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第 01 讲 与圆有关的性质——垂径定理
课程标准 学习目标
1. 认识圆，掌握圆的相关概念。
①与圆有关的概念
2. 掌握圆的对称性。
②圆的对称性
3. 掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关
③圆的垂径定理
题目。
知识点01 与圆有关的概念
1. 圆的概念：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是 ，定长
是圆的 。
动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形
成的 叫做圆．固定的端点O叫做 ，线段OA的长叫做 。以O点为圆
心的圆，记作 ，读作 。
2. 弦的概念：
如图：连接圆上任意两点的线段叫做 。如图中有弦 CD与弦AB。
3. 直径：
过 的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。
4. 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含 、 、 。
（1）半圆： 的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做 。
（2）优弧： 半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为 。读作 。表
示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。
（3）劣弧： 半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为 。读作 。
5. 等圆：
能够 的两个圆或半径 的两个圆叫做等圆。
6. 等弧：
在同圆或等圆中，能够 的两条弧叫做等弧。
题型考点：①相关概念的理解与认识。
知识点02 圆的对称性
1. 圆的对称性：
圆既是 图形，有 条对称轴。又是 图形，对称中心是圆
的 。
【即学即练1】
1．圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，固定的端点O叫做 ．线段OA叫做 ．
（b）圆是所有点到定点O的距离 定长r的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长
的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧
所对圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧．
（5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆..
【即学即练2】
2．如图中有 条直径，有 条弦，以点A为端点的优弧有 条，有劣弧 条．【即学即练3】
3．下列说法中，正确的是 ．
①直径是圆中最长的弦，弦是直径；
②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④圆心不同的圆不可能是等圆；
⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；
⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；
⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．
知识点03 垂径定理
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
CE DE，弧BC 弧BD，弧AC 弧AD。
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的 。
推论2：弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的 。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。
即： （ ）
题型考点：①垂径定理求相关线段的长度。②垂径定理的应用。
【即学即练1】
4．已知：如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（
）
⊙A．4 B．4 C．3 D．5
【即学即练2】
5．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）cm．
⊙
A．8 B．5 C．3 D．2
【即学即练3】
6．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（ ）
⊙
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【即学即练4】
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
题型01 圆的相关概念的理解【典例1】
下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．直径的长度是半径的2倍
【典例2】
下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例3】
下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【典例4】
下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；
（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
题型02 垂径定理求弦长
【典例1】
如图 O的半径OD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（ ）
⊙ ⊙
A．8 B．12
C．16 D．
【典例2】
如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB
的长为（ ）
⊙ ⊙A．3 B．4 C．5 D．2.5
【典例3】
如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线
段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
【典例4】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则
AD的长为 ．
题型03 垂径定理求半径（直径）
【典例1】
在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
如图， O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则 O的半径长为（ ）
⊙ ⊙A． B．3 C． D．
【典例3】
如图，线段CD是 O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则 O半径是（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．8 D．10
【典例4】
如图，已知AB是 O的一条弦，AB＝6，点M在AB上，且AM＝2，若OM＝ ，则 O的半径为（
）
⊙ ⊙
A．4 B．5 C．6 D．
题型04 垂径定理求弦心距
【典例1】
如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】
如图， O的弦 AB垂直于 CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且 AB＝CD，则圆心 O到CD的距离是
⊙（ ）
A．2 B． C． D．
【典例3】
如图，点A、B、C三点在 O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（ ）
⊙
A． cm B． cm C． cm D． cm
【典例4】
如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（ ）
⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
题型05 垂径定理的应用
【典例1】
高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O为圆心的圆的一部分，路面
AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B． 米 C．6米 D． 米
【典例2】
唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10m B．8m C．6m D．5m
【典例3】
一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的
学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A，B，
C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（
）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【典例4】
如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作 O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组
合而成的图形（点B，C在 O上），其中BC∥EF；已知 O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝
⊙
48，则香水瓶的高度h是（ ）
⊙ ⊙
A．56 B．57 C．58 D．591．以下说法正确的是（ ）
A．半圆是弧
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形
D．两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直．
2．如图， O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
⊙
A．42° B．29° C．21° D．20°
3．已知 O的半径是3cm，则 O中最长的弦长是（ ）
A．3⊙cm B．6c⊙m C．1.5cm D． cm
4．如图， O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝ ，则AB的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
5．如图，半径为5的 A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
⊙
A．﹣3 B．3 C．4 D．6
6．如图， O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
⊙A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交 O于点
C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且 O被水面截得的弦AB长为4米， O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB
所在直线的距离是（ ）
⊙ ⊙
A．1米 B． 米 C．3米 D． 米
9．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为 6和4，大圆的弦AB交小圆于点
C，D．若AC＝3，则CD的长为 ．
第9题 第10题
10．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB
＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
11．如图，在 O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交 O于点D，则
CD长的最大值为 ．
⊙ ⊙12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为
8，则此时排水管水面上升了 ．
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？
14．如图，过△OAB的顶点O作 O，与OA，OB边分别交于点C，D，与AB边交于M，N两点，且
CD∥AB，已知OC＝3，CA＝2．
⊙
（1）求OB的长；（2）若∠A＝30°，求MN的长．
15．如图，已知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC
于E点，且△AEF为等边三角形．
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若AF＝1，求DA的长度；
（3）若DA＝ AF，求证：CF⊥AB．
