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第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y= x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y= x（x﹣3）= x2﹣ x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，
故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x +x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t= 是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函
数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围
内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不
论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数
中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要
先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条
件．
【随堂练习】
1．下列函数关系中，是二次函数的是
A．在弹性限度内，弹簧的长度 与所挂物体质量 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间 与速度 之间的关系
C．等边三角形的周长 与边长 之间的关系
D．半圆面积 与半径 之间的关系
【解答】解： 、 ，是一次函数，错误；、 ，是反比例函数，错误；
、 ，是正比例函数，错误；
、 ．是二次函数，正确；
故选： ．
2．（嘉兴期末）下列函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；
、 的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；
、 中自变量 的指数是3，不是二次函数，故本选项错误；
、 符合二次函数的定义，故本选项正确；
故选： ．
3．（昭平县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、是一次函数，故此选项错误；
、是代数式，故此选项错误；
、是二次函数，故此选项正确；
、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选： ．
4．（江干区期末）下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，是一次函数，故此选项错误；
、 ，不是整式方程，故此选项错误；
、 ，是一次函数，故此选项错误；、 ，是二次函数，故此选项正确．
故选： ．
5．（桐城市期末）下列函数中， 关于 的二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、是三次函数，故 不符合题意；
、等式的右边不是整式，故 不符合题意；
、是二次函数，故 符合题意；
、 时不是二次函数，故 不符合题意；
故选： ．
6．（嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，是一次函数，故此选项错误；
、 ，是一次函数，故此选项错误；
、 ，是二次函数，符合题意；
、 ，是反比例函数，不合题意．
故选： ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.2.二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即 ，其中
3.二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我
们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点
、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴
对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.4. 二次函数 的性质
（1）当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当
时， 有最小值 ．
（2） 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，
有最大值 ．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.
【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)² 中 x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例 y=（x+2）²顶点坐
标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.【随堂练习】
1．（安徽一模）二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【解答】解：观察函数图象，可知： ， ，
一次函数 的图象经过第一、二、三象限．
故选： ．
2．（中山市模拟）函数 与 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，二次函数开口向上，当 时一次函数过一，二，四
象限，当 时一次函数过二，三，四象限；
当 时， ，二次函数开口向下，当 时一次函数过一，二，三象限，当
时一次函数过一，三，四象限．
所以 正确．
故选： ．
3．（李沧区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为A． B．
C． D．
【解答】解： 、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知，
， ，故本选项正确；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，
故本选项错误；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误．
故选： ．
4．（东兰县三模）二次函数 的图象如图所示，则下列结论中错误的是
A．函数有最小值 B．当 时，
C． D．当 ， 随 的增大而减小
【解答】解： 、由图象可知函数有最小值，故正确；、由抛物线可知当 时， ，故错误；
、当 时， ，即 ，故正确；
、由图象可知在对称轴的左侧 随 的增大而减小，故正确．
故选： ．
5．（广水市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数 与二次函数
的图象大致可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选
项错误；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选
项正确；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误．
故选： ．
二．填空题（共3小题）
6．（武侯区校级模拟）点 为二次函数 图象上一点，其对称轴为 ，
则点 关于 的对称点的坐标为 ．
【解答】解：二次函数 的对称轴为 ，
点点 关于 的对称点的坐标为 ，故答案为： ．
7．（越秀区校级一模）抛物线 过点 ，且 ，则抛物线的
对称轴是 ．
【解答】解： 抛物线 中 ，
该抛物线必过点 ，
点 ， 纵坐标都是0，
此抛物线的对称轴是直线 ．
故答案为：直线 ；
8．（杨浦区模拟）若点 ， 是抛物线 上的两个点，则此抛物线的
对称轴是 ．
【解答】解： 点 ， 是抛物线 上的两个点，且纵坐标相等．
根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线 ．
故答案为： ．
三．解答题（共2小题）
9．（西湖区一模）已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴交于
点 ，顶点为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求证： ；
（3）当 时，判断 是否成立？并说明理由．
【解答】解：（1） 时，
点 坐标为
（2）证明： 二次函数的图象经过点（3）当 时， 成立，理由如下：
， 即
成立
10．（雷州市一模）已知抛物线 ．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴方程为 ；
（2） ，
当 ，即 或4时 ，
抛物线一定经过 ， ；
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原
点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∴x=﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
【答案】D.
