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第 4 讲 平面直角坐标系
知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，
其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有
序数对，记作（a，b）．
注意：当 时， 和 是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）
一 二 三 四 五 六
列 列 列 列 列 列
一行
二行
C D
三行
A
四行
B
五行
六行
A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
【答案】A.
【解析】解：B的位置是四列五行，表示为（4，5），列数在前，行数在后，
B左侧第二个人的位置是二列五行，表示为（2，5）
故选：A
2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？
(巷)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5(街)【答案】略
【解析】解：2街4巷为点（2，4），4街2巷为点（4，2），如下图所示：
从2街4巷到4街2巷，走最短的路线
从点（2，4）到点（4，2）有6种走法，分别为
1、（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；
2、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
3、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
4、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
5、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
6、（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）．
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；
（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求
各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题
意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找
出符合条件的线段．
【随堂练习】
1．（宁晋县期末）以下描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．万达电影院2排B．距薛城高铁站2千米
C．北偏东30℃D．东经106℃，北纬31℃
【解答】解：A、万达电影院2排，不能确定位置；
B、距薛城高铁站2千米，不能确定位置；
C、北偏东30℃，不能确定位置；D、东经106℃，北纬31℃，能确定位置．
故选：D．
2．（沙河市期末）如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到
达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位
置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：∵点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，
∴（﹣10，20）表示的位置是点A．
故选：A．
3．（定陶区期末）下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．5楼6号 B．北偏东30°
C．大学路19号 D．东经118°，北纬36°
【解答】解：A、5楼6号，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题
意；B、北偏东30°，不是有序数对，能确定物体的位置，故本选项符合题意；
C、大学路19号，“大学路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位
置，故本选项不合题意；
D、东经118°北纬36°，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意．
故选：B．
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做
横轴或 轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或 轴，取向上的方向为
正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．
2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，
每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点
不属于任何象限．3、点的坐标
对于坐标平面内的一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对
应的数 、 分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序实数对 叫做点 的坐标，记作
．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
4、各象限内点的坐标特征
点 在第一象限 ；
点 在第二象限 ；
点 在第三象限 ；
点 在第四象限 ．
【典例】1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长
度的点有____________．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）
【解析】解：设该点坐标为（x，y）
∵满足条件的点到x轴的距离等于2个单位长度，
∴该点纵坐标的绝对值等于2，即 ，
∵到y轴的距离等于3个单位长度，
∴该点横坐标的绝对值等于3，即
∴满足条件的点一共有4个，分别是：
（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2），
2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【答案】三
【解析】解：∵a•b＞0，
∴a、b同号
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴点M（a，b）在第三象限．
故答案为：三
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y
轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于 a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可
得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限
（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．若xy＞0，且x+y＜0，则点P（﹣x，x+y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵xy＞0，且x+y＜0，∴x＜0，y＜0，
∴﹣x＞0，
∴点P（﹣x，x+y）在第四象限．
故选：D．
2．（攀枝花）若点 A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点 B（﹣a，1﹣b）在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
解得：a＜﹣1，b＞2，
则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，
故点B（﹣a，1﹣b）在第四象限．
故选：D．
3．（港南区一模）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，x2+1）所在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 即在 轴上，又在 轴上 ，即点 的坐标为 ．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点 在第一、三象限夹角的角平分线上 ；
点 在第二、四象限夹角的角平分线上 ．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（ ）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
【答案】B.
【解析】解：∵点P（a，b）在x轴上，
∴b=0，
∴ab=0，
∴点Q（ab，﹣1）在y轴负半轴上．
故选：B
2.已知点 P的坐标（2﹣a，3a+6），且点 P在二四象限角平分线上，则点 P的坐标是
_________．
【答案】（6，﹣6）
【解析】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，
∴（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得a=﹣4，
∴横坐标：2﹣a=2﹣（﹣4）=6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y
轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐
标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（赫章县期末）点（2，3），（1，0），（0，﹣2），（0，0），（﹣3，
2）中，不属于任何象限的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：不属于任何象限的点有（0，0），（1，0），（0，﹣2）共3个，
故选：C．
2．（埇桥区期末）点A在x轴上，且到坐标原点的距离是 2，则点A的坐标为
