《初中数学•秋季三阶学生讲义》8年级(北师)尖子班_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》8年级(北师)

八年级-秋季-北师版-尖子班
第1讲 复杂的“旋转型”与弦图.....................................................................................................................................................................................................4
知识点1 复杂的“旋转型”........................................................................................................................................................................................................4
知识点2 弦图及其拓展.................................................................................................................................................................................................................7
第2讲 实数............................................................................................................................................................................................................................................14
知识点1 平方根.............................................................................................................................................................................................................................14
知识点2 算术平方根....................................................................................................................................................................................................................15
知识点3 立方根.............................................................................................................................................................................................................................15
知识点4 实数................................................................................................................................................................................................................................. 16
第3讲 二次根式...................................................................................................................................................................................................................................22
知识点1 二次根式的概念..........................................................................................................................................................................................................22
知识点2 二次根式有意义的条件.............................................................................................................................................................................................23
知识点3 二次根式的性质与化简............................................................................................................................................................................................23
知识点4 二次根式的乘除法......................................................................................................................................................................................................25
知识点5 二次根式的加减法......................................................................................................................................................................................................27
知识点6 二次根式化简求值......................................................................................................................................................................................................30
第4讲 平面直角坐标系.......................................................................................................................................................................................................................33
知识点1 有序数对........................................................................................................................................................................................................................33
知识点2 各象限内点的坐标特征.............................................................................................................................................................................................35
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征...................................................................................................................................................38
知识点4 规律性--点的坐标..................................................................................................................................................................................................40
第5讲 坐标方法的简单应用............................................................................................................................................................................................................45
知识点1 坐标确定位置...............................................................................................................................................................................................................45
知识点2 坐标与图形性质..........................................................................................................................................................................................................49
知识点3 坐标与图形变化—平移.............................................................................................................................................................................................52
知识点4 坐标与图形变化—对称............................................................................................................................................................................................55
知识点5 坐标与图形变化—旋转.............................................................................................................................................................................................57
第6讲 函数............................................................................................................................................................................................................................................63
知识点1 常量与变量.................................................................................................................................................................................................................63
知识点2 函数的概念.................................................................................................................................................................................................................64
知识点3 自变量的取值范围和函数值.................................................................................................................................................................................66
知识点4 函数的图象...................................................................................................................................................................................................................68
第7讲 正比例函数..............................................................................................................................................................................................................................74
知识点1 正比例函数的概念......................................................................................................................................................................................................74
知识点2 正比例函数的图象与性质........................................................................................................................................................................................75
知识点3 正比例函数的解析式.................................................................................................................................................................................................77
第8讲 一次函数...................................................................................................................................................................................................................................81知识点1 一次函数的定义..........................................................................................................................................................................................................81
知识点2 一次函数的图像..........................................................................................................................................................................................................81
知识点3 一次函数的性质..........................................................................................................................................................................................................84
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系.............................................................................................................................................................................87
第9讲 一次函数的应用.....................................................................................................................................................................................................................91
知识点1 一次函数的解析式......................................................................................................................................................................................................91
知识点2 一次函数的图形变换.................................................................................................................................................................................................94
知识点3 简单的实际问题..........................................................................................................................................................................................................96
知识点4 方案、决策问题..........................................................................................................................................................................................................99
第10讲 二元一次方程组.................................................................................................................................................................................................................105
知识点1 二元一次方程的概念...............................................................................................................................................................................................105
知识点2 二元一次方程的解....................................................................................................................................................................................................106
知识点3解二元一次方程组---代入消元法.....................................................................................................................................................................107
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法...................................................................................................................................................................108
知识点5 二元一次方程组的解的概念.................................................................................................................................................................................110
知识点6 同解方程组..................................................................................................................................................................................................................110
知识点7 解三元一次方程组....................................................................................................................................................................................................111
第11讲 二元一次方程组的应用...................................................................................................................................................................................................115
知识点1 配套问题......................................................................................................................................................................................................................115
知识点2 行程问题......................................................................................................................................................................................................................116
知识点3 销售问题......................................................................................................................................................................................................................117
知识点4 数字问题......................................................................................................................................................................................................................118
知识点5 梯度收费问题.............................................................................................................................................................................................................120
第12讲 方程组与一次函数............................................................................................................................................................................................................123
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系......................................................................................................................................................................123
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系........................................................................................................................................................125
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系.................................................................................................................................................................128
第13讲 数据的分析..........................................................................................................................................................................................................................135
知识点1 平均数...........................................................................................................................................................................................................................135
知识点2 中位数与众数.............................................................................................................................................................................................................136
知识点3 从统计图计算集中趋势..........................................................................................................................................................................................141
知识点4 数据的离散程度........................................................................................................................................................................................................143
第14讲 不等式及不等式组............................................................................................................................................................................................................149
知识点1 一元一次不等式的概念..........................................................................................................................................................................................149
知识点2 不等式的性质.............................................................................................................................................................................................................150
知识点3 不等式的解和解集....................................................................................................................................................................................................151
知识点4一元一次不等式的解法............................................................................................................................................................................................152
知识点5 一元一次不等式组...................................................................................................................................................................................................154第15讲 含参不等式..........................................................................................................................................................................................................................158
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围........................................................................................................................................158
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围........................................................................................................................................159
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围............................................................................................................................................159
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围...................................................................................................................................160第 1 讲 复杂的“旋转型”与弦图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”
后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=2❑√2，求AC的长.
【方法总结】
在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出
△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的❑√2倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得
解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，
也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于
D，求DE的长.【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出
1
△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
2
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运
用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是_____
2.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积=______3.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相
交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的
有（ ）
知识点2 弦图及其拓展
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.
图中的等量关系有：
a2+b2=c2；
4个小三角形的面积和=2ab；
大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；
小正方形的边长为b-a= ，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；
（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；
（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.
【典例】
1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的
面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.【方法总结】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.
将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．
本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．
2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM
为Rt△ABM较长直角边，AM=2❑√3EF，则正方形ABCD的面积为______
【方法总结】
设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2❑√3EF可得
a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.
本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．
【随堂练习】
1.如图，已知该图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中AE=5，BE=12，则EF的长是______2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化
得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，若
1 2 3
S+S+S=144，则S 的值是_____
1 2 3 2
3.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，
可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长
方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为____
综合运用
1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果
AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直
角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．
3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.
4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离
是7，则正方形ABCD的面积是________.
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得
到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，若正方
1 2 3
形EFGH的边长为2，求S+S+S 的值．
1 2 36.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．
7.已知：在 中， ， ，过点 作 于 ， 为 边上一点，且 ，连
结 、 ．求证： ．
A
C
B D
E第 2 讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
也就是说，若 ，则 就叫做 的平方根．
一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（武胜县期中）已知 的平方根是 ， 的平方根是 ，求 ．
2．（防城港期中）一个正数的平方根是 与 ，求 和这个正数．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 的算术平方根，可用符号表示为“ ”；
有一个平方根，就是 ， 的算术平方根也是 ，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．【典例】
1. 的算术平方根为____
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a，即x2 =a，那么这个正数x叫做
a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（浦东新区期中）先计算下列各式： ， ， ， ，
．
（1）通过观察并归纳，请写出： ．
（2）计算： ．
2．（长白县期中）已知实数 ， ， 满足： ， 的平方根等于它本身．求 的值．
3．（奈曼旗期末）张华想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为 的长方形纸
片，使它的长宽之比为 ．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大
的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
4．（青山区期中）小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为 的长方形纸
片．
（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
（2）若使长方形的长宽之比为 ，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方
案；若不能，请简要说明理由．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根，也就是说，若 则 就叫做 的立方根.
