三阶幻方(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套_新课标小学数学奥林匹克辅导及练习(36套,含答案)

三阶幻方 同学们： 在33（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自 然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。 如果在44（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填 上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫 四阶幻方。一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续 自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每 列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样 排成的数的图形叫做几阶幻方。 （一）思路指导与解答 例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。 a b c d e f g h i 图1 图2 分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）： （1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中 间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求 和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一 行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可 以根据幻和是多少填写出来了。 （2）求幻和： 幻和(123456789)3 453 15 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com（3）选择突破口，显然是e，看图2。 因为：aei behceg d e f 15 所以：(aei)(beh)(ceg)(d e f) 15151515 60 也就是：(abcd e f ghi)3e60 又因为：abcd e f ghi 45 所以453e60 3e6045 e5 也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间 的数。 （4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。 我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为ai 10，所以i也是奇数。 因为奇＋奇＝偶。又因为ad g 15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况： <1>当d、g都是奇数时，因为d e f 15，ghi 15，其中e，i都是奇数，所以f、h也 只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有 五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。 <2>当d、g为偶数时，因为d  f 10，ghi 15，cg 10，因为i为奇数，所以f、 h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。 说明d、g都是偶数也不行。 所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由ai 10知i也是偶数。 用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。 （5）试验填数排出幻方。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com因为e  5，a、c、g、i 是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于 15进行试验。 当a 2时，i 8，c  4或6，若c4，则有g6 b  9，d  7，f  3，h 1，若c6，则有g 4 b  7，d  9，f 1，h  3，这样可填出两个幻方。 当a  4、6、8时，请同学们自己练习填写。 用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个： 2 9 4 2 7 6 4 9 2 7 5 3 9 5 1 3 5 7 6 1 8 4 3 8 8 1 6 4 3 8 6 7 2 6 1 8 9 5 1 1 5 9 7 5 3 2 7 6 8 3 4 2 9 4 8 3 4 8 1 6 1 5 9 3 5 7 6 7 2 4 9 2 图3 说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都 可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。 例2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。 分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为2438，那么与8在一 条直线上的各个组的其余两个数的和为16。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com因为：11516，412 16，79 16 214 16，51116 31316，61016 按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24。 7 6 11 12 8 4 5 10 9 例3. 在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。 分析：从第一行和对角线可得： A 7D A 106 7D16 D9 这样幻和915630 从第一行中可求出： A30(79) 14 从第二行中可求出： B  30(1015) 5 从第三行中可求出： C  30(116) 13 例4. 在下面各图形的○里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com9 10 21 8 分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角 的数。 （1）21813，211011 想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。 13 / \ 11 1 12 / \ 1 10 2 11 2 9 3 10 3 8 4 9 4 7 5 8 5 6 6 7 6 5 7 6 当8右边的数和10下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。 （2）填写左下角○内的数：21(86)  7，左下角为7。 （3）填写下面○内的数：21(610) 5，上面数应填5。 （4）左边线上三个数相加：59721，说明符合条件。 5 9 10 21 7 8 6 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com［答题时间：25分钟］ （二）认真思考，独立完成 1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。 5 2 6 图1 2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。 4 8 5 图2 3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三 个数之和都等于30。 9 请做完之后再看答案！ 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】 （二）认真思考，独立完成 1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。 4 3 8 9 5 1 2 7 6 2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。 4 9 8 11 7 3 6 5 10 3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三 个数之和都等于30。 7 12 11 14 10 6 9 8 13 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com