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专题 17 概率与其他知识交汇问题（含马尔科夫链 ）
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题型01 概率与数列结合（马尔科夫链）.................................................................................................................1
题型02 概率与导数结合..............................................................................................................................................4
题型03 概率与其他知识点结合..................................................................................................................................7
题型 01 概率与数列结合（马尔科夫链）
【解题规律·提分快招】
一、基本原理
1、转移概率：对于有限状态集合 ，定义： 为从状态 到状态 的转移概率.
2、马尔可夫链：若 ，即未来状态 只受当前
状态 的影响，与之前的 无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
3、完备事件组：如果样本空间 中一组事件组 符合下列两个条件：
（1） ；
（2） .
则称 是 的一个完备事件组，也称是 的一个分割.
4、全概率公式： 设 是一个完备事件组，则有
5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 时，位于点
，下一个时刻，它将以概率 或者 （ ）向左或者向右平移一个单位.
若记状态 表示：在时刻 该点位于位置 ，那么由全概率公式可得：另一方面，由于 ，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在 与 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再
游走.于是， .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
，原地不动，其概率为 ，向右
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
P=aP +bP+cP
平移一个单位，其概率为 ，那么根据全概率公式可得： i i−1 i i+1
二、解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，
4，5，6点），每人每次投掷两颗，
(1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；
(2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大 点的概率；
(3)若第一个使两颗骰子点数和大于 者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.
2．（24-25高三上·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记
忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态无关.马尔
科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金
融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从
两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 次这样的操作后，记 盒子中红球
的个数为 ，恰有1个红球的概率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)求证： 的数学期望 为定值.
3．（2024·河北·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个
黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题：
(1)若取出的小球不再放回，
①求最后取完的小球是黄球的概率；②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；
③设随机变量 为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求 ；
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取 次球，设随机变量 为取球次数，证
明： .
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在某公司组织的团建活动中， ， ， 三个人进行传排球游戏，
规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在 手中时， 传给
的概率为 ， 传给自己的概率也为 ；当排球在 手中时， 传给 的概率为 ， 传给 的概率为
；当排球在 手中时， 传给 ， 的概率均为 .游戏开始时，排球在 手中，经过 次传球
后，设排球在 手中的概率为 ，排球在 手中的概率为 .
(1)求 ， 的值；
(2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由.
5．（24-25高三上·浙江·期末）某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将
球传给丙的概率为 ，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为 ，否则乙将球传给
丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为 ，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中.
(1)求传球 次后，球恰好在乙手中 次的概率；
(2) 次传球后（ ），记球在丙手中的概率为 .
①求数列 的通项公式；
②设 ，求证： .
6．（24-25高三上·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的
性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与
第 ，…次的状态无关，即 ．已知甲盒中装有1个白
球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次
（ ）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为 ，甲盒中恰有2个白球的概率为 ，恰有1个白球
的概率为 ．
(1)求 和 ．(2)证明： 为等比数列．
(3)求 的数学期望（用n表示）．
7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）设 ，数对 按如下方式生成： ，抛掷一
枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若 ，则 ，否则 ；
当硬币的反面朝上时，若 ，则 ，否则 ．抛掷n次硬币
后，记 的概率为 ．
(1)写出 的所有可能情况，并求 ；
(2)证明： 是等比数列，并求 ；
(3)设抛掷n次硬币后 的期望为 ，求 ．
8．（2025·黑龙江·模拟预测）对于一个有穷整数列 ， ， ， ，对正整数 ，若对于任意的
，有穷数列 中总存在 ， ， ， ，自然数 使得 ，则称该
数列为1到 连续可表数列.即1到 中的每个数可由 中的一个或连续若干项表示，而 不可由 中
连续若干项表示.例如数列2，1，3则 ， ， ， ，而 ， ，
，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列.
(1)数列 ， ， ， ， 是否为1到5连续可表数列？若数列 ， ， 是一个1到 连续可表数列，
求 的值.
(2)若有穷数列 ， ， ， 其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列
本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列 ， ， ， 为1到5连续
可表数列，且公比 为整数，求数列的公比 的值.
(3)对正整数 ， ，存在唯一的数列 ， ， 使得， ，且满
足 ， ， ， ， 数列 ， ， ， 称为正整数 的 进制残片.记
事件“随机挑选区间 内的整数（ 为大于等于2的正整数），该数的 进制残片调整顺序后能成为1
到5连续可表数列”的概率为 ，求 的表达式.题型 02 概率与导数结合
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题
的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶
段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢
到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试
题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛
（若分数相同，则同时进入决赛）
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概
率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 ，对手答对每道试题的概率为 ，两名选手回答每道试题是
否正确相互独立，求初赛中甲的得分 的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且
决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 ，若甲4道试题全对的概率为 ，求甲能胜出的概
率的最小值.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或
者向右移动一个单位，共移动了 次.
(1)已知质点每次向右移动的概率为 .
