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专题 17 概率与其他知识交汇问题（含马尔科夫链 ）
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题型01 概率与数列结合（马尔科夫链）...............................................................................................................1
题型02 概率与导数结合.........................................................................................................................................17
题型03 概率与其他知识点结合.............................................................................................................................29
题型 01 概率与数列结合（马尔科夫链）
【解题规律·提分快招】
一、基本原理
1、转移概率：对于有限状态集合 ，定义： 为从状态 到状态 的转移概率.
2、马尔可夫链：若 ，即未来状态 只受当前
状态 的影响，与之前的 无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
3、完备事件组：如果样本空间 中一组事件组 符合下列两个条件：
（1） ；
（2） .
则称 是 的一个完备事件组，也称是 的一个分割.
4、全概率公式： 设 是一个完备事件组，则有
5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 时，位于点
，下一个时刻，它将以概率 或者 （ ）向左或者向右平移一个单位.
若记状态 表示：在时刻 该点位于位置 ，那么由全概率公式可得：另一方面，由于 ，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在 与 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再
游走.于是， .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
，原地不动，其概率为 ，向右
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
P=aP +bP+cP
平移一个单位，其概率为 ，那么根据全概率公式可得： i i−1 i i+1
二、解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【典例训练】
重难点17素材01
一、解答题
1．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，
4，5，6点），每人每次投掷两颗，
(1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；
(2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大 点的概率；
(3)若第一个使两颗骰子点数和大于 者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）记投掷一次两颗骰子点数为 ，则 的可能取值为 ， ， ， ， ，求出所对应的概率，再
由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于 的概率为 ，分析可得先投掷的人第 （ 且
）轮获胜，其概率为 ，再由无穷等比数列求和公式计算可得，
【详解】（1）记两颗骰子点数相同为事件 ，则 ；（2）记投掷一次两颗骰子点数为 ，则 的可能取值为 ， ， ， ， ，
所以 ，
，
，
，
，
，
记甲的点数和恰好比乙的点数和大 点为事件 ，
则 ；
（3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于 的概率为 ，
若先投掷的人第一轮获胜，其概率为 ；
若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于 ，则其概率为 ；
若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于 ，则其概率为 ；
若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于 ，则其概率为 ；
，
分析可得，若先投掷的人第 （ 且 ）轮获胜，其概率为 ；
所以 、 、 、 组成以 为首项， 为公比的无穷等比数列，
所以 ，从而，先投掷人的获胜概率为 .
2．（24-25高三上·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记
忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态无关.马尔
科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金
融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从
两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 次这样的操作后，记 盒子中红球
的个数为 ，恰有1个红球的概率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)求证： 的数学期望 为定值.
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可；
（2）根据古典概型运算公式，可以得到含 的代数式表示 ，运用构造法，结合等比数列的定义进行
求解即可；
（3）根据古典概型运算公式，结合题意得到 、 、 、 之间的关系，结合数学期望的运算公式
进行求解即可.
【详解】（1）设第 次操作后 盒子中恰有2个红球的概率为 ，则没有红球的概率为 .
由题意知 ，
（2）因为 .所以 .
又因为 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，
（3）因为 ，①
②
所以①一②，得 .
又因为 ，所以 ，所以 .
的可能取值是 ，
所以 的概率分布列为
0 1 2
所以 .
所以 的数学期望 为定值1.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求 、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解.
3．（2024·河北·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个
黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题：
(1)若取出的小球不再放回，
①求最后取完的小球是黄球的概率；
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；③设随机变量 为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求 ；
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取 次球，设随机变量 为取球次数，证
明： .
【答案】(1)① ；② ；③ ，
(2)证明见解析
【分析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出
的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案.
（2）先求 的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案.
【详解】（1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好
为黄色小球.
则 .
②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件 ：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取
完.
;
③ 的可能取值为10,11,12， ，40.
，
.
因为 ，所以 .
（2）设 ，则 的分布列为
1 2 3两式相减可得
.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错
位相减法求和.
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在某公司组织的团建活动中， ， ， 三个人进行传排球游戏，
规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在 手中时， 传给
的概率为 ， 传给自己的概率也为 ；当排球在 手中时， 传给 的概率为 ， 传给 的概率为
；当排球在 手中时， 传给 ， 的概率均为 .游戏开始时，排球在 手中，经过 次传球
后，设排球在 手中的概率为 ，排球在 手中的概率为 .
(1)求 ， 的值；
(2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由.
【答案】(1)
(2) 手中的概率最大，理由见解析
【分析】（1）由题意得 ， ， ，
，由递推式可求出 ，从而可求出 ， 的值；
（2）由（1）可求出 ，作差可比较大小.
【详解】（1）由题意得，经过 次传球后，排球在 手中的概率为 ，
，
第 次传球后，排球在 手中的概率为 ，在 手中的概率为 ，在 手中的概率为 ，则由题意得 ，则 ，
由 ，得 ， ，
所以 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，所以 ，
，
， ，而 也满足上式，
所以 ，
， ， ，而 也满足上式，
所以 ，
所以 ， .
（2）由（1）得，
当 时， ， ， ，
因为
，
所以 ，
因为，
所以 ，
所以 ，
所以经过50次传球后，排球在 手中的概率最大.
【点睛】关键点点睛：此题考查概率与数列的综合问题，解题的关键是根据题意駷合概率知识求出递推式，
考查推理能力和计算能力，属于较难题.
5．（24-25高三上·浙江·期末）某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将
球传给丙的概率为 ，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为 ，否则乙将球传给
丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为 ，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中.
(1)求传球 次后，球恰好在乙手中 次的概率；
(2) 次传球后（ ），记球在丙手中的概率为 .
①求数列 的通项公式；
②设 ，求证： .
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公
式及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解；
（2）①根据条件得到 ，进而有 是首项为 ，公比为 的等比数列，即可求解；
②根据条件得到 ，利用裂项相消法得到 ，再分
为奇数和偶数两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）传球 次后，球恰好在乙手中 次分为两种情况：
第一种情况：乙、甲、乙，概率为 ；
第二种情况：乙、丙、乙，概率为 ；所以 .
（2）①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为 ，
此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有 的概率传给丙，故有 ，
整理得 ，
又 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
则 ，得到 .