（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2）或（0，2） D．（﹣2，0）或
（2，0）
【解答】解：∵点A在x轴上，且到坐标原点的距离是2，
∴点A的坐标为：（﹣2，0）或（2，0）．
故选：D．
3．（乌拉特前旗期末）已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点Q（﹣a2﹣
1，﹣a+1）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，
∴a＜0，
∴﹣a2﹣1＜0，﹣a+1＞0，
∴点Q在第二象限．
故选：B．
4．（定州市期末）点P（m+3，m+1）在直角坐标系x轴上，则点P坐标为（
）
A．（0，﹣2） B．（0，2 C．（﹣2，0） D．（2，0）
【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系x轴上，
∴m+1=0，
解得m=﹣1，
∴点P坐标为（2，0）．
故选：D．
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A ，逆时针
1
旋转90°后前进2个单位长度到达A ，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A ，…，逆
2 3时针旋转90°后前进个单位长度到达点A，则点A的坐标为________．
【答案】（1009，1010）
【解析】解：如图所示：
∵A（1，0），A（1，2），A（﹣2，2），A（﹣2，﹣2），
1 2 3 4
A（3，﹣2），A（3，4），A（﹣4，4），A（﹣4，﹣4），
5 6 7 8
A（5，﹣4），A （5，6），
9 10
A （﹣6，6）…
11
观察图形规律，一三象限内是偶次数点，其中第三象限的点次数是 4的整数倍，第一象限
的点次数除以4余2；
因为÷4=504……2，所以点A在第一象限；
观察第一象限内点的坐标规律：A （1，2），A （3，4），A （5，6）……，可得A点的
2 6 10
坐标为（1009，1010）．
故答案为：（1009，1010）．
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐
标规律，即可判断点A在第一象限；再观察第一象限内的点A （1，2），A （3，4），
2 6
A （5，6）的规律，发现第一象限内的点A 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以第
10 n
一象限内点A的坐标为 ，所以点A点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．对有序数对（x，y）的一次操作变换记为P （x，y），定义其变换法则如下：
1
P （x，y）=（x+y，x﹣y）；且规定P （x，y）=P （P （x，y））（n为大
1 n 1 n﹣1于1的整数），如P （1，2）=（3，﹣1），P （1，2）=P （P （1，2））=P
1 2 1 1 1
（3，﹣1）=（2，4），P （1，2）=P （P （1，2））=P （2，4）=（6，﹣
3 1 2 1
2），则P（1，﹣1）=（ ）
A．（0，21007）B．（21007，﹣21007） C．（21008，﹣21008） D ． （ 0 ，
21008）
【解答】解：P （1，﹣1）=（0，2），
1
P （1，﹣1）=P （P （1，﹣1））=P （0，﹣2）=（2，﹣2），
2 1 1 1
P （1，﹣1）=P （P （1，﹣1））=P （2，﹣2）=（0，4）=（0，22），
3 1 2 1
P （1，﹣1）=P （P （1，﹣1））=P （0，4）=（4，﹣4）=（22，﹣22），
4 1 3 1
P （1，﹣1）=P （P （1，﹣1））=P （22，﹣22）=（0，23），
5 1 4 1
…，
P（1，﹣1）=（ 21008，﹣21008）．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O 、O 、O ，…组
1 2 3
成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个
单位长度，则第秒时，OP的长度是（ ）A．1008 B．1009 C．D．1008π
【解答】解：设第n秒运动到P （n为自然数）点，
n
观察，发现规律：P （ ， ），P （1，0），P （ ，﹣ ），P （2，0），P
1 2 3 4 5
（ ， ），…，
∴P （ ， ），P （2n+1，0），P （ ，﹣ ），P （2n+2，
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0）．
∵=4×503+4，
∴P为（1008，0）．
∴OP=1008，
故选：A．
3．（广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O
出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走
路线如图所示，第1次移动到A ，第2次移动到A ，…，第n次移动到A ．则
1 2 n
△OA A的面积是（ ）
2
A．504m2 B． m2C． m2D．1009m2【解答】解：由题意知OA =2n，
4n
∵÷4=504…2，
∴OA= +1=1009，
∴A A=1009﹣1=1008，
2
则△OA A的面积是 ×1×1008=504m2，
2
故选：A．
综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
【答案】九年级六班
【解析】解：根据（7，3）表示七年级三班，即第1个数表示年级，第2个数表示班级，
所以（9，6）表示九年级六班．
2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如
果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同
样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→
（_______） → （1，3）．（答案不唯一）
【答案】（2，1）；（2，2）；（2，3）
【解析】解：答案不唯一．3.已知点 A（3a，2b）在 x 轴上方，y 轴的左边，则点 A 到 x 轴、y 轴的距离分别为
____________．
【答案】2b， ﹣3a
【解析】解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是﹣3a
所以点A到x轴的距离是2b，到y轴的距离是﹣3a
故答案为：2b， ﹣3a
4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
【答案】三
【解析】解：∵点（a，b）在笫二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，a﹣b＜0，
∴点（ab，a﹣b）在第三象限．
故答案为：三
5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形
（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第 41个正方形（实线）四条边上
的整点个数共有_______个．
【答案】164
【解析】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有a（n为正整数）个，
n
观察，发现：a=4，a=8，a=12，a=16，…，
1 2 3 4
∴a=4n．
n当n=41时，a =41×4=164．
41
所以从里向外第41个正方形四条边上的整点个数共有164个
故答案为：164．
6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一
次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点
（2，﹣1），…，按照这样的规律，第次到达点的坐标应为_______．
【答案】（673，0）
【解析】解：设第n次到达的点为P，
n
观察，发现规律：P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），
0 1 2 3 4
P（2，0），P（2，1），…，
5 6
蚂蚁移动6次是一个循环，每个循环向右移动2个单位
∵÷6=336……2
∴点P是由点P（1，0）向右经过336个循环后得到的
2
∴点P的坐标为（2×336+1，0）即（673，0）．
故答案为：（673，0）．
7.请写出点A，B，C，D，的坐标．
【答案】略
【解析】解：A（3，2）；B（﹣3，4）；C（﹣4，﹣3）；D（3，﹣3）．
8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在x轴上，
∵m+7=0，
m=﹣7；
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣1与m+7互为相反数
即：2m﹣1+m+7=0，
∴m=﹣2；
9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在第三象限的角平分线上
∴4x与 x﹣3相等，即4x=x﹣3，
解得x=﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1．
（2）∵点P在第四象限
∴4x>0，x﹣3<0
∵点P到两坐标轴的距离之和为9
∴4x+[﹣（x﹣3）]=9，
解得x=2，
此时点P的坐标为（8，﹣1），
∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2．
10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的
坐标．
【答案】略
【解析】解：点M的坐标为（2﹣a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，
（1）当点M在一、三象限时，
2﹣a=3a+6，
解得：a=﹣1，
M点坐标为（3，3）
（2）当点M在二、四象限时，（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得：a=﹣4，
M点坐标为（6，﹣6）．
∴M点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
