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专题 19.1 一次函数中的含参问题
◆ 典例分析
【典例1】定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n(n>0)的点，叫做该
函数图象的“n阶和点”.例如，(2,1)为一次函数y=x−1的“3阶和点”．
（1）若点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ______ ，n= ______ ；
（2）若y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y=nx−4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法和“n阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨
论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再
利用已知条件即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的点，
∴−m=−1，
∴m=1，
∵点(−1,−1)到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“2阶和点”，
∴n=2．
故答案为：1；2；
（2）设一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为(a,b)，则|a)+|b)=5，b=a+3，
一次函数y=x+3图象经过第一、二、三象限，
当(a,b)在第一象限时，a+b=5，
∴a=1，b=4，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为（1,4），
∴k−2=4，
∴k=6；
当(a,b)在第二象限时，−a+b=5，由于b=a+3，此种情形不存在；当(a,b)在第三象限时，−a−b=5，
∴a=−4，b=−1，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为(−4,−1)，
∴−4k−2=−1，
1
∴k=− ．
4
1
综上，y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，k的值为6或− ；
4
（3）由题意得：n>0，
∵−4<0，
∴y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，
设M(x，y)为y关于x的一次函数y=nx−4的图象的“n阶和点”，
∴|x)+|y)=n，
①当M在第一象限时，x+ y=n，
∴x+nx−4=n，
n+4
∴x= ，
n+1
∵n>0，
∴n+1>0，n+4>0，
∴x>0，符合题意，
∴当M在第一象限时，n>0；
②当M在第三象限时，−x−y=n，
∴−x−nx+4=n，
4−n
∴x= <0，
n+1
∵n>0，
∴n+1>0，
∴4−n<0，
∴n>4；
∴当M在第三象限时，n>4；
③当M在第四象限时，x−y=n，
∴x−nx+4=n，n−4
∴x= >0，
1−n
∴14；
当满足①③不满足②时，14或1−2 C．k≥ 或k≤−2 D．k≥ 或k<−2
3 3 3 3
【思路点拨】
本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；
3 3
根据y=|2x−3)的非负性得x≥ 或x≤ 两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结
2 2论；
【解题过程】
(3 )
解：图象如图所示：设A ,0 ,
2
3
当x≥ 时，2x−3≥0，
2
∴ y=|2x−3)=2x−3，
3
当x≤ 时，2x−3≤0，
2
∴ y=|2x−3)=3−2x，
{ y=2x−3 ( x≥ 3) )
2
∴
( 3)
y=−2x+3 x≤
2
∵y=kx−1过点B(0,−1)，当y过l 处，即同时过A、B时，
1
(3 )
将A ,0 代入y=kx−1得：
2
2
解得：k=
3
2
∴当k≥ 时，y=kx−1的图象与G在第一象限有交点，
3
k<0时，当l 与y=−2x+3平行时，y=kx−1的图象与G无交点，
2
∴ k=−2，
∴ k<−2时，y=kx−1的图象与G在第二象限有交点，
故选：D
4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数y=kx+3(k≠0)，当k≤x≤m时，a≤ y≤b，若a+b的最小值为
2，则m的值为（ ）A．±2 B．2 C．±4 D．4
【思路点拨】
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析k>0和k<0时导出
1 2 1
a+b=km+k2+6，根据最小值可得km+k2最小值为−4，通过配方得到y=km+k2=(k+ m) − m2，
2 4
再根据k≤x≤m确定m的取值．
【解题过程】
解：当k>0时，x=k，y=kx+3=k2+3=a，当x=m，y=km+3=b，
∴a+b=km+k2+6，
当k<0时，x=k，y=kx+3=k2+3=b，当x=m，y=km+3=a，
∴a+b=km+k2+6，
∵a+b的最小值为2，
∴km+k2最小值为−4，
1 2 1
∴y=km+k2=(k+ m) − m2，
2 4
1 1
当k=− m时，y取得最小值−4，即− m2=−4，
2 4
∴m=±4，
由题意知k≤x≤m，所以km，不符合题意舍去，
当m=4时，k=−2，满足题意，
故选：D
5．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数y=(k−3)x+k（k为常数），有下列结论：①当k≠3时，
此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图像必经过点(−1,3)；③若图像经过二、三、四象限，则k的
取值范围是k<0；④若函数图像与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是00，即可
求解．【解题过程】
解：①根据一次函数定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数为一次函数，
∴ k−3≠0，
∴ k≠3，
故①正确；
②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，
∴无论k取何值，函数图像必经过点(−1,3)，
故②正确；
③∵图像经过二、三、四象限，
{k−3<0)
∴ ，
k<0
解不等式组得：k<0，
故③正确；
k
④令y=0，则x=− ，
k−3
∵函数图像与x轴的交点始终在正半轴，
k
∴ − >0，
k−3
k
∴ <0，
k−3
{ k>0 )
经分析知： ，
k−3<0
解这个不等式组得0y ，m的取值范围为 .