②由①可得 ，
因为
所以
，
当n为奇数时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当n为偶数时， ，
所以 ，所以 .所以 .
综上所述， ，所以命题得证.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到 ，通过变形得到
，从而转化成等比数列来解决问题.
6．（24-25高三上·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的
性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与
第 ，…次的状态无关，即 ．已知甲盒中装有1个白
球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次
（ ）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为 ，甲盒中恰有2个白球的概率为 ，恰有1个白
球的概率为 ．
(1)求 和 ．
(2)证明： 为等比数列．
(3)求 的数学期望（用n表示）．
【答案】(1) ， ， ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥
事件的概率求出 .
（2）按第 次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用 表示 即
可推理得证.
（3）利用（2）的结论，求出随机变量 的分布列，再求出数学期望.
【详解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，
概率 ；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率 ，
研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为 ，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为 ；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为 ；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为
，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为 ，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为
，
综上， .
（2）依题意，经过 次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为 ，
恰有1个白球的概率为 ，则甲盒中恰有3个白球的概率为 ，
研究第 次交换球时的概率，根据第 次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为 ，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为 ；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为 ，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率
为 ；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为
，
③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为 ，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为 ，
综上，
则 ，
整理得 ，又 ，
所以数列 是公比为 的等比数列.
（3）由（2）知 ，则 ，
随机变量 的分布列为
1 2 3
所以 .
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
①根据题中条件确定随机变量的可能取值；②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.
7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）设 ，数对 按如下方式生成： ，抛掷一
枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若 ，则 ，否则 ；
当硬币的反面朝上时，若 ，则 ，否则 ．抛掷n次硬币
后，记 的概率为 ．(1)写出 的所有可能情况，并求 ；
(2)证明： 是等比数列，并求 ；
(3)设抛掷n次硬币后 的期望为 ，求 ．
【答案】(1)答案见详解；
(2)证明见详解， ；
(3)
【分析】（1）列出所有 和 的情况，再利用古典概型公式计算即可；
（2）构造得 ，再利用等比数列公式即可；
（3）由（2）得 ，再分 ， 和 讨论即可.
【详解】（1）当抛掷一次硬币结果为正时， ；
当抛掷一次硬币结果为反时， .
当抛掷两次硬币结果为（正，正）时， ；
当抛掷两次硬币结果为（正，反）时， ；
当抛掷两次硬币结果为（反，正）时， ；
当抛掷两次硬币结果为（反，反）时， .
所以， .
（2）由题知， ，
当 ，且掷出反面时，有 ，此时 ，
当 ，且掷出正面时，有 ，此时 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 .
（3）设 与 的概率均为 ，
由(2)知，
显然， .
若 ，则 ，当下次投掷硬币为正面朝上时， ，当下次投掷硬币为反面朝上时，
;
若 ，则当下次投掷硬币为正面朝上时， ，当下次投掷硬币为反面朝上时， ;
若 ，则 ，
当下次投掷硬币为正面朝上时， ，当下次投掷硬币为反面朝上时， .
所以 时，期望不变，概率为 ;
时，期望加1，概率为 .
所以 .
故
.
经检验，当 时也成立..
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分 和 时讨论，最后再化简 的表达式即可.
8．（2025·黑龙江·模拟预测）对于一个有穷整数列 ， ， ， ，对正整数 ，若对于任意的
，有穷数列 中总存在 ， ， ， ，自然数 使得 ，则称该
数列为1到 连续可表数列.即1到 中的每个数可由 中的一个或连续若干项表示，而 不可由 中
连续若干项表示.例如数列2，1，3则 ， ， ， ，而 ， ，
，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列.
(1)数列 ， ， ， ， 是否为1到5连续可表数列？若数列 ， ， 是一个1到 连续可表数列，
求 的值.
(2)若有穷数列 ， ， ， 其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列
本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列 ， ， ， 为1到5连续
可表数列，且公比 为整数，求数列的公比 的值.
(3)对正整数 ， ，存在唯一的数列 ， ， 使得， ，且满
足 ， ， ， ， 数列 ， ， ， 称为正整数 的 进制残片.记
事件“随机挑选区间 内的整数（ 为大于等于2的正整数），该数的 进制残片调整顺序后能成为1
到5连续可表数列”的概率为 ，求 的表达式.
【答案】(1)5
(2)
(3) ，
【分析】（1）利用给定定义证明并求值即可.
（2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可.
（3）利用给定定义分类讨论求解解析式即可.
【详解】（1）依题意设数列 的通项为 ，
则 ， ， ，
， ，
由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数，
故数列 为一个1到5连续可表数列，对于数列 ，设其通项为 ，直接计算可知，
该数列的 ， ， ， ， ，
而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到 .
（2）当准等比数列公比为 ， ， ， 时，
可以对应构造数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
其中由（1）可知 ， ， 为1到5连续可表数列，
对于最后一个数列 ，有 ， ，
， ， ，
而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列，
现在，假设 ，满足 ，
数列 ， ， ， 为一个公比为 的1到5连续可表准等比数列，
则可以设 ，
其中 ， ， 为 ， ， 的一个排列，
则该数列的连续表出具有 的形式，
其绝对值不小于 ，由于1可以被表出，有 ，故 或 ，
如果 不参与表出1到5，则 不包含 ，
故可提出 ，即 ，
由于 ， 必是非零整数，
而 ，
无法表示 这个数字，故 的表出有 的参与，
如果 参与表出1和2，有两种可能，
一是当 独立表出 ，二是 与其他若干项一起表出，
若当 和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而 为1或 ，
所以 与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由 独立表出，
所以 ，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和，
故不大于 ，不小于4，矛盾.所以 不可能成立，
综上 的可能取值为
（3）我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列，如果满足 ， ， ， 的形式，
则其中一项必定为1或 ，且 ，
从而当 时，任一个 进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列.
故 ， ，当 时，残片的各项可能取值为 ，
即 ， ， ， ， ， .由于残片各项一定非负，
则1，2，3，4，5的表出一定没有 ， ， 等值参与，
注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值，
而0对这5个数字的表出没有贡献，
故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项
即所挑选的数字 应当满足 ，
故 ， ，从而 ，
其中 表示不超过 的最大整数，
综上， .
