文档文本内容
七年级-秋季-北师版-尖子班
第01讲 图形的展开与折叠................................................................................................................................................................................................................3
知识点1：几何体的展开图..........................................................................................................................................................................................................3
知识点2 展开图折叠成几何体.................................................................................................................................................................................................6
知识点3：正方体的相对两个面.................................................................................................................................................................................................8
第02讲 有理数的概念.......................................................................................................................................................................................................................13
知识点1 正数、负数和0............................................................................................................................................................................................................13
知识点2 有理数的分类...............................................................................................................................................................................................................14
知识点3 数轴................................................................................................................................................................................................................................. 15
知识点4 相反数.............................................................................................................................................................................................................................17
知识点5 绝对值.............................................................................................................................................................................................................................18
第03讲 绝对值.....................................................................................................................................................................................................................................22
知识点1 绝对值的非负性..........................................................................................................................................................................................................22
知识点2比较大小..........................................................................................................................................................................................................................23
知识点3数轴与绝对值................................................................................................................................................................................................................24
知识点4 绝对值的几何意义......................................................................................................................................................................................................25
第04讲 有理数的加减乘除乘方运算...........................................................................................................................................................................................29
知识点1 加减运算........................................................................................................................................................................................................................29
知识点2 乘除运算........................................................................................................................................................................................................................31
知识点3 乘方................................................................................................................................................................................................................................. 33
第05讲 有理数的混合运算..............................................................................................................................................................................................................38
知识点1 常规计算........................................................................................................................................................................................................................38
知识点2 运算律、规律计算......................................................................................................................................................................................................39
知识点3 求代数式的值...............................................................................................................................................................................................................42
知识点4 实际应用........................................................................................................................................................................................................................43
知识点5 流程图计算....................................................................................................................................................................................................................45
知识点6 新定义.............................................................................................................................................................................................................................47
第06讲 整式的概念...........................................................................................................................................................................................................................52
知识点1：字母表示数.................................................................................................................................................................................................................52
知识点2 整式................................................................................................................................................................................................................................. 53
知识点3：同类项..........................................................................................................................................................................................................................54
第07讲 整式的加减...........................................................................................................................................................................................................................57
知识点1 合并同类项.................................................................................................................................................................................................................57
知识点2 去括号与添括号........................................................................................................................................................................................................57知识点3：整式的加减.................................................................................................................................................................................................................58
知识点4：化简求值......................................................................................................................................................................................................................59
第08讲 规律探究................................................................................................................................................................................................................................63
知识点1：规律探究之数字变化...............................................................................................................................................................................................63
知识点2：规律探究之图形变化...............................................................................................................................................................................................65
第09讲 与线段有关的计算..............................................................................................................................................................................................................72
知识点1：直线、射线和线段的概念......................................................................................................................................................................................72
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线...................................................................................................................................................................73
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短...................................................................................................................................................................74
知识点4：两点之间的距离........................................................................................................................................................................................................75
第10讲 与角度有关的计算...........................................................................................................................................................................................................79
知识点1：角的概念以及度分秒的换算.................................................................................................................................................................................79
知识点2：角平分线的定义........................................................................................................................................................................................................81
知识点3：余角和补角.................................................................................................................................................................................................................83
知识点4：对顶角和邻补角........................................................................................................................................................................................................86
第11讲 解一元一次方程..................................................................................................................................................................................................................91
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项....................................................................................................................................................................91
知识点2 解一元一次方程-去括号...........................................................................................................................................................................................91
知识点3 解一元一次方程-去分母.........................................................................................................................................................................................92
知识点4 一元一次方程的解......................................................................................................................................................................................................93
知识点5 同解方程........................................................................................................................................................................................................................95
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程...............................................................................................................................................................................96
第12讲 一元一次方程的应用一.......................................................................................................................................................................................................99
知识点1 一元一次方程的实际问题-日历问题..................................................................................................................................................................99
知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题..................................................................................................................................................................101
知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题..................................................................................................................................................................102
第13讲 一元一次方程的应用二....................................................................................................................................................................................................107
知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题..................................................................................................................................................................107
知识点2 一元一次方程的实际问题-利润问题...............................................................................................................................................................108
知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题..................................................................................................................................................................111
第14讲 数据的收集、整理和描述...............................................................................................................................................................................................115
知识点1：普查和抽样调查......................................................................................................................................................................................................115
知识点2：统计图的选用..........................................................................................................................................................................................................118
知识点3：频数和频率...............................................................................................................................................................................................................121
知识点4：频数分布表和频数分布直方图..........................................................................................................................................................................122
第15讲 幂的运算..............................................................................................................................................................................................................................130知识点1 同底数幂的乘法........................................................................................................................................................................................................130
知识点2 幂的乘方......................................................................................................................................................................................................................132
知识点3 积的乘方......................................................................................................................................................................................................................133
知识点4 同底数幂的除法........................................................................................................................................................................................................135第 01 讲 图 形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．（邯郸模拟）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是A． B． C． D．
2．（太原期末）如图是一个正方体线段 ， ， 是它的三个面的对角线下列图形中，是该正方体的表面展
开图的是
A． B．
C． D．
3．（牡丹区期末）下列4个平面图形中，哪一个是由图中正方体纸盒展开得到的
A． B．
C． D．
二．填空题（共2小题）
4．（顺义区期末）如图是一个无盖的长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，则该无盖长方体盒
子的容积为 ．5．（高新区期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示 （单 位： ，则其容积为
．
三．解答题（共2小题）
6．（溧水区校级二模）某长方体包装盒的表面积为 ，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．
7．（通州区期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母 ， 的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别
用字母 ， ， ， 表示．已知 ， ， ， ， ， ．
（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出 的值；
（2）如果正面字母 代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且 为整数，求整数 的值．知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（鼓楼区期末）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装
盒的是
A． B．
C． D．
二．填空题（共2小题）
2．（南山区期末）如图，在 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边
与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知 ，则这个展开图可
折成的正方体的体积为 ．3．（江宁区期末）如图，将一张长为 17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高 2倍的
长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是 5 6 ．
三．解答题（共1小题）
4．（玄武区期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总
觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中
补全；
（2）若图中的正方形边长为 ，长方形的长为 ，宽为 ，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：
．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．（江宁区校级期末）如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态所显示
的数字，正方体的正面“？”表示的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
2．（密云区期末）年是中国改革开放事业40周年，正在中国国家博物馆展出的《伟大的变革 庆祝改革开放40
周年大型展览》多角度、全景式集中展示中国改革开放 40年的光辉历程、伟大成就和宝贵经验．小芳参展之后打
算设计一个正方体装饰品，她在正方体的一个平面展开图上写下了“全面深化改革”几个字（如图所示），如果
正方体上“深”所对的面为“改”，则“革”所对的面是 ．
3．（平谷区期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和 放置于水平桌面上，如图1．将
骰子向右翻滚 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 ，则完成一次变换．如图2．
若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是 ；连续完
成次变换后，骰子朝上一面的点数是 ．4．（沭阳县期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则 的值为
．
5．（顺德区期末）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的
面上的汉子是 ．
6．（邗江区期末）如图所示，将图沿线折起来，得到一个正方体，那么“我”的对面是 （填汉字）
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的
体积是________cm3．2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的
点数是5，则滚动第次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另 5个正方形能拼成一个正方体的表面
展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是
一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条
粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒
的体积．第 02 讲 有理数的概念
知识点1 正数、负数和0
像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数.
0既不是正数，也不是负数.
用正负数可以表示具有相反意义的量.
【典例】
3 1
1.下列各数3，﹣5，0，− ，+1 ，﹣0.03，6.75中，正数有（ ）
4 3
【方法总结】
1
本题主要考查正、负数的概念．根据正、负数的概念可知其中正数有3，+1 ，6.75．掌握正、负数的定义是解题的关键． 注意：0
3
既不是正数，也不是负数.
2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45+0.03
．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的
−0.04
直径大0.03mm，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的
是（ ）
A. 45.02 B. 45.01 C.44.98 D. 44.93所有
【方法总结】
正负数可以表示具有相反意义的量.根据题意可得出合格的轴的直径范围，从而可判断出所给选项中的直径是否为合格品的直径．本
题考查正数和负数的知识，注意先求出合格品的直径的范围是关键．
【随堂练习】1．（道里区校级月考）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
进、出记录 +35 ﹣20 ﹣30 +25 ﹣24 +50 ﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多
少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？
2．（梁平区期末）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示
成绩大于15秒．
﹣0.87 +1 ﹣1.2 0 ﹣0.7 +0.6 ﹣0.4 ﹣0.1
问：（1）这个小组男生的达标率为多少？
（2）这个小组男生的平均成绩是多少秒？
知识点2 有理数的分类
有理数的分类：
（1）
（2）
非负数是指正数和零的总称，即正数和零.