2 2 1
【思路点拨】
本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知y ∥y ，且y 在y 的上方，则a=m，当y =a(x−1)+2经
1 2 2 1 2
3 3
过点(−3,−1)时，a= ， 此时两直线相交，即可得到m< 时，y >y ，熟练掌握一次函数的图象及性
4 4 2 1
质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．【解题过程】
解：∵y =m(x+3)−1(m≠0)，
1
∴直线经过定点(−3,−1)，
∵无论x取何值，始终有y >y ，
2 1
∴y ∥y ，且y 在y 的上方，
1 2 2 1
∴a=m，
当y =a(x−1)+2经过点(−3,−1)时，
2
−1=−4a+2，
3
∴a= ， 此时两直线相交，
4
3
∴a< 时，y >y ，
4 2 1
3
即m< 且m≠0，
4
3
故答案为：m< 且m≠0．
4
7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A(x ,y )，B(x ,y )是一次函数y=2x−kx+1图像上的
1 1 2 2
不同两个点，m=(x −x )(y −y )则当m<0时，k的取值范围是 ．
1 2 1 2
【思路点拨】
本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．
根据m<0，判断出x >x 时，y 0时，y −y <0，或当x −x <0，则y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
∴x >x 时，y y
1 2 1 2 1 2 1 2
∴该函数y随x的增大而减小，∴2−k<0，
解得k>2．
故答案为：k>2．
1
8．（23-24八年级下·北京·期中）已知直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．若将直线y= x向上
2
平移n个单位长度与线段AB有公共点，则n的取值范围是 ．
【思路点拨】
此题考查了一次函数的平移、一次函数的图象和性质等知识，先求出A(−1,0)，B(0,2)，再求出直线
1 1
y= x向上平移n个单位长度后的直线y= x+n，分别代入点A和点B的坐标，求出n的值，根据一次
2 2
函数图象和性质即可求出答案．
【解题过程】
解：当x=0时，y=2x+2=2，
当y=0时，2x+2=0，解得x=−1，
∵直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．
∴A(−1,0)，B(0,2)，
1 1
将直线y= x向上平移n个单位长度后得到y= x+n，
2 2
1 1
当直线y= x+n经过点A(−1,0)时，0=− +n，
2 2
1
解得n= ，
2
1
当直线y= x+n经过点B(0,2)时，2=0+n，解得n=2，
2
1
∵将直线y= x向上平移n个单位长度与线段AB有公共点，
2
1
∴n的取值范围是 ≤n≤2，
2
1
故答案为： ≤n≤2
2
9．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，A(1,0)、B(3,0)、M(4,3)，动点P从点A出发，沿x轴以每秒2
个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=−x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM
有公共点，则t的取值范围为 ．【思路点拨】
此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象
与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【解题过程】
解：由题意得：AP=2t，则P(1+2t,0)，
当直线y=−x+b过点B(3,0)时，0=−3+b，
解得：b=3，
0=−(1+2t)+3，
解得t=1．
当直线y=−x+b过点M(4,3)时，
3=−4+b，
解得：b=7，
0=−(1+2t)+7，
解得t=3．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：1≤t≤3，
故答案为：1≤t≤3．
10．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(1,2)，