【点睛】关键点点睛：本题考查求数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得
到所要求的解析式即可．
题型 02 概率与导数结合
【典例训练】
重难点17素材02
一、解答题
1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某学校高三年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题
的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶
段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢
到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试
题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛
（若分数相同，则同时进入决赛）
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概
率；(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 ，对手答对每道试题的概率为 ，两名选手回答每道试题是
否正确相互独立，求初赛中甲的得分 的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且
决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 ，若甲4道试题全对的概率为 ，求甲能胜出的概
率的最小值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可；
（2）先应用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可；
（3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求出概率的最小值.
【详解】（1）设 为甲的答题数，则 可能取 ，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为 ．
（2）由题知， 可能取 ，
则 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为：0 5 10 15 20
所以 ．
（3）因为甲4道试题全对的概率为 ，所以第4道试题答对的概率为 ，
所以甲能胜出的概率 ，
即 ，
因为 ，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
(1 )
即 在 上单调递减，在 ,1 上单调递增，
2
所以 ．
【点睛】关键点点睛：求解概率最小值的关键是设函数 应用导函数得出函数单调性进
而求出函数的最小值即可.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或
者向右移动一个单位，共移动了 次.
(1)已知质点每次向右移动的概率为 .
①当 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 次，分别
求出当 和 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
(2)现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 、共移动了3次、若质点最终落
在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二
阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，
则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 的式子表示该游戏得分的数学期望；②若 则当 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？
【答案】(1)① ；② ，
(2)① ；②
【分析】（1）①根据独立事件的概率公式计算即可求解；② 表示第一次必然向右，后两次至少有一
次向右； 表示前2次均向右，后三次至少有一次向右；和第一次向右，第二次向左，第三次向右，最
后两次至少有1次向右，根据独立事件的概率公式计算求出 ，结合作差法即可比较大小.
（2）①利用独立事件的概率公式求出第一阶段通过的概率，即可求出数学期望；②由题意可得
，令 ，利用导数求出 的最大值即可.
【详解】（1）①质点最终回到原点的情况为:向右走3次，向左走3次，
②设 和 时质点最终落在原点右侧的概率分别为 ，
情况为:第一次必然向右，后两次至少有一次向右，
则 .
包含2种情况:
(i)前2次均向右，后三次至少有一次向右；
(ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右，
，
，则 .
（2）①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左，
其概率为: ，
设 为最终得分，则 可以为0，1，3，
则其数学期望为 ；
②若 ，则 ，
令 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即当 时，该游戏得分的期望值最大.
【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的②关键在于根据独立事件的概率公式计算得到
，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.
3．（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全
运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规
定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：
三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自
闯关成功的概率分别为 ．假定 互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关． ．求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知 ．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 ．求 ．并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一
等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学
生在复赛中前两道题答对的概率均为 ．第三道题答对的概率为 ．若该学生获得一等奖的概率为 ，设
该学生获得二等奖的概率为 ．求 的最小值．
【答案】(1)
(2) ， ， ．
(3) ．
【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；
（2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解
因式即可比较出结果；
（3）由独立事件的乘法公式结合题意可得 ，进而可得 ，再利用导数分析单调性和最
值，得到结果即可；【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则 ．
所以该小组初赛胜利的概率为 ．
（2） 的可能取值为1， 2，3．
则 ．
此时
的可能取值为1，2，3．
则 ．
此时 ．
所以
因为 ．
所以 ．所以 ．
（3）由题意可得 ， ．
则 ．
令 ．
则 ．令 ．
所以当 时， ， 为减函数．
当 时． ， 为增函数．
所以 ．
所以 的最小值为 ．
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
(1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有 字母，3张写有 字
母，2张写有 字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有 的卡片，则再抽1次，
直至取到写有 或 卡片为止.抽到 卡片送精美校园明信片一张，抽到 卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有 卡片的概率.
(2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可
以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂 个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率
相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前 个福袋，自第 个开始，
只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设 ，记乙同学摘到最大的
福袋概率为 .
①若 ，求 ；
②当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.（取
）
【答案】(1)
(2)① ；② 的最大值为 ， 的值为 .
【分析】（1）利用随机事件的关系结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式求解即可；
（2）①由题意可知，要摘到最适合他的福袋，有两种情况，最适合他的福袋是第3个和最适合他的福袋是
最后1个，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
②记事件 表示最适合的福袋被摘到，根据条件概率和全概率公式求出 ，再用导数求出最值即可．
【详解】（1）8张完全相同的卡片，3张写有 字母，3张写有 字母，2张写有 字母，
由抽取规则可知，甲同学取到写有 卡片的概率为
（2）①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有 种情况，
要摘到最大的福袋，有以下两种情况：
最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有 种情况，
最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有 种情况，
故所求概率为 ；
②记事件 表示最大的福袋被摘到，事件 表示最大的福袋在福袋中排在第 个，
因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以 ，
以给定所在位置的序号作为条件， ，
当 时，最大的福袋在前 个福袋之中，不会被摘到，此时 ，
当 时，最大的福袋被摘到，当且仅当前 个福袋中的最大的一个在前 个福袋中时，所以，
由全概率公式知 ，
令函数 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，此时 ，
即 的最大值为 ，此时 的值为 .
5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒
乓球训练，已知甲第一局赢的概率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概
率为 ，如此重复进行.记甲同学第 局赢的概率为 .
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)求 ；
(3)若存在 ，使 成立，求整数 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可；
（2）由题意得 时， ，化简变形后可得数列 是首项为 ，公比为 的
等比数列，从而可求出 ；
（3）由题意得 ，令 ，利用导数可判断 在 上递减，则问题转化为求 的最小值，从而得 ，进而可求得答案.
【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为 ，
所以乙赢的概率为 ；
（2）由已知 时， ，
所以 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ；
（3） ，即 ，令 ，则 ，
因为 和 在 上递减，
所以 在 上递减，
因为 ，所以 时， ，则 在 上递减，
显然 ，因此要求 的最大值，即求 的最小值，
又 ， 为偶数时， ， 为奇数时， ，
且在 为奇数时， 是单调递增的，
所以 是 中的最小值，
所以 ，又 在 上是减函数，
所以 ，而 ，故
所以 ，
所以满足 的整数 的最小值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有 瓶待测试
剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：
方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；
方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（ ， ），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测
一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测.