一个数 的立方根可用符号表示“ ”，其中“ ”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“ ”其实省略了根指数“ ”，即： 也可以表示为 ．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
【典例】1.计算 的结果是（ ）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若 则 就叫做 的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64， =5，则m+n﹣x的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（黄石期中）已知实数 的两个平方根分别为 和 ，实数 的立方根为 ，求 的值．
2．（莘县期中）已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，
求： 的值的平方根．
3．（海安县校级月考）若 与 互为相反数，求 的值．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】1.下列各数中： ， ， ，﹣π， ，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、 、π、﹣3.14、 、﹣ 、 、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与 最接近的整数是______
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小， 在紧邻 前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
【方法总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1 ． （ 邳 州 市 期 中 ） 规 定 ： 一 个 数 的 平 方 等 于 ， 记 作 ， 于 是 可 知 ，
，按照这样的规律， 等于
A．1 B． C． D．
2．（北仑区期末）数轴上从左到右依次有 、 、 三点表示的数分别为 、 、 ，其中 为整数，且满足
，则 ．
3．（聊城期中）如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点 为圆心，
矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点 ，则点 表示的数为 ．
4．（大冶市期末）若点 、 、 在数轴上对应的数分别为 、 、 满足 ．
（1）在数轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点 ， ， 同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数
轴负方向运动．经过 秒后，试问 的值是否会随着时间 的变化而变化？请说明理由．
5．（龙湖区期末）如图，在数轴上点 表示的数 、点 表示数 ， 、 满足 ．点 是数
轴原点．
（1）点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，线段 的长为 ．
（2）若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，请在数轴上找一点 ，使
，则点 在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点 移动；当点 移动到 点时，点才从 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点 到达 点时，点 就停止移动，设点 移
动的时间为 秒，问：当 为多少时， 、 两点相距4个单位长度？
6．（定兴县期末）如图1，已知在数轴上有 、 两点，点 表示的数是 ，点 表示的数是9．点 在数轴上
从点 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点 在数轴上从点 出发，以每秒3个单位的
速度在沿数轴负方向运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒．
（1） ； 时，点 表示的数是 ；当 时， 、 两点相遇；
（2）如图2，若点 为线段 的中点，点 为线段 中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变
化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长；
（3）如图3，若点 为线段 的中点，点 为线段 中点，则点 表示的数为 ；点 表示的数为 ；
．（用含 的代数式填空）
综合运用
1. 的平方根是 ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
3.计算： = ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）的值为 ．5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
6.在 ，2π，﹣2 ，0，0.454454445…，﹣ ， 中，无理数的有 个．
7.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为 ．
8.比 大且比 小的整数是 ．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14， ，﹣ ，﹣ ，0， ，π，1010010001…
① 有理数集合{ …}
② 无理数集合{ …}
③ 负实数集合{ …}．
10.计算： ﹣2 +| ﹣2|．
11.计算：
﹣ ﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．第 3 讲 二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“❑√ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
下列各式中：①❑√y+2；②❑√(−2) 4 ；③❑√a2+3；④❑√x2+6x+9；⑤❑√x2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（滨江区期末）当a=﹣3，则 =____．
2．（东西湖区期中）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n是 ____ ．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．❑√a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
❑√x−2
1.若代数式 有意义，则x满足的条件是______________．
3
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于 0可以
求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．【随堂练习】
1．（汶上县期末）若已知a、b为实数，且 +2 =b+4，则a+b= ___ ．
2．（瑶海区期中）若 在实数范围内有意义，则x_____．
3．（黄陂区期中）若x，y为实数，y= ，则4y﹣3x的平方根是____．
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①❑√a≥0； a≥0（双重非负性）．
②(❑√a)²=a（a≥0）．
{&a(a≥0)
③❑√a2=|a|=
&−a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
√a ❑√a
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．❑√ab=❑√a•❑√b (a≥0，b≥0)，❑ = (a≥0，b＞0)
b ❑√b
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
1.实践与探索
（1）填空：❑√32= _______； ❑√(−5) 2 = ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时❑√a2= ___ ；当a＜0时，❑√a2= ____ ；
（3）利用你总结的规律计算：❑√(x−2) 2 +❑√(x−3) 2 ，其中2＜x＜3．
【方法总结】{&a(a≥0)
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握❑√a2=|a|=
，进而化简求出即可．
&−a(a＜0)
【随堂练习】
1．（金乡县期中）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 m、n，是 m2+n2=x 且
mn= ，则把x±2 变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵3+2 =1+2+2 =12+（ ）2+2×1× =（1+ ）2
∴ = =1+ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1） ；（2） ．
2．（新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+ ．
3．（延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2
可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） （2） ．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把
满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因
式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：❑√a⋅b=❑√a•❑√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）
√a ❑√a
（3）商的算术平方根的性质：❑ = （a≥0，b＞0）
b ❑√b
❑√a √a
（4）二次根式的除法法则： =❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
规律方法总结：
在使用性质❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，
如（❑√−4）×（❑√−9）≠❑√（﹣4）×（﹣9）；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法
运算也是如此．
3．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
1 1 ❑√a 1 ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b
例如：① = ∙❑√a = ；② = = ．
❑√a ❑√a×❑√a a ❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)∙(❑√a+❑√b) a−b
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式
不止一个．例如：2﹣❑√3的有理化因式可以是2+❑√3，也可以是a（2+❑√3），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A.❑√45 B.❑√a2+b2 C.❑ D.❑√3.6
2
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含
能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的
两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，
被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．
2.计算(1)❑√2a•❑√8a（a≥0）= ； （2）❑√12÷❑√6= ．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：
❑√a √a
乘法法则❑√a⋅❑√b=❑√ab；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则： =❑ （a≥0，b＞0）．
❑√b b
1 1
3.已知：a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
2−❑√3 2+❑√3
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出 a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、
a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（遵义期中）观察思考：（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2= …由此得到：
（1）（ ）2=_______．
（2）计算（ ）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．2．（分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，
并完成后面的问题．
× ___ ， × ____ ，
× ____ ， × ____ …
用 ， ， 表示上述规律为：_______；
（2）利用（1）中的结论，求 × 的值
（3）设x= ，y= 试用含x，y的式子表示 ．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加
减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A.❑√9 B.❑√27 C.❑√18 D.❑√24
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次
根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
√1 √1
2.计算2❑ ﹣6❑ +❑√8的结果是（ ）
2 3
A.3❑√2﹣2❑√3 B.5﹣❑√2 C.5﹣❑√3 D.2❑√2
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同
类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1） ❑√18a⋅❑√2a(a≥0)
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2
2 4
（3）❑√12+❑√18−❑√8−❑√32（4）(3+❑√10)(❑√2−❑√5)．
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（石家庄期中）计算：
÷ ×
（1）
（2） ﹣（4 ﹣ ）
（3）（7+4 ）（7﹣4 ）﹣（3 ﹣1）2（4）| ﹣ |+| ﹣2|+
2．（东莞市校级月考）计算；5 ﹣ +2 ﹣（ +3）2．
3．（常州期末）阅读材料：像（ + ）（ ﹣ ）=3、 • =a（a≥0）、（ +1）（ ﹣
1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互
为有理化因式．例如 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ； = ．
解答下列问题：（1）3﹣ 与_____互为有理化因式，将 分母有理化得_____；
（2）计算： ；
（3）已知有理数a、b满足 ，求a、b的值．
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，求下列各式的值：
x y
（1）x2y+xy2； （2） + ．
y x
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次
x y
根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y）， + 变
y x
(x+ y) 2−2xy
形为 ，然后利用整体代入的方法计算．
xy
【随堂练习】
1．（兴义市期中）阅读下面的问题：﹣1；
= ；
；
……
（1）求 与 的值．
（2）已知n是正整数，求 与 的值；
（3）计算 + ．
2．（包河区期中）已知：a= ﹣1，求 ÷（2﹣ ）的值．3．（琼中县期中）已知x+1= ，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
综合运用
√5 √ 5
1.计算：❑√2xy•❑√8 y= ___ ，❑√12×❑√27=_________；❑ ÷❑ = _____ ．
3 54
2.化简❑√27的结果是____________．
3.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
1 ❑√3−x ❑√x−3
（1） ； （2） ； （3） ；
❑√4−3x x−2 x−2
（4）❑√−x2 ； （5）❑√2x2+1； （6）❑√2x−3+❑√3−2x．
√1 1
5.计算：3❑√5+2❑ −❑√20− ❑√32．
2 2
√1
6.计算：①（3﹣❑√7）（3+❑√7）+❑√2（2﹣❑√2） ②❑√48÷❑√3﹣❑ ×❑√12+❑√24
27.已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3﹣❑√2．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．第 4 讲 平面直角坐标系
知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把
这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
注意：当 时， 和 是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）
一 二 三 四 五 六
列 列 列 列 列 列
一行
二行
C D
三行
A
四行
B
五行
六行
A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？
(巷)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5(街)
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在
前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右
或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．【随堂练习】
1．（嘉祥县期中）雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣距离和角度，目标的表
示方法为（m，α），其中，m表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角
度．如图，雷达探测器显示在点 A，B，C 处有目标出现，其中，目标 A 的位置表示为 A（5，
30°），目标C的位置表示为C（3，300°）．用这种方法表示目标B的位置，正确的是（ ）
A．（﹣4，150°） B．（4，150°） C．（﹣2，150°） D．（2，150°）
2．（金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为 x轴，对称轴为y轴，建立
如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（
）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）3．（北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 x轴、y轴
的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的
点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的
点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的
点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左
安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或 轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或 轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．
2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，
第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
3、点的坐标
对于坐标平面内的一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 、 分别叫做点 的横坐标和
纵坐标，有序实数对 叫做点 的坐标，记作 ．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．4、各象限内点的坐标特征
点 在第一象限 ；
点 在第二象限 ；
点 在第三象限 ；
点 在第四象限 ．
【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长度的点有____________．
2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，