直线l的函数表达式为y=kx+4−3k(k≠0)．若线段AB与直线l没有交点，则k的取值范围是
．【思路点拨】
分别利用当直线y=kx+4−3k(k≠0)过点B(1,2)时，k值最小，当直线y=kx+4−3k(k≠0)过点A(2,0)
时，k值最大，即可求出线段AB与直线l有交点时，k的取值范围，据此即可求解．
【解题过程】
解：当直线y=kx+4−3k(k≠0)过点B(1,2)时，k值最小，
则k+4−3k=2，解得k=1，
当直线y=kx+4−3k(k≠0)过点A(2,0)时，k值最大，
则2k+4−3k=0，解得k=4，
故线段AB与直线l有交点时，k的取值范围为1≤k≤4，
故线段AB与直线l没有交点时，k的取值范围为k<0或04，
故答案为：k<0或04．
11．（23-24八年级下·北京西城·期中）下表是一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中x与y的两组对
应值．
x −1 0
y −4 −2
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知直线y=ax+1，当x<3时，对于x的每一个值，都有ax+1>kx+b，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式：
（1）将x与y的两组对应值代入y=kx+b求解即可；
（2）先求得x=3时y=2x−2的值，画出图象，根据一次函数的性质即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：将(−1,−4)，(0,−2)代入y=kx+b，
{−k+b=−4)
得 ，
b=−2
{ k=2 )
解得
b=−2
∴一次函数的表达式为y=2x−2；
（2）解：当x=3时，y=2×3−2=4，
将(3,4)代入y=ax+1，得4=3a+1，
解得a=1，当a=2时，2x−2=ax+1方程无解，两直线平行，总有2x+1>2x−2；
如图，
∵当x<3时，对于x的每一个值，都有ax+1>kx+b，
∴ 1≤a≤2．
12．（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数y=(2k−1)x+3k−2．
（1）当k为何值时，函数图象经过原点；
（2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限；
（3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方．
【思路点拨】
（1）由函数图象经过原点，将(0，0)代入y=(2k−1)x+3k−2得，0=3k−2，计算求解即可；
{2k−1>0)
（2）由函数图象经过一、三、四象限；可得 ，解方程组即可；
3k−2<0
（3）由y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方，可知函数图象经过二、三、四象限，则
{2k−1<0)
，解方程组即可．
3k−2<0
【解题过程】
（1）解：∵函数图象经过原点，
∴将(0，0)代入y=(2k−1)x+3k−2得，0=3k−2，
2
解得k= ，
32
∴k= ；
3
（2）解：∵函数图象经过一、三、四象限；
{2k−1>0)
∴ ，
3k−2<0
1
解2k−1>0得，k> ，
2
2
解3k−2<0得，k< ，
3
1 2
∴ 0，b>0，把点(3,−2)代入y =kx−b，得到b=3k+2，从而得到不等式组，解之
1
即可求得k的取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵函数y 的图象经过点(4,b)，
1
∴4k−b=b，
1
∴k= b．
2
1
∴令y =0，则bx− b=0，
2 2
1
解得x= ，
2
(1 )
∴函数y 与x轴的交点坐标为 ，0 ．
2 2
（2）证明：∵函数y 的图象经过点(m,0)，
1
∴mk−b=0，
∴b=mk，
∴y =bx−k=mkx−k=k(mx−1)．
2
1
∴令y =0，则x= ，
2 m
( 1 )
∴函数y 的图象经过点 ，0 ．
2 m
（3）解：∵函数y 的图象不经过第二象限，且bk≠0，
1
∴k>0，b>0．
∵函数y 的图象过点(3,−2)，
1
∴3k−b=−2，
∴b=3k+2．
{ k>0， )
∴
3k+2>0，
解得k>0．
14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数y =(a−1)x−2a+1，其中a≠1．
