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第 9 讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解：把（1，1），（2，﹣4）代入y=kx+b，
{&k+b=1
得 ，
&2k+b=-4
解得k=﹣5，b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6，
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹
跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解：观察表格可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k、b是常数，
k≠0），
{&30k+b=50
则 ，
&45k+b=80
{&k=2
解得 ，
&b=-10
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10．3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正
方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作
AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S =4+1=5，
AOB
△
1
∴ OB•AB=5，
2
10
∴AB= ，
3
10
∴OC= ，
3
10
由此可知直线l经过（﹣ ，3），
3
设直线方程为y=kx（k≠0），
10
则3=﹣ k，
3
9
k=﹣ ，
10
9
∴直线l解析式为y=﹣ x，
10
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求
出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比
例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（宁德期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（
）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 6 9 …
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：将（﹣2，0），（﹣1，3）代入y＝kx+b，得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝3x+6．
∵3＞0，6＞0，
∴一次函数y＝3x+6的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
2．（长安区一模）已知等腰△OAB的面积为3，其底边OB在x轴上，且点B的坐标为
（2，0），点A在第四象限，则OA所在的直线的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝ x D．y＝﹣ x
【解答】解：设A（m，n）（m＞0，n＜0），
∵等腰△OAB的面积为3，
∴ ×2×|n|＝3，解得n＝﹣3，
∵AB＝AO，
∴m＝1，
∴A（1，﹣3），
设直线OA的解析式为y＝kx，
把A（1，﹣3）代入得k＝﹣3，
∴直线OA的解析式为y＝﹣3x．
故选：B．
3．（荔湾区校级模拟）能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）A．y＝2x+2 B．y＝﹣2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝2x﹣2
【解答】解：设该一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵点（﹣1，0）、（0，2）在此一次函数的图象上，
∴ ，解得 ，
即该一次函数解析式为y＝2x+2．
故选：A．
4．（乐亭县期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积
为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
【解答】解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b＝3．
∵这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴ ×3×|a|＝3，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，则函数的解析式是y＝﹣1.5x+3；
把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．
故选：C．
5．（白山期末）若点P（﹣1，3）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达
式为（ ）
A．y＝﹣3x B．y＝ x C．y＝3x﹣1 D．y＝1﹣3x
【解答】解：设过原点的直线解析式为y＝kx，
将点P（﹣1，3）代入，得3＝﹣k，解得k＝﹣3
∴直线解析式为：y＝﹣3x．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
6．（铜仁市期末）试写出经过点A（1，2）的一个一次函数表达式 y ＝ x +1 （答案不唯一） ．
【解答】解：设函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
可设k＝1，将A（1，2）代入函数关系式，得b＝1
因此一次函数表达式为y＝x+1
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
7．（东丽区一模）已知一次函数 y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，
则它的解析式为 y ＝ 2 x + 4 ．
【解答】解：将（﹣1，2）、（0，4）代入y＝kx+b，得：
，解得： ，
∴该一次函数的解析式为y＝2x+4．
故答案为：y＝2x+4．
三．解答题（共2小题）
8．（雨花区校级期末）已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，求它的解析式以及
该直线与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2＝2k﹣4，解得k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣4．
∵当y＝0时，x＝4；
当x＝0时，y＝﹣4，
∴该直线与x轴交点的坐标是（4，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．
9．（平谷区期末）如图，一次函数y＝kx+4的图象交x轴于点A（2，0），与y轴交于B
点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求线段AB的长．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4过A（2，0）
∴2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数表达式y＝﹣2x+4
（2）令x＝0，得y＝4
∴B （0，4）∴OB＝4，OA＝2
∴AB＝
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横
坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，
纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对
称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图
象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解：把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+3）﹣2﹣2=﹣2x﹣10．
故选答案为y=﹣2x﹣10.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴
作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4
【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=5x+6；
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=-5x+4，即y=5x﹣4．
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；
令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°
变为（3，0）．设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
{&-1=2k+b
则有 ，
&0=3k+b
{&k=1
解得： ．
&b=-3
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某
点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某
点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（松北区期末）将直线 平移后，得到直线 ，则原直线
A．沿 轴向上平移了8个单位 B．沿 轴向下平移了8个单位
C．沿 轴向左平移了8个单位 D．沿 轴向右平移了8个单位
【解答】解： 将直线 平移后，得到直线 ，
而 ，
原直线沿 轴向上平移了8个单位，
故选： ．
2．（邓州市期末）将直线 怎样平移可以得到直线
A．向上平移2个单位 B．向上平移3个单位
C．向下平移2个单位 D．向下平移3个单位
【解答】解：根据上加下减的平移原则，直线 可以看作是由直线 向上平
移3个单位得到的；
故选： ．
3．（锦江区期末）将一次函数 的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解
析式为
A． B． C． D．
【解答】解：将一次函数 的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为： ，
故选： ．
4．（翔安区模拟）如果将直线 平移后得到直线 ，那么下列平移过程
正确的是
A．将 向左平移2个单位 B．将 向右平移2个单位
C．将 向上平移2个单位 D．将 向下平移2个单位
【解答】解：将函数 的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式
是 ．
故选： ．
5．（罗庄区期末）把直线 向上平移 个单位后，与直线 的交点在第二
象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：直线 向上平移 个单位后可得： ，
联立两直线解析式得： ，
解得： ，
即交点坐标为 ， ，
交点在第二象限，
，
解得： ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）6．（天河区期末）把直线 沿着 轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式
为 ．
【解答】解：把直线 沿着 轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为
，即 ．
故答案为： ．
7．（石景山区期末）直线 向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为
．
【解答】解：直线 向上平移 2 个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：
．
故答案为： ．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时
发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的 2倍按原路返回，
乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇 22.5千米处追上甲后同车前
往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．【答案】
【解析】解：（1）设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx（k≠0），
∵点A（20，18）在直线OA上，
∴18=20k，
9
∴k= ．
10
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，
∴点B的坐标为（30，0），点C的坐标为（35，0）．
9
设线段CD所在直线对应函数关系式为y= x+b，
10
∵点C（35，0）在线段CD上，
9
∴0= ×35+b，
10
63
∴b=﹣ ，
2
9 63
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y= x﹣ ．
10 2
9 63
当y=45时，有 x﹣ =45，
10 2
解得：x=85，
9 63
∴线段CD对应函数关系式为y= x﹣ （35≤x≤85）．
10 2
（2）45﹣22.5=22.5（千米），
9 63
当y=22.5时，有 x﹣ =22.5，
10 2
解得：x=60．
甲步行的速度为（22.5﹣18）÷（60﹣20）=0.1125（千米/分）．
答：甲步行的速度为0.1125千米/钟．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费 y
（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【答案】
【解析】解：（1）当0≤x≤50时．图象经过（0，0），（50，26）．
可设函数解析式为y=kx（k≠0）．
代入（50,26），得50k=26，
13
解得k= ，
25
13
∴y= x（0≤x≤50）．
25
当x≥50时．图象经过（50，26），（80，48），
可设函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）．
11
{&k=
{&50k+b=26 15
则有 ，解得 ，
&80k+b=48 32
&b=-
3
11 32
∴y= x﹣ ．
15 3
11 32
（2）当x=65时，65＞50，y= ×65﹣ =37．
15 3
答：该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实
际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数
图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（湖北）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行
驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达 B地并停留1h后，再以原速按