可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．（扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为
4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）2．（沈河区一模）在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（深圳模拟）点P（x﹣1，x+1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（雨花区校级一模）若点A（﹣6，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 即在 轴上，又在 轴上 ，即点 的坐标为 ．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点 在第一、三象限夹角的角平分线上 ；
点 在第二、四象限夹角的角平分线上 ．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（ ）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
2.已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是_________．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（平南县二模）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点 N到y轴的距离为2，则点N的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，﹣2）
2．（滨湖区二模）已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值为 （ ）
A．6 B．﹣1 C．2或3 D．﹣1或6
3．（迁安市期末）已知点P（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（
）
A．（3，3） B．（6，﹣6） C．（3，﹣3） D．（3，3）或（6，﹣6）
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A，逆时
1 2
针旋转90°后前进3个单位长度到达A，…，逆时针旋转90°后前进个单位长度到达点A，则点A的坐标为________．
3
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点A在第一象限；再观察第一象限内的点A（1，2），A（3，4），A （5，6）的规律，发现第一象限内的点A 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以
2 6 10 n
第一象限内点A的坐标为 ，所以点A点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．（曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位
至点P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P （﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至
1 2
点P ，第4次向右跳动3个单位至点P ，第5次又向上跳动1个单位至点P ，第6次向左跳动4个单
3 4 5
位至点P ，…．照此规律，点P第100次跳动至点P 的坐标是（ ）
6 100
A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
2．（新罗区期末）如图，在直角坐标系中，A（1，3），B（2，0），第一次将△AOB 变换成
△OA B ，A （2，3），B （4，0）；第二次将△OA B 变换成△OA B ，A （4，3），B （8，0），
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
第三次将△OA B 变换成△OA B ，……，则B的横坐标为（ ）
2 2 3 3A．2 B．2 C．2 D．2
3．如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣1，1），第四次向右
1
跳动5个单位至点A （3，2），…，依此规律跳动下去，点A第10次跳动至点A 的坐标是______，
4 10
点A第100次跳动至点A 的坐标是_____．
100
综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→
（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由 A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→
（_______）→（_______） → （1，3）．（答案不唯一）
3.已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为____________．
4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测
出，从里向外第41个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1，1），第二次达到点（1，
0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点（2，﹣1），…，按照这样的规律，第次到达点的坐标应为_______．
7.请写出点A，B，C，D，的坐标．
8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．第 5 讲 坐标方法的简单应用
知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我们能看到许多这种方法的应用，如用经度和
纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一
个坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，
﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，
又回到家里，写出路上她经过的地方．【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位置的坐标，主要是先
确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出
了平面直角坐标系，那我们只需要按照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（门头沟区期末）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．如图是利用平面直角坐标系画出的
故宫的主要建筑分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 轴、 轴的正方向，建立平面直角坐标系，有如
下四个结论，结论中，所有正确结论的序号是
①当表示太和殿的点的坐标为 ，表示养心殿的点
的坐标为 时，表示景仁宫的点的坐标为 ；
②当表示太和殿的点的坐标为 ，表示养心殿的点
的坐标为 时，表示景仁宫的点的坐标为 ；
③当表示太和殿的点的坐标为 ，表示养心殿的点
的坐标为 时，表示景仁宫的点的坐标为 ；
④当表示太和殿的点的坐标为 ，表示养心殿的点
的坐标为 时，表示景仁宫的点的坐标为 ．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③2．（大兴区期末）如图是北京城一些地点的分布示意图．
在图中，分别以正东、正北方向为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为 ，表示故宫的点的坐标为 时，表示人民大会堂的点的坐标为 ；
②当表示天安门的点的坐标为 ，表示故宫的点的坐标为 时，表示人民大会堂的点的坐标为 ；
③当表示天安门的点的坐标为 ，表示故宫的点的坐标为 时，表示人民大会堂的点的坐标为 ；
④当表示天安门的点的坐标为 ，表示故宫的点的坐标为 时，表示人民大会堂的点的坐标为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
3．（三门峡二模）定义：在平面直角坐标系 中，把从点 出发沿纵或横方向到达点 （至多拐一次弯）的路
径长称为 ， 的“实际距离”．如图，若 ， ，则 ， 的“实际距离”为5，即 或
．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设 ， ， 三个小区的坐标分别为
， ， ，若点 表示单车停放点，且满足 到 ， ， 的“实际距离”相等，则点 的
坐标为A． B． C． ， D．
4．（海淀区期中）小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以
他现在的位置为原点，正东、正北分别为 轴、 轴正方向，图中点 的坐标为 ，那么离他最近的出租车所
在位置的坐标大约是
A． B． C． D．
5．（石景山区一模）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角
坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为 轴、 轴的正方向，表示点 的坐标为
，表示点 的坐标为 ，则表示其他位置的点的坐标正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）6．（古冶区期末）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋 所在点的坐标是 ，黑棋 所在点的坐标是
，现在轮到黑棋走，黑棋放到点 的位置就获得胜利，点 的坐标是 ．
三．解答题（共1小题）
7．（沙河市期末）如图，已知火车站的坐标为 ，文化馆的坐标为 ．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场 ，图书馆 ，公园 的坐标分别为 ， ， ，请在图中标出 ， ， 的位置．
知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐
标相同。
【随堂练习】
1．（乐亭县期末）长方形 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点 ， ， 轴，
轴， ， ．
（1）分别写出点 ， ， 的坐标；（2）在 轴上是否存在点 ，使三角形 的面积为长方形 面积的 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（苍溪县期中）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点： ， ， ；
顺次连接 ， ， ，组成 ，求 的面积．
3．（韶关期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，且 ， 满足
，点 的坐标为 ．
（1）求 ， 的值及 ；
（2）若点 在 轴上，且 ，试求点 的坐标．
4．（恩施市期末）如图在直角坐标系中，已知 ， ， ， 三点，若 ， ， 满足关系式：．
（1）求 ， ， 的值．
（2）求四边形 的面积．
（3）是否存在点 ，使 的面积为四边形 的面积的两倍？若存在，求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由．
5．（信丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足 ．
（1）填空： ， ；
（2）如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积；
（3）在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得 的面积与 的面积相等，请求出点 的
坐标．
6．（莘县期末）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ， ， ， ， ，
（1）在坐标系中描出各点，画出 ， ．
（2）求出 的面积（简要写明简答过程）．7．（茅箭区校级月考）如图，描出 、 、 、 四个点，线段 、 有什么关系？
顺次连接 、 、 、 四点组成的图形是什么图形？
8．（东营区校级期末）如图，四边形 各个顶点的坐标分别为 ， ， ， ．
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？
（2）如果把原来 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平
移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长
度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），
△ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P′（x+6，y+4）.
1 1 1 1
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上
（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一
个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【随堂练习】
1．（柳江区期中）如图，长方形 中， 为平面直角坐标系的原点， 点的坐标为 ， 点的坐标为
，点 在第一象限内，点 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线移动
（即 沿着长方形移动一周）．
（1）写出点 的坐标 ．
（2）当点 移动了4秒时，描出此时 点的位置，并求出点 的坐标．
（3）在移动过程中，当点 到 轴距离为5个单位长度时，求点 移动的时间．2．（柯桥区期末）已知点 位于第三象限，点 位于第二象限且是由点 向上平移一定单位长
度得到的．
（1）若点 的纵坐标为 ，试求出 的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点 的坐标；
（3）若点 的横、纵坐标都是整数，试求出 的值以及线段 长度的取值范围．
3．（卢龙县期末） 与△ 在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出下列各点的坐标： ； ； ；
（2）说明△ 由 经过怎样的平移得到？ ．
（3）若点 是 内部一点，则平移后△ 内的对应点 的坐标为 ；
（4）求 的面积．4．（兰陵县期中） 与△ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标： ； ； ；
（2） 由△ 经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点 是 内部一点，则△ 内部的对应点 的坐标为 ；
（4）求 的面积．
知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P（﹣1，2）关于直线m
的对称点的坐标为_______．
【方法总结】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称：①关于直线
x=m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b），②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）是解题
的关键．
【随堂练习】
1．（竞秀区一模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用
表示，右下角的圆形棋子用 表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称
图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是
A． B． C． D．
二．解答题（共1小题）
2．（崇川区期末）如图在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为： ， ，
（1）在图中作△ 使△ 和 关于 轴对称；
（2）写出点 的坐标．知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别
是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时
点B的坐标是____．
【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图
形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是作出图形，利用数形结合的思想求解更形
象直观．
【随堂练习】
1．（山西模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点都在正方形网格线的格点上，将 绕点 按逆时
针方向旋转 ，得到△ ，则点 坐标为
A． B． C． D．
2．（泰州期末）点 经过某种图形变化后得到点 ，这种图形变化可以是
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
3．（荆州）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以原点为中心，将点 顺时针旋转 得到点 ，则点
的坐标为A． ， B． ， C． D．
二．填空题（共1小题）
4．（杨浦区校级自主招生）如图，在直角坐标系中，将 绕原点旋转到 ，其中 ， ，点
在 轴正半轴上，则点 的坐标为 ．
三．解答题（共1小题）
5．（莒南县期末）如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分
别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 、 的值．
综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，
﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是 ．2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为 ．
3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至AB，A、B 的坐标分别为（2，a）、（b，3），则
1 1 1 1
= ．
6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积
为9，则D点坐标为 ．
7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，3）的对应点D的坐标是 ．8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x
轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），
（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．
9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在 4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，
试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）3楼7门的是 ．10.三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．
11. ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1△）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．第 6 讲 函数
知识点1 常量与变量
1.变量与常量：
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.
注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.
【典例】
1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：
则下列说法中正确的是（ ）
A. 定价是常量，销量是变量
B. 定价是变量，销量是不变量
C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【随堂练习】
1．（郑州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如
下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s2．（确山县期中）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得
的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为3kg时，弹簧长是____．不挂重物时，弹簧长是_____．
②当所挂物体的质量为8kg（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是 ____ _．
知识点2 函数的概念
1.一般地，在一个变化过程中的两个变量 和 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，那么我们称 是 的函数，
其中 是自变量， 是因变量.