1
( 1)
（1）若点 1,− 在y的图象上，求a的值；
2（2）当−2≤x≤3时，若函数有最小值−5，求y 的函数表达式；
1
（3）对于一次函数y =(m+1)(x−1)+2，其中m≠−1，若对一切实数x，y 0，即a>1时，当a−1<0，即a<1时，再根据一次函数增减性，结合当
−2≤x≤3时，函数有最小值−5，得点的坐标，再代入一次函数解析式即可求解；
（3）先整理得到y =(m+1)x−m+1，再对一切实数x，y 0，即a>1时，y随x增大而增大，
∵当−2≤x≤3时，函数有最小值−5，
∴x=−2时，y=−5，
把(−2,−5)代入y =(a−1)x−2a+1，得：−2(a−1)−2a+1=−5，
1
解得：a=2，此时一次函数解析式为y=x−3；
当a−1<0，即a<1时，y随x增大而减小，
∵当−2≤x≤3时，函数有最小值−5，
则x=3时，y=−5，
把(3,−5)代入y =(a−1)x−2a+1，得：3(a−1)−2a+1=−5，
1
解得：a=−3，此时一.次函数解析式为y=−4x+7；
综上，y=x−3或y=−4x+7；
（3）y =(m+1)(x−1)+2=(m+1)x−m+1，
2∵对一切实数x，y −2且a≠1．
15．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−1)和
B(4,3)，与过点(0,−3)且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的表达式及点C的坐标；
（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m
的取值范围．
【思路点拨】
（1）将A、B坐标分别代入函数表达式y=kx+b，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为−3对应
的自变量的值即可得到C点坐标；
（2）分情况讨论：当直线y=mx过点C时和当直线y=mx与直线y=x−1平行时，即可得到符合条件的m
的取值范围．
【解题过程】
（1）解：将A(0,−1)、B(4,3)代入函数表达式y=kx+b可得：
{ b=−1 )
，
4k+b=3
{ k=1 )
解得 ，
b=−1
则函数的表达式为y=x−1，
依题得，过点(0,−3)且平行于x轴的直线为y=−3，
∵C是该函数与过点(0,−3)且平行于x轴的直线的交点，
∴x−1=−3，
解得x=−2，y=x−1=−2−1=−3，
即C(−2,−3)．
（2）解：当直线y=mx过点C时，
即把(−2,−3)代入y=mx，
得−2m=−3，
3
m= ，
2
∵当x>−2时，对于x的每一个值，y=mx(m≠0)的值大于y=x−1的值，∴−2m≥−2−1 ，
3
解得m≤ ，
2
当y=mx与直线y=x−1平行时，m=1，
此时，满足条件，
且当m<1时，不满足条件，
3
即1≤m≤ ．
2
16．（22-23八年级下·福建漳州·期末）阅读理解：
例：若(x−2)是多项式x3+3x2−8x+k的一个因式，求k的值．
解：设x3+3x2−8x+k=A(x−2)，
若x−2=0时，则有x3+3x2−8x+k=0，
将x=2代入x3+3x2−8x+k=0，得
8+12−16+k=0，
解得k=−4．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若(x+1)是多项式x2−4x+k的一个因式，求k的值；
a2+b2+1+4a
（2）若 可化为整式，求化简后的整式；
a+3
（3）若(x−1)和(x−2)是多项式x4+mx3+nx−16的两个因式，且直线y=(k−m)x−n+k不经过第二象
限，求k的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据题目所介绍的方法得到x2−4x+k=0，再将x=−1代入，即可求解；
（2）根据题意可知(a+3)是多项式a2+b2+1+4a的一个因式，根据题目所介绍的方法得到
a2+b2+1+4a=0，将a=−3代入，即可求得b2=2，将a=−3 b2=2代入原式即可求解；
（3）根据题目所介绍的方法得到x4+mx3+nx−16=0，分别将x=1，x=2代入，联立得到二元一次方程
组，求解得到m=−5，n=20，得到直线的解析式为y=(k+5)x−20+k，根据函数图象经过的象限进行
求解即可．
【解题过程】
（1）解：设x2−4x+k=A(x+1)，
若x+1=0时，则有x2−4x+k=0，
将x=−1代入x2−4x+k=0得1+4+k=0，解得k=−5．
