文档内容
第 03 讲 复数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：复数的概念.........................................................................................................................4
知识点2：复数的四则运算.................................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：复数的概念............................................................................................................................6
题型二：复数的运算............................................................................................................................8
题型三：复数的几何意义..................................................................................................................10
题型四：复数的相等与共轭复数......................................................................................................12
题型五：复数的模..............................................................................................................................14
题型六：复数的三角形式..................................................................................................................16
题型七：与复数有关的最值问题......................................................................................................19
题型八：复数方程..............................................................................................................................23
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................25
05课本典例·高考素材........................................................................................................................26
06易错分析·答题模板........................................................................................................................27
易错点：复数运算法则的应用有误..................................................................................................27
答题模板：复数式的计算..................................................................................................................28考点要求 考题统计 考情分析
2024年I卷第2题，5分
2024年II卷第1题，5分 高考对复数的考查相对稳定，每年必考
（1）复数的有关概念 2023年I卷第2题，5分 题型，考查内容、频率、题型、难度均变化
（2）复数的几何意义 2023年II卷第1题，5分 不大．复数的运算、概念、复数的模、复数
（3）复数的四则运算 2022年I卷II卷第2题，5分 的几何意义是常考点，难度较低，预测高考
2021年II卷第1题，5分 在此处仍以简单题为主．
2021年I卷第2题，5分
复习目标：
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识点1：复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ．
（2）形如 的数叫复数，记作 ．
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部；
Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括
原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为
，显然， ．
【诊断自测】（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
所以 的虚部为 .
故选：D.
知识点2：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数 分别对应的向量 为邻边作平行四边形 ，对角线 表示的向量 就是
复数 所对应的向量． 对应的向量是 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴
的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角．
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在 范围内的
辐角 的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角
形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数 对应的向量为 ，把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把
绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 ．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数
的辐角所得的差，即 ．
【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若 为纯虚数， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】 ，
因为 为纯虚数，所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A.
解题方法总结
复数 的方程在复平面上表示的图形
(1) 表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2) 表示以 为圆心，r为半径的圆．
题型一：复数的概念
【典例1-1】（2024·新疆·三模）复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 且 ，则 ，
因为 ，所以 ,解得： ，则 的虚部为 .故选：C
【典例1-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数 ,则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,则 ,虚部是 .
故选:A.
【方法技巧】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复
数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式1-1】（2024·重庆·三模）设复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】设复数 ，
因为复数z满足 ，可得 ，
即 ，则 ， ，解得 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）若 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 的虚部是 .
故选：C
【变式1-3】若复数 满足 ，且 为纯虚数，则 .
【答案】 /【解析】因为 为纯虚数，设 ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以 .
故答案为： .
题型二：复数的运算
【典例2-1】（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令复数 ，则 ，
根据两个复数相等的条件有 ，解得 ，所以 ．
故选：A
【典例2-2】设i是虚数单位，则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 .
故选: C．
【方法技巧】
设 ，则
（1）
（2）
（3）
【变式2-1】（2024·青海海南·一模）已知 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D.
【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数 ， 的等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
对于A，令 ， ，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C， ，
则 ， ，
因此 ，C正确；
对于D， ，D正确.
故选：A
【变式2-3】已知复数 ， 的模长为1，且 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
，
因为 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
故选： .
题型三：复数的几何意义
【典例3-1】（2024·山西吕梁·三模）已知复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数 满足 ，可得 ，则 ，
则复数 对应的点为 位于第四象限.
故选：D.
【典例3-2】若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限．
故选：D．
【方法技巧】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是
研究复数几何意义的最重要的出发点．
【变式3-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 的实部为 的虚部为 ，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A【解析】 ，所以 ，所以 ，
其在复平面内的对应点为 ，位于第一象限．
故选：A．
【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足 （i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ， ，
解得 ， ，故 ，对应的点 在第四象限．
故选：D．
【变式3-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 的实部为 的虚部为 ，则
的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数 ，可得 ，
所以 ，所以 在复平面内的对应点为 ，位于第四象限．
故选：D．
【变式3-4】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数 对应的向量 按顺时针方向旋转 ，
所得向量在 上的投影向量对应复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为把复数 对应的向量 按顺时针方向旋转 ，
所以旋转后的向量所对应的复数为
，
所以旋转后的向量 ，
又因为 ， ，所以向量 在 上的投影向量是 ，即对应复数是 .
故选： .
题型四：复数的相等与共轭复数
【典例4-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知 ，且 ，则 ．
【答案】1
【解析】由题意可得： ，所以 .
故答案为：1.
