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第 5 讲 坐标方法的简单应用
知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我
们能看到许多这种方法的应用，如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院
的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一个
坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，
1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
【答案】（1，﹣3）
【解析】解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣
1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
【答案】
【解析】解：（1）汽车站（1，1），消防站（2，﹣2）；
（2）小英经过的地方：游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局．
【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位
置的坐标，主要是先确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标
轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出了平面直角坐标系，那我们只需要按
照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（怀集县期末）如图，在一座高层的商业大厦中，每层的摊位布局基本相同．若第六层
高档服装销售摊位可表示为 ，2， ，则第六层的手表摊位可表示为
A． ，2， B． ，4， C． ，3， D． ，4，
【解答】解： 高档服装销售摊位的横纵坐标分别为：2，3，
第六层高档服装销售摊位可表示为 ，2， ，手表摊位的横纵坐标分别为：4，5，
第六层的手表摊位可表示为： ，4， ．
故选： ．
2．（武安市期末）根据下列表述，能确定具体位置的是
A．奥斯卡影院2号厅3排 B．武安市富强大街
C．东经 D．舍利塔北偏东 ， 处
【解答】解： 、奥斯卡影院2号厅3排，不能确定具体位置，故本选项错误；
、武安市富强大街，不能确定具体位置，故本选项错误；
、东经 ，不能确定具体位置，故本选项错误；
、舍利塔北偏东 ， 处，能确定具体位置，故本选项正确．
故选： ．
3．（庐江县期末）小明家位于公园的正东 处，从小明家出发向北走 就到小华
家，若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为 轴、 轴正方向建立平面直角坐标
系，规定一个单位长度代表 长，则公园的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：公园的坐标是： ．
故选： ．
4．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点 ， ．则“宝藏”
点 的坐标是A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可建立如图所示坐标系，
则“宝藏”点 的坐标是 ，
故选： ．
5．（昌平区二模）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标
，长陵的位置坐标 ，则定陵的位置坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：根据庆陵的位置坐标 ，长陵的位置坐标 ，
建立直角坐标系，如图所以定陵的位置坐标为 ，
故选： ．
6．（沈河区期末）如图， 象棋盘上， 若“将”位于点 ，“车”位于点
，则“马”位于点
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 如图所示： “马”位于点 ．
故选： ．
7．（东莞市期末）会议室“ 2 排 3 号”记作 ，那么“ 3 排 2 号”记
作
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 会议室“ 2 排 3 号”记作 ，那么“ 3 排 2 号”记作，
故选： ．
8．（阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用 表示左眼，用 表示右
眼”，那么嘴的位置可以表示成
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
嘴的位置可以表示成 ．
故选： ．
9．（冠县期末）下列说法中，能确定物体位置的是
A．天空中的一只小鸟 B．电影院中18座
C．东经 ，北纬 D．北偏西 方向
【解答】解： 、天空中的一只小鸟，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不
合题意；
、电影院中18座，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不符合题意；
、东经 北纬 ，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项符合题意．
、北偏西 方向，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不合题意；
故选： ．
知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段 MN 平行于 x 轴，且 MN 的长度为 5，若 M（2，﹣2），则点 N 的坐标．
【答案】（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【解析】解：MN平行于x轴，故N的纵坐标不变，是﹣2，
点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5=﹣3，
点N在点M的右边时，横坐标为2+5=7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平
行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐标相同。
【随堂练习】
1．（崇川区校级月考）点 ，以 为圆心，5为半径画圆交 轴负半轴的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： 点 ，以 为圆心，5为半径画圆交 轴负半轴的坐标是 ，
故选： ．
2．（监利县期末）经过点 与点 的直线平行于 轴，且点 到 轴的距离
等于5，则点 的坐标是
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【解答】解： 经过点 与点 的直线平行于 轴，
点 的纵坐标和点 的纵坐标相等．
．
点 到 轴的距离为5，
．
得： ．
点 的坐标为 或 ．故选： ．
3．（浦东新区期末）平面直角坐标系中，到 轴距离为2， 轴距离为2的点有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 平面直角坐标系中，到 轴距离为2， 轴距离为2的点横坐标为2或 ，
纵坐标为2或 ，
所求点的坐标为 或 或 或 ．
故选： ．
4．（张店区二模）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 ， ， 的横、纵坐
标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点 ， ， 的横、
纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：
①上午派送快递所用时间最短的是甲；
②下午派送快递件数最多的是丙；
③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．② D．②③
【解答】解：从图可知以下信息：
上午送时间最短的是甲，①正确；
下午送件最多的是乙，②不正确；
一天中甲送了65件，乙送了75件，③正确；
故选： ．
5．（行唐县期末）已知点 ， ， ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法判断
【解答】解： 点 ， ，
，， ，
，
．
故选： ．
6．（开福区校级期末）如图所示，长方形 中， ， ， ，则点
的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： 长方形 中， ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为3，
点 的坐标为 ．
故选： ．
7．（邵东县期末）如图， 顶点 的坐标是 ，过点 作 边上的高线 ，
则垂足 点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 轴，
轴，点 的坐标是 ，
点 的横坐标为 ，
点 在 轴上，
点 的纵坐标为0，
点 的坐标为 ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
8．（江汉区期末）点 是 轴上位于原点左侧的一点，且与点 的距离为3个单位长
度，则点 的坐标为 ．
【解答】解： 点 在 轴上，位于原点的左侧，与点 的距离为3个单位长度，
点 的坐标是 ，
故答案为：
9．（官渡区期末）已知 轴，点 的坐标为 ，并且 ，则点 的坐标为
或 ．
【解答】解：如图：轴，点 的坐标为 ，
点 的纵坐标为
点 的横坐标为2或
则点 的坐标为 或
故答案为： 或
知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相
应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣
1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x ，y ）平移后的对应点为
1 1
P′（x+6，y+4）.