原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离 y（km）与乙车行
驶时间 x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是
120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．
则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达 B，用时4小时，每小时比甲快 40km，
则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距 80km，到两车相遇用时 80÷（120+80）=0.4 小时，则
n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选：B．
2．（咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行
2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 4分钟，在整个步行过程中，
甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列
结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选：A．
3．（沙坪坝区校级二模）一辆货车从 A地匀速驶往相距350km的B地，当货
车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速
驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车
到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离
y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．
则货车到达B地后，快递车再行驶_____h到达A地．
【解答】解：由题意货车的速度=350﹣270=80km/h，设快递车的速度为
xkm/h，
则有：3（80+x）=270×2，
解得x=100，
∴两车相遇后，快递车需要 =3.2小时到达A地，货车需要 = 小时到达B
地，
∴货车到达B地后，快递车再行驶3.2﹣ = h到达A地．
故答案为 ．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y 元，方案B的收费金额为y 元，分别写出y ，y 关于x的
1 2 1 2
函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）方案A的收费：
①当0≤x≤25时，y=30；
1
②当x＞25时，y=30+0.05×60×（x﹣25），即y=3x﹣45；
1 1
方案B的收费：
①当0≤x≤50时，y=50；
2
②当x＞50时，y=50+0.05×60×（x﹣50），即y=3x﹣100；
2 2
（2）当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费，理由如下：
∵当35＜x＜50时，y=3x﹣45，y=50，
1 2
∴y﹣y=3x﹣45﹣50=3x﹣95，即y=3x﹣95．
1 2
∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x=35时，y=10，
∴当35＜x＜50时，y＞10，
∴y＞y，
1 2
∴当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，
计算出y﹣y 的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
1 2
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出
函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（内黄县期末）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化
树苗，现有两种运输方式可供选择
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用 （元 ， （元 与运输路程 （公里）间的
函数关系式
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？【解答】解：（1）由题意得： ； ；
（2）令 ，解得 ，
所以当运输路程小于200公里时， ，选择邮车运输较好，
当运输路程等于200公里时， ，两种方式一样，
当运输路程大于200公里时， ，选择火车运输较好．
2．（梧州一模）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树
节期间，学校组织七年级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树 100棵，乙
班共植树120棵，两班完成植树任务所用时间相同，且甲班每天比乙班少植树5棵．
（1）问甲、乙两班每天各植树多少棵？
（2）学校计划购进桂花树苗和榕树苗共200棵，桂花树苗每棵80元，榕树苗每棵70元．
设桂花树苗买了 棵，购买两种树苗所需总费用为 元，求 与 的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花
树苗多少棵时总费用最低？
【解答】解：（1）设乙班每天植树 棵，则甲班每天植树 棵，依题意得：
，
解得： ，
检验：把 ，代入 ，
是原方程的解，
（棵 ；
（2）依题意得： ；
（3）依题意得： ，
解得： ，
，且 为整数，
，
随 的增大而增大，
则当 时， 有最小值；答：（1）甲班每天植树25棵，乙班每天植树30棵；
（2） 与 的函数表达式为 ；
（3）桂花树苗购买134棵时总费用最低．
3．（南山区期末）某校为奖励该校在南山区第二届学生技能大赛中表现突出的 20名同学，
派李老师为这些同学购买奖品，要求每人一件，李老师到文具店看了商品后，决定奖品在
钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1
支钢笔，则需57元．
（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？
（2）售货员提示，购买笔记本没有优惠：买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过
10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买 支钢笔，所需费用为 元，请你求
出 与 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低．
【解答】解：（1）设笔记本，钢笔单价分别为 ， 元，根据题意得
解得 ， ，
答：笔记本，钢笔单价分别为14元，15元；
（2） ；
（3）买20本笔记本费用： 元；
买20支钢笔费用： 元，
所以买钢笔费用低．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以
推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解：设L与x之间的关系式是L=ax+b（a、b是常数，a≠0），
当x=0，L=20时，当x=1，L=22时，得{&b=20 {&a=2
，解得 ，
&a+b=22 &b=20
L与x之间的关系式是L=2x+20，
故答案为L=2x+20，
2.在平面直角坐标系中，将直线 l ：y=﹣2x+4平移后得到直线l ，l 与x轴交于点（4，
1 2 2
0），则平移方式可以是_______________.
