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第 1 讲 复杂的“旋转型”与弦图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转
移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如
果AB=3，AO=2❑√2，求AC的长.
【解析】解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠OBA=∠OCF．
∵在△ABO和△FCO中，{
&OB=OC
&∠OBA=∠OCF，
&AB=CF
∴△ABO≌△FCO（ASA），
∴OF=AO=2❑√2，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=❑√2AO=❑√2×2❑√2=4，
∴AC=AF+CF=4+3=7．
【方法总结】
在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质
可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角
形的斜边等于直角边的❑√2倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全
等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一
点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.
【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC，
∴AE=EF.
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
{
&∠PFD=∠QCD
&∠PDF=∠QDC，
&PF=CQ
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
1
∴AE+CD=DE= AC.
2
∵AC=1，
1
∴DE= ．
2
【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰
1
三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
2
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质
平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生
综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1如图，在正方形 ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若
∠BEC=80°，则∠EFD的度数为___
【答案】35°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°.
∵在△BCE和△DCF中，
{
&BC=CD
&∠BCE=∠DCF，
&CE=CF
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠DFC=∠BEC=80°.
∵∠DCF=90°，CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠EFD=80°﹣45°=35°．
2.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的
面积为200，则BE的长为___
【答案】12
【解析】解：∵∠ECF=90°，∠DCB=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
{
&∠BCE=∠DCF
∵ &BC=DC ，
&∠CDF=∠CBE
∴△CDF≌△CBE（ASA），故CF=CE．
因为Rt△CEF的面积是200，即
1
•CE•CF=200，故CE=20．
2
正方形ABCD的面积=BC2=256，得BC=16．
根据勾股定理得：BE= =12．
❑√CE2−BC2
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交
于点G，则下列结论不正确的是（ ）A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90°
D.AG⊥BE
【答案】C.
【解析】解：∵ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC，
又∵BF=CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴BE=AF（第一个正确）.
∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）.
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°.
∴∠DAF=∠BFA=∠BEC（第二个正确）.
∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CBE+∠AFB=90°，
∴AG⊥BE（第四个正确）.
所以不正确的是C，故选C.
知识点2 弦图及其拓展
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.
图中的等量关系有：
a2+b2=c2；
4个小三角形的面积和=2ab；
大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；
小正方形的边长为b-a= ，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；
（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；
（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.【典例】
1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.
【答案】
【解析】解：依题意有：
大正方形的面积=a2+b2=13，
1
∵四个直角三角形的面积和=4× ab=2ab，
2
四个直角三角形的面积和= 13﹣1=12，
∴2ab=12，即 ab=6，
则a4+b4
=（a2+b2）2﹣2a2b2
=（a2+b2）2﹣2（ab）2，
把a2+b2=13，ab=6代入上式，
得原式=132﹣2×62
=169﹣72
=97．
【方法总结】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的
面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而
求得a4+b4的值．
本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关
系，灵活运用所学知识解决问题．
2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，
围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2❑√3EF，则正
方形ABCD的面积为______【答案】13S
【解析】解：设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2，
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2❑√3EF，
∴2a=2❑√3b，
∴a=❑√3b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，
【方法总结】
设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-
b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2❑√3EF可得a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD
和正方形EFGH的面积，即可得出结果.
本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直
角边长表示已知面积的正方形的边长．
【随堂练习】
1.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方
形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直
角三角形的长直角边为a、短直角边为b，那么（a﹣b）2=______【答案】1
【解析】解：由图可知，（a﹣b）2即为中间小正方形的面积，为1．
2.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一
个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差____
【答案】36
【解析】解：根据题意得：
小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，
45﹣9=36．
3.如图，是第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方
形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那
么（a+b）2=___________
【答案】25
【解析】解：（a+b）2=a2+b2+2ab.
大正方形的面积= a2+b2=13，
1
∵四个直角三角形的面积和=4× ab=2ab，
2
四个直角三角形的面积和=13﹣1=12.
∴2ab=12.
∴原式=13+12
=25.综合运用
1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边
形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.
【答案】6
【解析】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
1
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
2
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．
【答案】100
1
【解析】解：依题意，得△BCD的年级为 ×（6+6）×4=24.
2
中间小正方形的面积为（6-4）×（6-4）=4，
所以该“数学风车”所围成的总面积=24×4+4=100.
故答案为：100
3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.
【答案】45°
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠DAB=∠C=90°，
如图，延长EA到G,使GA=CF，连接DG，则∠DAG=90°，
∴∠DAG=∠C=90°，
∴△DAG≌△DCF(SAS)
∴DG=DF，∠CDF=∠ADG,
又∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADG+∠ADF=∠GDF=90°.
∵GE=GA+AE，
EF=AE+CF，
∴GE=EF，
在△DGE和△DFE中
{
&DG=DF
&DE=DE，
&≥=FE
∴△DGE≌△DFE(SSS)，
∴∠GDE=∠FDE，
1
∴∠EDF= ∠GDF=45°．
2
故答案为45°.
4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a
与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.【答案】74
【解析】解：如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中,
{
&∠1=∠3
&∠AMD=∠CND,
&AD=DC
∴△AMD≌△CND(AAS)，
∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74，
即正方形ABCD的面积为74，
故答案为74.
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．
记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若正方形
1 2 3
EFGH的边长为2，求S +S +S 的值．
1 2 3【答案】
【解析】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，正方形EFGH
1 2 3
的边长为2，
∴得出S =8y+x，S =4y+x，S =x，
1 2 3
∴S +S +S =3x+12y=3（4y+x）=3S ．
1 2 3 2
∵S =2×2=4，
2
∴S +S +S =3×4=12．
1 2 3
6.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．
【答案】
【解析】证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即∠ACP=∠BCE，
在△ACP和△BCE中，{
&AC=BC
&∠ACP=∠BCE，
&CP=CE
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC.
7.已知：在 中， ， ，过点 作 于 ， 为 边上
一点，且 ，连结 、 ．求证： ．
A
C
B D
E
【答案】
【解析】解：延长 至 ，使 ，连结 、 .
A
F
C
B D
E
，
又 ，
,在 与 中，
，
, ，
．