已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X是方案二这n瓶待测试剂的检测次数， 为方案二
的检测次数的数学期望.
(1)记 的最大值为E，求证： ；
(2)能否认为 恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性；
(3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)能，理由见解析，合理性见解析；
(3)方案见解析
【分析】（1）写出方案二中 ，转化为证明 恒成立，再利用导数即
可证明；
（2）求出 ，最后根据检测次数的期望即可说明其合理性；
（3）模拟二分法即可设计方案.
【详解】（1）设 “每个小组的检测次数”，则 或 ，令 ，
则 ，
恒成立 恒成立，
令 ，
，因为 ，所以 在 上单调递增，
，
所以存在 使得 ，得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，证毕．
（2）由（1）知 ，所以 ，
由题意知 ，所以 ，
在 不是很大的条件下， ，
所以可以近似认为 ，
因此若以检测次数期望最小为决策依据，那么根据方案二检测次数的期望小于方案一的检测次数，可以认
为方案二更优．
（3）二分法混合检测
方案说明：当 为奇数时，分为 和 两份检测，各自混合检测，
再将含有 的那部分再分2份混合检测，如果遇到奇数瓶时，按照第一次分法即可；
如果遇到偶数瓶时，则分为相同两份检测，依次类推；
当 为偶数时，分为 和 两份检测，各自混合检测，
当 为偶数时，按照第一次分法继续分为两份，各自混合检测；
当 为奇数时，按照瓶数差为1的分法继续分，即 和 两份检测，依次类推；
理由：若混合液中未检测出 成分，那剩下的试效含有 成分的概率会提高，
同时也排除了该混合液对应试剂含有 的可能性，更有针对的进行试验，从而减少检测次数.
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为证明 恒成立，再利
用导数即可证明.
7．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时
间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接
到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，
显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要
的地位．若随机变量 服从参数为 的泊松分布（记作 ），则其概率分布为
， ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 ．若 ，求 的值（保留三位小数）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率为 ，各芯片是否为次品相互独立，以 记产品中的次品数．
①若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率；
②若 ，求在 个产品中至少有 个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律?
(3)若 ，且 ，求 的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若 ，则一有 ， ，
； ， ， ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）分析可知， ，利用正态分布 原则可求得 的值；
（2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得 ，比较大小后的可得出结
论；
（3）利用泊松分布得出 ，由 ，得出 ，然后构造函
数，结合函数的单调性比较 与 的大小，以及 与 的大小，即可得出 的最大值.
【详解】（1）因为当 ，且 时，可近似地认为 ，即 ，
这里 ， ，
所以，
.
（2）①若 ，则
；
②若 ，其中 ，
则 .
比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情
形下，可以用泊松分布来计算二项分布.
（3）由于 ，所以， ，
由泊松分布的概率公式可得 ， ，所以， ，
因为 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
所以，函数 在(0,+∞)上单调递减，
由于 ， ，所以， ，
又因为 ，需要比较 与 的大小，
而 ，所以，相当于比较 与 的大小，
构造函数 ，
所以， 对任意的 恒成立，
所以，函数ℎ(x)在 上单调递减，且 ，
所以， ，所以， ，
即 ，
且 ，需要比较 与 的大小关系，而 ，
所以相当于比较 与 的大小，
构造函数 ，其中 ，且 ，
，
当 时， ，所以，函数 在 上单调递增，
即 ，即 ，即 ，
因此， 的最大值为 .
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.题型 03 概率与其他知识点结合
【典例训练】
重难点17素材03
一、解答题
1．（2024·吉林长春·一模）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有
关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性（患病），小于
或等于 的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患
病者判定为阳性的概率.
(1)随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值 进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），
其中2男8女，写出 列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为误判与性别有关？
(2)经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
[95， （100， （105， （110， （115， （120， （125，
指标
100] 105] 110] 115] 120] 125] 130]
患病
者频 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
率
指标 [70，75]
未患
病者 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
频率
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在
以内（小于等于 ），求临界值 的范围；
(3)在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值 及 对应的误诊率和漏诊率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析；无关
(2)
(3) ；误诊率为 ，漏诊率为
【分析】（1）依题意列出 列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度；
（2）分别根据漏诊率和误诊率都小于 ，结合频率分布表，先判断临界值 所在组别，再利用百分位
数的定义，建立 满足的不等式，继而得到临界值 的范围；
（3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解.
【详解】（1）依题意，列出 列联表为：
误判人数 未误判人数 总计
男性人数 2 498 500
女性人数 8 492 500
总计 10 990 1000
由上表， ，
故可以认为，依据小概率值 的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性
别无关；
（2）因漏诊率小于等于 ，由频率分布表可知，临界值 应在 内，
依题意，有 ；
又因误诊率小于等于 ，由频率分布表可知，临界值 应在 内，
依题意，有 .
综上，临界值 的范围为 ；
（3）由（2）已得 ，设误判率为 ，
当 时， ，
当 时，
，
所以当 时，误判率 最小，
相应的误诊率为 ，漏诊率为： .
【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题.
解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出
相应的方程或不等式求解.
2．（2024·甘肃张掖·一模）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一
周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的
统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的
40 10 50
居民
年龄超过45岁的居
20 30 50
民
合计 60 40 100
(1)试根据 的 独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．
(2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选
择在 平台买菜，那么周二选择在 平台买菜的概率为 ；如果周一选择在 平台买菜，那么周二选择在
平台买菜的概率为 ，求小张周二选择在 平台买菜的概率.
(3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量 ，并
记随机变量 ，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05
(2)
(3) 的数学期望 ，方差 ， 的数学期望 ，方差
【分析】（1）根据给定数表，求出 的观测值，再与临界值表比较即可求解；
（2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答；
（3）由二项分布的期望、方差公式求解随机变量X的数学期望和方差，再利用数学期望和方差的性质求
解Y的数学期望和方差即可.
【详解】（1）统计假设 ：该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄无关系，
由给定的2×2列联表，得根据小概率值 的独立性检验，否定假设 ，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（2）设 表示周 在 平台买菜， 表示周 在 平台买菜， .
由题可得 ．
由全概率公式，小张周二选择在 平台买菜的概率
；
（3）依题意，该社区居民喜欢网上买菜的概率估计值为 .
从该社区随机抽取10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数 ，
所以 的数学期望 ，方差 .
