文档文本内容
第 4 讲 图形的相似
知识点1：相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个
图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图
形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫
相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【典例】
1.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．
【解析】解：不相似．理由：∵∠D=360°﹣135°﹣95°﹣72°=58°，∠E=360°﹣135°﹣95°﹣59°=71°，
∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，
又∵没法判定对应边成比例，
∴不相似．
2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．
（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；
（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．
【解析】解：（1）设较大多边形的周长是x cm．则
∵两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和12cm，
∴两个相似多边形的相似比是15：12=5：4，
又∵相似多边形的周长的比等于相似比，
∴x：（x﹣24）=5：4，
解得：x=120，
较小多边形的周长120﹣24=96（cm）；
答：两个多边形的周长分别为120cm，96cm；
（2）设较大多边形的面积为acm2，由题意得：
a：（a﹣270）=25：16，
解得：a=750，
则较小多边形的面积为750﹣270=480（cm2）．
答：两个多边形的面积分别为750cm2，480cm2．
【方法总结】
相似图形：所谓形状相同，就是与图形的大小，位置无关，与摆放角度，摆放方向也无关.有些图
形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是形状相同
相似多边形：（1）在相似多边形中，对应变成比例，对应角相等，这两个条件必须同时成立，
才能说明这两个多边形是相似多边形；
（2）相似多边形的性质可以用来确定两个相似多边形中未知的边的长度或未知的角的度数；
（3）相似比得值与两个多边性的前后顺序有关；
（4）相似比1:1的两个相似多边形是全等多边形；
【随堂练习】
1．（高密市期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是A． B．
C． D．
【解答】解：作 于 ，
则四边形 为矩形，
， ，
，
由勾股定理得， ，
四边形 的四条边之比为 ，
选项中，四条边之比为 ，且对应角相等，
故选： ．
2．（大渡口区模拟）沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得两张矩形与原来的矩形
纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是
A． B． C． D．
【解答】解：设原来矩形的长为 ，宽为 ，
则对折后的矩形的长为 ，宽为 ，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
，
解得 ．
故选： ．3．（芜湖一模）如图，一张矩形纸片 的长 ，宽 ．将纸片对折，折痕为 ，
所得矩形 与矩形 相似，则
A． B． C． D．
【解答】解： 矩形纸片对折，折痕为 ，
，
矩形 与矩形 相似，
，即 ，
，
．
故选： ．
4．（高青县一模）如图所示，长为 ，宽为 的矩形中，截去一个矩形（图中
阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，在矩形 中截取矩形 ，
则矩形 矩形 ，则
设 ，得到：
解得： ，
则剩下的矩形面积是： ．
5．（慈溪市期末）矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，
每一个小矩形与原矩形相似，则 ．
【解答】解： 原矩形 的长为6，宽为 ，
小矩形的长为 ，宽为 ，
小矩形与原矩形相似，
故答案为： ．
知识点2平行线分线段成比例
1比例性质：
①a:b=c:d⇔ad=bc；② （其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质： ．
a c e m a+c+e+⋯+m a
= = =⋯= (b+d+f +⋯+n≠0) =
b d f n b+d+f +⋯+n b
5等比性质：如果 ，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足 ,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠
倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得 等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在
另一条上截得的线段也相等。
【典例】
1.已知a，b，c，d是四条线段，试判断的它们是不是成比例线段．
（1）a=1mm，b=0.8cm，c=0.02cm，d=4cm；
（2）a=1 cm，b=0.4cm，c=40cm，d=3 cm．
【解析】解：（1）∵0.02×4=0.08，1mm=0.1cm，0.1×0.8=0.08，0.08=0.08，
∴它们是成比例线段；
（2）∵0.4×40=16，1 ×3 =4，16≠4，
∴它们不是成比例线段．
2.如图，△ABC∽△ADE，AD=8cm，BD=4cm，BC=15cm，EC=7cm．（1）DE∥BC吗？为什么？
（2）求DE，AE的长．
（3）你还能发现哪些线段成比例？
【解析】解：（1）DE∥BC．理由如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴ = = ，即 = = ，
∴DE=10cm，AE=14cm；
（3）成比例线段还有： = ．
3.如图，l //l //l ，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．
1 2 3
【解析】解：∵l //l //l ，
1 2 3
∵AB=3，AD=2，DE=4，
BC=6
,解得 ，
∵l //l //l ，
1 2 3
BF=2.5
,解得 ．
【方法总结】1.由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如
ad=bc
，除了可
化 为
a:b=c:d
， 还 可 化 为
a:c=b:d
，
c:d=a:b
，
b:d=a:c
，
b:a=d:c
，
c:a=d:b
，
d:c=b:a
，
d:b=c:a
．
2.比例的合比性质做题时可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：
a c {b−a d−c
= ⇒¿ = ¿¿¿
b d a c
3.等比性质
①此性质的证明运用了“设K法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法