a2+b2+1+4a
（2）解：∵ 可化为整式，
a+3
∴(a+3)是多项式a2+b2+1+4a的一个因式．
设a2+b2+1+4a=A(a+3)，
若a+3=0时，则有a2+b2+1+4a=0，得9+b2+1−12=0．
∴b2=2，
a2+4a+3 a2+4a+4−1 (a+2) 2−1 (a+3)(a+1)
∴原式= = = = =a+1．
a+3 a+3 a+3 a+3
（3）解：∵(x−1)和(x−2)是多项式x4+mx3+nx−16的两个因式，
设x4+mx3+nx−16=A(x−1)(x−2)，
∴若x−1=0时，则有x4+mx3+nx−16=0，得：1+m+n−16=0．
若x−2=0时，则有x4+mx3+nx−16=0，得：16+8m+2n−16=0．
解得m=−5，n=20．
∴直线的解析式为：y=(k+5)x−20+k．
①当k+5≠0，即k≠−5时，直线不经过第二象限，得
{ k+5>0 )
∴ ，解得：−50的直线上，其中b，c满足：b+c=−k，且2k>b>c，
求t的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据定义，将y=kx+2k+3变形为y=k(x+2)+3，从而求解；
（2）分k>0或k<0两种情况，利用待定系数法求函数解析式；（3）结合定义及已知条件列出不等式组，从而确定取值范围。
【解题过程】
（1）解：由题意可得y=kx+2k+3=k(x+2)+3，
无论k为何值，当x=−2时，y=3，
∴“直线系” y=kx+2k+3的“特征点”坐标为(−2,3)；
（2）解：由直线的“特征点”为(2,5)，设直线的解析式为y=k(x−2)+5(k≠0)，
又∵1≤x≤3时，y的范围恰好为3≤ y≤7，
当k>0时，y随x的增大而增大，
将点(1,3)代入解析式可得k(1−2)+5=3，解得k=2，
∴该直线的解析式为y=2(x−2)+5=2x+1，
当k<0时，y随x的增大而减小，
将点(1,7)代入解析式可得k(1−2)+5=7，解得k=−2
∴该直线的解析式为y=−2(x−2)+5=−2x+9，
综上，该直线的解析式为y=2x+1或y=−2x+9；
（3）解：由题意，设直线的解析式为y=k(x−2)(k>0)，
将点(t,c−2b)代入解析式可得c−2b=k(t−2)，
k−tk
{ b= )
{c−2b=k(t−2)) 3
联立方程组 ，解得 ，
b+c=−k tk−4k
c=
3
又∵2k>b>c，
k−tk
{ 2k> )
3 5
∴ ，解得−5
3 3
5
∴t的取值范围是−50或k<0两种情况，当k>0时，此时一次函数过点(−1,2)，(1,4)；当k<0时，此时
一次函数过点(−1,4)，(1,2)；再分别根据待定系数法即可求解．
【解题过程】
（1）解：①对于B选项，|y|=x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2=−x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数；
1 1
②A．∵ 1≠ ，∴ y= 不是“(−1,1)族函数”，
−1 x
B．∵1≠−1，∴|y|=x不是“(−1,1)族函数”，
C．∵1≠1−2−4，∴y=x2+2x−4不是“(−1,1)族函数”，
D.1≠1+1，∴y=|x|+1不是“(−1,1)族函数”，
E.1=−(−1)，∴y2=−x是“(−1,1)族函数”，
F.1=−2+3，∴y=2x+3是“(−1,1)族函数”．
∴E、F符合题意．
1
（2）解：①∵一次函数y=kx−k+1(k为常数，k≠0)是“(− ，4)族函数”，
21
∴4=− k−k+1，
2
解得：k=−2；
②∵y=kx−k+1=k(x−1)+1，
令x−1=0，则x=1，y=1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点(1,1)；
（3）解：∵一次函数y=2x+4和y=−x+1都是“(m,n)族函数”，
∴一次函数y=2x+4的图象与一次函数y=−x+1的图象的交点为(m,n)，
{y=2x+4)
联立得： ，
y=−x+1
{x=−1)
解得： ，
y=2
∴交点为(−1,2)，
∴m=−1，n=2，
1 1 −1
∵当m≤x≤1时，一次函数y=kx+b的函数值y恰好有 ≤ ≤ ，
2n y 2m
∴当−1≤x≤1时，一次函数y=kx+b的函数值y恰好有2≤ y≤4，
①当k>0时，
此时一次函数过点(−1,2)，(1,4)，
{2=−k+b)
∴ ，
4=k+b