2.函数的图像:
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
【典例】
1.下列说法正确的是（ ）
A. 在球的体积公式V= πr2中，V不是r的函数
B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
C. 在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数
D. 若变量x、y满足y= x+ ，则y是x的函数
2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法正确的是______________．
①x与y都是变量；
②弹簧不挂重物时的长度为0cm；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数
关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后
回家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有________米；
（2）邮亭离公共阅报栏有________米；
（3）小红从邮亭走回家用了________分．
【随堂练习】
1．（滨江区期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）A． B． C． D．
2．（浦东新区期末）当m=____时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数．
3．（滦南县校级期中）下列：①y=x2；②y=2x+1；③y2=2x（x≥0）；④y= （x≥0），具有函
数关系（自变量为x）的是____．
4．（宜宾校级月考）下列各式①y=0.5x﹣2；②y=|2x|；③3y+5=x；④y2=2x+8中，y是x的函数的
有____（只填序号）
知识点3 自变量的取值范围和函数值
函数自变量的取值范围，一般从下面几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；
（4）当函数表达式含有0次幂时，需要满足0次幂的底数不等于0.
【典例】
1.求下列函数中自变量的取值范围：
（1）
（2）
（3）
（4） ．2.根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为_________.
【随堂练习】
1．（扬州一模）下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A．y=x﹣3 B． C． D．
2．（深圳模拟）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠ C．x≥﹣1且x≠ D．x＞﹣1
3．（利州区一模）函数y= ，当y=a时，对应的x有唯一确定的值，则a的取值范围为
（ ）
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a＜2D．a≤0或a=2
4．（鼓楼区校级期中）如果设 f（x）= ，那么f（a）表示当x=a时， 的值，即f（a）=
．如：f（1）= = ．
（1）求f（2）+f（ ）的值；
（2）求f（x）+f（ ）的值；（3）计算：f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）
（结果用含有n的代数式表示，n为正整数）
知识点4 函数的图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
【典例】
1．（文登区期末）某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15分钟，于是
立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给她送学习用品，两人在途中相遇，在这
个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离S（米）与所用时间t（分钟〕之间的关系如图所示，若爸
爸骑自行车的速度是小颖步行的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）学校离家的距离是____米，爸爸出发 _____ 分钟后与小颖相遇；
（2）请求出小颖步行的速度；
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度不变）小颖能在上课
前到达学校吗？请说明理由．
【随堂练习】
1．（永春县期末）规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ．那么函数 的
图象为
A．B．
C．
D．
二．填空题（共1小题）
2．（台州模拟）小颜同学根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质作了四个推测：
（1）图象是一个轴对称图形；（2）当 时， 有最大值等于3；（3） 的值随着 的增大而减少；（4）当
时， 的值随着 的增大而减小．则推测正确的是 ．
三．解答题（共7小题）
3．（灵石县期末）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动
朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离 （米 与小明出发的时间 （秒
之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）朱老师的速度为 米 秒；小明的速度为 米 秒；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．
4．（垦利区期末）周末，小李8时骑车从家出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离 （千米）与时间 （时 的关系如图中的折线所示．根据这个图象回答下列问题：
①小李到达离家最远的地方是什么时间？
②小李何时第一次休息？
③10时到13时，小李骑了多少千米？
④返回时，小李的平均速度是多少？
5．（岱岳区期末） 、 两地相距 ，甲骑摩托车由 地驶往 地，乙驾驶汽车由 地驶往 地，甲乙两
人同时出发，乙达到 地停留1小时后，按原路原速返回 地，甲比乙晚1小时到达 地，甲、乙两人行驶过
程中均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程 与乙所用时间 的关系如图，结合图象回答下列问题．
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2） 的值为 ；
（3）甲到达 地共需 小时；甲骑摩托车的速度是 ；
（4）乙驾驶汽车的速度是多少 ？
6．（永新县期末）如图是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲的速度 乙的速度．（填“大于”、“等于”、或“小于”
（3）甲与乙 时相遇．
（4）甲比乙先走 小时．
（5）9时甲在乙的 （填“前面”、“后面”、“相同位置” ．
（6）路程为 ，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时．7．（鄂伦春自治旗期末）如图是某汽车行驶的路程 与时间 （分钟） 的函数关系图．观察图中所提供的信
息，解答下列问题：
（1）求汽车在前9分钟内的平均速度．
（2）汽车在中途停留的时间．
（3）求该汽车行驶30千米的时间．
8．（长清区期末）如图所示， 、 两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从 地出发驶往 地，乙也
于同日下午骑摩托车按路线从 地出发驶往 地，如图所示，图中的折线 和线段 分别表示甲乙所行
驶的路程 和时间 的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）甲和乙哪一个出发的更早？早出发多长时间？
（2）甲和乙哪一个早到达 城？早多长时间？
（3）乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
（4）请你根据图象上的数据，求出乙出发用多长时间就追上甲？
9．（即墨区期末）年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用
的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小刚家到学校的路程是 米；小刚在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小刚一共行驶了 米；一共用了 分钟；
（3）我们认为骑单车的速度超过300米 分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度
最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．
综合运用
1.下列图象不能表示变量y是变量x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列关系式中，y是x的函数有（ ）
①y= ；②y=x2；③y2=x（x≥0）；④y= （x≥0）；⑤y=± （x≥0）；⑥|y|=x（x≥0）；⑦y=|x|．
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
3.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示
的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是__________________________________.
4.已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地的距离为y km，步行的时间为x h．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．第 7 讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中 是自变量， 是因变量， 是 的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
2.已知 ，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【方法总结】
1.判断某两个变量 之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是
否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（漳浦县期末）若 是正比例函数，则 ．
2．（镇原县期末）若函数 是正比例函数，则常数 的值是 ．
3．（陆川县期末）函数 为常数）
（1）当 取何值时， 是 的正比例函数？
（2）当 取何值时， 是 的一次函数？
4．（莒县期中）已知 是关于 的正比例函数，
（1）写出 与 之间的函数解析式：（2）求当 时， 的值．
5．（鄂州模拟）已知函数 ．
（1） 为何值时，函数为正比例函数；
（2） 为何值时，函数的图象经过一，三象限；
（3） 为何值时， 随 的增大而减小？
（4） 为何值时，函数图象经过点 ？
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数 （ 为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；
当 时，图象过二、四象限， 随 的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1） ；（2） ．
2.已知函数 ， ， ， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与 轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数 ， 在同一坐标系中的图象如图所示，则 与 的大小关系为____________．【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；当 时，图象过二、四
象限， 随 的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的 值的大小时，只需比较每条直线与 轴所夹锐角的大小，锐角越大， 越大，分别确定
一、三象限中 的大小和二、四象限中 的大小，再按照“一、三象限的 值>二、四象限的 值”将 值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（渝中区校级期末）已知正比例函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象为
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过点 作 轴的垂线交 于点
，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，
依次进行下去，则点 的坐标是A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（盐田区校级期末）若函数 的值随自变量的增大而增大，则函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
4．（奉贤区二模）如果正比例函数 的图象经过第一、三象限，那么 的取值范围是 ．
5．（武城县期中）已知直线 经过点 ， 、 ， ，当 时，有 ，则 的取值范
围是 ．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对 ， 的值或一个非原点的点，就可以求
得 值.
【典例】1．（常熟市校级期中）若y=y +y 且y 与x成正比例，y 与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当
1 2 1 2
x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
2．（廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣ ，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为 y=kx这种形
式，然后需要代入一个点的坐标即可求出 k的值，如果指出 y与x成正比例函数关系，也只的是
y=kx。
【随堂练习】
1．（海安县期中）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，且 时， ； 时， ，
求 与 之间的函数关系式．
2．（开福区校级月考）已知 与 成正比，且当 时， ，求函数解析式．
3．（璧山区期中）如图，正比例函数 的图象经过点 ，点 在第四象限．过点 做 轴，垂足为点
，点 的横坐标为3，且 的面积为4.5
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 的面积为6？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（东营区校级期末）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，当 时， ；当 时，
．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当 时，求 的值．
5．（桐城市期末）已知正比例函数 图象经过点 ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）图象上两点 ， 、 ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
6．（赣榆区期末）已知正比例函数 的图象过点 ．
（1）写出这个正比例函数的函数解析式；
（2）已知点 在这个正比例函数的图象上，求 的值．
综合运用
1．（宜兴市校级月考）已知 y=y +y ，其中y 与x成正比例，y 与x﹣2成正比例．当 x=﹣1时，
1 2 1 2
y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
2．（昭平县一模）y= x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
3．（曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）
所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x ，y随x的增大而减小，则m的值是______．
5．（南岸区期末）设 min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如 min{0，1}=0．min{4，3，2}
=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（ ）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3第 8 讲 一次函数
知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
5
1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=x；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y= 中，是一
次函数的有________________.
2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【随堂练习】
1．（蚌埠期中）当k=_____ 时，函数y=（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数．
2．（句容市月考）若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，m= _______ ．
3．（袁州区校级月考）已知y=（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则n=____．
4．（双阳区校级月考）m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0）是一次函数？
知识点2 一次函数的图像
b
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（− ，0）的直线，一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
k
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两
个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即为一次函数的图像.