【答案】将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
【解析】解：设直线l 的解析式为y=﹣2x+b，将（4，0）代入，
2
得0=﹣2×4+b，解得b=8，
则直线l 的解析式为y=﹣2x+8（l 沿y轴向上平移4个单位得到）．
2 1
∵l：y=﹣2x+4=﹣2（x﹣2），
1
l：y=﹣2x+8=﹣2（x﹣4），
2
∴l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l，
1 2
∴将l 沿y轴向上平移4个单位或将l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l．
1 1 2
故答案为：将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知
△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
【答案】
4 4
【解析】解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣ ，则A（﹣ ，0），
k k
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
1 4 4
所以 ·（﹣ ）·4=10，解得k=﹣ ，
2 k 5
4
所以直线解析式为y=﹣ x+4．
5
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；【答案】
【解析】解：（1）∵直线向右平移2个单位，
∴平移后的解析式为：y=2（x﹣2）+1=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3；
（2）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
1
∴A（0，1），B（﹣ ，0）．
2
1
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，﹣1），B′（ ，0），
2
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
{
&b=-1
{&k=2
∴ 1 ，解得 ，
& k+b=0 &b=-1
2
∴直线解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的
值.
【答案】
【解析】解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，
2
解得x= ；
k
6
令y=3，x= ；
k
1 2 6
当k＜0时，四边形的面积是： [（1﹣ ）+（1﹣ ）]×4=12，
2 k k
解得k=﹣2；
即k的值为﹣2．
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车
从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的
距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快
车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
【答案】
【解析】解：（1）由图象可得，
长春到吉林的距离为450千米，
普通快车到达吉林所用时间为：450÷（150÷2.5）=7.5（时），
故答案为：450，7.5；
（2）设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b（k、b是常数，k≠0），
{&b=450
根据图像可得 ，
&2.5k+b=150
{&k=-120
解得 ，
&b=450
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450；
（3）设长春与铁路桥之间的距离是x千米，
x=﹣120×（2.5﹣0.5）+450=﹣240+450=210，
答：长春与铁路桥之间的距离是210千米．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA
和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多
少元？
【答案】
【解析】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y=kx，则2k=20，解得k=10，
∴直线OA解析式为y=10x（0≤x≤2），∴买1千克时，付款金额为y=10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y=tx+b，
{&2t+b=20 {&t=8
∴ ，解得 ，
&4t+b=36 &b=4
∴直线AB解析式为y=8x+4（x＞2），
∴当x=5时，y=44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44=6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调
查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉
的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，
且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使
种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】
{ 130x(0≤x≤300)
【解析】解：（1）y= .
&80x+15000(x＞300)
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000﹣a）m2．
{&a≥200
∴ ，
&a≤2(1200-a)
∴200≤a≤800
当200≤a＜300时，W=130a+100（1200﹣a）=30a+120000．
1
当a=200 时．W =126000元；
min
当300≤a≤800时，W=80a+15000+100（1200﹣a）=135000﹣20a．
2
当a=800时，W =119000元.
min
∵119000＜126000∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400（m2）．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，
最少总费用为119000元．
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，
3 5
点O恰好落在BC边上的点E处，若OC= ，A点坐标为（ ，0），求线段AD所在直线
2 2
的解析式．
【答案】
【解析】解：∵四边形OABC是长方形，
3
∴AB=OC= ，
2
5
∵A（ ，0），
2
5
∴OA=BC= ，
2
5
设OD=t，由折叠的性质可得DE=OD=t，OA=AE= ，
2
3
∴CD= ﹣t，
2
在Rt ABE中，由勾股定理可得BE2=AE2-AB2，
即BE
△
2=(
5
)
2-( 3
)
2=4，
2 2
∴BE=2.
5 1
∴CE=BC﹣BE= ﹣2= ，
2 2
在Rt CDE中，由勾股定理可得DE2=CD2+CE2，
△3 1 5
∴t2=（ ﹣t）2+（ ）2，解得t= ，
2 2 6
5
∴D（0， ），
6
设直线AD的解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），5 1
{& k+b=0 {&k=-
2 3
∴ ，解得 ，
5 5
&b= &b=
6 6
1 5
∴直线AD的解析式为y=﹣ x+ ．
3 6