①当 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 次，分别
求出当 和 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
(2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 、共移动了3次、若质点最终落
在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二
阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，
则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 则当 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？
3．（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全
运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：
三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自
闯关成功的概率分别为 ．假定 互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关． ．求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知 ．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 ．求 ．并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一
等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学
生在复赛中前两道题答对的概率均为 ．第三道题答对的概率为 ．若该学生获得一等奖的概率为 ，设
该学生获得二等奖的概率为 ．求 的最小值．
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
(1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有 字母，3张写有 字
母，2张写有 字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有 的卡片，则再抽1次，
直至取到写有 或 卡片为止.抽到 卡片送精美校园明信片一张，抽到 卡片送文学社设计的精美信封一
个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有 卡片的概率.
(2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可
以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂 个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率
相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前 个福袋，自第 个开始，
只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设 ，记乙同学摘到最大的
福袋概率为 .
①若 ，求 ；
②当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.（取
）
5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒
乓球训练，已知甲第一局赢的概率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概
率为 ，如此重复进行.记甲同学第 局赢的概率为 .
(1)求乙同学第2局赢的概率；(2)求 ；
(3)若存在 ，使 成立，求整数 的最小值.
6．（2024·全国·模拟预测）某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有 瓶待测试
剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下
两个方案：
方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；
方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（ ， ），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测
一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测.
已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X是方案二这n瓶待测试剂的检测次数， 为方案二
的检测次数的数学期望.
(1)记 的最大值为E，求证： ；
(2)能否认为 恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性；
(3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由.
7．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时
间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接
到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，
显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要
的地位．若随机变量 服从参数为 的泊松分布（记作 ），则其概率分布为
， ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可
认为 ．若 ，求 的值（保留三位小数）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率为 ，各芯片是否为次品相互独立，以 记产品中的次品数．
①若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率；
②若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律?
(3)若 ，且 ，求 的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若 ，则一有 ， ，
； ， ， ．题型 03 概率与其他知识点结合
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·吉林长春·一模）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有
关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性（患病），小于
或等于 的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患
病者判定为阳性的概率.
(1)随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值 进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），
其中2男8女，写出 列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为误判与性别有关？
(2)经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
[95， （100， （105， （110， （115， （120， （125，
指标
100] 105] 110] 115] 120] 125] 130]
患病
者频 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
率
指标 [70，75]
未患
病者 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
频率
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在
以内（小于等于 ），求临界值 的范围；
(3)在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值 及 对应的误诊率和漏诊率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
2．（2024·甘肃张掖·一模）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一
周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为
“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的
统计数据如下表所示：喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的
40 10 50
居民
年龄超过45岁的居
20 30 50
民
合计 60 40 100
(1)试根据 的 独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．
(2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选
择在 平台买菜，那么周二选择在 平台买菜的概率为 ；如果周一选择在 平台买菜，那么周二选择在
平台买菜的概率为 ，求小张周二选择在 平台买菜的概率.
(3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量 ，并
记随机变量 ，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3．（2024·广西柳州·一模）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 和 两个套餐服务，并在
购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择 和 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券
的情况（单位：千张）的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ，其中 包含一张优惠券， 套餐包含两
张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 张优惠券，设其概率为 ，求 ；(3)记（2）中所得概率 的值构成数列 ，求数列 的最值．
参考数据： ， ， ，
参考公式：相关系数
4．（23-24高三下·安徽阜阳·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶
段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，
游戏规则如下：
①有4次游戏机会．
②依次参加A，B，C游戏.
③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，
直到4次机会全部用完.
④参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加 游
戏，则每次胜利可以获得奖金200元．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是 ，乙参加每一个游戏获胜的概率都是 ，甲、乙参加每次游戏相
互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由．
(2)在（1）的基础上，解答下列两问．
（ⅰ）求该运动员能参加 游戏的概率．
（ⅱ）记 为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示 关
于 的函数．
5．（2024高三·全国·专题练习）将连续正整数1，2， ， 从小到大排列构成一个数 ，
为这个数的位数 如当 时，此数为123456789101112，共有15个数字， ，现从这个
数中随机取一个数字， 为恰好取到0的概率.(1)求
(2)当 时，求 的表达式.
(3)令 为这个数中数字0的个数， 为这个数中数字9的个数， ，
，求当 时 的最大值.
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的
小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方
移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择
是相互独立的．
(1)商场规定：某顾客从 出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得
分，当他走完第四步后，得分为 ，求 的分布列；
(2)商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从 出发，走到点 的位置．设
走完第 步后，顾客位于点 ，老板位于点 ，其中 且 ；若对任意
且 都有 ，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为 ．
（i）当 时，求顾客获胜的概率 ；
（ⅱ）求 ，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大．
参考公式： ．
一、解答题
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)当 时，求 ；
(3)函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 上的值域．
2．（2024·浙江·三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校
进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击
中靶心的概率为 ，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第 次击
中靶心的概率也为p，否则第 次击中靶心的概率为 ．
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 ， 称为X的分布函数，
对于任意实数 ， ，有 ．因此，若已知X
的分布函数，我们就知道X落在任一区间 上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如
选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
3．（23-24高三下·山西长治·期中）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 （单位：
个）和平均温度 （单位： ）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不
呈现线性相关关系，现分别用模型① 与模型② 作为平均产卵数 和平均温度 的回归方程来建立两个变量之间的关系.