1 1
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
【答案】【解析】解：（1）∵△ABC 中任意一点 P（x ，y ）平移后的对应点为 P′（x+6，
1 1 1
y+4），
1
∴平移后对应点的横坐标加6，纵坐标加4，
∴△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4
个单位，再向右平移6个单位得到△A′B′C′；
（2）由（1）可知，A′（2，3），C′（5，1）；
（3）如图所示，S =3×4﹣ ×1×3﹣ ×1×4﹣ ×2×3=5.5．
△A′B′C′
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系
内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图
形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数
a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【随堂练习】
1．（华蓥市期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将点 向右平移3个单位
长度后得到 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
2．（汉阳区期末）点 向右平移 个单位后到 轴的距离等于到 轴的距离，
则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（古冶区期末）将点 向上平移4个单位，再向左平移4个单位得到点 ，则下
列说法不正确的是
A．点 的坐标为
B．点 在第三象限
C．点 的横坐标与纵坐标互为相反数
D．点 到 轴与 轴的距离相等
4．（天津期末）在平面直角坐标系中，将点 向右平移5个单位长度后，那么平移后对应的点 的坐标是
A． B． C． D．
5．（青岛期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ，如果将
先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到△ ，那么点 的对应点 的
坐标是
A． B． C． D．
6．将点 先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点 ，则点
的坐标是
A． B． C． D．
7．（孝义市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别是 ，
， ，将三角 沿一确定方向平移得三角形 ， ， ，点 的对应点
的坐标是 ，则点 ， 坐标分别是A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（天台县期末）把平面直角坐标系中的一点 向上平移2个单位长度后，点 的
对应点 刚好落在 轴上，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P
（﹣1，2）关于直线m的对称点的坐标为_______．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
【方法总结】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握（1）关于x轴对称：横坐
标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相
反数．（3）关于直线对称：①关于直线 x=m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，
b），②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）是解题的关键．
【随堂练习】
1．（南开区期末）已知点 和点 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线 对
称，则平面内点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：设点 的横坐标为 ，
点 与点 关于直线 对称，，
解得 ，
点 、 关于直线 对称，
点 、 的纵坐标相等，
点 ．
故选： ．
2．（德州一模）如图， 的顶点都在正方形网格格点上，点 的坐标为 ．将
沿 轴翻折到第一象限，则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：由 点坐标，得 ．
由翻折，得 与 关于 轴对称， ．
故选： ．
3．（潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置
用 表示，右下角方子的位置用 表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有
棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是
A． B． C． D．【解答】解：棋盘中心方子的位置用 表示，则这点所在的横线是 轴，右下角方子
的位置用 ，则这点所在的纵线是 轴，则当放的位置是 时构成轴对称图形．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
4．（临沂）在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
【解答】解： 点 ，
点 到直线 的距离为 ， 点 关于直线 的对称点 到直线 的距离
为3，
点 的横坐标为 ，
对称点 的坐标为 ．
故答案为： ．
知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，
A、B 两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转
90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是____．【解答】解：如图所示，将线段AB绕点A逆时针旋转90°后，可得B 的坐标为
1
（﹣2，1）
再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B 的坐标是（﹣2，﹣3），
2
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要
结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是
作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【随堂练习】
1．（孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点 顺时针旋转 得到点 ，
则 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：作 轴于 ，如图，，
， ，
点 绕原点 顺时针旋转 得到点 相当于把 绕原点 顺时针旋转 得
到△ ，
， ， ， ，
点 的坐标为 ．
故选： ．
2．（青岛）如图，将线段 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋
转 ，得到线段 ，则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：将线段 先向右平移5个单位，点 ，连接 ，顺时针旋转 ，则