又 ，所以 的数学期望 ，方差 .
3．（2024·广西柳州·一模）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 和 两个套餐服务，并在
购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择 和 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券
的情况（单位：千张）的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ，其中 包含一张优惠券， 套餐包含两
张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 张优惠券，设其概率为 ，求 ；
(3)记（2）中所得概率 的值构成数列 ，求数列 的最值．
参考数据： ， ， ，
参考公式：相关系数【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)最大值为 ，最小值为 ．
【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数；
（2）根据题意得 ，由递推关系可得等比数列 ，利用等比数列的前 项和
公式计算即可；
（3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值.
【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ，
，
所以相关系数 ，
因为 与 的相关系数近似为0.9632，说明 与 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与
的关系.
（2）依题意得， ，其中 ， ，
则 ，
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 成立，
则有
，
所以 ，又 ，
则 .（3）当 为偶数时， ，单调递减，最大值为 ， ，
当 为奇数时， ，单调递增，最小值为 ， ，
所以数列 的最大值为 ，最小值为 ．
4．（23-24高三下·安徽阜阳·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶
段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，
游戏规则如下：
①有4次游戏机会．
②依次参加A，B，C游戏.
③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，
直到4次机会全部用完.
④参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加 游
戏，则每次胜利可以获得奖金200元．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是 ，乙参加每一个游戏获胜的概率都是 ，甲、乙参加每次游戏相
互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由．
(2)在（1）的基础上，解答下列两问．
（ⅰ）求该运动员能参加 游戏的概率．
（ⅱ）记 为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示 关
于 的函数．
【答案】(1)甲，理由见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）答案见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得.
（2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按 游戏使用次数，求出 值及
对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可.【详解】（1）甲运动员成绩位于 的频率为0.3，则其中位数大于80，
而乙运动员成绩位于 的频率为0.6，，则其中位数小于80，
所以甲运动员参加第二阶段游戏.
（2）（ⅰ）若甲能参加 游戏，则 游戏至多共使用3次机会，
① 游戏共使用2次机会，则概率 ；
② 游戏共使用3次机会，则概率 ，
所以甲能参加 游戏的概率为 .
（ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是 ，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为 ，
① 游戏使用了4次，则 或50；
② 游戏使用了3次，则 或150；
③ 游戏使用了2次， 游戏使用2次，则 或150；
④ 游戏使用了2次， 游戏使用1次，则 或350；
⑤ 游戏使用了1次， 游戏使用3次，则 或150；
⑥ 游戏使用了1次， 游戏使用2次，则 或350；
⑦ 游戏使用了1次， 游戏使用1次，则 或350或550，其中 有2种情况，
因此，当 时， ；当 时， ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
所以用列表法表示 关于 的函数为：
0 50 150 350 550
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
5．（2024高三·全国·专题练习）将连续正整数1，2， ， 从小到大排列构成一个数 ，
为这个数的位数 如当 时，此数为123456789101112，共有15个数字， ，现从这个
数中随机取一个数字， 为恰好取到0的概率.
(1)求(2)当 时，求 的表达式.
(3)令 为这个数中数字0的个数， 为这个数中数字9的个数， ，
，求当 时 的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）计算 ，数字0的个数为11，得到概率.
（2）考虑 ， ， ， 四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑 时，当 时，当 时三种情
况，得到 和 的解析式，得到 ，再计算概率的最值得到答案.
【详解】（1）当 时， ，
即这个数中共有 个数字，其中数字 的个数为 ，
则恰好取到 的概率为 ；
（2）当 时，这个数有 位数组成， ；
当 时，这个数有 个一位数组成， 个两位数组成，则 ；
当 时，这个数有 个一位数组成， 个两位数组成， 个三位数组成， ；
当 时，这个数有 个一位数组成， 个两位数组成， 个三位数组成 个四位数组
成， ；
综上所述： ，
（3）当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，即 ，
同理有 ，
由 ，可知 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由 关于 单调递增，
故当 时，有 的最大值为 ，
又 ，
所以当 时， 的最大值为 ．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的
小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方
移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择
是相互独立的．
(1)商场规定：某顾客从 出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得
分，当他走完第四步后，得分为 ，求 的分布列；(2)商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从 出发，走到点 的位置．设
走完第 步后，顾客位于点 ，老板位于点 ，其中 且 ；若对任意
且 都有 ，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为 ．
（i）当 时，求顾客获胜的概率 ；
（ⅱ）求 ，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大．
参考公式： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i） ;（ⅱ）答案见解析
【分析】（1）先求出 的取值情况，再分析每种情况表示的意义，借助独立事件的乘法公式计算概率，
进而得到分布列即可；
（2）（i）运用组合知识求出顾客和老板从 步中选 步是向右下方走的组合数，设顾客在第
步向右下方走，则分情况讨论老板的走法总数，再用概率公式计算即可.
（ⅱ）与（i）同理求出 ，变形 借助函数 的单调性，知道数列
是递减数列，再讨论得解.
【详解】（1）根据题意， 可取 .
当 ，每次的操作使得分数减少 ，每次操作的概率为 .由于走了 步，且每步都要使得分数减少 ，
所以 .
当 意味着 步中有 步是使得分数减少 的操作， 步是使得分数增加 的操作.
步中选 步的组合数为 .
每步操作的概率为 ，所以 .
当 表示 步中有 步是使得分数减少 的操作，另外 步是使得分数增加 的操作.
步中选 步的组合数为 .
每步操作概率为 ，所以 .
当 意味着 步中有 步是使得分数减少 的操作， 步是使得分数增加 的操作.
步中选 步的组合数为 .
每步操作概率为 ，所以 .，每次的操作使得分数增加 ，每次操作概率为 ，走了 步，
所以 .
则 的分布列为：
-4 -2 0 2 4
（2）（i）顾客一共需要走 步，其中向右下方走 步，向右上方走 步.