是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
a c e a −2c 3e a−2c+3e a
= = ⇒ = = ⇒ =
b d f b −2d 3f b−2d+3f b b−2d+3f≠0
如： ；其中 ．
4.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件
中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
【随堂练习】
1．（门头沟区期末）如图，在 中， 、 分别是 、 上的点， ，若
， ， ，则 的长是
A． B．1 C． D．6
【解答】解： ，
，
，
，故选： ．
2．（凉山州）如图，在 中， 在 边上， ， 是 的中点，连接
并延长交 于 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过 作 ，交 于 ，
是 的中点，
是 的中点．
又 ，
，
， ，
设 ， ，又 ，
， ，
，
， ，
， ，
故选： ．
3．（安徽模拟）如图， 是 的中线，点 在 上， ，连接 并延长交
于点 ，则 的值是A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 ，与 交于点 ．
，
，
是 的中线
，
，即
，即 ，
．
故选： ．
4．（黄石模拟）在 中， 、 是 边上的三等分点， 是 边上的中线， 、
分 为三段的长分别是 、 、 ，若这三段有 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作 交 于 ，交 于 ，设 交 于 ， 交 于 ．，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
5．（萧山区模拟）如图，直线 ，直线 分别交 ， ， 于 ， ， ；直线
分别交 ， ， 于 ， ， ．已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 ，
，
，
故选： ．
6．（吴兴区期末）如图，直线 ，直线 ， 分别与 ， ， 相交于点 ， ，和点 ， ， ，若 ， ，则 等于
A．6 B．8 C．9 D．12
【解答】解： 直线 ， ，
，
即 ，
解得： ，
故选： ．
7．（黄浦区一模）如图，已知点 、 分别是 的边 、 上的点，且 ，点
是 边上的点， 与 交于点 ，则下列结论中，错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ， ，
选项 ， ， 正确，
故选： ．
8．（闵行区一模）已知在 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，
，那么下列比例式中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，， ，
．
故选： ．
9．（长宁区一模）如图，点 、 分别在 的边 、 上，下列条件中能够判定
的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．由 ，不能得到 ，故本选项不合题意；
．由 ，不能得到 ，故本选项不合题意；
．由 ，不能得到 ，故本选项不合题意；
．由 ，能得到 ，故本选项符合题意；
故选： ．
知识点3 相似三角形
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【典例】
1.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．
（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．【解析】解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．
（2）选△EAF∽△EBC，
理由如下：在ABCD中AD∥BC，
∴∠EAF=∠B．
又∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一个动点（不运动到点C或D），BE的延长线交
AD的延长线于点F，问图中共有几对相似三角形？试证明其中的一对三角形相似．
【解析】答：图中共有 3 对相似三角形，分别是：△DEF∽△CEB；△DEF∽△ABF；
△CEB∽△ABF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DF∥BC，
∴△DFE∽△CBE．
【方法总结】
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似
比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中
两个三角形中，边、角的关系。
【随堂练习】
1．（达州二模）如图，直线 AB与▱MNPQ的四边所在直线分别交于 A、B、C、
D，则图中的相似三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对【解答】解：由题意，AQ∥NP，MN∥BQ，
∴△ACM∽△DCN，△CDN∽△BDP，△BPD∽△BQA，△ACM∽△ABQ，
△DCN∽△ABQ，△ACM∽△DBP，
所以图中共有六对相似三角形．
故选：C．
知识点4 位似
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：位似形的有关性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同
一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫做位似中心.这时的
相似比叫做位似比。
【典例】
1.利用位似图形的方法把四边形ABCD放大到原来的2倍，并使新四边形A′B′C′D′与
原图形分别在对称中心的两旁．
【解析】解：如图
2.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为（0，0），A（2，1），B（1，﹣
2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA B ，使它与△OAB的位
1 1
似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A、B 的坐标；
1 1
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△OAB ，并写出点A、B的
2 2 2
对应点A、B 的坐标；
2 2
（3）判断△OA B 和△OAB 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点M的
1 1 2 2 2
坐标．
【解析】解：（1）如图，△OA B 为所作，点A、B 的坐标分别为（4，2），（2，﹣4）；
1 1 1 1
（2）如图，△OAB 为所作，点A、B 的坐标分别为（0，2），（﹣1，﹣1）；
2 2 2 2 2
（3）△OA B 和△OAB 是位似图形，如图，点M为所，位似中心 M的坐标为（4，2）．
1 1 2 2 2
【方法总结】
1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不
一定是位似图形；
2两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有
