专题19.1一次函数的规律探究问题（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2025版

专题 19.1 一次函数的规律探究问题 ◆ 典例分析 【典例1】如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从A (1,0)与x轴成120°角出 1 ❑√3 发，触碰到直线y= x上的A 点后，与原方向成60°角折回，再触碰到x轴上的A 点后，与原方向成 3 2 3 60°角折回，依次进行，当无人机行至A 时，无人机行驶的路程是 ． 2021 【思路点拨】 本题考查了一次函数的规律探究，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．先由直线方程求得直线 与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角 形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程． 【解题过程】 ❑√3 解：如图，在直线y= x上任取一点P，作PQ⊥x轴，垂足为点Q，取OP的中点M． 3 设 ( ❑√3 )，即 ❑√3 ， P a, a OQ=a,PQ= a 3 3在 Rt△OPQ 中， OP=❑√OQ2+PQ2=❑ √ a2+ (❑√3 a ) 2 = 2❑√3 a ， 3 3 ∴OP=2PQ， ∵点M是斜边OP的中点， 1 ∴MQ= OP=PM=PQ 2 ∴△MPQ是等边三角形． ∴∠OPQ=60°， ∴∠POQ=30°. 即∠A OA =30°． 2 1 由A 与x轴成120°角出发，即∠OA A =120°， 1 1 2 ∴∠A A A =180°−120°=60°， 2 1 3 依题意∠A A A =60°， 1 2 3 ∴△A A A 是等边三角形． 1 2 3 同理：△A A A 、△A A A 、⋯、△A A A （n为正整数）均为等边三角形． 3 4 5 5 6 7 2n−1 2n 2n+1 由∠A OA =30°与∠OA A =120°，得∠OA A =30°， 2 1 1 2 2 1 ∴A A =OA =1．则A A =OA 1 2 1 1 3 1 1 由A A ∥A A 可得A A = A A ， 1 2 3 4 1 2 2 3 4 ∴A A =2． 3 4 所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍． ∴ (A A +A A )+(A A +A A )+(A A +A A )+⋯+(A A +A A ) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2019 2020 2020 2021 2020 =(1+1)+(2+2)+(4+4)+⋯+2 2 =21+22+23+⋯+21010 设S=21+22+23+⋯+21010 则2S=22+23+⋯+21011 两式相减得：S=21011−2． 故答案为：21011−2．◆ 学霸必刷 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线l:y=x−1与x轴交于点A ，依次作正方形A B C O， 1 1 1 1 正方形A B C C ，⋯⋯，正方形A B C C ，其中点A ，A ，A ，⋯⋯，A 在直线l上，点C ， 2 2 2 1 n n n n−1 1 2 3 n 1 C ，C ，⋯⋯，C 在y轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ） 2 3 n 4 A．(16,32) B．(4,10) C．(8,16) D．(8,15) 1 1 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)，直 1 2 2 2 线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改为 1 2 1 垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处 1 1 2 2 后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l 上的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律 1 2 运动，动点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ⋯，则当动点C从A到达A 处时，运 1 1 2 2 3 3 2024 2024 2024 动的总路径的长为（ ） A．22024−2 B．22023−1 C．22025−2 D．22026−2 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形A B C O，A B C C ，A B C C 按如图的方式放置， 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 A A A …和点C C C …分别在直线y=x+2和x轴上，则点B 的坐标是（ ） 1 2 3 1 2 3 2024A． B． (22025−2,22024) (22023+2,22024) C． D． (22024,22024+2) (22023,22024) 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A 3 逆时针旋转到△AB O 的位置，使点B的对应点B 落在直线y=− x上，再将△AB O 绕点B 逆时针旋 1 1 1 4 1 1 1 3 转到△A B O 的位置，使点O 的对应点O 也落在直线y=− x上，如此下去，……，若点B的坐标为 1 1 2 1 2 4 (0,3)，则点B 的坐标为（ ）． 37 A．(180,135) B．(180,133) C．(−180,135) D．(−180,133) 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线l:y=x+2交y轴于点A ，在x轴正方向上取点B ，使 1 1 OB =OA ；过点B 作A B ⊥x轴，交l于点A ，在x轴正方向上取点B ，使B B =B A ；过点B 作 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 A B ⊥x轴，交l于点A ，在x轴正方向上取点B ，使B B =B A ;……记△OA B 面积为S ， 3 2 3 3 2 3 2 3 1 1 1 △B A B 面积为S ，△B A B 面积为S ，则S 等于（ ） 1 2 2 2 2 3 3 3 2024 A．4047 B．4048 C．24047 D．240486．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l，作点 关于直线 的对称点 ，将 向右平移2个单位得到点 ；再作 关于直线 的对称点 ，将 A (1,0) l A A A A l A A 1 2 2 3 3 4 4 向右平移2个单位得到点A ；…则按此规律，所作出的点A 的坐标为（ ） 5 2024 A．(1012,1011) B．(1012,1009) C．(1009,1012) D．