【典例4-2】已知复数z的共轭复数是 ，若 ，则 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：
【方法技巧】
复数相等：
共轭复数： ．
【变式4-1】（2024·山东聊城·二模）已知 ，且 ，则 ．
【答案】1
【解析】 ，
所以 ，解得 .
故答案为：1【变式4-2】（2024·全国·模拟预测） 为虚数单位，复数 ，复数 的共轭复数为 ，则 的虚
部为 ．
【答案】
【解析】解法一：
设复数 ，则 ，
由复数相等，得 ，解得 ，即复数 ，
所以 ，所以 的虚部为 ．
解法二：
由 ，得 ．因为 是实数，所以 也是实数，
则有 ，所以 的虚部为 ．
故答案为：
【变式4-3】已知 ，且满足 （其中 为虚数单位），则 ．
【答案】2
【解析】由题意 ，可得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：2
【变式4-4】已知a， ， ，则 .
【答案】6
【解析】 ，故 ， ，得 ， ，所以 .
故答案为：6.
题型五：复数的模
【典例5-1】已知复数 ，且 ，则 .
【答案】 或3
【解析】复数 ，
可得 ，则
整理得， ，即因为 ，所以 且 ，
又因 ，故 ，解得， 或 .
故答案为： 或3.
【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知复数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】令 ，则有 ，即 ， ，
解得 ，即 ， .
故答案为： .
【方法技巧】
【变式5-1】复数 的模为 .
【答案】 /
【解析】
故 ．
故答案为： ．
【变式5-2】已知 ，则 ．
【答案】5
【解析】假设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ①， ②， ③，
- - 得 ，
∴∴③ ① ② ，
∴ ，
故答案为：5
【变式5-3】（2024·福建厦门·三模）复数 满足 ， ，则 .【答案】
【解析】设 ，则 ，
由 ， ，
得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为： .
【变式5-4】已知复数数列 满足 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
所以
所以 ，
所以
.
故答案为：
题型六：复数的三角形式
【典例6-1】一般地，任何一个复数 （ ， ）都可以表示成 形式，其中 是
复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数
的辐角， 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区
分开来， （ ， ）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知 ，
， ，其中 ， ，则 ．(结果表示代数
形式)【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 .
所以 ，
，
.
故答案为： .
【典例6-2】计算 的结果是 .
【答案】
【解析】 ，
同理可得 ，
原式 ．
故答案为：
【方法技巧】
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴
的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角．
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
【变式6-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，则在下列表达式中表示 的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】因 ，则 ，
对于A， ，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C， ，故C项错误；
对于D，由B项知， ，故D项错误.
故选：A.
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 是虚数单位 在复平面内对应点为 ，设
是以 轴的非负半轴为始边，以 所在的射线为终边的角，则 ，把
叫做复数 的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
，例如：
， ，
复数 满足： ，则 可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
所以 ， ，即 ，
所以
故 时， ，故 可取 ，
故选：D【变式6-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 （其中i为虚数单
位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面
内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 ，
在复平面内所对应的点为 ，在第二象限.
故选：B.
【变式6-4】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数 都可以表示成三角形式，即
．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复
数 ， ，则 ，已知复数
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
故 ，
所以
.
故选：B
题型七：与复数有关的最值问题
【典例7-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数 ， 满足 ， ，则 的最大值
是（ ）
A． B． C．7 D．8【答案】D
【解析】设 ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
又 表示点 与 的距离，
所以 的最大值是 ，
故选：D.
【典例7-2】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】若复数z满足 ，则由复数的几何意义可知复数 对应的点集是线段 的垂直平分线，
其中 ，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化
【变式7-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数 ，复数 满足 ，则
的最大值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】 ，
又 ，
即在复平面内，复数 对应的点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
又点 到坐标原点的距离为 ，
所以 的最大值为 .故选：A.
【变式7-2】（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 表示 对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和 之间的距离，
的取值范围转化为点 到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，
所以最大距离为 ，最小距离为 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
【变式7-3】（2024·江苏·模拟预测）若复数 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 在复平面中对应的点 为以原点为圆心的单位圆上一点，
而 在复平面中对应的点不妨设为 ，
所以 ，
易知 .
故选：B【变式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知复数 ， 满足 ， （其
中i是虚数单位），则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】设复数 在复平面内对应的点分别为
，
由题意可知： ，
可知点 的轨迹表示为焦点分别为 的椭圆，
则长半轴长为 ，半焦距 ，短半轴长为 ，
且该椭圆的长轴所在直线为 ，短轴所在直线为 ．
因为点 在 上，且 ，
若使得 最小，则需 取得最小值，
即点 为第一象限内的短轴端点，此时 ．
故选：D.