两个位似中心）；
3两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似
6位似图形满足的条件：两图形相似；每组对应点所在直线都经过同一点；
同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形.两条件缺一不可
【随堂练习】
1．（成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，过点 作 轴，垂足为点，将 以坐标原点 为位似中心缩小为原图形的 ，得到 ，则 的长度是
A．1 B．2 C． D．
【解答】解： 点 ，过点 作 轴于点 ．将 以坐标原点 为位似中心缩小
为原图形的 ，得到 ，
，则 的长度 ．
故选： ．
2．（娄底模拟）如图，四边形 与四边形 位似，位似中心点是 ， ，则
的值为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 与四边形 位似，其位似中心为点 ，且 ，
，
则 ．
故选： ．
3．（长兴县一模）已知下列四种变化：①向下平移2个单位长度；②向左平移2个单位长度；
③横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；④纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变．若将函数图象上的所有点都经过三次变化得到函数 的图象，则这三次变化的顺序可
以是
A．③ ④ ① B．③ ① ② C．④ ② ① D．① ③ ②
【解答】解：为了得到函数 的图象，可以把函数 的③横坐标变为原来的2
倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把 的图象①向下平移2个单
位长度，得到 的图象；最后把 的图象②向左平移2个单位长度，得到
，即 的图象．
故选： ．
二．解答题（共4小题）
4．（南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，
， ．
（1）画出 绕点 逆时针旋转 得到的△ ．
（2）以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出将 放大后的△ ，
并写出 点的坐标 ．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求；（2）如图，△ ，即为所求， ；
故答案是： ．
5．（庐阳区校级一模）如图，已知 ， ， 是直角坐标平面上三点．
（1）将 先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形△ ；
（2）以点 为位似中心，位似比为2，将△ 放大，在 轴右侧放大后的图形△
（3）填空：△ 面积为 6 ．
【解答】解：（1）平移后的图形△ 如图所示．（2）放大后的图形△ 如图所示．△ 面积 ，
故答案为6．
6．（丹东模拟）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 、 、
的坐标分别为 、 、
（1）请在图中画出 先向左平移2个单位后，再向下平移3个单位得到的△ ；
（2）以 为位似中心，将 放大 2 倍，得到△ ，画出△ ． 和△
在 轴的异侧）；
（3）请直接写出△ 的面积．
【解答】解；（1）如图，△ 即为所求；
（2）如图，△ 即为所求；（3）△ 的面积为： ，即△ 的面积是4．
7．（安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 （顶点是网格线的交点），已
知点 的坐标为 ．
（1）画出 关于 轴对称的△ ；
（2）在给定的网格中，以点 为位似中心，将△ 作位似变换且放大到原来的两倍，得到
△ ，画出△ ；
（3） 的坐标为 ．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求；
（2）如图所示，△ 即为所求；
（3） ，与 关于 轴对称，
的坐标为 ，
△ 是以点 为位似中心，将△ 作位似变换且放大到原来的两倍，得到的，
的坐标为 ，
故答案为： ．
综合运用：图形的相似
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48， ，求△ABC三边的长．
【解析】解：设 =x，
得a=4x，b=5x，c=7x．
∵a+b+c=48，
∴4x+5x+7x=48，
解得x=3，
∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若
EF=32，GE=8，求BE．
【解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，
∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ = ，
∴则 = = +1①．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴ = = 代入①，
= +1，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线 l 、l 于点A、B、C和D、E、F．若 = ，
1 2
AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴ ，∴ ，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴ ，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似
图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
【解析】解：（1）C点坐标为（ ，1），A点坐标为（ ，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
5.正方形 ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
【解析】解答：正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC=45°，
又∵∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG是矩形，∠AEG=90°-∠DAC=45°，
∴∠GAE=∠AEG=45°，
∴GE=AG，
∴矩形AFEG是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形AFEG∽正方形ABCD，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∴S = S = ×62=16．
正方形AFEG 正方形AFEG
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
1 1
2 2
【解析】解：（1）由已知得MN=AB，MD= AD= BC，
DM MN
=
AB BC
∵ 矩形DMNC与矩形ABCD相似， ，
1
2
∵ MN=AB，DM= AD，BC=AD，
1
2 4√2
∴ AD2=AB2， ∴ 由AB=4得，AD= ；DM 2√2 √2
= =
AB 4 2
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