平均温度 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数 个 5 9 22 25 65 118 324
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中 .
(1)根据表中数据，经计算得出模型① ，请建立模型②下 关于 的回归方程；并在两个
模型下分别估计温度为 时的产卵数；（ 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
(2)模型①，②的决定系数分别为 ，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好；
(3)根据以往统计，该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其
他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到 以上的概率为 ，该地今后
年恰好需要2次人工防治的概率为 .
①求 取得最大值时对应的概率 ；
②当 取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为 ，求 的均值和方差.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.
研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗
体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的 列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生
抗体与指标值不小于60有关；
单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ；
（ii）以（i）中确定的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人
注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 .求 及 取最大值时的 值.
参考公式： （其中 为样本容量）
参考数据：0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
5．（2024·吉林·模拟预测）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校
体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看
台的栏杆上，桃篮上沿离地面约 米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将
球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮
球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，
进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率
分别是 和p，且每人进球与否互不影响．
(1)若 ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若 ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期
望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
6．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿
势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否
直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运
用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则
是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必
须将球传出．
(1)记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记 次传球后球在小胡
手中的概率为 ．
①直接写出 的值；
②求 与 的关系式 ，并求 ．
7．（2024·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有 个
除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机
取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与
奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列 的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的值．
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：
①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投
篮命中率为 ，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量 .
(1)求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率；
(2)求该同学投篮次数 （不超过 ）的分布列；
(3)在（2）的前提下，若 ，求 的最小值.
9．（24-25高三上·广西·阶段练习）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙
口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口
袋），交换小球 次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为 ，恰有1个黑球的概率为 .
(1)求 ， ；
(2)求 ， ；
(3)求数列 的通项公式，并证明 .
10．（23-24高三下·浙江·期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴
趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相
关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2
运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”
重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为 ，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为 ，恰有2艘
“M1转移塔”的概率为 ，求
①求X的分布列；②求 ；
③试判断 是否为定值，并加以证明．
附： ， ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
11．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过
病鼠与白鼠之间的接触传染．现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为
，设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之
间相互独立．
(1)若 ，求数学期望 ；
(2)设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，
随机变量， 表示第i组被感染的白鼠数．现将随机变量 )的实验结果
绘制成频数分布图，如图所示．
①试写出事件“ ”发生的概率表达式(用p表示，组合数不必计算)；
②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数 的取值有关，团队A提出函数模型为
，团队B提出函数模型为 ．在统计学中，若参数 时使得概率
最大，称 是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模
型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：
．12．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重
要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方
向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在 四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点 ，记 的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ；
(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
（i）已知 求 以及 ；
（ii）令 ，记 为数列 的前 项和，若对任意实数 ，存在 ，使得 ，则称粒
子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
13．（24-25高三上·湖南郴州·开学考试）在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为
.猜是反面的概率为 ；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为 ，猜是正面的概
率为 .假设每次扔硬币相互独立.
(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为 ，试比较 的大
小；
(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：
① ；② ；③ ，④
（ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用 表示猜测的正反文字串，将 中正面的个数记为
，如 “正反正反”，则 ，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求 的取值范
围.
14．（2024·河北张家口·三模）在某项投资过程中，本金为 ，进行了 次投资后，资金为
，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当
次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可
能），记利润率为 的概率为 （其中 ），其中 ，由大数定律可知，当N足够大
时，利润率是 的次数为 ．
(1)假设第1次投资后的利润率为 ，投资后的资金记为 ，求 与 的关系式；
(2)当N足够大时，证明： （其中 ）；(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为 ，其利润率为 ；输了的概率为 ，其利润率为
，求 最大时x的值（用含有 的代数式表达，其中 ）．
15．（2024·江西新余·模拟预测）生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的
一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞
均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有 的概率分裂为 个细胞（即死亡），...，有 的概率
分裂为 个细胞.记事件 ：细胞最终灭绝， ：细胞第一次分裂为 个细胞.记该细胞第一次分裂后有
个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用 的数学期望 作为衡量生物灭绝可能性的依
据，如果 ，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果 ，则理论上我们认为细胞在足够多代的
繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接写出 的数学期望 .
(2)用只含 和 的概率式表示 并证明该细胞灭绝的概率为关于 方程： 的最小正实根.
(3)若某种细胞发生基因突变，当 时 .
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为
两个的能力（即只有可能分裂成 个或 个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为 个的能力，并
等可能分裂为 个或 个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知： ，求出一个该种泛滥
型细胞经过 次分裂，得到 个细胞的概率 .
