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第 1 讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是
．
故选A
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、
方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】1．（邯郸模拟）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是
A． B． C． D．
【解答】解：把展开图折叠后，只有 选项符合图形，
故选： ．
2．（太原期末）如图是一个正方体线段 ， ， 是它的三个面的对角线下列图形
中，是该正方体的表面展开图的是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据正方体展开图的特点分析，选项 是它的展开图．
故选： ．
3．（牡丹区期末）下列4个平面图形中，哪一个是由图中正方体纸盒展开得到的
A． B．C． D．
【解答】解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是 ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
4．（顺义区期末）如图是一个无盖的长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数
据，则该无盖长方体盒子的容积为 ．
【解答】解：长方体的高是 ，宽是 ，长是 ，
长方体的容积是 ，
故答案为： ．
5．（高新区期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示 （单 位： ，
则其容积为 800 ．
【解答】解： ，，
，
．
答： 其容积为 ．
故答案为： 800 ．
三．解答题（共2小题）
6．（溧水区校级二模）某长方体包装盒的表面积为 ，其展开图如图所示．求这个
包装盒的体积．
【解答】解：设高为 ，则长为 ，宽为 ．由题意，得
，
解得： ， （舍去），
长为： ，宽为： ．长方体的体积为： ，
答：这个包装盒的体积为 ．
7．（通州区期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母 ， 的面分别是正方体的
正面和底面，其他面分别用字母 ， ， ， 表示．已知 ， ，
， ， ， ．
（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出 的值；
（2）如果正面字母 代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且 为整数，求整
数 的值．
【解答】解：（1） 正方体的左面 与右面 代表的代数式的值相等，，
解得 ；
（2） 正面字母 代表的代数式与对面 代表的代数式的值相等，
，
，
为整数，
， 为 的因数，
，
或 ，
综上所述，整数 的值为0或2．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长
方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几
何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（鼓楼区期末）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成
一个封闭的长方体包装盒的是
A． B．C． D．
【解答】解： 、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
故选： ．
二．填空题（共2小题）
2．（南山区期末）如图，在 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，
直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方
形的顶点，已知 ，则这个展开图可折成的正方体的体积为 2 7 ．
【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为 ，
延长 交 于点 ，
则 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
即这个展开图围成的正方体的棱长为 ，
这个展开图可折成的正方体的体积为 ．
故答案为：27．
3．（江宁区期末）如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以
围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是 5 6 ．
【解答】解：设长为 ，高为 ，则宽为 ，依题意得
，
解得 ，
这个长方体纸盒的容积是 ，
故答案为：56．
三．解答题（共1小题）
4．（玄武区期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼
完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还
缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为 ，长方形的长为 ，宽为 ，请直接写出修正后所
折叠而成的长方体的体积： 1 2 ．【解答】解：（1）拼图存在问题，如图：
（2）折叠而成的长方体的容积为： ．
故答案为：12．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小
正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四
个底面正方形中的点数之和为（ ）
【解析】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2；点5对面是点1；点6
对面是点3．
则图b中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6=16，
则图b中四个底面正方形中的点数之和为16．
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各
点数、数字之间的位置关系而得出结果。【随堂练习】
1．（江宁区校级期末）如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．
根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：依题意可知由于1、5同时和3、5相邻，当3在上边时，4在下面，5在右边
时，2在左边，那么1在后面，前面是6，
故选： ．
二．填空题（共5小题）
2．（密云区期末）年是中国改革开放事业40周年，正在中国国家博物馆展出的《伟大的
变革 庆祝改革开放40周年大型展览》多角度、全景式集中展示中国改革开放40年的光
辉历程、伟大成就和宝贵经验．小芳参展之后打算设计一个正方体装饰品，她在正方体的
一个平面展开图上写下了“全面深化改革”几个字（如图所示），如果正方体上“深”所
对的面为“改”，则“革”所对的面是 全 ．
【解答】解： 正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
在此正方体上与字母“革”所对的面是全．
故答案为：全．
3．（平谷区期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1和6、2和5、3和 放置于水
平桌面上，如图1．将骰子向右翻滚 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 ，则完成
一次变换．如图2．
若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一
面的点数是 6 ；连续完成次变换后，骰子朝上一面的点数是 ．
【解答】解：根据题意可知，连续3次变换是一循环．完成1次变换后，骰子朝上一面的点数是5；完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是6；
完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3，
因为 ，
所以连续完成次变换后，骰子朝上一面的点数是3．
故答案为：6，3．
4．（沭阳县期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反
数，则 的值为 ．
【解答】解： “5”与“ ”是对面，“ ”与“ ”是对面，
， ，
解得 ， ，
．
故答案为： ．
5．（顺德区期末）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的
表面与“生”相对应的面上的汉子是 学 ．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“生”与“学”是相对面．
故答案为：学．
6．（邗江区期末）如图所示，将图沿线折起来，得到一个正方体，那么“我”的对面是
数 （填汉字）
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“数”是相对面，
“喜”与“课”是相对面，
“欢”与“学”是相对面．
故答案为：数．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒
子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
【解析】解：设该长方体的高为x cm，则长方体的宽为2x cm，
2x+2x+x+x=18，解得x=3，
所以该长方体的高为3 cm，则长方体的宽为6 cm，长为18﹣6=12 cm，
所以它的体积为3×6×12=216（cm3）．
故答案为216．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“1”相对，面
“b”与面“3”相对，“2”与面“﹣2”相对．
因为相对面上两个数都互为相反数，
所以a=﹣1，b=﹣3，
故a+b=﹣4．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算
一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第次后，骰子朝上一面的点数
是________．【解析】解：观察图象可知点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且四次一循环，
∵÷4=504…1，
∴滚动第次后与第一次相同，
∴朝上一面的点数为5，
故答案为：5．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的
值为_________．
【解析】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3=﹣5，y=﹣x，
解得x=﹣1，y=1，
∴2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体
的表面积_________．（结果保留π）
【解析】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱，
故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱；
（2）圆柱的表面积为πr2+πr2+2πrh=4π+4π+32π=40πcm2，
故答案为：40πcm2．6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使
它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂
黑，并画出移动后的正方形）．
【解析】解：答案如下：
或
或 等．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【解析】解：（1）这个几何体的名称是六棱柱；
（2）侧面积=（2+4）ab=6ab
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉
得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺
少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成
的长方体的表面积和体积．【解析】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．
体积=62×8=288cm3．
【难度】中
【结束】
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是
他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分
即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个
长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补
全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒
所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）由图可得，小明一共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a=880，
解得a=100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