非正数是指负数和零的总称，即负数和零.
非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0.
非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0.
【典例】
1.把下列各数填在相应的横线上：
1
+5，﹣ ，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100
2分数：________________________________________；
非负整数：____________________________________.
【方法总结】
考查了有理数，要求熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别.0是整
数，但不是正数．
【随堂练习】
1．（六盘水）定义：A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={_______}．
2．（椒江区期末）观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+ ﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4， ）都是“椒江有
理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5， ）中是“椒江有理数对”的是______；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）_____“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”_____
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
知识点3 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数.
数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
【典例】
1.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（ ）
A. 在点A，B之间 B. 在点B，C之间
C. 在点C，D之间 D. 在点D，E之间
【方法总结】
此题主要考查了数轴的特征和应用，利用数形结合的思想，根据图示，求得 AF间的距离，然后由已知条件AB=BC=CD=DE=EF确定
每一个小格的长度，再由正数都大于0，负数都小于0来确定条数轴的原点的大致位置．【随堂练习】
1．（陆丰市校级一模）如图所示，把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数
轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是______．
2．（广阳区一模）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点
C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于____，数字对应的点将与△ABC的顶点 ____ _重合．
3．（高邑县一模）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右
运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
（1）数轴上点B对应的数是___．
（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？
4．（新吴区期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C
表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运
动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的
负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
知识点4 相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
0的相反数是0.
互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
【典例】
1.对于﹣a表示的数理解不正确的是（ ）
A. 一定是负数 B. 可以表示a的相反数
C. 有可能是正数 D. 有可能是0
【方法总结】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0
的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.如图，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则a，﹣a，b，﹣b，1比较大小正确的是（ ）
A. a＜﹣a＜b＜﹣b＜1 B. a＜﹣b＜b＜1＜﹣a
C. a＜b＜﹣a＜﹣b＜1 D. a＜﹣b＜1＜b＜﹣a
【方法总结】
本题考查的是互为相反数的两数的几何意义和利用数轴比较有理数的大小.正确运用数形结合思想，在数轴上确定a，b及他们的相反
数的位置，根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，从而得到答案．
【随堂练习】
1．（双清区模拟）若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（ ）
A．a+b=0 B．a+b=1 C．|a|+|b|=0 D．|a|+b=0
2．（永定县一模）当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为_____．
3．（袁州区校级月考）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a=5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]=8，求a的相反数．
4．（娄底）的相反数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
5．（兴化市期末）﹣（﹣6）等于（ ）A．﹣6 B．6 C． D．±6
知识点5 绝对值
绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）|+5|；
（3）|﹣（﹣3）|；
（4）﹣[﹣（+5）]．
【方法总结】
（1）先求绝对值，再求相反数；（2）直接求绝对值；（3）先求相反数，再求绝对值；（4）连续求两次相反数.
本题考查了绝对值和相反数的求法.求一个数的相反数是求一个数的绝对值的基础.
【随堂练习】
3．（东丽区期末）已知a，b，c都是有理数，且满足 ＝1，那么6﹣ ＝ ．
4．（皇姑区期末）如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差， 为相对误差．现有一零件实际长度
为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是 ．
综合运用
3
1.− 的相反数是__________,绝对值是____________.
2
2.每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是______ kg．3.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是_____________________________________.
4.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期________水位最低.
5._____的绝对值是它本身，绝对值最小的数是___，最小的正整数是___，最大的负整数是____，最小的自然数是___．
6.把下列各数分别填人对应的集合里．
3 22
﹣5，|﹣ |，0，﹣3.14， ，﹣12，+1.99，﹣（﹣6）
4 7
（1）正整数数集合：{_______…}
（2）负分数集合：{_______…}
（3）非正整数集合：{__________…}
（4）分数集合：{________________…}．
7.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）﹣（﹣3.4）；
（3）+|﹣4|；
（4）|﹣（﹣3）|．
8.（1）画一条数轴，在数轴上表示下列数：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）求出（1）中各数的相反数；
（3）求出（1）中各数的绝对值．
9.邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？第 03 讲 绝对值
知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：
互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键.
2.已知|x-|+|y﹣|=0，则x+y=____
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+=0，y﹣=0，
计算出x、y的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（河西区校级月考）若|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|=0，求（x+1）（y﹣2）（z﹣3）的值．
2．（顺义区期末）当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求 的值；
（2）若b≠0，且 ，求 的值．3．（汉阳区校级期中）已知a，b，c为非零的实数，则 的可能值的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是
解本题的关键．
【随堂练习】
1．（宜宾期末）有理数a、b、在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”或“＜”填空：a+b___0，c﹣b_____0；
（2）化简：|a+b|+|c|﹣|c﹣b|．
2．（黔南州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点到原点的
距离相等．（1）用“＞”“=”“＜”填空：b____0，a+b____0，a﹣c____0，b﹣c____0；
（2）化简|a+b|+|c﹣a|﹣|b|．
知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.
【随堂练习】
1．（宜宾县校级月考）如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．
2．（南安市校级期中）如图：
（1）数轴上点A表示的数是____；点B表示的数是_____．（2）若点C与点O（原点记为点O）的距离记为|OC|，有|OC|=5，则|CD|=____．
（3）若数轴上M、N两点所表示的数分别为x、y，则|MN|=_____．
知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据
线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优
点．
2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你
借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|
x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点
之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.
【随堂练习】
1．（西城区校级期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+（b
﹣1）2=0．现将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a﹣b|．
（1）|AB|=_____；
（2）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|=2时，求x的值．2．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为 5与﹣2两数在数轴
上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|=_____．
（2）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所
有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是 ___________ ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没
有，说明理由．
综合集训
2
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣ |中，负数有_______________.
3
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
1 2 1 1
3.在数﹣5，﹣ ，− ，− 中，大于﹣ 的数有___________.
3 5 6 5
4.填空：
3
（1）﹣ 的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
4
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；
（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．第 04 讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
1 2
（2）（﹣1 ）+（- ）；
6 3
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．
在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
7 1 1 17
（2）(−4 )−(−5 )+(−4 )−(+3 )；
8 2 4 8
5 2 3 1
（3）−2009 −(+2008 )−(−4018 )+(−1 )；
6 3 4 2（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…++（﹣）++（﹣）.
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所
有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的
要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（青岛期末）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称
为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
2．（朝阳区期末）观察下面的等式：
﹣1＝﹣|﹣ +2|+3；
3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3；
1﹣1＝﹣|1+2|+3；
（﹣ ）﹣1＝﹣| +2|+3；
（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3
回答下列问题：
（1）填空： ﹣1＝﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是 ；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．
3．（新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量
相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同 相乘，都得 ．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为 ，那么积等于 ．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是 的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
1 4
（3）11÷ ×(− )；
7 11
4 2 3
（4）(−1.5)× ÷(− )× ．
5 5 4
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．2.计算：
3 4 7 5
（1） ×（﹣ ）× × ；
7 5 12 8
23 1
（2）29 ÷（﹣ ）；
24 12
11 11 11
（3）﹣5×（﹣ ）+13×（﹣ ）﹣3×（﹣ ）.
5 5 5
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（南开区校级月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘
积为负数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（泗洪县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到
1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如
果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共1小题）
3．（南开区校级月考）10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则
这10个有理数的和为 ．
三．解答题（共1小题）
4．（邓州市期中）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长
度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？知识点3 乘方
乘方的概念：求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地， 个相同的因数 相乘，即 ，记作 an，读作“ 的 次方”；
（2）在an中， 叫做底数， 叫做指数；
（3）当an看作 的 次方的结果时，读作 的 次幂．
注意： ，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，其底数为 ， ；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如， 就是 ，指数 通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于 的数表示成 的形式（其中 ， 是正整数）．
用科学记数法表示一个 位整数，其中 的指数是 ， 的指数比整数的位数少 ．
万 ，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，
所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，
对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后
纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某
个数字的乘积．
2 2
2.若|x−2|+(y− ) =0，则yx=__________．
3
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y
的值代入计算即可求解．3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少
位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（翠屏区期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．则：若n＝449，则第449次“F运
算”的结果是 ．
二．解答题（共3小题）
2
2．（农安县期末）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x﹣（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）的值．
2 3 4
3．（柳州模拟）阅读材料，求值：1+2+2 +2 +2 +…+2．
2 3 4
解：设S＝1+2+2 +2 +2 +…+2，将等式两边同时乘以2得：
2 3 4
2S＝2+2 +2 +2 +…+2+2
将下式减去上式得2S﹣S＝2﹣1
2 3 4
即S＝1+2+2 +2 +2 +…+2＝2﹣1
请你仿照此法计算：
2 3 10
（1）1+2+2 +2 +…+2
2 3 4 n
（2）1+3+3 +3 +3 +…+3 （其中n为正整数）
3 2 1 0
4．（凉山州模拟）我们常用的数是十进制数，如4657＝4×10 +6×10 +5×10 +7×10 ，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、
2 1 0
3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×2 +1×2 +0×2 等于十进制的
5 4 3 2 1 0
数6，110101＝1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
1 1
2.2.5+（﹣2 ）﹣1.75+（﹣ ）=____．
4 2
3.某外贸企业为参加年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后
剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到 1条折痕（图中虚线），第二次对折
后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
1 1
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6 |﹣（﹣7 ）﹣（﹣4.75）．
4 2
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
18
（2）9 ×15；
19
1
（3）﹣100× ﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
8
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.第 05 讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
1、 先乘方，再乘除，最后加减；
2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1
1.计算：（1）（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]；
4
1
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）× ；
3
1 3
（3）− ×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）× +1|.