【典例】1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【随堂练习】
1．（杭州）已知一次函数 和 ，函数 和 的图象可能是
A． B．
C． D．
2．（瑶海区期末）如图图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象的是
A． B．
C． D．
3．（西湖区期末）若实数 ， ， 满足 ，且 ，则函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
4．（兴安盟四模）若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是A． B．
C． D．
5．（九江期末）两个一次函数 与 ， 为常数，且 ，它们在同一个坐标系中的图象可
能是
A． B．
C． D．
二．解答题（共1小题）
6．（沙坪坝区校级期末）如图，在 中 ， ， ．点 从点 出发，沿折线
运动，当它到达点 时停止，设点 运动的路程为 ．点 是射线 上一点， ，连接 ．
设 ， ．
（1）求出 ， 与 的函数关系式，并注明 的取值范围；
（2）补全表格中 的值；
1 2 3 4 6
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在 的取值范围内画出 的函数图象：（3）在直角坐标系内直接画出 函数图象，结合 和 的函数图象，求出当 时， 的取值范围．
知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
2.两条直线y=ax+b与y=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2
A. B. C. D.
3.一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是________________________.【随堂练习】
1．（南岗区期末）一次函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
2．（广丰区期末）一次函数 的图象如图，那么下列说法正确的是
A． 时， B． 时， C． 时， D． 时，
3．（呼兰区校级期末）如果直线 经过一、三、四象限，那么直线 经过第 象限．
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
4．（涪城区校级自主招生）如图中的直线 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（德州期末）一次函数 ，若 随着 的增大而减小，则该函数的图象经过
A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四
6．（潮南区模拟）已知一次函数 ，当 时， 的最大值是
A．1.5 B．2 C．2.5 D．
7．（杨浦区二模）如果 ， ，那么一次函数 的图象经过A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
二．解答题（共1小题）
8．（梁山县期末）小东根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究．下面是小东的探
究过程，请补充完成：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ；
（2）已知：
①当 时， ；
②当 时，
③当 时， ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
（3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标 ，其中
； ；：
0 1
5 1 0 1
（4）在平面直角坐标系 中，作出函数 的图象；
（5）根据函数的图象，写出函数 的一条性质．
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l：y＝kx＋b 与l：y＝kx＋b 的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．【典例】
1
1.已知直线l：y=﹣ x+1，请分别写出一条与直线l互相平行、互相垂直的直线的解析式：______________，_______________.
2
【随堂练习】
1．（阳东区期末）已知关于 的一次函数 的图象如图所示，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（北碚区校级月考）一次函数 的图象经过点 和点 ，其中 ，那么 、 应满足的条件
是
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
3．（杭州期末）在一次函数 的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：
甲认为当 时， 随 的增大而减小；
乙认为无论 取何值，函数必定经过定点 ， ．
则下列判断正确的是
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
4．（永年区一模）若一次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值范图是
A． B． C． D．
5．（安次区二模）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
若直线 与菱形 有交点，则 的取值范围是A． B． C． D． 且
6．（莲湖区模拟）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
7．（南关区校级一模）如图，过点 的线 与图中的四边形 有不少两个交点，其 、
、 、 ，则 的值可以是 ．（写出一个满足条什的值即可）．
8．（黄石港区期末）如果关于 的一次函数 的图象经过第一、三、四象限，那么 的取值范围
是 ．
9．（黔东南州期末）如图，过点 的直线 与图中的四边形 有不少于两个交点，其中 、
、 、 ，则 的取值范围 ．
10．（淮安区期末）在一次函数 中， 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ．
11．（柯桥区期末）在平面直角坐标系中，若直线 经过第一、三、四象限，则直线 不经过的象限是 ．
12．（九龙坡区期末）在一次函数 中， 随 的增大而减小，则 的取值范围为 ．
三．解答题（共2小题）
13．（怀柔区期末）对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为
图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“距离“，记作
．特别的，当图形 ， 有公共点时，记作 ．
一次函数 的图象为 ， 与 轴交点为 ， 中， ， ， ．
（1）求 （点 ， ；当 时，求 ；
（2）若 ．直接写出 的取值范围；
（3）函数 的图象记为 ，若 ，求出 的取值范围．
14．（路北区期中）已知一次函数 ．
（1）若函数图象经过原点，求 的值；
（2）若 随 的增大而增大，求 的取值范围．
综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（ ）
A． B． C． D．
1
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y= x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次函数的个数为_______.
3
3.若函数y=(m−2)xm2−3+4是一次函数，则m的值为______________.
1
4.已知直线l1：y=2x+1，l2：y＝− x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直线与l1平行，则该直线的未知数的系数为
2_____________.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.
1
7.关于函数y= x−3，下列结论中正确的是_____________________.
2
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．第 9 讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析
式.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的
解析式.
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过
原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】1．（奉化区期末）如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段
为边在第一象限内作等腰 ， ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求过 、 两点的直线的解析式．
2．（淮安区期末）已知 是 的一次函数，表中给出了部分对应值．
2 4
5
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求 、 的值．
3．（滦州市期末）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的表达式．
（2）若直线 上有一动点 ，且 ，求点 的坐标．
4．（莆田期末）已知 与 成正比例，且 时， ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当 时，求 的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点 ．求平移后直线的解析式．
5．（凉州区期末）如图，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ．
（1）求过 ， 两点直线的函数表达式；（2）过 点作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积．
6．（新蔡县期末）如图，直线 经过点 ，和点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求 ．
7．（莘县期末）已知 与 成正比例．
（1） 是关于 的一次函数吗？请说明理由；
（2）如果当 时， ，求 关于 的函数表达式．
8．（寿县期末）如图，一次函数 的图象经过 、 两点，与 轴相交于点 ．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2） 的面积．知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的
表达式是_______________.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要
找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（内黄县期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，以 为底边在 轴右侧作等腰 ，
将 沿 轴折叠，使点 恰好落在直线 上，则点 的坐标为
A． B． C． D．
2．（岐山县一模）直线 关于 轴对称的直线是
A． B． C． D．二．填空题（共3小题）
3．（盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，将直线 绕点
按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是 ．
4．（淄川区一模）直线 与直线 的图象关于 轴对称，若直线 的表达式为 ，则直线 的表达式为
．
5．（高邮市一模）若把一次函数 的图象先绕着原点旋转 ，再向左平移2个单位长度后，恰好经过
点 和点 ，则原一次函数的表达式是 ．
6．（莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线 绕原点 顺时针旋转 ，得到的直线 称为 的“旋转
垂线”．
求出直线 的“旋转垂线”的解析式；
若直线 的“旋转垂线”为直线 ．求证： ．
7．（高淳区期末）已知平移一次函数 的图象过点 后的图象为 ．
（1）求图象 对应的函数表达式，并画出图象 ；
（2）求一次函数 的图象 与 及 轴所围成的三角形的面积．8．（山亭区期中）已知一次函数 ，当 时， ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形面积．
（3）观察图象回答，当 时， ．
9．（洪山区期末）（1）将直线 向右平移3个单位长度的解析式为 ；
（2）直线 关于直线 对称的直线解析式为 ．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，
乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车
前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化
为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已
行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
2．（长春）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，
只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水
泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量 y（立方米）与时间x（分）之间的部分函
数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为
___分钟．
3．（绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，
甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段
时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、
乙两人所走的路程y （km），y （km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的
甲 乙
信息，解决下列问题：
（1）图中E点的坐标是_____，题中m=___km/h，甲在途中休息___h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y 元，方案B的收费金额为y 元，分别写出y，y 关于x的函数解析式；
1 2 1 2
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y﹣y 的值，根据一次函数的性质
1 2
即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（合浦县二模）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
1000 2000
每吨获利（元
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，
公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润 元与精加工的蔬菜吨数 之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此
时如何分配加工时间？
2．（枣阳市模拟）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两
大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调
运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路 运费（元 斤
程（千 千米）
米）
甲养殖场 200 0.012
乙养殖场 140 0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋 斤，总运费为 元，试写出 与 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的
总运费最省？3．（陆川县期末）我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表：
票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票
80 120 150
单价（元
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买 种票 张， 种票张数是 种票
的3倍还多7张， 种票 张，根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为 元，求 （元 与 （张 之间的函数关系式；
（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪
种方案费用最少？
4．（长沙模拟）某公司有 型产品40件， 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，
30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元 如下表：
型利润 型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店 型产品 件，这家公司卖出这100件产品的总
利润为 （元 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大，并求出最大值．
5．（恩施市期末）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印
刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用 （元 与印刷份数 （份
之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？6．（番禺区期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元 张，另一类为团体门票（一次性购买
门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游 人，
购买门票需要 元．
（1）如果每人分别买票，求 与 之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求 与 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度 L（cm）与所挂物体重量 x（kg）之间的几个对应值，则可以推测 L与x之间的关系式是
________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线l：y=﹣2x+4平移后得到直线l，l 与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
1 2 2
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快
列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹
果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面
积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么
应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？3
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=
2
5
，A点坐标为（ ，0），求线段AD所在直线的解析式．
2第 10 讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程的概念
方程 、 ，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程，叫做二元一
次方程.
二元一次方程需要满足的条件：
1、只含有两个未知数；
2、含未知数项的最高次数是1；
3、整式方程.
【典例】
1.若方程 是关于 的二元一次方程，则 ．
【方法总结】
有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手，通过建立方程模型，从而求出待定系数或
相关字母值.
