(296)--周周清第十二周（5.26-6.01）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 5.26-6.01 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 y e2x，y 2cosx为某常系数线性微分方程的两个解，则该方程可 1 2 能为____. (A).y2y y2y0 (B).y2y4y8y 0 (C).y(4) 3y4y0 (D).2y(4) 3y3y2y0 n i i(i j) 2.（数一二三）计算lim ____ n (n2 i2)(n2  j2) i1 ji 3.（数一二三）已知函数 f(u,v)可微，g(x,y) f(x,x y)，且 g(x,y) g(x,y)  x5 (x y)5 8x4y， (x y)5 4x2y， f(0,0)1， x y 求 f(u,v)的表达式. 4.（数一）设 f(x)是周期为2的周期函数，且当x(,)时， f(x) xsinx，若 a   f(x) 0 a cosnx，则a  ____. 2 n n n1 n2 5（. 数一二三）设函数 在 内可导，且 ，则 ， ' 分别为 0,+∞ →+∞ + =1 →+∞ ' （ ）→+∞ （ ） （ ） （ ） A 0,0 B 1,1 C 0,1 D 1,0 6.（数一二三）设 ， 都是不等于零的常数，则微分方程 有 '' ' 特解 B −2 +5 = e cos2 （ ） ∗ （A） = e ( cos2 + sin2 ). ∗ （B） = e cos2 + sin2 . ∗ （C） = cos2 . ∗ D = sin2 . 7.（数一二三）设 ， 是三阶矩阵，则满足 的所有的 1 −2 0 = 2 1 5 = =_____. 0 1 1周周清 5.26-6.01 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设y =e−2x，y =2cosx为某常系数线性微分方程的两个解，则该方程可 1 2 能为____. (A).y−2y+ y−2y=0 (B).y−2y+4y−8y =0 (C).y(4) −3y−4y =0 (D).2y(4) −3y−3y−2y =0 [知识点]：微分方程的解 [解析]：答案：(C).y(4) −3y−4y =0 由于y =e−2x，y =2cosx为题设方程的两个解，故由常系数齐次线性微分方程的通 1 2 解与特征方程的根的关系可知，r =−2,r =i为题设方程的特征方程的根。于是，特征方 1 2,3 程可以写为(r2 +1)(r+2)p(r)=0，其中 p(r)为关于r的多项式。 分别考察四个选项中的微分方程。 选项 A 对应的特征方程为r3−2r2 +r−2=0.由于r=−2不是该方程的根，故选项 A 不正确. 选项 B 对应的特征方程为r3−2r2 +4r−8=0.由于r=−2以及r =i均不是该方程 的根，故选项B不正确. 选项C对应的特征方程为r4 −3r2 −4=0，可以写为(r2 +1)(r2 −4)=0，即 (r2 +1)(r+2)(r−2)=0 因此，选项C正确. 选项 D 对应的特征方程为2r4 −3r3−3r−2=0.由于r=−2不是该方程的根，故选项 D不正确. [易错点]：对于微分方程的形式与其解的关系掌握不牢，同时，对于方程是否满足条件可以 考虑如本解析的逆向思维，不必解出每个方程而是直接代入看是否满足要求。n i i(i+ j) 2.（数一二三）计算lim = ____ n→ (n2 +i2)(n2 + j2) i=1 j=−i [知识点]：二重积分的定义求和式极限  2 [解析]：答案： −ln2− 2 16 i−1 i   j−1 j   令 = ,  , (j =−i,−i+1, ,i,i =1,2, ,n)，则  对应的区 ij   n n     n n   ij 域为D={(x,y∣) −x yx,0x1} 1 对于二重积分，可爱因子相应变为“ ”， n2 由于 i  i j i  i j n2 + +     n i i(i+ j) n i nn n 1 n i nn n  = =  (n2 +i2)(n2 + j2)  i2  j2  n2  i2  j2  i=1 j=−i i=1 j=−in4 1+ 1+ i=1 j=−i 1+ 1+        n2  n2   n2  n2  x(x+ y) 故由二重积分的定义可得，原极限等于 dxdy. (1+x2)(1+ y2) D xy 由于 是关于y的奇函数，并且区域D关于x轴对称，所以 (1+x2)(1+ y2) xy  dxdy =0 (1+x2)(1+ y2) D 因此， x2 1 x2 x 1 1 x2 | 原极限= dxdy =2 dx dy =2 arctan y xdx (1+x2)(1+ y2) 01+x2 0 1+ y2 01+x2 0 D 1 1  1 1arctanx =2  1−  arctanxdx=2 arctanxdx−2 dx 0 1+x2  0 0 1+x2 | 1 x |  | 2 =2xarctanx 1 −2 dx−arctan2 x 1= −ln(1+x2) 1 − 0 01+x2 0 2 0 16  2 = −ln2− 2 16 [易错点]：对二重积分定义求极限的题型感到陌生，不会转化。