8 4
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题
的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（罗平县期末）计算
（1）[1 ﹣（ ﹣ + ）×24]÷（﹣5）；
（2）﹣1+|2﹣11|×（﹣ ）2﹣（﹣2）÷
2．（江阴市期末）计算：（1）（+ ）+（﹣ ）﹣|﹣3|
（2）﹣22+3×（﹣1）﹣9÷（﹣3）
3．（滨海新区期末）计算：
（Ⅰ）4×（ ）×5；
（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）
4．（鄂城区期末）计算：
（1） ×（﹣9）﹣36×（ ）
（2）（ ）×（﹣6）+（﹣ ）2÷（﹣ ）3
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的
分配律.
【典例】
1.计算：
2 3 1
（1）﹣14﹣（ ﹣ + ）×24；
3 4 6
7 7 7
（2） ×（﹣5）+（﹣ ）×9﹣ ×8；
22 22 22
1 1 2 1 1
（3）|4﹣4 |+（− + − ）÷ −22 ﹣（+5）．
2 2 3 6 12
【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练
掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…++.
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始
到的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S= ∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德
对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按
这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算： + + +…+ （仿照材料写出求解过程）
2．计算： + + +…+ =________（直接写出结果）
2．（宿州期末）观察下列计算 ， ， ， ……
（1）第 5 个式子是 ；
_________
（2）第 n 个式子是 ；
_________
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
3．（娄星区期末）观察下列等式： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ．
可得： + + =1﹣ + ﹣ + ﹣
=1﹣=
（1）猜想并写出： =_____﹣_______．
（2）利用上述猜想计算： + + +…+ ．
（3）探究并计算： + + +…+ ．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m的
值．
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入
代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，
求m2﹣ ﹣cd的值．
2．（泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）
﹣ ﹣m3的值．知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产
量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒
扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工
资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则
进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均
每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生
产情况（超产记为正、减产记为负）：星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +10 ﹣12 ﹣4 +8 ﹣1 +6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分
每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，
在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
2．（简阳市期中）“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表
（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
单位：万
人
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
3．（天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加 100 米，气温就降低大约
0.6℃．（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．
（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在
山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量
的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上
括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 12，则最初输入
的数是 ．
_____2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是 ．
______
3．（安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．
3.（台州期中）如图所示的运算程序中，用“ ”表示数据输入、输出框；用“ ”表示数据
处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；
②如图2，第一个运算框“ ”内，应填____；第二个运算框“ ”内，应填___；
（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；
②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；
（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度
时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度
的价格收费，超过部分以 0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的
四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈
（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或
任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 a ，第二个数记为a ，第三个数记
1 2
为a ，依此类推，第n个数记为a （n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a =2，a =4，
3 n 1 2
a =6，a =8，a =10．规定运算sum（a ：a ）=a +a +a +…+a ．即从这列数的第一个数开始依次加到
3 4 5 1 n 1 2 3 n
第n个数，如在上面的一列数中，sum（a ：a ）=2+4+6=12．
1 3
（1）已知一列数 1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则 a =___，sum（a ：a ）
3 1 10
=_____．
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则
a=____，sum（a ：a）=______．
1
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a ：a ）|=50成立？如果有，写出n的值，如果
1 n
没有，说明理由．
2．（朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、
减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．
（1）求（﹣2）⊙3 的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n=______（用含m，n的式子表示）．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出
y=3，则输入的x的值为___________．
a+b
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+ 值为_________.
m
1
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣ ）；
3
5 2 7 7
（2）（− + ）÷（﹣ ）× ；
6 3 12 2
1
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷ ×[2﹣（﹣3）2]；
7
1
(−2) 3−13÷[−(− ) 2 ]
2
（4） .
0.125×8+[1−32×(−2)]1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
那么：
1
（1） =_________；
×
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律__________；
1 1 1 1
（3）计算： + + +…… ．
1×2 2×3 3×4 ×
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上
限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上
用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的
乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，
一般地， 把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③=_______，（﹣ ）⑤=_______；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣ ）⑩=_________________．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
1 1
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
3 3第 06 讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母
可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
4
1.年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（ a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商
5
店促销方法的是（ ）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【方法总结】
4
根据四则运算法则，代数式（ a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
5
【随堂练习】
1．（永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将
买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价
B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
2．（罗山县期中）每家乐超市出售一种商品，其原价a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价
20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．问这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的
次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐
个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（ ）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
3
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
x
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
2 1
3.对于多项式2x2+
x3+x−
，按x的升幂排列正确的是（ ）
5 3
1 2
A． − +x+2x2+ x3
3 5
2 1
B．
x+2x2+ x3−
5 3
1 2
C． − + x3+2x2+x
3 5
2 1
D．
x3+2x2+x−
5 3
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（义乌市期末）如图，有一种飞镖游戏，将飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个单项式．现假设你的每支飞镖均能投中目标区
域，①如果提供给你1支飞镖，那么你投中目标区域的单项式有 种可能；②如果只提供给你四支飞镖，那么要使你投中的目
标区域内的单项式之和为2a+b，共有 种方式（不考虑投中目标的顺序）．
2．（安岳县期末）把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是 ．
3．（东丽区期末）如果整式xn﹣2+3x﹣2是关于x的四次三项式，那么n 的值为 ．
4．（滨州期末）若 与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝ ．
知识点3：同类项
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
1. 已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．（南陵县期末）已知﹣5a2mb和3a4b3﹣n是同类项，则 m﹣n的值是 ．
2．（绍兴期末）已知2x6y2和﹣ 是同类项，则m﹣n的值是 ．
3．（武昌区期中）若7x3ay4b与﹣2x3y3b+a是同类项，则a＝ ，b＝ ．
4．（高州市期末）若am+1b3与﹣3a4bn+7的和是单项式，则m+n的值为 ．综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）
米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
a 5
4.若− x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为 ，次数为3，求a、n的值．
2 4
1
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
a
1
6.已知多项式﹣ x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
5
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．1
10.如果﹣a|m﹣3|b与
ab|4n|
是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
3
3m3−m2n+3mn2+9n3
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求 的值．
5m3+3m2n−6mn2+9n3第 07 讲 整式的加减
知识点1 合并同类项
根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
【典例】
1.下列计算正确的是（ ）
A. 3a﹣2a=1 B. x2y﹣2xy2=﹣xy2 C. 3ax﹣2xa=ax D. 3a2+5a2=8a4
【方法总结】
1.合并同类项首先找到同类项，即满足两个“相同”的项，跟字母的先后顺序无关.
2.合并同类项只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【随堂练习】
1．（南山区期末）若am﹣2bn+7与﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝ ．
2．（建邺区校级期末）计算与化简
（1）48÷[（﹣2）3﹣（﹣4）]
（2）x2﹣5xy+yx+2x2
知识点2 去括号与添括号
1.去括号法则：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面各项的符号都不改变.
括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面各项的符号都要改变.
2.添括号法则：
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
【典例】
1.下列去括号错误的是（ ）
A. 3a2﹣（2a﹣b+5c）=3a2﹣2a+b﹣5c
B. 5x2+（﹣2x+y）﹣（3z﹣a）=5x2﹣2x+y﹣3z+a
C. 2m2﹣3（m﹣1）=2m2﹣3m﹣1
D. ﹣（2x﹣y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2【方法总结】
1.括号前面有系数的在去括号时可以先把数字乘到括号里面，再根据去括号法则进行运算.
2.两个层次的括号同时存在时，可以按照从里到外先去小括号，再去中括号；也可以将小括号看成一个整体先去中括号再去小括号.