【随堂练习】
1．（高邮市期中）若 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
2．（滨州期中）已知 是关于 和 的二元一次方程，则 的值为 ．3．（站前区校级期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ．
知识点2 二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
如 是方程 的一个解，记作 .
【典例】
x、y
1.已知关于 的二元一次方程 ，当 时， ；若无论 取任何实数，该二元
一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．
【方法总结】
1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数的方程，解方程即可求
出参数的值.
2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参数的项进行合并，并令
合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.
【随堂练习】
1．（嵊州市期中）方程 且 ，则 的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（晋江市期中）已知 是二元一次方程 的解，又是下列哪个方程的解？
A． B． C． D．
3．（蒸湘区校级月考）已知二元一次方程 的一组解为 ，则 ．4．（宝应县期末）已知是 是二元一次方程 的解，则 ．
5．（兴城市期末）已知 是方程 的解，则 ．
6．（陆川县期末）已知二元一次方程 的一个解是 ，其中， ，则 ．
7．（天津期末）若 是方程 的解，则 的值是 ．
8．（工业园区期末）已知 是方程 的解，那么 的值是 ．
9．（姜堰区期末）已知 和 是二元一次方程 的两个解．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
知识点3解二元一次方程组---代入消元法
代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而
把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
【典例】
1.用代入法解方程组（1） ； （2） .
【方法总结】
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，
则选取系数的绝对值较小的方程变形.
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法
把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.
【典例】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组
{
&2x+3(y−2)=6
{&7x+4 y=2①
（1） y ；（2） ．
&x− =2 &3x−6 y=24②
2
【方法总结】
先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如下：
1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；
2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.
3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过
变形，把系数变为相同或相反.
【随堂练习】
1．（滕州市期末）解方程组：
（1）
（2）
【补充练习】
1．（莘县期中）解下列方程组：
（1）
（2） ．
2．（内江期末）已知 ．当 时， ；当 时， ．
（1）求出 ， 的值；
（2）当 时，求代数式 的取值范围．3．（河南期末）解下列方程（组
（1）
（2） ．
4．（南召县期中）解方程组： ．
5．（江都区期中）对于两个不相等的实数 、 ，我们规定符号 ， 表示 、 中的较大值， ，
表示 、 中的较小值．如： ， ， ， ．按照这个规定：
解方程组： ．
6．（平谷区期末）阅读理解：
善于思考的小聪在解方程组 时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下：
解：将方程②变形为： ③．
把方程①代入方程③得： ，
解得 ．
把 代入方程①得 ．
原方程组的解为 ．
小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：
（1）解方程组： ；
①把方程①代入方程②，则方程②变为 ；②原方程组的解为 ．
（2）解方程组： ．
知识点5 二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
【典例】
1.已知方程组 的解为 ，则 的值为________．
【方法总结】
已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，
求出参数的值，进而求得含参代数式的值.
【随堂练习】
1．（顺义区期末）下列方程组：① ，② ，③ ，其中是二元一次方程组的
是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
2．（长宁县月考）已知方程组 是二元一次方程组，求m的值．
知识点6 同解方程组
【典例】
1.（1）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
（2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
试计算： ．
【方法总结】
1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程组，求得它们共有的解，
再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.
2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.
【随堂练习】
1．（太康县期中）已知方程组 与 有相同的解，求m，n的值．
知识点7 解三元一次方程组
1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，
求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
【典例1】
1.解三元一次方程组 ．
【方法总结】
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案.
例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，
即“缺某元，消某元”.
2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求 的值．
【方法总结】
已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的值，只需把其中一个未知数（如： ）
当作一个常数，解关于另外两个未知数（如： ）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.
【随堂练习】1．（沙坪坝区校级期末）“驴友”小明分三次从 地出发沿着不同的线路 线， 线， 线）去 地．在每条
线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．
线、 线路程相等，都比 线路程多 ， 线总时间等于 线总时间的 ，他用了3小时穿越丛林、2小时
涉水行走和2小时攀登走完 线，在 线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比 线上升了 ， ，
，若他用了 小时穿越丛林、 小时涉水行走和 小时攀登走完 线，且 ， ， 都为正整数，则
．
2．（港南区期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12、5元，买甲种1支，乙4
支，丙种5支，共18、5元，那么买甲种1支，乙种2支，丙种3支，共需 元．
3．（监利县期末）阅读材料：善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，
解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得， ，则 ；
把 代入①得， ，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知 、 、 ，满足 试求 的值．
4．（洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收
入 基本工资 计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 ：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员 ：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为 元，销售每件服装奖励 元．
（1）求 、 的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买
甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
5．（来宾期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资 120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车
型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨 辆） 5 8 10
汽车运费（元 辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列
方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
综合运用
1.关于 的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出 ，则 的值是____
2.已知 是方程组 的解，则 ．
3.已知方程 是二元一次方程，则 ．
4.解方程组 ．
{&3(x−1)= y+5
5.用加减消元法解二元一次方程组 ．
&5 y−6=3(x+4)
6.已知方程组 和 有相同的解，求 的值．7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的
b，得到方程组的解为 ．请计算代数式 的值．
{
&3x−y+z=10①
8.解方程组： &x+2y−z=6② ．
&x+ y+2z=17③
9.已知： ，求 的值．第 11 讲 二元一次方程组的应用
知识点1 配套问题
在配套问题中，已知a件甲商品和b件乙商品恰好配成一套，即一套中甲乙的数量比是a：b，要使生产出的产品配套，就得满足甲乙
的总数量之比也为a：b.
【典例】
1.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多
少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【随堂练习】
1．（市南区一模）某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买
甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元．求甲、乙两种
规格的课桌椅每套价格分别是多少元？若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是 x和y元，根
据题意，可列方程组为 ．
2．（长春校级期末）某生产车间共有 36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽 50个，或者
生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，则如何安排人员才能使所生产的螺丝帽与螺丝钉正好配套．
知识点2 行程问题
一、路程=速度×时间
二、设甲、乙两人相距一定距离.
1.相遇问题---甲、乙两人相向而行后相遇：
甲、乙两人之间的初始距离=甲所走的路程+乙所走的路程.
2.追及问题---甲、乙同向而行后相遇：
①同时不同地：速度快的所走路程=速度慢的所走路程+甲乙之间的初始距离；
②同地不同时：甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+慢者比快者多用用的时间.
三、航行问题
1.船：顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速.
2.飞机：顺风速度=静风速度+风速 逆风速度=静风速度-风速.
3.静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2
4.水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
【典例】
1.甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则甲、乙二人每小时各走多少千米？
2.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？
【随堂练习】
1．（沈丘县期末）客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 450米，货车长600米．如果
两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车
车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度．
2．（荔湾区期末）列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半
分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
知识点3 销售问题
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣
【典例】
1.小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的
数量和费用如表所示，
（1）在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；
（2）求出商品A、B的标价；
（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
2.有一商场计划用7万元从厂家购进60台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种
每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利200元，销售一台乙种电视机可获利300元，销售一台丙种电视机可获利400元，在同时购
进两种不同型号电视机方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？【随堂练习】
1．（长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的
让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已
知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品
牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节
省了多少钱？
2．（如皋市一模）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买20件A商品和10件B商品用了
400元；买30件A商品和20件B商品用了640元．A，B两种商品打相同折以后，某人买 100件A
商品和200件B商品一共比不打折少花640元，计算打了多少折？
知识点4 数字问题
1.两位数的表示方法：
2.三位数的表示方法：【典例】
1.有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1，第一个数加上第二个数后仍为
两位数，且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数．
2.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，
也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
【随堂练习】
1．（姜堰区二模）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 40元；按定价的八折销售该商品 5
件与将定价降低30元销售该商品3件所获得的利润相等，求该商品每件的进价和定价分别是多少元？
2．（房山区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示：
时刻 12：00 13：00 16：00
里程碑上的数 是一个两位数 十位数和个位数字 比12：00时看到的
与12：00时所看到 两位数中间多了个
的正好颠倒了 0
那么小亮在12：00时看到的两位数是____，并写出解答过程．
知识点5 梯度收费问题
1.用电收费问题：标准电价部分的电费+超过标准用电量部分的电费=总电费.2.用水收费问题：标准水价部分的水费+超过标准用水量部分的水费=总水费.
