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高数基础班（14）
14 微分方程概念，一阶方程，可降阶方程，高阶线性方程， P162-P173
主讲 武忠祥 教授第七章 常微分方程
本章内容要点
一. 考试内容概要
（一）常微分方程的基本概念
（二）一阶微分方程
（三）可降阶的高阶方程（数三不要求）
（四）高阶线性微分方程
（五）差分方程（仅数三要求）二. 常考题型与典型例题
题型一 微分方程求解
题型二 综合题
题型三 应用题（一）常微分方程的基本概念
1.微分方程
2.微分方程的阶
3.微分方程的解
4.微分方程的通解
5.微分方程的特解
6.初始条件
7.积分曲线（二）一阶微分方程
1）可分离变量的方程 y   f (x)g( y)
y(1  x)
【例1】(2006年1,2）微分方程 y   的通解是
________. (y Cxex)
xdy y
2）齐次方程 ( )
dx x
【例2】(1993年1,2）求微分方程 x 2 y   xy  y 2 满足初始条件
y(1)  1 的特解.
y y y
【解】原方程为齐次方程 y   ( ) 2  ，令 u  ，则
x x x
xu   u  u 2  u, xu   u 2  2u.
du 1 1 u  2
 dx [ln u  2  ln u]  ln x  C ,  Cx 2
u 2  2u x 2 1 u
y  2x
 Cx 2
y
由 y(1)  1 ，得 C  1 ，即得所求的特解为
y  2x 2x
  x 2，即 y 
y 1  x 23）线性方程 y   P (x) y  Q(x)
 p(x)dx   p(x)dx 
通解 y  e  Q(x)e dx  C
 
 
【例3】(2008年2,4）微分方程 ( y  x 2 e x )dx  xdy  0
的通解是 y  x(Cex)
________.4）伯努利方程（仅数学一要求）
y   P(x) y  Q(x) y  ( 1) ( y 1  u)
5）全微分方程（仅数学一要求）
P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0.
P Q
a) 判定: 
y x
b) 解法:
1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分（三）可降阶方程（数三不要求）
1) y   f (x)
dP
2) y   f (x, y  ) ( y   P, y   )
dx
【例4】(2000年1）微分方程 xy   3 y   0 的通解为 C
________ . (y C  2)
1 x2dP
3) y   f ( y, y  ) ( y   P, y   P )
dy
【例5】(2002年1,2）微分方程 满足初始条件
yy   y 2  0
1
y  1, y   的特解是 ________ . (y  x1)
x0 x0
2（四）高阶线性微分方程1) 线性微分方程的解的结构
齐次方程 y   p(x) y   q(x) y  0 （1）
非齐次方程 y   p(x) y   q(x) y  f (x) （2）
定理1 如果 y (x) 和 y (x) 是齐次方程（1）的两个线性无关的
1 2
的特解，那么
y  C y (x)  C y (x)
1 1 2 2
就是方程（1）的通解.
定理2 如果 y * 是非齐次方程（2）的一个特解， y (x) 和 y (x)
1 2
是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则
y  C y (x)  C y (x)  y  (x)
1 1 2 2
是非齐次微分方程（2）的通解.定理3 如果 y * (x) ，y * (x) 是非齐次方程（2）的两个特解，则
1 2
y(x)  y * (x)  y * (x)
2 1
是齐次微分方程（1）的解.
定理4 如果 y * (x) ，y * (x) 分别是方程
1 2
y   p(x) y   q(x) y  f (x)
1
y   p(x) y   q(x) y  f (x)
2
的特解，则
y * (x)  y * (x)
1 2
是方程 y    p ( x ) y   q ( x) y  f (x)  f (x) 的一个特解.
1 22) 常系数齐次线性微分方程
y   py   qy  0
特征方程 r 2  pr  q  0
设 是特征方程两个根
r ,r
1 2
1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x
1 2
1 2
2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x)
1 2 1 2
3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx)
1,2 1 21
【例6】(2013年3）微分方程 y   y   y  0 的通解为 1
x
(y e2 (C C x))
4 _________ . 1 2
【解】【例7】(1996年3）微分方程 y   2 y   5 y  0 的通解为
y  __________ . (y ex(C cos2xC sin2x))
1 2
【解】【例8】(2010年2）3阶常系数线性齐次微分方程
(y Ce2x C cosxC sinx)
y   2 y   y   2 y  0 的 通解为 y  ____________ . 1 2 3
【解】3) 常系数非齐次线性微分方程
y   py   qy  f (x)
1. f (x)  e
x
P (x) 令 y   x k Q (x)e x
m
m
 
2. f (x)  e x P (1) (x)cosx  P (2) (x)sinx
l n
 
令 y   x k e x R (1) (x)cosx  R (2) (x)sinx . m  max{l,n}
m m【例9】(1995年3）微分方程 y   y  2x 的通解为 y  ________ .
(y 2xC cosxC sinx)
1 2
【解】【例10】(2007年1,2）二阶常系数非齐次线性微分方程
y   4 y   3 y  2e 2x 的通解为 y  ___________ .
(y Ce3x C ex 2e2x)
1 2
【解】4）欧拉方程 （仅数一要求）
x n y (n)  a x n1 y (n1)    a xy   a y  f (x)
1 n1 n
令 x  e t , x k y (k)  D(D  1)(D  k  1) y
2
d y dy
【例11】(2004年1）欧拉方程
x 2  4x  2 y  0(x  0)
2
dx dx
的通解为 y  ______ . C C
(y  1  2)
x x2
【解】