【随堂练习】
1．（盐田区校级期中）将（a+1）﹣（﹣b+c）去括号，应该等于（ ）
A．a+1﹣b﹣c B．a+1﹣b+c C．a+1+b+c D．a+1+b﹣c
二．填空题（共3小题）
2．（和平区期末）已知﹣a＝5，则﹣[+（﹣a）]＝ ．
3．（利辛县期中）把多项式a﹣3b+c﹣2d的后3项用括号括起来，且括号前面带“﹣”号，所得结果是 ．
4．（雁塔区校级月考）当1≤m＜3时，化简|m﹣1|﹣|m﹣3|＝ ．
知识点3：整式的加减
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。然后去括号，再合并同类项.
【典例】
1.已知一个多项式加上x2﹣3得到﹣x2+x，那么这个多项式为（ ）
A. x+3 B. x﹣3 C. ﹣2x2+x﹣3 D. ﹣2x2+x+3
【方法总结】
多项式与多项式、单项式相加减运算中，可以先把所求的未知整式作为整体，用某个大写字母表示，根据已知条件列出等式，最后通
过对等式的变形、计算求出未知整式。
【典例】
1.一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为____
【方法总结】
解决整式加减的实际问题时，需要将整式运算与实际问题相结合，首先找出实际问题公式、等量关系，将给定的整式带入对应的位置，
求出未知的量即可。
2.若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|2b|=_____
【方法总结】
整式的加减与绝对值相结合时，首先根据数轴上点的位置确定各字母的大小关系，再判断绝对值号里面整式的正负，并去绝对值号化成一般整式.
【随堂练习】
1．（临邑县校级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|＝ ．
2．（高邮市校级月考）三个连续奇数中，最小的一个是2n﹣1，则这三个连续奇数的和是 ．
二．解答题（共2小题）
3．（北碚区期末）实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|﹣|b+a|+|a+c|．
4．（兰州期末）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差中，不含有x、y，求nm+mn的值．
知识点4：化简求值
【典例】
1.已知a﹣b=3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）=_____
【方法总结】
对复杂多项式化简求值首先将多项式去括号、合并同类项进行化简、加减运算，找到化简结果与已知条件的关系，代入求值即可。
2.若|x+y+2|+（xy﹣1）2 =0，则（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）=_____
【方法总结】
绝对值与平方都具有非负性，几个非负数之和为0，则每个非负数都为0.
【随堂练习】
1．（延庆区期末）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3．
2．（锦州期末）先化简，再求值：5x2y+[7xy﹣2（3xy﹣2x2y）﹣xy]，其中x＝﹣1，y＝﹣ ．
3．（安仁县期末）有这样一道题，计算（2x4﹣4x3y﹣x2y2）﹣2（x4﹣2x3y﹣y3）+x2y2的值，其中x＝2，y＝﹣1，甲同学把“x＝2”错抄
成“x＝﹣2”，但他计算的结果也是正确的，请用计算说明理由．
4．（路南区一模）已知代数式A＝x2+xy+2y﹣ ，B＝2x2﹣2xy+x﹣1
（1）求2A﹣B；（2）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．
5．（临安区期末）先化简，再求值：（2x2+x）﹣[4x2﹣（3x2﹣x）]，其中x＝﹣ ．
综合运用
1.若x+y=，xy=，则整式（x+2y﹣3xy）﹣（﹣2x﹣y+xy）+2xy﹣1=________．
2.合并同类项
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2
2 1 3
（2） a2﹣ ab+ a2+ab﹣b2．
3 2 4
3.有人说代数式（a2﹣3﹣3a+a3）﹣（2a3+4a2+a﹣8）+（a3+3a2+4a﹣4）的值与a无关，你认为正确吗？请说明你得出的结论和理由．
4.已知：A=x2﹣2xy+y2，B=x2+2xy+y2
（1）求A+B；
（2）如果2A﹣3B+C=0，那么C的表达式是什么？
5.已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）
a﹣b_______0，b﹣c_______0，c﹣a_______0，b+c_______0
（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．
6.一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x
﹣2，求正确答案．
7.已知代数式mx2﹣mx﹣2与3x2+mx+m的和是单项式，求代数式m2﹣2m+1的值．8.先化简下式，再求值：
1 2 1
2x2﹣[3（﹣ x2+ xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x= ，y=﹣1．
3 3 2
1
9.先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣ （4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
2
10.一辆公交车上原来有（6a﹣6b）人，中途下去一半，又上来若干人，使车上共有乘客（10a﹣6b）人，问上车的乘客是多少人？当
a=3，b=2时，上车的乘客是多少人？第 08 讲 规 律探究
知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时
针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那
么第个结点在（ ）
A. 线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循
环节；最后找到在循环节中的位置。
2 4 6 8
2.一组数 ， ， ， …按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____
3 5 7 9
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，
可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整
数）分别是______【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数
平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．（诸暨市期末）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第 13，该小朋友离开；这样继
续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从 号小朋友开始数起．
二．解答题（共4小题）
2．（宜兴市期中）观察下列各式：
1×5+4＝32…………①
3×7+4＝52…………②
5×9+4＝72…………③
……
探索以上式子的规律：
（1）试写出第6个等式；
（2）试写出第n个等式（用含n的式子表示），并用你所学的知识说明第n个等式成立．
3．（商水县期末）有一列数，按下表中的规律排列．
序号 1 2 3 4 5 6 … n …
对应数 ﹣1 3 ﹣9 27 ﹣81 243 … ？ …
（1）用含有n的式子表示第n个对应数；
（2）若相邻三个数的和等于1701，这三个数各是多少？
4．（拱墅区校级模拟）已知a，b互为相反数，
（1）计算：a+b，a2﹣b2，a3+b3，a4﹣b4，……的值．（2）用数学式子写出（1）中的规律，并证明．
5．（东台市校级月考）（1）填空21﹣20＝2 ；22﹣21＝2 ；23﹣22＝2
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现．
（3）利用（2）中你的发现，求20+21+22+23+…+2+2的值．
知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝
试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形
中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律，所以需要从横向切割，发现最上面的都是
两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。
【随堂练习】
1．（郾城区期末）如图是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形有3根火柴棒，第②个图形有5根火柴棒第③个图形有7根火柴棒，
第④个图形有9根火柴棒，．．按此规律拼下去，则第个图形需 火柴棒．
2．（新宾县模拟）连结正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形
是ABCD，再作正方形ABCD 的中点正方形ABCD，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形 AB D，若正方形
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n
ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为 ，若设中点正方形 AB D 的面积为S，则S+S+S+… ∁ +S ＝ ．
n n n n n 1 2 3 10
∁二．解答题（共4小题）
3．（乐亭县期末）某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，请仔细观察并找出规律，解答下列问题：
（1）按照此规律，摆第n图时，需用火柴棒的根数是多少？
（2）求摆第50个图时所需用的火柴棒的根数；
（3）按此规律用1202根火柴棒摆出第n个图形，求n的值．
4．（黔西南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2
＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
5．（建邺区校级期末）归纳
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的
谚语．在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+3）个点为
顶点画三角形，那么最多以剪得多少个这样的三角形？
为了解决这个问题，我们可以从n＝1、n＝2、n＝3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形个数1 3
2
3
… … …
（1）完成表格信息： 、 ；
（2）通过观察、比较，可以发现：
三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加 个．
于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得 个三角形．
像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）说明……”其实这就是运用了归纳的
方法．
用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实．
（3）请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实）：1+3+5+7+…+（2n﹣1）的和是多少？
6．（平度市期末）【问题】如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是
多少？
【探究】
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2＝ ＝3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则
图中长方体的个数为3×1×1＝3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3＝ ＝6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为6×1×1＝6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a＝ 线段，棱AC，AD上分别只
有1条线段，则图中长方体的个数为 ．
探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2＝ ＝3条线段，棱AD上
只有1条线段，则图中长方体的个数为 ×3×1＝ ．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2+3＝ ＝6条线段，棱AD
上只有1条线段，则图中长方体的个数为 ．
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 ．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2＝ ＝3条线段，则图中长方体的个数为 × ×3＝ ．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有
1+2+3＝ ＝6条线段，则图中长方体的个数为 ．
【结论】如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 ．
【应用】在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 ．
【拓展】
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的
结论．
综合运用1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋
子的个数是_________．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数为_________个．
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
2 4 8 16
4.下面是按一定规律排列的一列数： ，﹣ ， ，﹣ …那么第8个数是_________．
3 5 7 9
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，
“峰206”中C的位置的有理数是_________．
1 3 7 13 21
7.一组按规律排列的数： ，− ， ，− ， ，…，请你推断第n个数是_________．
4 9 16 25 369 16 25 36
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出
5 12 21 32
第9个数据是_________．第 09 讲 与 线 段有关的 计 算
知识点1：直线、射线和线段的概念
1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可以用一个小写字母表示。
2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外一点来表示，也可以用一个小写字母表示；
可以向一方无限延伸。
3.线段有两个端点，不可延伸。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线段a。表示线段的字母也可以表示线段长度，
如AB=6。
【典例】
1.已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 点O不在直线AC上 B. 射线AB与射线BC指的是同一条射线
C. 图中共有5条线段 D. 直线AB与直线CA指的是同一条直线
【方法总结】
确定射线需要两个要素：（1）端点；（2）方向。
确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。
2. 由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火
车票有______种
【方法总结】
求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：
1.简单图形直接数线段的条数；
2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。由于每条线段都被重复计算一次，所以最终
结果是其一半。【随堂练习】
1．（鄂州期末）如图，点 ， ， ， ， ， 在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为
A．10，10 B．12，15 C．15，12 D．15，15
二．填空题（共1小题）
2．（自贡期末）平面上有三个点，可以确定直线的条数是 ．
三．解答题（共1小题）
3．（绍兴期末）如题， 平面上四个点 ， ， ， ，按要求完成下列问题：
（1） 连结线段 ， ；
（2） 画射线 与直线 相交于 点；
（3） 在直线 上找一点 ，使线段 最短， 并说明理由 ．
知识点2：直线的性质——两点确定一条直线
两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的人只需要看着自己前面的一个人，一个个的
排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就
可以确定命中了。
【典例】
1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是（ ）
A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线
C． 两点之间，直线最短 D． 过一点可以作无数条直线
【方法总结】
生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一条直线。2. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．
【方法总结】
通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。当没有出现三点共线时，直线的数量直接带入公式
n(n−1)
（n≥2）即可；当出现三点或者更多点共线时，则需要单独讨论。
2
【随堂练习】
1．（鄂州期末）经过平面内任意三点中的两点共可以画出 条直线．
2．（定西期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这
一实际应用的数学知识是 ．
3．（河北区期末）建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线
上．这样做的依据是： ．
知识点3：线段的性质——两点之间线段最短
【典例】
1.年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山
山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方式缩短了路程，这样做的主要依据是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 直线比曲线短 D. 两条直线相交于一点
【方法总结】
该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。两点确定以后，两点之间的曲线要比线段长。
【随堂练习】
1．（赣州期末）如图， 乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分， 发现剩下树叶的周长比原周长小， 能正确解释这一现象的数学依据是 ．
2．（奈曼旗期末）如图，把原来弯曲的河道改直， 、 两地间的河道长度就发生了变化，请你用数学知识解释
这一现象产生的原因 ．
知识点4：两点之间的距离
两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。
【典例】
1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有
线段长度之和可能是（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【方法总结】
解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最