【典例】
1.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．
例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，
请问表中二档电价、三档电价各是多少？
【随堂练习】
1．（丹阳市二模）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水
的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分
仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
月份 用水量/m3 水费/元
4 16 50
5 20 70
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为 ___ m3．
综合运用
1.某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产
才能在 30 天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件 x 天，乙种零件 y 天，则根据题意列二元一次方程组是
________________________．2.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装
（不考虑布料的损耗），设用 m布料做衣身，用 m布料做衣袖，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
3.已知，甲、乙两人相距36千米．
（1）如果甲、乙两人相向而行，若甲比乙先走2小时，则他们在乙出发2.5小时后相遇，若乙比甲先走2小时，则他们在甲出发3小
时后相遇，求甲、乙两人每小时各走多少千米？
（2）如果甲、乙两人保持（1）中速度，两人同时、同向而行，直接写出1小时后两人相距多少千米．
4.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，求这个
两位数是多少？
5.一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这
个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数．
6.某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，
（1）这种商品A的进价为多少元？
（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，
则需对商品A、B分别进货多少件？
7.为鼓励居民节约用水，某市试行阶梯水价收费制，具体执行方案如下：
例如：一户居民七月份用水12方，则需缴水费12×3.5=42（元）．
某户居民六、七月份共用水18方，缴水费54元，已知该用户七月份用水量大于六月份，且六、七月份的用水量均大于5方．问该户
居民六、七月份各用水多少方？第 12 讲 方程组与一次函数
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标的值即为方程kx+b=0的解；
方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值，也是一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标．
【典例】
1.已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为______
【方法总结】
由一次函数和一元一次方程的关系可知，方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b是一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标．题中（3，
0）是y=mx+n与x轴交点坐标，所以mx+n=0的解为x=3．
【随堂练习】
1．（南山区期末）如图是一次函数 与 的图象，则下列结论：① ；② ；③ ：④
方程 的解是 ，错误的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（辽阳）如图，直线 过点 ， ，则方程 的解是A． B． C． D．
3．（崇川区校级月考）已知直线 与直线 在同一坐标系中交于点 ，则关于 的方程
的解为 ．
4．（松北区期末）一次函数 ， 是常数，且 的图象如图所示，则关于 的方程 的解为
．
5．（连山区期末）如图，直线 与 轴交于点 ，则关于 的方程 的解为 ．
6．（邵阳）如图所示，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，结合图象可知，
关于 的方程 的解是 ．
7．（长春模拟）在平面直角坐标系中，一次函数 、 为常数，且 的图象如图所示，根据图象中
的信息可求得关于 的方程 的解为 ．8．（宜城市期末）某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为 6元 件，该产品在正式投放市场前通过
代销点进行了为期一个月 天）的试销售，售价为10元 件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记
录情况绘制成图象，图中的折线 表示日销售量 （件 与销售时间 （天 之间的函数关系．
（1）求 与 之间的函数表达式，并写出 的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为 （元 ，求 与 之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天
数共有多少天？
（3）若 ，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx﹣y+b=0的解；以二元一次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一
次函数y=kx+b的图像上．
2.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．
3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．
【典例】
{&x−y=−1
1.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组 的解是________
&ax−y=−3【方法总结】
如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．题中所求二元一次方程组是两个一次函数的变
形．两个一次函数的交点为P，P点的坐标就是对应的方程组的解．只需要将P点的横坐标带入函数y=x+1中，求出其纵坐标即可．
2.如图中的两直线l、l 的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
1 2
{ 1 { 1 { 1
& y=− x−1 & y= x−1 & y=− x−1 {& y=3x−1
A. 3 B. 3 C. 3 D.
& y=−2x+4
& y=−2x+4 & y=−2x+4 & y=−2x−4
【方法总结】
本题考查通过两个一次函数与对应的二元一次方程组的关系．题中已知一次函数的图像和他们的交点以及与坐标轴的交点，求对应的
方程组．只需要通过已知点求出函数的解析式，将其联立即可．
【随堂练习】
1．（锦州期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与正比例函数 交
于点 ，已知点 的横坐标为2，下列结论：①关于 的方程 的解为 ；②对于直线 ，
当 时， ；③对于直线 ，当 时， ；④方程组 的解为 ，其中正确
的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（沈河区期末）一次函数 和 的图象上一部分点的坐标见下表：
2 3 4
3 5 7
则方程组 的解为 ．
3．（焦作期末）已知直线 与直线 在同一坐标系中的图象交于点 ，那么方程组
的解是 ．
4．（南京期末）若以二元一次方程 的解为坐标的点 都在函数 的图象上，则常数
．
5．（滨海县期末）若一次函数 、 的图象相交于 ，则关于 、 的方程组
的解为 ．
6．（福田区期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是．
7．（淮安区期末）若一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是 ．
．
8．（青岛期末）小明同学在解方程组 的过程中，错把 看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此
方程组的解为 ，又已知直线 过点 ，则 的正确值应该是多少？
9．（兰州期末）已知两直线 ， 的位置关系如图所示，请求出以点 的坐标为解的二元一次方程组．
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系
1.一元一次不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围，也是直线y=kx+b在x轴上方部分
所有点的横坐标范围．
2.一元一次不等式y
1
≤kx+b≤ y
2
(y
1
，y
2
是已知数，且y
1
＜y
2
)的解集就是直线y=kx+b上满足y
1
≤y≤ y
2
那条线段
所对应的自变量的取值范围．
3. ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应点的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A（0，2），B（3，0）两点，则不等式ax+b＞0的解是_______
【方法总结】
不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围．题中求ax+b＞0的解集只需要找出一次函数
y=ax+b的图像位于x轴上方的部分自变量x的范围．
2.如图，关于x的一次函数l：y=kx+b，l：y=kx+b 的图象如图所示，则y＞y 的解集表示在数轴上为（ ）
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
A. B.
C. D.
【方法总结】
题中已知两个一次函数的图像求不等式y＞y 的解集，方法如下：
1 2
1.通过观看图像找出两个一次函数的交点，观察交点的左右两侧哪个函数的图像在上方；
2.图像位于上方的函数值较大， 找出所求不等式对应的函数图像的部分；
3.写出该部分自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．（宁津县期末）如图，函数 与 的图象交于 ．
（1）求出 、 的值；
（2）直接写出不等式 的解集；
（3）求出 的面积．2．（鼓楼区期末）将一次函数 的图象称为直线 ．
（1）若直线 经过点 ，直接写出关于 的不等式 的解集；
（2）若直线 经过点 ，求这个函数的表达式；
（3）若将直线 向右平移2个单位长度后经过点 ，求 的值．
3．（景德镇期末）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 分别与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ，两条直线交点记为 ．
（1） ， ；
（2）求两直线交点 的坐标；
（3）根据图象直接写出 时自变量 的取值范围．
4．（达川区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，且与直线交于点 ．
（1）分别求出点 、 、 的坐标；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式．
5．（历下区期末）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若一次函数 与 的图象与 轴分别相交于点 、 ，求 的面积．
（3）结合图象，直接写出 时 的取值范围．
6．（牡丹区期末）如图，已知直线 经过点 ，直线与 轴， 轴分别交于 ， 两点．
（1）求 ， 两点坐标；
（2）结合图象，直接写出 的解集．7．（诸城市期末）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ；直线 分别与 轴交
于点 ，与直线 交于点 ，已知关于 的不等式 的解集是 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 ．
综合运用
1.已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是
____________．
2.已知方程3x+9=0的解是x=﹣3，则函数y=3x+9与x轴的交点坐标是____________，与y轴的交点坐标是___________．
{ 4
{&−3x+ y+3=0 &x= 3
3.已知方程组 的解是 3，则直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标为_____________．
&3x+2y−6=0 2
& y=1
4.如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=_________．{& y=x+2
5.如图，直线l：y=x+2与直线l：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组 的解是_______________．
1 2 & y=kx+b
6.直线l：y=kx+b与直线l：y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞kx的解集为__________．
1 1 2 2 1 2
3
7.如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(− ，−1)，则不等式mx+2＜kx+b＜
2
0的解集为____________．
8.如图，函数y=3x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），不等式3x≥ax+4的解集为_________．
9.如图，直线y=2x+6与直线l：y=kx+b交于点P（﹣1，m）（1）求m的值；
{& y=2x+6
（2）方程组 的解是_______________；
& y=kx+b
（3）直线y=﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．
10.如图，直线l 过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l 过点C（0，﹣1），l、l 相交于点D，且△DCB的面积等于8．
1 2 1 2
（1）求点D的坐标；
（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．第 13 讲 数据的分析
知识点1 平均数
1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所
得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
【随堂练习】
1．（龙泉驿区期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现
有甲、乙两个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制
记录．甲、乙两个小组各项得分如下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照 计算成绩，哪个小组的成绩最高？
2．（汉阳区期末）谋某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3
名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为
100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号 1 2 3
笔试成绩 分 90 92 84
面试成绩 分 85 88 86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
3．（芜湖期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试．他们的成绩（百分制）如下
表所示：
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录取，判断谁将被录取，并说明理由．
应聘者 面试 笔试
甲 84 90
乙 91 80知识点2 中位数与众数
中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中
位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。一组数据的中位数
是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
【典例】
1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________
2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并
绘制成下面的统计图.