(1011,1012) 7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…和B ，B ，B 1 2 3 1 2 3 1 ，…分别在直线y= x+b和x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…都是等腰直角三角形，如果 5 1 1 1 2 2 2 3 3 点A (1,1)，那么点A 的纵坐标是（ ） 1 2024 (3) 2023 (3) 2024 (4) 2023 (4) 2024 A． B． C． D． 2 2 3 3 1 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=− x和点P（1，0），过点 2 P作y轴的平行线交直线a于点P，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P，过点P 作y轴的平行线交直 1 1 2 2 线a于点P，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P，…，按此作法进行下去，则点P 的坐标为 3 3 4 2024 （ ）A． B． (21012,−21011 ) (21012,−21012 ) C． D． (−21012,21011 ) (21012,21012 ) 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形A B C A ，A B C A ，A B C A ，…按如图所示的方式放 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 置，点A ，A ，A ，…和点B ，B ，B ，…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上．已知点A (0,1)，点 1 2 3 1 2 3 1 B (1,0)，，则C 的坐标是( ) 1 5 A．(44,15) B．(45,16) C．(46,16) D．(47,16) 1 10．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l:y= x+1交x轴于点B ，交y轴于点 2 0 A ，点A ，A ，A ，A ，⋯都在直线l上；点B ，B ，B ，B ，⋯都在x轴上，以A 为直角顶点作等 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 腰直角三角形A B B ；再以A 为直角顶点作等腰直角三角形A B B ⋯⋯如此下去，则等腰直角三角形 1 1 2 2 2 2 3 A B B 的腰长A B 为 ． 2024 2024 2025 2024 2024 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，△OA B ，△B A B ，…，△B A B 都是边 0 1 1 1 2 2024 2024 2025 长为2的等边三角形，边OA 在x轴上，点B ，B ，B ，…，B 都在直线y=❑√3x上，则点A 的坐 0 1 2 3 2025 2024 标是 ．12．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与 1 1 2 点O关于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对 1 1 2 2 3 2 2 称；过点A 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；按B 此规律作下去，则点B 的坐标为 ，B 的坐标 3 3 3 3 n 为 ． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点A(2, 2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴交直线 1 1 1 1 y= x于点B ，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直角△A B C ，再过点C 作 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 侧作等腰直角△A B C …，按此规律进行下去，则等腰直角△A B C 的面积为 ．（用含正整 2 2 2 n n n 数n的代数式表示）❑√3 14．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+1与直线l :y=❑√3x交于点 1 3 2 A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点A 的纵坐标为 ． 2 1 3 3 3 2024 15．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点B，与y轴交于点A， 过点A作直线AB的垂线，交x轴于点C，以AC为直角边向右作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90° 1 1 ，过点D 作AC的平行线，交直线AB于点A ，交x轴于点C ，再以A C 为直角边向右作等腰直角三角形 1 1 1 1 1 A C D ，∠A C D =90°……按照此方式作下去，点D 的坐标为 ． 1 1 2 1 1 2 2025 16．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线y=❑√3x，点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的 1 1 垂线交直线于点B ，以原点O为原点，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线 1 1 2 2 于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；…，按此作法进行下去，点A 的坐标为 2 2 3 2024 ．17．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系Oxy中，△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都 1 1 2 1 2 3 2 3 1 是等腰直角三角形，其直角顶点P (3,3)，P ，P ，…均在直线y=− x+4上．设△P OA ， 1 2 3 3 1 1 △P A A ，△P A A ，…的面积分别为S ，S ，S ，…，依据图形所反映的规律，S = ． 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2025 18．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A 的坐标为 1 ，以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆 (❑√2,0) O OA l B B l x A O 1 1 1 2 心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O为圆心，OA 为半径画 2 2 2 3 3 弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；……按照这样的规律进行下去，点B 的横坐 3 3 4 2025 标是 ．19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知 ， ， ……在直线 B (1,y ) B (2,y ) B (3,y ) y=2x+3 1 1 2 2 3 3 上，在x轴上取点A ，使OA =a(0