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第 6 讲 相似模型总结
知识点1 平行线型
平行型：（A型、X型）
（1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要
有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC; AD：BD＝AE：EC．
（2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可
以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：DE＝BE：EC．
【典例】
1.如图， 和 相交于点 ， .
1证明： ， .
2求证： .
【解析】⑴ ∵
∴∴ ，
⑵ 由⑴可知 ，
∴
∴
即
∴
2.如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上
取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有 ，
∵M为AB中点，AB= ，
∴AM= ，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有 ，
∵M为AB中点，AB= ，
∴AM= ，
∵BC=6，AC= ，
∴MN= ，∴MN的长为3或 ．
【方法总结】
此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话则需要添加辅助线，
构造基本相似模型.
E E E
A A A
F M F F
M
B D C B D M C B D C
E E E M
A A A
F F F
M
B D C M B D C B D C
【随堂练习】
1．（九龙坡区校级期中）已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点
D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=
，BC=3， ，求DE及CE的长．
【解答】解：∵CD=2， ，
∴AD=3，
∴AC=CD+AD=2+3=5，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，∴ = ，即 = ，
解得CE= ．
同理，由△CDE∽△CAB得到： = = ①．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
解得BA= ②
联立①②可得：DE= ．
综上所述，CE= ，DE= ．
知识点2 垂直型
如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，
这时候△ABC与这两个三角形都是相似的.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
（1）写出图中所有相似三角形： （不需证明）；
（2）如果AB=10，AC=8，以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标
系（如下图），求点A、点B、点C坐标；（3）在（2）的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q
出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两
点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．是否存在点Q，使以点B、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）图（1）中共有 3 对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，
△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图（2），在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC= =6．
∵△ABC的面积= AB•CO= AC•BC，
∴CO= =4.8，
∴AO= =6.4，
∴OB=3.6，
∴A（﹣6.4，0）．B（3.6，0），C（0，4.8）
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB=3.6．
分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴ = ，
∴ = ，
解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ= =3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴ = ，
∴ = ，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴ = ，即 = ，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE= =1.35，
∴OE=OB﹣BE=3.6﹣1.35=2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）（不合题意，舍去）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）；（2.25，3）．
【方法总结】
垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题
时，可以根据射影定理进行计算求解（直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影
的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）
【随堂练习】
1．（昌平区期末）如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，连接 CD，若 AD=2，
BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．【解答】解：在△ABC和△ACD中，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ = ，
即AC2=AD•AB=AD•（AD+BD）=2×（2+4）=12．
∴AC=2 ．
知识点3 斜交型（反A）
如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道
另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似．
A
B
J
D
C
对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似【典例】
1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为
15，那么△ACD的面积为_______
【答案】5
【解析】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为15，
∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．
2.如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【答案】∠ADE=∠ACB
【解析】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE=∠ACB．
【方法总结】
斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，千万不能写错，有一个简单的方法是短边
对短边，长边对长边，根据两个三角形中线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨
慎使用这个方法
【随堂练习】
1．如图，BD，CE是△ACB的高，求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ABD∽△ACE．
∴ = ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
2．（泸县校级一模）如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，∠ACD=∠B，
AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，即 = ，
解得，AC=2 ．
知识点4 旋转型
如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE，
则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型
由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示【典例】
1. ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点
上．
△
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点
N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
【解析】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BEM=∠NEC，
而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴ ．
又∵BE=EC，
∴ ，
则△ECN与△MEN中有 ，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．
2.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，
A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②
所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：
△PBD∽△AMN．【解析】（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．
（3）证明：在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM
∴△PBD∽△AMN．
【方法总结】
旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角
一般是相似证明过程中的一组对应角之一，利用好这个特征， 根据它所在的三角形就比较
容易判断出相似模型了.
【随堂练习】
1．（铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，
AD=40．
求证：△ABC∽△AED．【解答】证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴ = =1.2， = =1.2，
∴ = ，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
综合运用：相似模型总结
1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），
B（0，3）
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝
x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说
明理由．
【解析】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），∴OB=3，AO=4，
∴AB=5；
∵BC⊥AB，BO⊥AC，
BO2 9
AO 4
∴BO2=AO•OC，即OC= ＝ =2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；
（2）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
AP AQ
=
PB QC
∴ ，
∵AP=CQ=x，x 6.25−x
=
∴
5−x x
25
x=
9
解得 ；
125
x=
36
当△APQ与∽△ACB时，同理 解得
答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；
25 125
9 36
（3）存在，x的值为 或 ．
2.如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAG=∠CAG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠CAG=∠B+∠ACB，
∴∠B=∠CAG，
∴∠B=∠CAG，
∴AD∥BC；
（2）解：∵CG⊥AD，
∴∠AFC=∠AFG=90°，
在△AFC和△AFG中，，
∴△AFC≌△AFG（ASA），
∴CF=GF，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BGC，
∴GF：GC=AF：BC=1：2，
∴BC=2AF=2×4=8
3.探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：
（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据 （指出三角形的全等或相
似），可得CE与BD的大小关系为： ．
（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求： 的值；
（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求： 的值．（用k的代数
式表示）
【解析】解：（1）如图1，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．
∴∠CAE=∠BAD．
在△AEC和△ADB中，
．
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE=BD．
（2）如图2，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC= AB，AF= AE，∠CAB=∠FAE=45°．
∴ = = ，∠CAF=∠BAE．
∴△AFC∽△AEB．
∴ = = ．
∴ 的值为 ．
（3）连结FA、CA，如图3，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，
∴∠FEA=∠CBA=90°， = =k．
∴△FEA∽△CBA．
∴ = ，∠FAE=∠CAB．
∴∠FAC=∠EAB．
∴△FAC∽△EAB．
∴ =
∵AC= = = BC．
∴ = = ．
∴ 的值为 ．
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，
BE与CD交于点G
（1）求证：BD∥EF；（2）若 = ，BE=4，求EC的长．
【答案】
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴ = ，
∴CE= =4× =6．