第11题图
（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数
【随堂练习】
1．（包头）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为 100分，
然后再按笔试占 、面试占 计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 笔试成绩 分 面试成绩 分
甲 90 88
乙 84 92
丙 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中 的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
2．（朝阳区二模）“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区
300户家庭在年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：
棵）1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
（1）对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如下的统计图，请补充完整；
②这30户家庭年4月份义务植树数量的平均数是 ，众数是 ；
（2）“互联网 全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，年首次推出义务植
树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估
计该小区采用这种形式的家庭有 户．
3．（怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球
技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据 从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
排球 10 9.5 9.5 10 8 9 9.5 9
7 10 4 5.5 10 9.5 9.5 10
篮球 9.5 9 8.5 8.5 10 9.5 10 8
6 9.5 10 9.5 9 8.5 9.5 6
整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
10
排球 1 1 2 7 5
篮球
（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格．
分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
项目 平均数 中位数 众数
排球 8.75 9.5 10
篮球 8.81 9.25 9.5
得出结论
（1）如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为 人；（2）初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高．小军说：篮球项目整体水平较高．
你同意 的看法，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
4．（濉溪县期末）近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量
介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受到人们的喜
爱．随着信息技术的发展，很多手机 可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录．
小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发 4月份
“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
爸爸 12 10 11 15 14 13 14 11 14 12
妈妈 11 14 15 2 11 11 14 15 14 14
平均数 中位数 众数
爸爸 12.6 12.5
妈妈 14 14
（1）写出表格中 ， 的值；
（2）你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁，并说明理由．
5．（洪江市期末）某中学有15位学生利用暑假参加社会实践活动，到某公司销售部做某种商品的销售员，销售
部为帮助学生制定合理的周销售定额，统计了这15位学生某周的销售量如下：
周销售量 450 130 60 50 40 35
（件
人数 1 1 3 5 3 2
（1）求这15位学生周销售量的平均数、中位数、众数；
（2）假设销售部把每位学生的周销售定额规定为80件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你从表中选
一个较合理的周销售量作为周销售定额，并说明理由．
6．（路北区期末）某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件
进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列
问题：
（1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数；
（2）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值；
（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于 4件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该
厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．7．（禄劝县期末）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
测验类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次
成绩 100 106 106 105 110
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照 的比例计算所得，
求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
8．（六合区模拟）一销售某品牌冰箱的公司有营销人员14人，销售部为制定销售人员月销售冰箱定额（单位：
台），统计了14人某月的销售量如表：
每人销售台数 20 17 13 8 5 4
人数 1 1 2 5 3 2
（1）这14位营销员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数分别是多少？
（2）你认为销售部经历给这14为营销员定出每月销售冰箱的定额为多少台才比较合适？并说明理由．
9．（济宁期末）“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专
业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按 的比例折合纳入总分，最后，
按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进
入说课环节，这6名选手的各项成绩见表：
序号 1 2 3 4 5 6
笔试成绩 66 90 86 64 65 84
专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92
说课成绩 85 78 86 88 94 85
（1）求出说课成绩的中位数、众数；
（2）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序
号是多少的选手将被录用？为什么？
10．（昆明模拟）孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组
学生捐款情况的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为 ，
又知此次调查中捐款30元的学生一共16人．（1）孔明同学调查的这组学生共有 人；
（2）这组数据的众数是 元，中位数是 元；
（3）若该校有2000名学生，都进行了捐款，估计全校学生共捐款多少元？
11．（开远市一模）某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随
机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
频数（人数） 频率
劳动时间（时
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 0.5
2 8
合计 1
（1）统计表中的 ， ， ；
（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是 ，中位数是 ；
（3）请将条形图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
知识点3 从统计图计算集中趋势
数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
【典例】某校分别于年、年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四
种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：
第5题图
（1）a=_____%,b=______%,“总是”对应阴影的圆心角为________°;
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
（4）相比年，年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
【随堂练习】
1．（张家界）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为
A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如
下所示不完整的统计表和统计图．
等级 频数 频率
A a 0.3
B 35 0.35
C 31 b
D 4 0.04
请根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的样本容量为____；
（2）a=____，b=____；
（3）请在图2中补全条形统计图；
（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为____人．2．（深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数 频率
体育 40 0.4
科技 25 a
艺术 b 0.15
其它 20 0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为____人，a=____，b=____．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
知识点4 数据的离散程度
极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差
越小则说明数据的波动幅度越小。
方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s².
标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s
【典例】
1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）
2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________（填“变
小”，“不变”或“变大”）
【随堂练习】
1．（中山市期末）甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员 平均/环 中位数/环 众数/环
甲 7 b 7
乙 a 7.5 c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
2．（临颍县期末）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 90 100 80 80
根据上表解答下列问题：（1）完成下表：
姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
小王 80 75 75 190
小李 ___ ____ ____ ____
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优
秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认
为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
综合运用：
1.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间
的中位数是
2.年6月2日，贵阳市生态委发布了《年贵阳市环境状况公报》，公报显示，年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的
部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，b= ；（结果保留整数）
（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）
（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气
质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议3.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”
“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，
请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
4.某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上
交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的
统计图．（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，
请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
5.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定
对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随
机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接 受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m= ，n= ；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．第 14 讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像 ， ， ， ， ， ， 等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
不等式 ， ， ， ，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像
这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 是一
元一次不等式的有_____个
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.
2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且未知项的系数不等于0，
求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（郓城县期末）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
2．（万州区期末）下列各式中，不是不等式的是（ ）
A．2x≠1 B．3x2﹣2x+1 C．﹣3＜0 D．3x﹣2≥1知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其中正确的不等式有_____个
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，
再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（厦门期末）已知 ，下列不等式成立的是
A． B． C． D．
2．（崇川区校级月考）已知实数 、 满足 ，且 ， ，设 ，则 的取值范围是 ．
3．（海淀区校级期末）已知 ，则 ．（填 、 或
4．（泉港区期中）已知 ．
若 ，则 的取值范围是 ；
①
②若 ，且 ，则 的取值范围是 ．
在第一象限，则 的解集为 ．
5．（金乡县期末）若点
6．（锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的 作为输入值，则永
远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数 的取值范围是 ．知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a x≤a
a a
x>a x<a
a a
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
2．（浉河区校级模拟）若不等式组 没有解，则 的取值范围是 ．
3．（内乡县一模）已知 是不等式 的一个解，那么 的取值范围是 ．的解集为 ． 则 的范围是 ．
4．（铜陵期末）已知不等式组
的解集是 ．
5．（和田地区期末）不等式组
6．（城步县模拟）若关于 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为 ．
7．（北京期末）若不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
8．（雁江区期末）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
（1）求 的取值范围；
（2）化简： ；
（3）在 的取值范围内，当 为何整数时，不等式 的解为 ．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或除以）同一个不等于 0的数时，必须根据这
个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.【随堂练习】
1．（内黄县期末）若 和 是实数 的平方根， 且 ，则不等式
的解集为
A ． B ． C ． D ．
2．（巴彦淖尔）若关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 的最小整数解为
A． B． C． D．0
3．（乐陵市期末）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值
不等式 的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出 恰好是3时 的值，并在数轴上表示为点 ， ，如图所示．观察数轴发现，以点
， 为分界点把数轴分为三部分：
点 左边的点表示的数的绝对值大于3；
点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于3；
点 右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式 的解集为： 或 ．
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① 的解集是 ．② 的解集是 ．
（2）求绝对值不等式 的解集．
（3）直接写出不等式 的解集是 ．4．（顺义区期末）小军解不等式 的过程如图，请你指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正
确的解答过程．
5．（深圳期中）已知 是关于 的不等式 的解，求 的取值范围．
6．（卢龙县期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求满足条件的 的所有
非负整数值．
7．（南岗区校级月考）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
8．（雅安期末）在关于 ， 的方程组 中，若未知数 ， 满足 ，求 的取
值范围，并在数轴上表示出来．
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；（2）【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定 ）：
2.解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．
【随堂练习】
1．（福建模拟）解不等式组 ．
2．（天津期末）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
3．（洛江区期末）解不等式组： （注 必须通过画数轴求解集）
4．（玉田县期末）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．5．（高密市期末）请从不等式 ， ， 中任选两个组成一个一元一次不等式组．
解出这个不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
6．（渝北区期末）解下列不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）
（2） ．
综合运用
1.不等式 的解集是_______
2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？
6.解不等式 ﹣ ＜1，并把解表示在数轴上．7.求不等式 的负整数解
8.解不等式组： ，并在数轴上表示不等式组的解集．
9.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
10.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．第 15 讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
2.若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是_________．
【随堂练习】
1．（潍坊二模）若不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3C．m≤3D．m＜32．（开福区校级期中）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥1C．m≤1D．m＞1
3．（丹棱县模拟）不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m≥6C．m＞6 D．m≤6
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组 有解，且关于x的方程 有非负整数解，则符合条件的所有整
数k的和是多少？
【随堂练习】
1．（九台市校级期中）已知不等式组 的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．
知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】1.若关于x的不等式组 有四个整数解，求a的取值范围．
【随堂练习】
1．（北流市期末）若m是不等式组 的最大整数解，求：1+m+m2+…+m的值．
2．（金牛区校级月考）关于x的不等式组 有四个整数解，求实数a的取值范围．
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于 的二元一次方程组 的解满足条件 ，求 的取值范围．
（2）已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围.
【随堂练习】
1．（金牛区校级期中）（1）关于x的不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集为x ，求关于x
的不等式（a﹣3b）x＞2a+b的解集．
（2）求证：（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2）≤1002．（肇源县一模）若关于x的不等式mx+3＞0的解集为x＜3，求关于a的不等式a+2m＜1的非负
整数解．
3．（南召县期末）已知关于x的方程x+m=3（x﹣2）的解是正数，则m的取值范围．
4．（宁城县期末）已知关于x、y的方程组 的解适合不等式2x﹣y＞3，求a的取值范围．
【综合练习】
1.不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是________．
2.已知关于 的不等式 的解集是 ，试求 的解集．
3.已知关于x的不等式 ≤ 的解集是x≥ ，求m的值．
4.已知关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
6.关于x的不等式组 的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.