−2𝑡)𝑓(𝑥−𝑡)d𝑡 =∫ (2𝑢−𝑥)𝑓(𝑢)(−d𝑢)
0 𝑥
𝑥 𝑥
=∫ 2𝑢𝑓(𝑢)d𝑢−𝑥∫ 𝑓(𝑢)d𝑢，
0 0
𝐹′(𝑥)=2𝑥𝑓(𝑥)−𝑥𝑓(𝑥)−∫ 𝑥 𝑓(𝑢)d𝑢 =𝑥𝑓(𝑥)−∫ 𝑥 𝑓(𝑢)d𝑢，
0 0
𝐹′′(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)，
𝐹′(0)=0，𝐹′′(0)=0，当𝑥 <0时𝐹′′(𝑥)>0；当𝑥 >0时𝐹′′(𝑥)<0.
故曲线𝑦=𝐹(𝑥)在点(0,0)的左侧是凹的，右侧是凸的，选(D).
[易错点]：换元时积分上下限、变量替换出错，求导（尤其是变限积分求导）过程中遗漏
项或符号错误，分析二阶导数符号与凹凸性关系时判断失误。0 1 0 99 1 2 3 0 0 1 100
7.（数一二三）[1 0 0] [4 5 6][0 1 0] =________.
0 0 1 7 8 9 1 0 0
[知识点]：识别初等矩阵（行/列互换型），利用其幂次规律（偶数次幂为单位矩阵，奇数次
幂为自身），结合矩阵乘法计算矩阵幂次乘积。
4 5 6
[答案]：[1 2 3].
7 8 9
0 1 0 0 0 1
[解析]：𝐸 =[1 0 0]和𝐸 =[0 1 0]都是初等矩阵且是两行(列)互换的初等矩阵，
12 13
0 0 1 1 0 0
那么
𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ，𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ，
12 12 12 13 13 13
于是
4 5 6
𝐸99𝐴=𝐸 𝐴=[1 2 3]，
12 12
7 8 9
又𝐴𝐸2𝑛 =𝐴𝐸 =𝐴
13
4 5 6
所以结果为[1 2 3].
7 8 9
[易错点]：判断初等矩阵类型及幂次规律出错，矩阵乘法时行与列的对应关系、顺序处理
失误，导致结果错误。