对应坐标为 ，
故选： ．3．（湖北模拟）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，将点 绕原点 顺时针旋转
得到点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，由旋转可得： ， ，
，而 ，
△ ，
， ，
点 的坐标为 ，
故选： ．
4．（江门期末）如图， 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：作线段 、 、 的垂直平分线，它们相交于点 ，如图，所以 是由 绕着点 逆时针旋转 得到的．
故选： ．
5．（青岛模拟）如图，点 ， 的坐标分别为 、 ，将 绕点 按逆时针方
向旋转 ，得到△ ，则 点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：
根据图形可得： ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
6．（邵阳）如图，将等边 放在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在第一象限，将等边 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则点 的坐标是
．
【解答】解：作 轴于 ，如图，
为等边三角形，
， ，
，
点坐标为 ， ，
等边 绕点 顺时针旋转 得到△ ，
点 的坐标是 ．
故答案为 ．
7．（海沧区校级月考）点 的坐标为 ， ，现将线段 绕着点 逆时针旋转
得到线段 ，则 坐标为 ．
【解答】解：如图，过点 作 轴
，
由勾股定理可知
将 逆时针旋转后， 与 轴重合综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200
米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是
．
【答案】超市
【解析】解：∵（﹣100，﹣200）表示从点O出发，先向西走100米，再向南走200米，
∴（300，200）表示从点O出发，先向东走300米，再向北走200米，
∴（300，200）表示的地点是超市，
故答案为：超市．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐
标为 ．
【答案】（﹣5，3）或（3，3）
【解析】解：∵AB∥x轴，
∴A、B两点纵坐标都为3，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（﹣5，3），
当B点在A点右边时，B（3，3）；
故答案为：（﹣5，3）或（3，3）．3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
【答案】2
【解析】解：∵点A（m，3），点B（2，n），且AB∥y轴，
∴m=2，n≠3．
故答案为2．
4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
【答案】﹣1或9
【解析】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．
故x=﹣1或9．
故答案为：﹣1或9．
5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至AB ，A 、B 的坐
1 1 1 1
标分别为（2，a）、（b，3），则 = ．
【答案】1
【解析】解：由点A（1，0）的对应点（2，a）知线段AB向右平移1个单位，
由点B（0，2）的对应点（b，3）知线段AB向上平移1个单位，
所以a=0+1=1、b=0+1=1，
则 =1，
故答案为：1．
6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C
恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为 ．【答案】（3，3）
【解析】解：∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），
∴AB=3，AO=4，
设C纵坐标为a，
∵四边形ABDC的面积为9，
∴3a=9，
∴a=3，
∴C（0，3），
∴平移的方式为：右移4个单位、上移3个单位，
则D点坐标为（﹣1+4，0+3），即（3，3），
故答案为：（3，3）．
7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，
3）的对应点D的坐标是 ．
【答案】（2，2）
【解析】解：∵点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），
∴A点向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度.
∵点B（0，3），
∴B的对应点D的坐标是（0+2，3﹣1），即（2，2）
故答案为：（2，2）．
8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如
图所示．可是他忘记了在图中标出原点和 x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣
2），（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间
的实际距离．
【答案】
【解析】解：（1）如图，
坐标原点在F点，A（0，4）、B（﹣3，2）、C（﹣2，﹣1）、E（3，3）、F（0，0）
（2）AF=400米．
9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室
在4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）3楼7门的是 ．【答案】
【解析】解：（1）儿科诊室可以表示为（2，4）．
故答案为（2，4）．
（2）口腔科诊室在1楼、7门．
故答案为1、7．
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有外科．
故答案为外科．
（4）与神经科诊室同楼层的有儿科、妇科．
故答案为儿科、妇科．
（5）表示为（1，2）的诊室内科．
故答案为内科．
（6）表示为（3，5）的诊室是骨科．
故答案为骨科．
（7）3楼7门的是皮肤科．
故答案为皮肤科．
10.三角形 ABC 与三角形 A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形
A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形 A′B′C′内的对应点为
P′，写出点P′的坐标．【答案】
【解析】解：（1）A′（﹣3，1）B′（﹣2，﹣2）C′（﹣1，﹣1）；
（2）△ABC向左平移4个单位，向下平移2个单位得到△A′B′C′；
（3）点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2）．
11.△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点 P（x，y）是△ABC 内部一点，则△A'B'C'内部的对应点 P'的坐标为
；
（4）求△ABC的面积．
【答案】
【解析】解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积=2×3﹣ ×1×3﹣ ×1×1﹣ ×2×2=6﹣1.5﹣0.5﹣2
=2．