{k=1)
解得： ，
b=3
∴y=x+3；
②当k<0时，
此时一次函数过点(−1,4)，(1,2)，
{4=−k+b)
∴ ，
2=k+b
{k=−1)
解得： ，
b=3
∴y=−x+3；
综上，该一次函数的解析式为y=x+3或y=−x+3．
19．（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，对于点P(x,y)给出如
下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移|a)个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）平移|b)个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知
， ，则AB中点坐标为(x +x y + y )】
A(x ,y ) B(x ,y ) 1 2, 1 2
1 1 2 2 2 2
（1）①若A(3,2)，B(1,0)，则AB中点坐标为______；
②若M(2,1)，P(2,4)，则点Q的坐标为______
（2）已知M(1,1)，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为(5,5)，点P(x,y)为正方形
ABCD上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点M(a,b)在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则
a的取值范围是______．
【思路点拨】
（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P′的坐标，再由中点坐标公式求出Q的坐标．
( t )
（2）根据题意可得P′(t+1,2t+1)，再根据“平移中点”的定义，可得Q 1+ ,t+1 ，再由点Q在第一象
2
限，可得到关于t的不等式组，即可求解．
(x y)
（3）①根据“平移中点”的定义，可得Q , ，从而得到Q点形成的正方形边长为1，即可求解；②
2 2
( x y)
根据题意可得Q a+ ,3a+ ，从而得到3≤x≤5，3≤ y≤5，再求出临界值，即可求解．
2 2
【解题过程】
（1）解：①解： ∵ A(3,2),B(1，0)
(3+1 2+0)
∴ AB中点坐标公式为 ， ，即(2，1)
2 2
故答案为：(2，1)②解：∵ P(2，4)向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到P′(4，5)
(4+2 1+5)
∴ P′(4，5)与M(2，1)的中点坐标为Q ， ，即(3，3)
2 2
故答案为：(3，3)
（2）解：∵点P在直线l：y=3x上，M(1,1)，
∴P′(t+1,2t+1)，
( t )
∴Q 1+ ,t+1 ，
2
∵点Q在第一象限，
{ 1+ t >0)
∴ 2 ，
t+1>0
∴t>−1
（3）解：①：当a=b=0时，M(0,0)
∵ P(x,y)
∴ P′(x,y)
(x y)
∴Q ,
2 2
∵ P点在正方形ABCD上
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2
∴Q点形成的正方形边长为1
∴点Q形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：∵点M(a，b)在直线：y=3x上
∴ M(a,3a)
∵点P(x，y)∴ P′(x+a,y+3a)
( x y)
∴Q a+ ,3a+
2 2
∵正方形的中心是(5,5)，边长为2
∴3≤x≤5，3≤ y≤5，
x
当a+ =3时，x=6−2a，
2
∴3≤6−2a≤5，
3
∴−1≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
2
y
当3a+ =5时，y=10−6a，
2
∴3≤10−6a≤5，
5 7
∴ ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
6 6
5 7
综上所述： ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
6 6
20．（23-24八年级下·广东广州·期中）定义：对于给定的一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），把