后假设线段AB的长找出正确答案。
2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF=1：2：3，若MN=8cm，则线段EF的长______
【方法总结】
题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成MA、AB和BN，然后根据已知条件，将
MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。通过设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。
【随堂练习】
1．（新洲区期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成 的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点 在线段 上，且 ，则点 是线段 的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点
有两个．
（1）已知：如图2， ，点 是 的三等分点，求 的长．
（2）已知，线段 ，如图3，点 从点 出发以每秒 的速度在射线 上向点 方向运动；点 从点
出发，先向点 方向运动，当与点 重合后立马改变方向与点 同向而行且速度始终为每秒 ，设运动时
间为 秒．
①若点 点 同时出发，且当点 与点 重合时，求 的值．
②若点 点 同时出发，且当点 是线段 的三等分点时，求 的值．
2．（市中区期末）【新知理解】
如图①，点 在线段 上，图中共有三条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度
的2倍，则称点 是线段 的“巧点”．
（1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是” ．
（2）若 ，点 是线段 的巧点，则 ；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ．动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速移动：点 从点 出发，
以 的速度沿 向点 匀速移动，点 、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时
间为 ．当 为何值时， 、 、 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由3．（太仓市期末）已知，点 是线段 的中点， ．点 在直线 上，且 ．请画出相应的示
意图，并求线段 的长．
4．（官渡区期末）如图，已知线段 ，延长 到 ，使 ， 为 的中点， ，求 的
长．
5．（岳池县期末）如图，已知点 为 上一点， ， ， ， 分别为 ， 的中点，求
的长．
综合集训
1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学
道理是____________________．
2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段_________条．
3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平面上共有个________已知点．3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．
4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线段CD长为_________．
5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点 D，使DA=2AB，那么线段AC：
DB=_________．第 10 讲 与角度有关的 计 算
知识点1：角的概念以及度分秒的换算
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角通常用三个字母及符号
“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．
2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
3．角的常用度量单位是度、分、秒．
1°的 为1分，记作1′，即1°=60′．
1′的 为1秒，记作1″，即1′=60″．
【典例】
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示；当某个角的顶点处只有１个角（两条射线）时，该角可以用
“∠”和顶点字母来表示。
【随堂练习】
1．（河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
2．（榆树市期末）计算：90°﹣（36°31′52″+12°22′14″）．
3．（兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点 O为钟面的圆心，
图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径 OA表示时针，半径OB表示
分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于 0°，且不大于180°；本题中所指的
时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 ______ °，分针每分钟转动的角度为____°；
（2）8点整，钟面角∠AOB=_____°，钟面角与此相等的整点还有：_____点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出
此时∠AOB的度数．4．（孝感期末）计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
知识点2：角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
【典例】
1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________
【方法总结】
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。所以作图分两种情况，即：∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
【随堂练习】
1．（开江县期末）如图，∠BOE=2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF=20°，求∠AOB．
2．（定边县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
3．（泸县期末）如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB，OF 平分∠BOC，求
∠COB和∠AOC的度数．
4．（杜尔伯特县期末）如图所示．
（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．
知识点3：余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-
∠C , ∠A与∠C互余；
余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C , ∠A与∠C互补；
补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：∠C=∠B。
【典例】
1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与
∠DOF的关系是__________
【方法总结】
题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为 45°，利用平角是180°，
求出剩余角度之和是135°，进而求出二者之间的比例关系。
【随堂练习】1．（海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°，则∠3等于（ ）
A．62° B．128° C．138° D．142°
2．（溧水区期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③
（∠β+∠α）；④ （∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（阜宁县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°．将一直角
三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分
∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t秒时，
直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图 1中的三角板绕点 O顺时针旋转至图 3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与
∠NOC之间的数量关系，并说明理由．4．（襄城区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角
三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边 OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分
∠BOC．此时∠AOM=_____度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．探究
∠AOM与∠NOC之间数量关系，并说明你的理由；
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线
ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明
理由）
5．（大余县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角
三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分
∠BOC，设ON的反向延长线为OD，则∠COD=____°，∠AOD=____°．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的
度数．
知识点4：对顶角和邻补角
1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。
邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。
【典例】
1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF=______
【方法总结】
解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建立关于该未知数的方程，解方程即可求得未
知数的值，从而得到所求角的度数。用代数方法解几何问题是常用方法之一。
【随堂练习】
1．（玄武区校级期末）如图，直线 AB与CD相交于点O，∠AOC：∠AOD=4：5，OE平∠BOD分，请在图中画出OF⊥AB并求出∠BOF的度数．
2．（天河区期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．
（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．
3．（平邑县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，
求∠BOD与∠DOF的度数．
综合集训1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点 O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则
∠1=_______°．
2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE= ________°．
3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．
4.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD=__________．
5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是 ________．
6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°，∠DOF=58°，则∠BOE=________，∠AOC=________．7.计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD
（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；
（2）当∠AOD=100°时，求：∠DOE、∠COE的度数；
（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．第 11 讲 解一元一次方程
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。
【典例】
1.对于 类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ）
A. （a-c）x=d-b B. （a-c）x=b-d
C. （a+c）x=b+d D. （a-c）x=b+d
【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。
【随堂练习】
1．（柳州期末）若规定：[a]表示小于a的最大整数，例如：[5]=4，[﹣6.7]=﹣7，则方程3[﹣π]﹣2x=5的解是（ ）
A．x=7 B．x=﹣7 C． D．
2．（孝感期末）下列方程中变形正确的是（ ）
A．方程3x﹣2=2x﹣1移项，得3x﹣2x=﹣1﹣2
B．方程 去分母，得5（x﹣1）﹣2x=1
C．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1
D．方程 系数化为1，得x=﹣1
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为 （ 为常数）的形式．
【典例】
1.解方程：
【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变
符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．（雨花区校级期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=a2b﹣2ab+4b．
如：1*3=12×3﹣2×1×3+4×3=9．
（1）求（﹣2）*2的值；
（2）若3* =7，求a的值；
（3）请判断2*x与x*（﹣2）的差为正数还是负数，并说明理由．
2．（南关区校级月考）已知y=3是方程6+ （m﹣y）=2y的解，那么关于x的方程2m（x﹣1）=（m+1）（3x﹣4）的解是多少？
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：
（1）
（2）
【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小数化为整数【随堂练习】
1．（沾化区期末）解下列方程：
（1） +1=
（2） ﹣ =1.6
2．（双城市期末）解方程：
（1） =1﹣
（2） ﹣ =﹣10．
3．（招远市期末）解方程：
（1） +1；
（2） ．
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
【典例】
1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣ = x﹣ ，答案显示此方程的解是 ，被墨水遮盖的是一个常数，则这
个常数为_______
【方法总结】
一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右
两边相等。
2.已知 为正整数，关于x的方程 的解为整数，则 的最小值为______【方法总结】
对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为 （ 为常数，且 ）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．（鄂城区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解
为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
2．（端州区期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝ x﹣8的解
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
3．（唐河县期中）若关于x的方程3（x+4）＝2a+5的解大于关于x的方程 的解，试确定a的取值范围．
4．（黄浦区期末）一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数，且a≠0）的方程，称为一元一次方程的最简形式．
关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：
当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x＝ ；
当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；
当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．
讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．
5．（临川区校级月考）小李在解方程 ﹣ ＝1去分母时方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x＝﹣4，求出m
的值并正确解出方程．知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】
1.若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为___
【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．（汇川区期末）如果关于x的方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，那么m＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．1
二．解答题（共2小题）
2．（江阴市期末）已知关于m的方程 的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝3的解．
（1）求m、n的值；
（2）已知线段AB＝m，在直线AB上取一点P，恰好使 ，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
3．（黄石港区期末）已知关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，求代数式 的值．
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。
【典例】
1.关于x的方程 的解为______
【方法总结】
形如 型的绝对值方程的解法：
① 根据绝对值的非负性可知 ；② 取绝对值，分类讨论，得到： 和 ；
③ 分别解方程 和 ；
④ 将求得的解代入 检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．（鼓楼区校级月考）阅读解题：解方程：|3x|＝1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x＝ ；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x＝1，它的解是x＝﹣ ．
请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5＝13．
综合集训
1.下列方程的变形中正确的是________.