3.（数一二三）已知函数 f(u,v)可微，g(x,y)= f(x,x+ y)，且 g(x,y) g(x,y) = x5 +(x+ y)5 −8x−4y， =(x+ y)5 −4x−2y， f(0,0)=1， x y 求 f(u,v)的表达式. [知识点]：多元函数积分的计算 u6 v6 [解析]：答案： f(u,v)= + −(u+v)2 +1 6 6 g(x,y) 由 = x5 +(x+ y)5 −8x−4y可得， x g(x,y) x6 (x+ y)6 g(x,y)= dx= + −4x2 −4xy+(y) (1) x 6 6 其中，(y)为关于y的一元函数. g(x,y) 对(1)式两端关于y求偏导可得 =(x+ y)5 −4x+(y).与 y g(x,y) =(x+ y)5 −4x−2y比较可得(y)=−2y，于是(y)=−y2 +C ，其中C为待 y 定常数.进一步可得 x6 (x+ y)6 g(x,y)= + −4x2 −4xy− y2 +C 6 6 由于 f(0,0)=1，故g(0,0)= f(0,0+0)=1，代入上式可得C =1. x6 (x+ y)6 因此，g(x,y)= + −4x2 −4xy−y2 +1. 6 6 令u = x,v= x+ y，则x=u,y=v−u，故由g(x,y)= f(x,x+ y)可得 f(u,v)= g(u,v−u)，从而 u6 v6 u6 v6 f(u,v)= + −4u2 −4u(v−u)−(v−u)2 +1= + −(u+v)2+1 6 6 6 6 [易错点]：对多元函数进行积分时，与一元函数需要加一个常数不同，多元函数积分需要外 加一个非积分变量的一元函数，其余方面并无本质区别。4.（数一）设 f(x)是周期为2的周期函数，且当x(−,)时， f(x)= xsinx，若 a   f(x)= 0 +a cosnx，则a = ____. 2 n n n=1 n=2 [知识点]：傅里叶级数 1 [解析]：答案：− 2 由于x=0为 f(x)的连续点，故由狄利克雷收敛定理可知， a  a  0= f(0)= 0 +a cos(n0)= 0 +a 2 n 2 n n=1 n=1  a 于是，a =− 0 −a n 2 1 n=2 由于 f(x)的傅里叶级数展开式为余弦级数，故 f(x)为偶函数，由计算公式可知， 2  2  2(  ) 2 a =  xsinxdx=−  xd(cosx)=− xcosx| − cosxdx =− (−−0)=2 0  0  0  0 0  2  1  u=2x 1 2 1 2 a =  xsinxcosxdx=  xsin2xdx===  usinudu =−  ud(cosu) 1  0  0 4 0 4 0 =− 1 ( ucosu 2 − 2 cosudu ) =− 1 (2−0)=− 1 4 0 0 4 2  2 1 1 因此，a =− + =− n 2 2 2 n=2 [易错点]：对于傅里叶级数中系数的公式要熟练背诵和运用，对积分的基本功也有所要求。5.（数一二三）设函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)内可导，且 𝑙𝑖𝑚 [𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)]=1，则 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)， 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑓′(𝑥)分别为 𝑥→+∞ （A）0,0 （B）1,1 （C）0,1 （D）1,0 [知识点]：导数的定义，极限的定义。 [答案]：D. [𝑒𝑥𝑓(𝑥)]′ [解析]：因为 𝑙𝑖𝑚 [𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)]=1，所以 𝑙𝑖𝑚 =1，由洛必达法则， 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑓(𝑥) [𝑒𝑥𝑓(𝑥)]′ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 =1, 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑒𝑥 𝑥→+∞ 𝑒𝑥 故 𝑙𝑖𝑚 𝑓′(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 {[𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)]−𝑓(𝑥)}=0. 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ (D) 为正确选项. 实际上，此题的关键点就在于将 𝑙𝑖𝑚 [𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)]转化为 𝑙𝑖𝑚 [𝑒𝑥𝑓′(𝑥)+𝑒𝑥𝑓(𝑥)]= 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑙𝑖𝑚 [𝑒𝑥𝑓(𝑥)]′。 𝑥→+∞ [易错点]：未将原极限变形为某函数的导数形式，这是比较基础的技巧。当然也可以使用 代入法，找到一个符合条件的𝑓(𝑥)代入计算结果，但这往往比较困难。6.（数一二三）设𝐴，B都是不等于零的常数，则微分方程𝑦′′−2𝑦′+5𝑦 = e𝑥cos2𝑥有 特解 （A）𝑦∗ = 𝑥e𝑥(𝐴cos2𝑥+𝐵sin2𝑥). （B）𝑦∗ = e𝑥(𝐴cos2𝑥+𝐵sin2𝑥). （C）𝑦∗ = 𝐴𝑥𝑒𝑥cos2𝑥. （D）𝑦∗ = 𝐴𝑥𝑒𝑥sin2𝑥. [知识点]：微分方程的特解形式。 [答案]：D. [解析]：微分方程𝑦″−2𝑦′+5𝑦=0的特征方程是𝜆2−2𝜆+5=0，特征根是𝜆 =1+2𝑖， 1 𝜆 =1−2𝑖，方程的非齐次项𝑓(𝑥)=𝑒𝑥cos2𝑥 =𝑒𝛼𝑥cos𝛽𝑥，𝛼±𝑖𝛽 =1±2𝑖 是特征根. 2 按照选取特解的规则应设非齐次微分方程𝑦″−2𝑦′+5𝑦=𝑒𝑥cos2𝑥具有形式为𝑦∗ = 𝑥𝑒𝑥(𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛2𝑥)的特解，其中𝑎与𝑏是待定常数。 记𝑦 =𝑒𝑥cos2𝑥，𝑦 =𝑒𝑥sin2𝑥，则 1 2 𝑦∗ =𝑥(𝑎𝑦 +𝑏𝑦 ), 1 2 𝑦∗′ =𝑥(𝑎𝑦′ +𝑏𝑦′)+(𝑎𝑦 +𝑏𝑦 ), 1 2 1 2 𝑦∗′′ =𝑥(𝑎𝑦′′+𝑏𝑦′′)+2(𝑎𝑦′ +𝑏𝑦′), 1 2 1 2 从而 𝑦∗′′−2𝑦∗′+5𝑦∗ =𝑥[𝑎(𝑦′′−2𝑦′ +5𝑦 )+𝑏(𝑦′′−2𝑦′ +5𝑦 )]+2𝑎(𝑦′ −𝑦 )+2𝑏(𝑦′ −𝑦 ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 =2𝑎(𝑦′ −𝑦 )+2𝑏(𝑦′ −𝑦 ) 1 1 2 2 =2𝑎𝑒𝑥(cos2𝑥−2sin2𝑥−cos2𝑥)+2𝑏𝑒𝑥(sin2𝑥+2cos2𝑥−sin2𝑥) =−4𝑎𝑒𝑥sin2𝑥+4𝑏𝑒𝑥cos2𝑥. 要使𝑦∗是方程的特解，待定系数应满足𝑎 =0，𝑏 = 1 ，即微分方程 4 𝑦′′−2𝑦′+5𝑦 =𝑒𝑥cos2𝑥, 有特解 1 𝑦∗ = 𝑥𝑒𝑥sin2𝑥. 4 故应选（D）. [易错点]：初学者很容易绕迷糊，其实此题就是求导计算为主，掌握了最基本的概念后熟练练习即可。 1 −2 0 7.（数一二三）设𝐴=[2 1 5]，𝐵是三阶矩阵，则满足𝐴𝐵 =𝑂的所有的𝐵 =_____. 0 1 1 [知识点]：线性方程组的求解。 2𝑘 2𝑙 2𝜆 [答案]：[ 𝑘 𝑙 𝜆 ]，其中𝑘，𝑙，𝜆是任意常数. −𝑘 −𝑙 −𝜆 [解析]：将𝐵按列分块，设𝐵 =[𝛽 ,𝛽 ,𝛽 ]，则 1 2 3 𝐴𝐵 =𝐴[𝛽 ,𝛽 ,𝛽 ]=[𝐴𝛽 ,𝐴𝛽 ,𝐴𝛽 ]=𝑂 ⇔𝐴𝛽 =0，𝐴𝛽 =0，𝐴𝛽 =0，故𝛽 ,𝛽 ,𝛽 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 都是齐次线性方程组𝐴𝑥 =0的解向量. 对齐次线性方程组𝐴𝑥 =0，求出其通解，有 1 −2 0 1 −2 0 1 −2 0 𝐴 =[2 1 5]→[0 5 5]→[0 1 1] 0 1 1 0 1 1 0 0 0 𝐴𝑥 =0有通解𝑘[2,1,−1]T，取𝛽(𝑖 =1,2,3)为𝐴𝑥 =0的通解，再合并成𝐵，得 𝑖 2𝑘 2𝑙 2𝜆 𝐵 =[ 𝑘 𝑙 𝜆 ]，其中𝑘，𝑙，𝜆是任意常数. −𝑘 −𝑙 −𝜆 [易错点]：这是一道简单的线性方程组计算题，注意计算过程中不失误即可。