形如 y= { kx+b(x≥0) ) （k≠0，k、b为常数）的函数称为一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的
−kx+b(x<0)
衍生函数．已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,1)，B(3,1)，C(5,3)，D(0,3)．
（1）点E(n,3)在一次函数y=x+2的衍生函数图象上，则n= ；
（2）如图，一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形ABCD交于
20
M、N、P、Q四点，其中P点坐标是(−1,2)，并且S +S = ，求该一次函数的解析式．
△APQ 四边形BCMN 3
（3）一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），其中k、b满足3k+b=2．若一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形ABCD恰好有两个交点，求b
的取值范围．
【思路点拨】
（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可；
（2）根据点(−1,2)的坐标得出b=2−k；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关
系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可；
（3）根据k和b的关系得出y=ka+2−3k=(x−3)k+2，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数
图象经过点A时，与▱ABCD有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值
范围即可．
【解题过程】
（1）解：当n≥0时，把点E(n,3)在一次函数y=x+2得：n+2=3
解得：n=1；
当n<0时，把点E(n,3)在一次函数y=−x+2得：−n+2=3
解得：n=−1；
故答案为：±1；
（2）解：连接MB，
∵y=−kx+b过P(−1,2)，
∴k+b=2，则b=2−k，
∴y={ kx+2−k,x≥0 )
，
−kx+2−k,x<0
设Q(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，
Q Q M M N N
∵A(−2,1)，B(3,1)，C(5,3)，D(0,3)，
∴y =1，y =3，y =1，
Q M N
把y =1代入y=−kx+2−k得：1=−kx +2−k，
Q Q
1−k
整理得：x = ，
Q k
把y =3，y =1代入y=kx+2−k得：
M N
{kx +2−k=3)
M ，
kx +2−k=1
N1+k
{ x = )
M k
整理得： ，
−1+k
x =
N k
1 1 (1−k ) 1−k
∴S = AQ(y −y )= × +2 ×(2−1)= +1，
△APQ 2 p A 2 k 2k
1 ( −1+k) 1 ( 1+k)
S =S +S = × 3− ×(2−1)+ × 5− ×(2−1)=6，
四边形BCMN △MNB △MCB 2 k 2 k
20
∵S +S = ，
△APQ 四边形BCMN 3
1−k 20
∴ +1+6= ，
2k 3
解得：k=3，
∴b=2−k=2−3=−1，
∴y=3x−1
（3）解：∵y=kx+b，满足3k+b=2，
∴b=2−3k，则y=kx+2−3k=k(x−3)+2
∴当x=3时，y=2，即过定点(3,2)，
∴一次函数y=kx+b(k≠0)的衍生函数过点(3,2)和(−3,2)，
∴
y= { kx+2−3k(x≥0) )
且点(3,2)在▱ABCD内，
−kx+2−3k(x<0)
设衍生函数图象与y轴的交点为G，
点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与▱ABCD有三个交点，
将A(−2,1)代入y=−kx+2−3k得：1=2k+2−3k，
解得k=1，b=−1，
∴b<−1时，衍生函数图象恰好与▱ABCD有两个交点，符合题意．
点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点(0,1)时，与▱ABCD有三个交点，∴b>1且b≠2
时，图象与▱ABCD有两个交点，符合题意．综上：b<−1或b>1且b≠2时，图象恰好与▱ABCD有两个交点．