从 步中选 步是向右下方走的组合数为 .同理，老板也有 种走法；
对任意 ，都有 ，可设顾客在第 步向右下方走，则老板的走法有两种情况：
情况一：老板在第1步到第 步中有两步向右下方行走，共 种走法：
情况二：老板在第1步到第 步中有一步向右下方行走，在第 到第k步中有一步向右下方行
走，共 种走法，所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为
所以
（ⅱ）当顾客和老板都从 出发，走到点 的位置时， 顾客一共需要走
步，其中向右下方走2步，向右上方走 步，共有 种走法；同理，老板也有 种走法；
对任意 都有 ，同样可设顾客在第 步向右下方走，则老板的走法有
两种情况：
情况一：老板在第1步到第 步中有两步向右下方行走，共 种走法；
情况二：老板在第1步到第 步中有一步向右下方行走，在第 到第k步中有一步向右下
方行走，共 种走法；
所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为
.所以顾客获胜的概率为
由于
又函数 在 上单调递减，
所以数列 是递减数列，
又 ，所以当 时，有
所以在商场制定的游戏规则中， 当 时，顾客与老板的获胜概率是相等的；
当 时，老板的获胜概率更大.
【点睛】关键点点睛：第一问关键是找清楚X的所以情况，以及代表的意思，结合独立事件求概率；第二
问关键是找出顾客和老板的走法数情况，分类讨论，用函数单调性结合得到 单调性即可求解.题目较难，
理解能力和计算能力要求高，属于难题.
重难点17素材04
一、解答题
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)当 时，求 ；
(3)函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据 概念，结合频率分布直方图，代入 可解.
（2）用频率分布直方图，结合 的意义列不等式可解.
（3）分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可.
【详解】（1）当 时， ，
，所以 ．
（2）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为 ，
所以 ．当 时， ，
解得 ．此时 ．
（3）当 时，
．
当 时，．
因为 ，
所以 在区间 的最小值为0.02．
又因为 ， ，
所以 在区间 上的值域是 ．
2．（2024·浙江·三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校
进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击
中靶心的概率为 ，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第 次击
中靶心的概率也为p，否则第 次击中靶心的概率为 ．
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 ， 称为X的分布函数，
对于任意实数 ， ，有 ．因此，若已知X
的分布函数，我们就知道X落在任一区间 上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选
手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）列出 的可能值，并求出对应的概率，可得 的分布列，并求期望.
（2）根据分布函数的概念，求分布函数.
【详解】（1）甲选手得分X的取值可为0，1，2，3，
， ．
， ，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
X的数学期望是 ．
（2）（i）X的分布函数为 ；
（ii）设随机变量Y的分布函数为 ，
若 ，此时 ；
若 ，由题意设 ，
当 时，有 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
若 ，此时 ，
综上所述， ．
3．（23-24高三下·山西长治·期中）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 （单位：
个）和平均温度 （单位： ）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不
呈现线性相关关系，现分别用模型① 与模型② 作为平均产卵数 和平均温度 的回
归方程来建立两个变量之间的关系.平均温度 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数 个 5 9 22 25 65 118 324
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中 .
(1)根据表中数据，经计算得出模型① ，请建立模型②下 关于 的回归方程；并在两个
模型下分别估计温度为 时的产卵数；（ 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
(2)模型①，②的决定系数分别为 ，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好；
(3)根据以往统计，该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到 以上的概率为 ，该地今后
年恰好需要2次人工防治的概率为 .
①求 取得最大值时对应的概率 ；
②当 取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为 ，求 的均值和方差.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
【答案】(1)答案见解析
(2)模型②的拟合效果更好
(3)① ；②
【分析】（1）先令 ，建立 与 的线性相关关系，利用表中数据结合最小二乘法求出 即可得
解；
（2）根据决定系数的大小关系及意义即可得解；
（3）①先由题意得 ，再利用导数工具结合 范围即可得解；
②由①得每年需要人工防治的概率为 ，故由题意 ，接着由二项分布的均值和方差公式
即可得解.
【详解】（1）令 ，则 ，
所以 与 呈线性相关关系，
由题 ， ， ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以模型②下 关于 的回归方程为 ；
当 时，
经模型①计算估计产卵数为 ，
经模型②计算估计产卵数为 .
（2）因为模型①，②的决定系数分别为 ，故 ，
所以模型②的拟合效果更好.
（3）①由题 ，
所以，
令 得 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 取得最大值时对应的概率 .
②由①知，当 时 取最大值，
所以当 时， ，
则由题意可知每年需要人工防治的概率为 ，且 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：常见非线性回归方程类型与求解思路：
求解思路：非线性转化成线性.
（1）指数型：
令 ，则 与 建立线性相关关系，
利用最小二乘法公式求出 关于 的线性回归方程，进而利用 即可得到 关于 的回归方程.
（2）幂函数型：
令 ，则 ，故 与 建立线性相关关系，
同理求出 关于 的线性回归方程，即可利用 得到 关于 的回归方程.
（3）对数型：
令 ，则 ，故 与 建立线性相关关系，
同理求出 关于 的线性回归方程，即可利用 得到 关于 的回归方程.
4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.
研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗
体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的 列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生
抗体与指标值不小于60有关；
单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ；
（ii）以（i）中确定的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人
注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 .求 及 取最大值时的 值.
参考公式： （其中 为样本容量）
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列联表见解析，不能
(2)（i） ；（ii） ，
【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据
参考公式进行运算，得到 ，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据条件得到 ，
利用二项分布的期望公式，即可求出期望；先设 时， 最大，根据最大，结合二项分布概率
求法列出不等式组，即可求出结果.
【详解】（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在 内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 内有 （只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有 （只），
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为 ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得 .
根据 的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件 “小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件 “小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件 “小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件 发生的概率分别为 ，则 ，
.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 .
（ii）由题意，知随机变量 ，所以 .
又 ，设 时， 最大，所以
解得 ，因为 是整数，所以 .
5．（2024·吉林·模拟预测）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校
体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看
台的栏杆上，桃篮上沿离地面约 米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将
球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮
球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，
进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率
分别是 和p，且每人进球与否互不影响．
(1)若 ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若 ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期
望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）分别求得甲和乙在每一轮比赛中投进 球对应的概率，再结合题意，求出乙在一轮比赛中获
得1个积分的概率即可；
（2）先求得乙在每轮比赛至少要超甲2个球的概率，设随机变量 表示 轮比赛后，乙在每轮比赛至少
要超甲2个球的情况下获得的积分，根据二项分布的期望计算公式求得 ，进而根据题意，列出不等
关系，结合导数研究函数的单调性，从而求得结果.