① 由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5
② 由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
③ 由 得
④ 由 得2x=﹣12
2.研究下面解方程 的过程
去分母，得 1+4﹙2x﹣3﹚=5x﹣1﹣3x ①
去括号，得 1+8x﹣12=2x﹣1 ②
移项，得 8x﹣2x=﹣1﹣1+12 ③
合并同类项，得6x=10 ④
系数化为1，得 ⑤
对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。3.已知关于x的方程 的解满足 ，则 的值是________.
4.解方程：
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程 中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字
是相同的，且这个方程的解与方程 也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
6.当 为何值时，关于x的方程 的解为正整数？
7.解下列一元一次方程
（1） ；
（2） ．
（3）
（4）
（5）
（6）第 12 讲 一元一次方程的 应 用一
知识点1 一元一次方程的实际问题-日历问题
1、列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 ）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2、日历问题要清楚未知数 与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的数量关系
【典例】
1.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数，若圈出的4个数的和为52，则最大数与最小
数的积为_____
【方法总结】
1、明确各个数在日历中的位置关系，设较简单的数为未知数
2、依据未知数 与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的关系，表示其他位置的数【随堂练习】
1．（福田区期末）在如图所示的年元月份的月历表中，任意框出表中竖列上四个数，这四个数的和
可能是（ ）
A．86 B．78 C．60 D．101
2．（南岸区期末）把3的倍数3，6，9，…排成如图所示的数表，用十字形框中表内的五个数，当
把十字形上下左右移动，保证每次十字形要框中五个数，则框中的五个数的和不可能是（ ）
A．1680 B．1785 C．2070 D．21003．（灵石县期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3个位置的9个数
（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若用这样的矩形圈圈这张日历表的 9个数，则圈出的9
个数的和可能为下列数中的（ ）
A．81 B．100 C．108 D．216
知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题
在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变
【典例】
1.已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，派派的
年龄为______岁．
【方法总结】
1、在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变
2、看清问题：是问谁的年龄？是现在的年龄还是几年前或几年后的年龄？
【随堂练习】
1．（东营区校级期中）小明今年12岁，他爷爷今年66岁，____年后，爷爷的年龄是小明的年龄的
4倍．2．（龙湖区期末）小明今年12岁，老师告诉他：“我今年的年龄是你的3倍小4岁”，接着老师
又问小明：“再过几年我的年龄正好是你的2倍？”请你帮助小明解决这一问题．
知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题
1、基本量、基本数量关系：路程=速度×时间
2、相遇问题：常用的相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．
3、追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况，
（1）同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；
（2）同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程
4、航行问题：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度
（2）逆水速度=静水速度-水流速度
5、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系
【典例】
1.A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，再过10分钟，甲
所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
【方法总结】
1、行程问题：路程=速度×时间
2、相遇问题，要画线段图来表示和分析数量关系
该题的等量关系为：甲剩余路程=乙剩余路程×2，先用总路程、相遇时间表示出俩人的速度，再将各自的速度带入所列的等量关系中。
遇到需要间接表示出来的量找准突破口是关键。
2.已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方
向跑步，速度为3米/秒．设运动时间为t秒．
（1）若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间；
（2）当t=50时，甲、乙两人第1次相遇，求a的值；【方法总结】
1、环形跑道问题，首先判断谁的速度快，速度快的追击速度慢的，由此确定路程差和速度差 ，即可由“相遇时间=路程差÷速度差”
确定相遇时间。
2、还需注意在环形跑道上，经常出现多次相遇的问题
3.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h．已
知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）
【方法总结】
1、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系
2、解该题的关键是找准等量关系，即甲到乙顺流所用时间+乙到丙逆流所用时间=3
找到等量关系以后带入相关的公式
对于题中丙的位置不确定，解题时要分情况讨论乙、丙的位置与甲、乙位置的关系。
4.有两列火车，客车长200米，每秒行30米，货车长300米，每秒行20米。
（1）两车在平行轨道上齐头同向行进，多少秒后客车超过货车？
（2）如果两车相向而行，从相遇到错车而过，需要多少秒？
【方法总结】
1、在解决火车过定点（或动点）、火车过桥、火车与火车相遇等问题时，需要画线形示意图来表示数量关系，正确找出“路程和
（差）”和“速度和（差）”
2、火车过桥常用公式：
火车速度×时间=车长+桥长
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度
【随堂练习】
1．（江津区期末）一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，
货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了15分钟，小轿车追上了货车，又走了
5分钟，小轿车追上了客车，问再过_____分钟，货车追上了客车．
2．（历下区期末）甲乙两车同时从 A地出发，在相距900千米的AB两地间不断往返行驶，知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米，则经过____小时甲乙两车第二次迎面相遇
3．（长兴县期末）如图，已知正方形 ABCD的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A出发，
甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针
方向移动，每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近
顶点的距离是 ____ 厘米．
4．（惠民县期末）我们知道，钟表的时针与分针每隔一定的时间就会重合一次，请利用所学知识确
定，时针与分针从上一次重合到下一次重合，间隔的时间是_____小时．
综合运用
1.小明在日历的某月上圈出五个数，呈十字框形，它们的和是55，则中间的数是？
2.小明今年12岁，他爷爷60岁，经过多少年以后，爷爷的年龄是小明的4倍．
3.列方程解应用题
甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返
回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？4.如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65m/min的速度、乙从B点以75m/min
的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的那条边上？
5.一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知该船在静水中每小时航行8千米，则两码头间的距离为
多少千米．
6.在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速
度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是？
7.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进，行
进了10千米后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合．从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15分钟．
（1）其他队员的行进速度是多少？
（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1千米？第 13 讲 一元一次方程的 应 用二
知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题
1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
公式为：
①工作量=工作效率×工作时间，② ，③ 。
2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为 。
3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶段“第一阶段工作量+第二阶段工作量
=1”。
【典例】
1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的
工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是否能按期完成？
【方法总结】
1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做 天”，可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、
丙合做 天”的工作量=工作总量
2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成
2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工
作共需多少天？
【方法总结】
1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成工作进度的 ，可求出甲的工作效率为
；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，完成工作进度的 ，列式可求乙的工作效率为 。2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况
【随堂练习】
1．（鞍山期末）一项工程，甲单独做12小时完成，乙单独做8小时完成，甲先单独做9小时，后
因甲由其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
2．（黄石期末）一项工程，由甲、乙、丙三人完成，甲单独做需 10天完成，乙单独做需12天完成，
丙单独需15天完成．现计划7天完成，乙、丙先合做3天后，乙有事，由甲、丙完成剩下工程，问：
能否按计划完成？
3．（唐河县期中）现加工一批机器零件，甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，现由乙先做1天，
然后两人合作完成，共付给报酬600元，若按个人完成的工作量付给报酬，该如何分配？
知识点2 一元一次方程的实际问题-利润问题
销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
【典例】
1.东方食品厂年的利润（总产值-总支出）为200万元，年总产值比年增加了20%，总支出减少了10%．年的利润为780万元．问年总
产值、总支出各是多少万元？【方法总结】
1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得年总产值和总支出的关系，从而设未知数。
2、然后根据：年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。
2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七
折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____
【方法总结】
题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元”都是关于“原售价”的关
系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设“进价”更好列方程.