【变式7-5】（2024·山东·模拟预测）复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】设复数 在复平面上的对应点为 ，
则 可表示为复平面上点 到 的距离，
可表示为复平面上点 到 的距离，
由题意可知：点 在线段 的中垂线上，如下图：线段 的中点为 ，直线 的斜率 ，
则 的轨迹方程为 ，整理可得 ，
由 可表示为点 到 的距离 ，
.
故选：A.
【变式7-6】已知复数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数 满足 ，
则复数z对应的点的轨迹为以 为焦点，长轴长 的椭圆，
则椭圆短半轴长为 ，椭圆方程为 ，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， 取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， 取值小值 ；
故 的取值范围为 ，
故选：D
【变式7-7】（2024·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么 取最大值时的复数z为
（ ）
A． + i B． + i C． i D． i
【答案】A
【解析】复数 满足条件 ，它是复平面上的单位圆，那么 表示单位圆上的点到 的距离，
要使此距离取最大值的复数 ，就是 和 连线和单位圆在第一象限的交点 ．
点 到原点距离是2．单位圆半径是1，又 ，所以 ．
故对应的复数为 ．
故选：A
题型八：复数方程
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 是关于 的方程 的一个根，
则 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【解析】因为复数 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
故选：C.
【典例8-2】（2024·江苏·一模）已知 是关于x的方程 的根，则实数 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.因为 是关于x的方程的根，则另一根为
由韦达定理得 ，所以
故选：B
【方法技巧】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形
式及三角形式进行求解。
【变式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知复数x满足方程 ，那么 .
【答案】
【解析】因为 ，则 .
故答案为： .
【变式8-2】已知 是关于x的方程 的一个根，其中p， ，则p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因为 是关于x的方程 的一个根，
所以 是方程 的另一个根，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：19
【变式8-3】若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 .
【答案】3
【解析】∵实系数一元二次方程 的一个虚根为 ，
∴其共轭复数 也是方程的根.
由根与系数的关系知， ，
∴ ， .
故答案为：
【变式8-4】 的平方根为
【答案】
【解析】设所求复数为 ，由题意有 ，即 ，
则 ，解得 或 ，即 或 ，即 的平方根为 ，
故答案为 .
【变式8-5】（2024·高三·上海浦东新·开学考试）若实系数方程 的一个根是 ，则
．
【答案】1
【解析】因为关于 的实系数方程 的一个根是 ，所以另一个根为 ，
根据韦达定理可得 ，所以 .
又 ，所以 ，所以
故答案为： .
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】依题意得， ，故 .
故选：D
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .
故选：C.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由 ，则 .
故选：A4．（2024年北京高考数学真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 .
故选：C.
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】若 ，则 .
故选：C.
1．利用公式 ，把下列各式分解成一次因式的积；
（1） ；
（2） .
【解析】（1） ；
（2） .
2．若 ，则复平面内满足 的点2的集合是什么图形？
【解析】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足 的点Z的集合是以 为圆心，
以3为半径的圆.
解法2： .
即 ，
故复平面内满足 的点2的集合是以 为圆心，以3为半径的圆.
3．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
【解析】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
∴即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴ 解得
4．在复数范围内解下列方程：
（1） ；
（2） .
【解析】（1） ,
∴方程 的根为 ，即 .
（2） ，
∴方程 的根为 ，即 .
易错点：复数运算法则的应用有误
易错分析： (1)区分 与
(2)区分 与
【易错题1】设有下面四个命题
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 ，则 .
其中的真命题为
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】令 ，则由 得 ，所以 ，故 正确；
当 时，因为 ，而 知，故 不正确；
当 时，满足 ，但 ，故 不正确；
对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选B.
【易错题2】已知 （ ， 为虚数单位），则 （ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 ，
可得 ， ，
因此 ．
故选：B．
答题模板：复数式的计算
1、模板解决思路
复数的四则运算，解题的关键是知道 ．复数的乘法类似多项式（或单项式）乘法，复数的除法
类似分母有理化．
2、模板解决步骤
第一步：如果是除法运算，利用分母有理化，将复数的除法化简．
第二步：按照多项式乘法，将复数乘法化简．
第三步：把 代入，进一步化简，求得最终结果．
【经典例题1】已知a，b为实数，复数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
从而 ，即 ，解得 ，故
故选：A.【经典例题2】计算 （其中 为虚数单位）．
【答案】 /
【解析】 .
故答案为：