【详解】（1）设事件 表示甲在一轮比赛中投进 个球， 表示乙在一轮比赛中投进 个球，
则 ， ， ， ；
， ， ，
；
若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利 次，
故其概率.
（2）设事件 表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量 表示 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然 ，故 ，
要满足题意，则 ，即 ，又 ，故 ，
令 ，则 在 恒成立，
故 在 上单调递增，又 的最大值为 ，
则 的最大值为 ， 的最小值为 ，而 ，
故理论上至少要进行 轮比赛.
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是设出随机变量 ，利用二项分布的期望求解公式，解得
；同时，构造函数 ，利用导数研究其单调性和最值；属综合困难题.
6．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿
势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否
直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运
用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则
是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必
须将球传出．
(1)记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记 次传球后球在小胡
手中的概率为 ．
①直接写出 的值；
②求 与 的关系式 ，并求 ．
【答案】(1)分布列见解析
(2)① ；② ；【分析】（1）依题意可知 的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列；
（2）①利用古典概型的概率公式计算可得；
②记 表示事件“经过 次传球后，球在小胡手中”，由全概率公式可求 ，再由数列知识，
由递推公式求得通项公式．
【详解】（1） 的所有可能取值为 ，
所以 ，
所以 的分布列为
1 2 3
（2）①由题意知， ．
②记 表示事件“经过 次传球后，球在小胡手中”， ，
所以
即
所以 ，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
即 次传球后球在小胡手中的概率是 ．
【点睛】思路点睛：离散型随机变量的分布列问题，首先确定离散型随机变量的可能取值，再利用组合数
公式和古典概型进行求概率，列出分布列即可，第（2）问，利用全概率公式建立等式，利用递推关系和
等比数列的定义、得出通项公式．
7．（2024·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有 个除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机
取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与
奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列 的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）将 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前 位
顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率；
（3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可.
【详解】（1）设第 位顾客中“特等奖”为事件 ，第 位顾客中“参与奖”为事件 ，
， ，
故 ，
所以在第 位顾客中“参与奖”的条件下，第 位顾客中“特等奖”的概率为 .
（2）由题意得 ， 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等
奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，故数列 的通项公式为 .
（3）设第 个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率 ，
要使 最大，即使 最大，
所以 ，
即 ，化简得 ，且 ，
又 在(0,+∞)上单调递减，
所以 ，综上所述， .
【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最
后一位顾客中“特等奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率.
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：
①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投
篮命中率为 ，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量 .
(1)求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率；
(2)求该同学投篮次数 （不超过 ）的分布列；
(3)在（2）的前提下，若 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)4
【分析】（1）根据题意解独立重复试验即可得到答案；（2）根据题意先求出概率 再列出分布列即可；
（3）结合（2）化简可得 ，应用错位相减得出和最后结合数列单
调性即可得到最小值.
【详解】（1）根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必
定投中，
所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为 .
（2）依题意，
投篮次数 的可能取值为2，3，4， ，
，
，
，
随机变量 的分布列如下表，
2 3 4
（3）由（2）得： ，
化简得 ，
即 .
记 ①，则 ②，
由①-②，可得 ，
即 ，解得 ，
由此可得， ，即 .
设 ，
因为 ，可得数列 是递减数列.
又 ， ，
所以整数n的最小值为4.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是错位相减法求出概率和，进而化简结合数列单调性即可解题.
9．（24-25高三上·广西·阶段练习）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口
袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），
交换小球 次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为 ，恰有1个黑球的概率为 .
(1)求 ， ；
(2)求 ， ；
(3)求数列 的通项公式，并证明 .
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，证明见解析
【分析】（1）根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）根据条件概率与全概率公式计算即可；（3）讨论第 次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形，构造等比数列计算通项公式，
再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可.
【详解】（1）第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则
.
第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得 .
（2）若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，
则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，
所以 .
若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，
则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，
当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，
所以 .
（3）第 次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：
①若第 次换球后甲口袋中有2个黑球，则第 次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；
②若第 次换球后甲口袋中有1个黑球，则第 次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；
③若第 次换球后甲口袋中有0个黑球，则第 次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.
所以 .
设 ，
则 ，则 ，得 .
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以 ，即
所以.
【点睛】思路点睛：根据条件概率与全概率公式得出第n次换球后甲袋1个黑球的第 次换球后甲袋中
黑球个数的情形得出 的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可.
10．（23-24高三下·浙江·期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴
趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相
关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2
运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”
重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为 ，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为 ，恰有2艘
“M1转移塔”的概率为 ，求
①求X的分布列；
②求 ；
③试判断 是否为定值，并加以证明．
附： ， ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)填表见解析；有
(2)① 答案见解析；② ；③ 为定值1，证明见解析
【分析】（1）先计算 ，再根据独立性检验判断即可；
（2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的
定值.【详解】（1）由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合计 50 50 100
则 的观测值为 ，
所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
（2）（ⅰ）由题可知， 的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：
； ；
故 的分布列如下表：
0 1 2
P
（ⅱ）由全概率公式可知：
即： ，所以 ，所以 ，
又 ，所以数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
（ⅲ）可判断 为定值
由全概率公式可得：即： ，又 ，
所以 ，
所以
又 ，
所以 ，
所以
所以
可得 的分布列
0 1 2
P
所以
∴ 为定值1
【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值.
11．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过
病鼠与白鼠之间的接触传染．现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为
，设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之
间相互独立．
(1)若 ，求数学期望 ；
(2)设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，
随机变量， 表示第i组被感染的白鼠数．现将随机变量 )的实验结果
绘制成频数分布图，如图所示．①试写出事件“ ”发生的概率表达式(用p表示，组合数不必计算)；
②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数 的取值有关，团队A提出函数模型为
，团队B提出函数模型为 ．在统计学中，若参数 时使得概率
最大，称 是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模
型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：
．
【答案】(1)
(2)① ；②团体B，
【分析】（1）易知随机变量 服从二项分布，由 ，得 ，数学期望 即可
求解；
（2）①设 “ ”，依题意得
化简即可；②记
，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B
中提出函数模型即可得答案．
【详解】（1）由题知，随机变量 服从二项分布，即 ，
可知 ，
由 ，即 ，
可得 ，解得 ，
即 ，所以 ．（2）① ，
则 ，
可得 ．
②记 ，
则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 取得最大值，即 取得最大值．
在团体A提出的函数模型 中，
记函数 ， ，
当 时， ；当 时， ；
(1 )
可知 在 内单调递增，在 ,1 内单调递减；
2
当 时， 取得最大值 ，则 不可以估计；
在团体 提出的函数模型 中，
记函数 ，
可知 在(0,1)内单调递增，
令 ，解得 ，
则 是 的最大似然估计．
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
12．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方
向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在 四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点 ，记 的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ；
(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
（i）已知 求 以及 ；
（ii）令 ，记 为数列 的前 项和，若对任意实数 ，存在 ，使得 ，则称粒
子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
【答案】(1)见解析
(2)（i） ； ； （ii）见解析
【分析】（1）求出求 的可能取值及其对应的概率，即可求出 分布列，再由数学期望公式求出 ；
（2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故 ；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概
率公式求解即可；第 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动 步，向右移动 步，向上移动 步，向
下移动 步，表示出 ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明
，再令 可证得 ，进一步可得
，即可得出答案.