3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营______
【方法总结】
该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求出总利润。
【随堂练习】
1．（襄城区期末）马刚家附近有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：
甲超市购物全场8.8折，乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过500元，
打9折；③超过500元，其中的500元仍打9折，超过500元的部分打8折．（假设两家超市相同商
品的标价都一样）
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲乙两个超市实付款分别是多少？
（2）当标价总额是多少元时，甲乙超市实付款一样？
2．（梁子湖区期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同
的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由．
（3）计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
3．（费县期末）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的
价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将
剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈
利40%的预期目标？
4．（罗平县期末）现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行，某商场销售
的一款电动车每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款电动车每台的进价？（利润率= = ）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款电动车100台，问盈利多少元？
知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题
设而不求（设中间参数）的问题
一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个
量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。【典例】
1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两
台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？
【方法总结】
1、得到每小时雨水增加量为 和每台水泵每小时的排水量 的关系式是解决本题的突破点
2、设 小时可排完积水，等量关系为：3台水泵 小时的工作量﹣ 小时的积水量=1台水泵10小时的工作量-10小时的积水量
【随堂练习】
1．（桂林期末）如图，点 A，B是数轴上的两个点，点 A表示的数为﹣4，点B在点A右侧，距离
A点10个单位长度，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动
时间为t（t＞0）秒．
（1）填空：①数轴上点B表示的数为____；
②数轴上点P表示的数为________（用含t的代数式表示）．
（2）若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P，Q同时出发
问点P运动多少秒能追上点Q？
（3）设AP和PB的中点分别为点M，N，在点P的运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若
变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．
2．（沙坪坝区校级期末）张先生准备购买一套小户型商品房，他去 A楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元/米2，面积如图所示（卫生间的宽未定，设宽为 x米），张先生了解到在A
楼盘购房有以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价是8000元/米2，其中厨房可免费赠送 的面积；
方案二：整套房按原总价9折出售．
（1）用y 表示方案一中购买一套该户型商品房所需支付的总金额，用y 表示方案二中购买一套该
1 2
户型商品房所需支付的总金额，分别求出y 、y 与x的关系式（用含x的代数式分别表示出y 、y ）
1 2 1 2
（2）求x取何值时，两种优惠方案所支付的总金额一样多？
（3）张先生考虑许久，决定再到B楼盘去了解情况，他得知该楼盘小户型（与A楼盘户型不同）
商品房的单价为8300元/米2，优惠方式如下表：
房价总金额 不超过15万元 超过15万元但不 超过25万元但不 超过35万元
超过25万元的部 超过35万元的部
的部分 的部分
分 分
优惠比例 90% 85% 80% 75%
经售房部介绍，张先生看中了一套房子，享受优惠后的总价格为292240元．
①试求该套房子的面积；
②按①题中这套房子的面积大小，请你帮张先生算一算，他应该在A、B楼盘中选择哪个更划算？3．（市南区期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为7，点B表示的数为﹣5，点P从点A出发，
沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点 Q从原点O出发，也沿数轴以每秒
1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB的长度为____，数轴上点P和点Q表示的数分别为____、 ____ （用含t的代数式表
示）；
（2）在点P和点Q的运动过程中，经过多少秒点P追上点Q？经过多少秒点B恰为PQ的中点？
（3）运动过程中，若时间t总满足|t+7|﹣|5﹣t|=12，则t的范围是____．
综合运用
1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，
其中打9折的钢笔有几支?
2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出的价格），此商场为了促销，又对该电脑
打折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台打多少折出售？
3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周
半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.
4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是
亏损了？5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印
完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完
成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？第 14 讲 数据的收集、整理和描述
知识点1：普查和抽样调查
1. 普查和抽样调查
普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．
好处：调查结果准确；
缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；
抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．
好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；
缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；
2.总体、个体、样本、样本容量
总体：所考察对象的全体；
个体：组成总体的每一个考察对象；
样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中的个体数目；
【典例】
1.下列调查运用哪种调查方式合适？
（1）调查淮河流域的水污染情况；
（2）调查一个村庄所有家庭的年收入情况；
（3）调查某电视剧的收视率；
【方法总结】
适合采用普查方式的调查：
（1）调查结果要求非常准确；
（2）所要调查的个体数量少、调查难度相对不大；（3）调查无破坏性；
适合采用抽样调查方式的调查：
（1）对调查得结果要求不是十分准确；
（2）调查具有破坏性；
（3）调查的问题所包含的个体数量较多；
（4）调查时间和经费有限，全面调查受到限制；
2.请指出下列抽样凋查中的总体、个体、样本和样本容量．
为了解某所学校的学生参加课外体育活动的情况，调查了其中20名学生每天参加课外体育活动的时间；
【方法总结】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体
的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据
的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
3.某池塘里养了鱼苗1万条，根据这几年的经验，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼
重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的质
量．
【方法总结】
用样本估计总体时，样本容量越大，越具有代表性，对总体的估计也就越精确．
用样本估计总体，样本选取合适的情况下，
（1）样本平均数=总体平均数．
（2）样本中某一项占样本的比重=总体中该项占总体的比重
本题计算池塘中鱼的总质量可以用抽样方法估算出每条鱼的质量乘以总数即可．
【随堂练习】
1．（丰台区二模）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查，小丽调查了初
二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间：小杰从全校400初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如表所示．
时间段（小时/周） 小丽抽样（人 小杰抽样（人数）
数）
0～1 6 22
1～2 10 10
2～3 16 6
3～4 8 2
（1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由．
（2）专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该校全体初二
学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？
2．（赣州模拟）人类的血型一般可分为 A，B，AB，O型四种，宁波市中心血战年共有8万人无偿
献血，血战统计人员由电脑随机选出20人，血型分别是：
O，A，O，B，O，A，A，AB，A，O，O，B，AB，B，O，A，O，B，O，A．
（1）请设计统计表分类统计这20人各类血型人数；
（2）若每位献血者平均献血200毫升，一年中宁波市各医院O型血用血量约为6×106毫米，请你估
计年这8万人所献的O型血是否够用？
知识点2：统计图的选用
常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．
扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；
条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；
折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．
扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：
若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；
若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；
若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．
【典例】
1.全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：
A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受问卷调查的共有______人，图表中的m=______，n=______；
（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是______，不运动的市民所占的百分比是______；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500人，那么估计一下该
社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？
【方法总结】
本题主要考查扇形统计图与统计表的综合计算．根据公式总体=选取部分数量÷所占比例以及变形便可得出第（1）（3）问；根据公式
扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°便可计算得出第（2）问；根据用样本估计总体的方法，样本当中该项目占样本容量
的百分比与总体中该项目数量占总体的百分比相等即可求出第（4）问．
2.某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从乒乓球、羽毛球、篮球和排球四个方面调查了若干名学生，在
还没有绘制成功的“折线统计图”与“扇形统计图”中，请你根据已提供的部分信息解析下列问题．
（1）在这次调查活动中，一共调查了________名学生．
（2）“羽毛球”所在的扇形的圆心角是________度．
（3）请补全折线统计图；
（4）若该校有学生1200名，估计爱好乒乓球运动的约有多少名学生？【方法总结】
本题主要考查扇形图与折线图的综合运用，解题关键在于扇形统计图各部分（项目）与折线图的对应．同一个部分用折线图给出的数
据除以扇形图的比例即可算出调查的总体或者样本容量；用扇形统计图某个项目的比例乘以360°即可计算出所对应的圆心角度数；某
一个项目在样本中所占的比例等于在总体中所占的比例．
【随堂练习】
1．（绥阳县模拟）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”
四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学
生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；
（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．
2．（道外区三模）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部
分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了_____名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为_____；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
知识点3：频数和频率
频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．
频率：频数与总次数的比值称为频率．
【典例】
【选择题】
【题干】袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的频率是0.20，则m的值
是____
【方法总结】
根据频数、频率的概念以及频数与总数的关系计算即可．
【随堂练习】
1．（吴中区一模）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为
12、10、15、8，则第5组的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（蒙阴县期末）三河中学在全县中学生运动会上，共派出了30名运动员，占所有运动员总数的
5%，则这次运动会全县共有____名运动员．
