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限时跟踪检测(六十二) 计数原理
一、单项选择题
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数
的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
2．(2024·山东九校联考)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，
记为A，B，C，D，E(在正五边形的顶点上)，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的方法种数为( )
A．20 B．15 C．10 D．5
3．(2024·湖南娄底模拟)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法运算时各位均不进
位(例如：2 019＋100＝2 119)，则称(m，n)为“简单的有序对”，而m＋n称为有序对(m，
n)的值，那么值为2 019的“简单的有序对”的个数是( )
A．100 B．96 C．60 D．30
4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要
将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．30 C．20 D．12
5．我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：如图所
示，将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及对角线上的三个数
的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相
同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是('')
8 3 4
1 5 9
6 7 2
A．9 B．8 C．6 D．4
6．(2024·河南郑州模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学，在数学
检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
7．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形
ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有
公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )
A．48 B．54C．72 D．108
二、多项选择题
8．现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有 7人、8人、9人、10人，
则下列说法正确的是( )
A．选1人为负责人的选法有34种
B．每组选1名组长的选法有5 400种
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有420种
D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，
则不同的选法有37种
9．已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则关于方程＋＝1，下列说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
三、填空题与解答题
10．如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边
的三角形有________个(用数字作答)．
11．(2024·江苏连云港调研)2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬
奥会冰壶比赛的赛程安排如下：先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余 9支
队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照胜负场次计算成绩并进行排名，前 4名进入半决赛，
半决赛阶段，循环赛排名第一的队伍对阵排名第四的队伍，排名第二的队伍对阵排名第三
的队伍，胜者争金牌，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是________．
12．(2024·河北保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记
数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算
筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表所示：
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
方式
纵式
横式
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，
以此类推，遇零则置空，由此知“ ”表示的三位数为________；如果把5根算筹以
适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．13．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色
小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从上述三个口袋中取出2个小球．
(1)若取出的两个小球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
高分推荐题
14．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过
程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下
落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；
(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E.则这九根树枝从高到低不同的顺序共有(
)
A．23种 B．24种
C．32种 D．33种
解析版
一、单项选择题
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数
的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位
有2种选择，有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，
百位有1种选择，有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇
数．故选B．
答案：B
2．(2024·山东九校联考)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，
记为A，B，C，D，E(在正五边形的顶点上)，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的方法种数为( )
A．20 B．15 C．10 D．5
解析：固定第一个位置，如先固定A，则第二步只能固定C或D，有2种固定螺栓的
顺序，即ACEBD或ADBEC；同理让B，C，D，E分别作为第一个固定位置，各有2种固
定螺栓的顺序，由分类加法计数原理可知共有10种不同的顺序．故选C．
答案：C
3．(2024·湖南娄底模拟)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法运算时各位均不进
位(例如：2 019＋100＝2 119)，则称(m，n)为“简单的有序对”，而m＋n称为有序对(m，
n)的值，那么值为2 019的“简单的有序对”的个数是( )A．100 B．96 C．60 D．30
解析：m＋n＝2 019且各位均不进位，从高位分步处理：千位有2＋0,1＋1,0＋2，共3
种；百位有0＋0，共1种；十位有0＋1,1＋0，共2种；个位有0＋9,1＋8,2＋7,3＋6,4＋5,5
＋4,6＋3,7＋2,8＋1,9＋0，共10种．由分步乘法计数原理可知，值为2 019的“简单的有序
对”的个数是3×1×2×10＝60.故选C．
答案：C
4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要
将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．30 C．20 D．12
解析：将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入
第2个有7种插法，所以共有6×7＝42(种)插法．
答案：A
5．我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：如图所
示，将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及对角线上的三个数
的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相
同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是('')
8 3 4
1 5 9
6 7 2
A．9 B．8 C．6 D．4
解析：∵所有数的和为＝45，＝15，∴每一行、每一列以及对角线上的三个数的和都
是15，采用列举法：492,357,816；276,951,438；294,753,618；438,951,276；816,357,492；
618,753,294；672,159,834；834,159,672.共8个幻方，故选B．
答案：B
6．(2024·河南郑州模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学，在数学