【详解】（1）粒子在第 秒可能运动到点 或 或 的
位置， 的可能取值为： ，
， ， ，
所以 的分布列为：
.
（2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故 ，
粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有 种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有 种情形；
于是 ，
第 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动 步，向右移动 步，向上移动 步，
向下移动 步，故
.
故 .
（ii）利用 可知：
，
于是 ，
令 ， ，
故 在(0,+∞)上单调递增，
则 ，于是 ，
从而有： ，
即 为不超过 的最大整数，则对任意常数 ，当 时，
，于是 ,
综上所述，当 时， 成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用 可得
，再令 可证得 ，进一步可得
，即可得出答案.
13．（24-25高三上·湖南郴州·开学考试）在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为
.猜是反面的概率为 ；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为 ，猜是正面的概
率为 .假设每次扔硬币相互独立.
(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为 ，试比较 的大
小；
(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：
① ；② ；③ ，④
（ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用 表示猜测的正反文字串，将 中正面的个数记为
，如 “正反正反”，则 ，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求 的取值范
围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求 ，作差可得 ，
分别在 条件下确定差的正负，由此可得 的大小关系，
（2）（i）由条件证明 ，由不等式性质可求 的范围，由此确定一定错误的结论；
（ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求 ，
若选①，令 ，求出 的范围，化简 ，结合二次函数性质求其范围；
若选③，令 ，结合对勾函数性质求 的范围，化简 ，结合二次函数性质求其范围；
【详解】（1）猜测全部正确的概率为 ，
猜测全部错误的概率为 ，
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
（2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
因此，②④一定错误，
（ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件 包含以下三种情况：
两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为 ；
有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为 ；
两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为 ；
所以 ，
若选择① ，
令 ，则 ，其中 ，
所以 ，
所以 ，
记 ， ，
由二次函数的性质可知， 在区间 上单调递增，
所以 ，
即 的取值范围是
若选择③ ，此时 ，又 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则
， ，
由对勾函数性质可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
记 ， ，
由二次函数的性质可知， 在区间 上单调递减，
所以 ，即
【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件 ，利用基本事件表示
，再结合概率运算公式求其概率表达式.
14．（2024·河北张家口·三模）在某项投资过程中，本金为 ，进行了 次投资后，资金为
，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当
次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可
能），记利润率为 的概率为 （其中 ），其中 ，由大数定律可知，当N足够大
时，利润率是 的次数为 ．
(1)假设第1次投资后的利润率为 ，投资后的资金记为 ，求 与 的关系式；
(2)当N足够大时，证明： （其中 ）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为 ，其利润率为 ；输了的概率为 ，其利润率为
，求 最大时x的值（用含有 的代数式表达，其中 ）．【答案】(1) ；
(2)证明见详解；
(3) .
【分析】（1）根据题意表示出利润，然后加上 可得；
（2）根据题意得 ，然后利用累乘法求 即可；
（3）利用（2）中结论得 ，然后利用导数求最大值点即可.
【详解】（1）由题知，投入资金为 ，所获利润为 ，所以 .
（2）由题可知， ，即 ，
所以
.
（3）由（2）可得 ， ,
其中 ，故 ，故 .
记 ，
则
，
根据实际意义知， ，
则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，所以当 时， 取得最大值，即 取得最大值.
【点睛】关键点点睛：本题关键是寻找 与 的递推关系，利用累乘法求出 ，然后由导数求最大值
点即可.
15．（2024·江西新余·模拟预测）生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的
一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞
均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有 的概率分裂为 个细胞（即死亡），...，有 的概率
分裂为 个细胞.记事件 ：细胞最终灭绝， ：细胞第一次分裂为 个细胞.记该细胞第一次分裂后有
个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用 的数学期望 作为衡量生物灭绝可能性的依
据，如果 ，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果 ，则理论上我们认为细胞在足够多代的
繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接写出 的数学期望 .
(2)用只含 和 的概率式表示 并证明该细胞灭绝的概率为关于 方程： 的最小正实根.
(3)若某种细胞发生基因突变，当 时 .
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为
两个的能力（即只有可能分裂成 个或 个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为 个的能力，并
等可能分裂为 个或 个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知： ，求出一个该种泛滥
型细胞经过 次分裂，得到 个细胞的概率 .
【答案】(1)
(2)， ，证明见解析
(3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）对于求随机变量的数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和.
（2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推
导.
（3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3
个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解.
【详解】（1） .
（2） ，
则： ，，由于分裂后细胞相互独立，
. ，
所以： .
若 能取到 中的所有数，则令： ，有： ，
为该方程的一个实根， . ，
由于f′(x)的每一项在 上均单调递增，故f′(x)单调递增，
.
由于 ，则：①当 时， 单调递减，f (1)=0， ，故在
， 只有唯一零点 ，
这是原方程的最小正实根，符合 的实际意义；
②当 时， ，故 唯一 使 ，
此时 在x∈(0,x )单调递减，在 单调递增且f (1)=0.
0
所以在 有两个零点 与 ，其中： .由于 ，
故 ，故 ，此时也取到原方程的最小正实根，符合 的实际意义.
综上：该细胞灭绝的概率为关于 方程： 的最小正实根.
（3）（ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率
，
故对该细胞母体： ，
，解得： ，该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）由条件： ，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求
解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解.