3．（淮安区期中）小花最近买了三本课外书，分别是《汉语字典》用 A表示，《流行杂志》用B
表示和《故事大王》用C表示．班里的同学都很喜欢借阅，在五天内小花做了借书记录如下表：
书名 借阅
代号 星期一 星期二 星星星 频数
期期期
三四五
A 3 2 2 3 4 14
B 4 3 3 2 3 15
C 1 2 3 2 3 11
（1）在表中填写五天内每本书的借阅频数．
（2）计算五天内《汉语字典》的借阅频率．
知识点4：频数分布表和频数分布直方图
1.频数分布表
（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画
出的统计图表为频数分布表．
（2）列频数分布表的步骤：
①计算极差，即计算最大值与最小值的差．
②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．
③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．
④列频数分布表．
组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．
分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．
2.频数分布直方图
画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．
【典例】
1.一组数据的最大值与最小值的差为80，若确定组距为9，则分成的组数为_____
【方法总结】
根据组数=（最大值﹣最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
2.某校从初二年级抽出40名女生的身高数据，分组整理出如下频数分布表：
表中a，b，c分别是（ ）
【方法总结】
由“频率=频数÷总数”及“频数之和等于总数”可得答案．
【随堂练习】
1．（灌云县期末）对50个数据进行统计，频率分布表中，54.5～57.5这一组的频率为0.12．那么估
计总体数据落在54.5～57.5之间的约有（ ）
A．12个 B．60个 C．12个 D．6个2．（宿松县期末）为了了解学校开展“孝敬父母，从家务劳动做起”活动的实施情况，该校抽取八
年级50名学生，调查他们一周（按七天计算）做家务所用时间（单位：小时）得到一组数据，绘制
成下表：
时间x（小时） 划记 人数 所占百分比
0.5x≤x≤1.0 正正 14 28%
1.0≤x＜1.5 正正正 15 30%
1.5≤x＜2 7 14%
2≤x＜2.5 4 8%
2.5≤x＜3 正 5 10%
3≤x＜3.5 3 6%
3.5≤x＜4 2 4%
合计 50 100%
（1）请填表中未完成的部分；
（2）根据以上信息判断，每周做家务的时间不超过1.5小时的学生所占的百分比是多少？
（3）针对以上情况，写出一个20字以内的倡导“孝敬父母，热爱劳动”的句子．
综合运用
1.空气使由多种气体混合而成，为了简明扼要地说明空气的组成情况，最好用 ___________统计图．
2.为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株的高度作为样本，统计结果整理后
列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）
试估计该园地内此类花卉高度小于55厘米且不小于45厘米的约为_________株．3.某中学抽取部分学生对“你最喜欢的球类运动”调查问卷，收集整理数据后列频数频率分布表（部分）如下（其中 m，n为已知
数）：
则mn的值为_________．
3.如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到 1cm）整理画出频数分布直方图
（每组数据含最低值，不含最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm之间的人数约有_________人．
4.指出下列调查中的总体、个体、样本和样本容量．
从学校七年级中抽取30名学生，调查学校七年级学生每周用于做数学作业的时间．
5.某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试成绩为样本，按 A（优秀）、B（良
好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表．请你结合图表中所给信息解析下列问题：
（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是___________；
（3）该校八年级共有1200名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数．6.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制
出以下两幅统计图．
请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了___________人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是___________；
（4）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．
7.下列图表是年某校从参加中考体育测试的九年级学生中随机调查的10名男生跑1000米和10名女生跑800米的成绩．
（1）按规定，女生跑800米的时间不超过3'24“就可以得满分．该校九年级学生有490人，男生比女生少70人．请你根据上面成绩，
估计该校女生中有多少人该项测试成绩得满分？
（2）假如男生1号和男生10号被分在同组测试，请答案他俩在400米的环形跑道测试的过程中能否相遇．若能，求出发多长时间才能相遇；若不能，说明理由．
8.为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化
学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不
完整的统计图，请你根据图中信息解析下列问题：
（1）被抽查的学生共有多少人？
（2）将折线统计图补充完整；
（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．
9.某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行答案，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
请根据所给信息，解析下列问题：
（1）a=_________，b=_________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？第 15 讲 幂 的运算
知识点1 同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（m，n是正整数）
（2）推广： （m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 与 ， 与 ， 与 等；②
可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底
数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例】
【题干】如果a2n﹣1•an+2=a7，则n的值是_____
【方法总结】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相
加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．
2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．
【方法总结】
本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将am+n+k变
形为am•an•ak，然后将am=3，an=6，ak=4，代入am•an•ak，求解即可．
3.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+2+2①，将等式两边同时乘2得：
2S=2+22+23+24+25+…+2+2②将②减去①得2S﹣S=2﹣1
即S=2﹣1
即1+2+22+23+24+…+2=2﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【方法总结】
此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键． 解答此题常用的方法是“a倍的错位相减”即可求解．如：求
1+a+a2+a3+a4+…+an(a不等于0)的和．
解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②﹣①得：aS﹣S=an+1﹣1，
1
即S= （an+1﹣1），
a−1
1
则1+a+a2+a3+a4+…+an= （an+1﹣1）．
a−1
注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．
【随堂练习】
1．（杜尔伯特县二模）若xm=2，xn=3，则xm+2n的值为____．
2．（仪征市一模）若x+3y﹣4=0，则3x•27y=_____．
3．（开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2=23=8，此时，3叫
做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做
2 2
以a为底b的对数，记为log b（即log b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 81
a a 3
（即log 81=4）．
3
根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log 4=___，log 16=____，log 64=____；
2 2 2
（2）根据（1）中的计算结果，写出log 4，log 16，log 64满足的关系式；
2 2 2
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
log M+log N=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
a a
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
4．（上杭县期中）阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）
42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）
52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）
（1）2×5=_____；
（2）m2×m5=____；
（3）计算：（﹣2）×（﹣2）．
知识点2 幂的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中
“指数相加”的区别．
【典例】
1.若81x=312，则x=__________．【方法总结】
本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x 化成34x
，即可得出4x=12，解方程即
可求解．
2.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_______
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．
3.比较3555，4444，5333的大小．
【方法总结】
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再
分别比较它们的指数或底数．
知识点3 积的乘方
1．积的乘方
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=an•bn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例】
1.用简便方法计算下列各题：
4
（1）（ ）×（﹣1.25）
5
2 5 1
（2）（2 ）10×（﹣ ）10×（ ）11．
5 6 2
【方法总结】
4 5
此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是 和﹣ ，乘积正好是-1；如（2）
5 4
12 5 1
中底数分别是 、﹣ 、 ，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．
5 6 2
2.（1）已知an=3，bn=5，求（a2b）n的值；（2）若2n=3，3n=4，求36n．
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n 转变为（an）2 •bn，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．
【随堂练习】
1．（新区期中）已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．
2．（长安区一模）图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；
②（ ）11×（﹣ ）13×（ ）12．
（2）若2•4n•16n=219，求n的值．
知识点4 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
2．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00无意义．
3．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
αp注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
【典例】
【题干】（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=______
【方法总结】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．
2.若m=5，n=4，则3m﹣2n等于____
【方法总结】
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将 3m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成3m÷2n的形式，再利用幂的
乘方法则，将3m，2n分别用（m）3、（n）2代换，即3m÷2n转化成为（m）3÷（n）2，然后将m=5，n=4代入（m）3÷（n）2即可求解．
【随堂练习】
1．（临淄区校级期中）已知5m=2，5n=4，求52m﹣n和25m+n的值．
2．（瑶海区期中）（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）﹣2= = × = × 由上述计算，
我们发现（ ）2 = （ ）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（ ）3与（ ）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）﹣m = （ ）m（ab≠0）
（4）计算：（ ）﹣4×（ ）4．
3．（江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m=316，求m的值．
（2）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
（3）若n为正整数，且x2n=4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
综合运用
1.已知ma+b•ma﹣b=m12，则a的值为_________．
2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．
3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．
5.根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
6.用简便方法计算下列各题
4
（1）（ ）×（﹣1.25）．
5
1 8
（2）（3 ）12×（ ）11×（﹣2）3．
8 25
7.计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