检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
解析：设4位监考教师分别为A，B，C，D，所教的班分别为a，b，c，d，假设A监
考b，则余下3人监考剩下的3个班，共有3种不同方法．同理知A监考c，d时，也分别
有3种不同方法，故共有3×3＝9(种)方法．
答案：B
7．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形
ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有
公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )A．48 B．54
C．72 D．108
解析：设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角
形分别为②，③，④，⑤区．
第一步：给①区涂色，有4种涂色方法．
第二步：给②区涂色，有3种涂色方法．
第三步：给③区涂色，有2种涂色方法．
第四步：给④区涂色，若④区与②区同色，则④区在每一次涂色时有1种涂色方法，
⑤区有2种涂色方法．
若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．
所以共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)涂色方法．
答案：C
二、多项选择题
8．现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有 7人、8人、9人、10人，
则下列说法正确的是( )
A．选1人为负责人的选法有34种
B．每组选1名组长的选法有5 400种
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有420种
D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，
则不同的选法有37种
解析：对于A,4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的
选法有34种，A正确；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四
组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5 040(种)，B错误；对于C，分六类：
从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法，从第一、三组中各选 1人，有7×9种不
同的选法，从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法，从第二、三组中各选1人，
有8×9种不同的选法，从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法，从第三、四组中
各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有 7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，C错误；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有 4种选法，共有43＝
64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有 3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同
的选法共有64－27＝37(种)，D正确．
答案：AD
9．已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则关于方程＋＝1，下列说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
解析：当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，A正确；当m≠n且m，n>0时，
方程＋＝1表示椭圆，焦点在x轴、y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，B，D正
确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，C错误．故选ABD．
答案：ABD
三、填空题与解答题
10．如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边
的三角形有________个(用数字作答)．
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形，共有8×4＝32(个)；
第二类，有两条公共边的三角形，共有8个．
由分类加法计数原理可知，
共有32＋8＝40(个)．
答案：40
11．(2024·江苏连云港调研)2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬
奥会冰壶比赛的赛程安排如下：先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余 9支
队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照胜负场次计算成绩并进行排名，前 4名进入半决赛，
半决赛阶段，循环赛排名第一的队伍对阵排名第四的队伍，排名第二的队伍对阵排名第三
的队伍，胜者争金牌，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是________．
解析：循环赛进行了＝45(场)，半决赛2场，最后决赛争金牌1场，争铜牌1场，∴共
49场．
答案：49
12．(2024·河北保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记
数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算
筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表所示：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9方式
纵式
横式
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，
以此类推，遇零则置空，由此知“ ”表示的三位数为________；如果把5根算筹以
适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．
解析：由题意，结合表格中的数据和图形，知“ ”表示的三位数为621.
共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，
①当个位数为5时，不符合题意．
②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位．
若百位有1根，十位有4根，
则共有1×2＝2(个)三位数；
若百位有2根，十位有3根，
则共有2×2＝4(个)三位数；
若百位有3根，十位有2根，
则共有2×2＝4(个)三位数；
若百位有4根，十位有1根，
则共有2×1＝2(个)三位数；
若百位有5根，十位有0根，
则共有2个三位数．
所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(个)三位数．
答案：621 14
13．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色
小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从上述三个口袋中取出2个小球．
(1)若取出的两个小球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或在A，C袋中各取一个或在
B，C袋中各取一个．
∴有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)取法．
(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出2个或在C袋中取出2个．
∴有1＋3＝4(种)取法．
高分推荐题
14．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过
程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下
落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E.则这九根树枝从高到低不同的顺序共有(
)
A．23种 B．24种
C．32种 D．33种
解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共
九个位置，
根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝
G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得G>A>B，且
G，A，B在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，
(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法．若第五个位置排C，
则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法；若第五个位置排D，则后四个位置共
有4种排法．所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28(种)排法．
(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置．由
于I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四
个位置中的一个位置共有5种排法．
由分类加法计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28＋5＝33(种)．
答案：D