【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴
是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D.
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【方法总结】
1、抛物线 与 轴的交点个数与一元二次方程 的
有关系，
①当 时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当 时，抛物线与x轴有一个交点；
③当 时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与 有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于 .(“ ”
的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与 三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函
数关系式，(例如 的图象经过(1,0)，可以得到0= )
【随堂练习】
1．（河池）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，则下列结论中，错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、由抛物线的开口向下知 ，与 轴的交点在 轴的正半轴上，可得
，因此 ，故本选项正确，不符合题意；
、由抛物线与 轴有两个交点，可得 ，故本选项正确，不符合题意；、由对称轴为 ，得 ，即 ，故本选项错误，符合题意；
、由对称轴为 及抛物线过 ，可得抛物线与 轴的另外一个交点是 ，所以
，故本选项正确，不符合题意．
故选： ．
2．（福田区三模）如图是抛物 图象的一部分，且抛物线的对称轴为 ，
那么下列说法正确的是
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【解答】解：①由抛物线与 轴交于两点可知： ，故①正确；
②由抛物线的图象可知： ， ，
对称轴 ，
，
，故②错误；
③由对称轴可知： ，
，即 ，故③错误；
④当 时， ，
故④正确；
⑤当 时， ，故⑤正确；
故选： ．
3．（甘肃）如图是二次函数 的图象，对于下列说法：① ，②，③ ，④ ，⑤当 时， 随 的增大而减小，其中正确的
是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【解答】解：①由图象可知： ， ，
，故①错误；
②由于对称轴可知： ，
，故②正确；
③由于抛物线与 轴有两个交点，
△ ，故③正确；
④由图象可知： 时， ，
故④正确；
⑤当 时， 随着 的增大而增大，故⑤错误；
故选： ．
4．（费县二模）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．直线 与抛物线 交于 ，
两点， 点在 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①由图象可知： 时， ，
，故①错误；
②令 代入 ，
，
由图象可知： ，
由图象可知： ，
，
，故②正确；
③由图象可知： 时， 的最大值为 ，
当 取全体实数时， ，
即 ，故③正确；
④联立 ，
化简得： ，
或 ，
即 的横坐标为 ，
由于 ， ，且 ，
，
，故④错误，
故选： ．5．（陕西模拟）如图，函数 的部分图象与 轴、 轴的交点分别为 ，
，对称轴是 ，在下列结论中，正确的是
A．顶点坐标为
B．抛物线与 轴的另一个交点是
C．当 时， 随 的增大而增大
D．
【解答】解： ．抛物线经过点 ，且对称轴是 ，则顶点坐标不是 ，即
项错误，
．抛物线与 轴的一个交点是 ，对称轴是 ，则与 轴另一个交点的横坐标为：
，另一个交点是 ，即 项错误，
．由图可知，抛物线对称轴是 ，开口向下，则 时， 随 的增大而增大，
时， 随 的增大而减小，即 项错误，
．根据二次函数与系数的关系和函数图象可知： ，解得： ， ，则
，即 项正确，
故选： ．
6．（宜宾模拟）如图，关于二次函数 的结论正确的是
① ；②当 时， ；③若 ， ， ， ，在函数图象上，当
时， ；④ ．A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
【解答】解：①抛物线过点 与 ，
抛物线的对称轴为 ，
，
，故①正确；
②由图象可知：当 时， ，故②错误；
③当 时， ，故③错误；
④当 时， ，
，
，
，故④正确；
故选： ．
7．（岳池县模拟）如图是二次函数 ， ， 是常数， 图象的一部
分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 ．对于下列说法：①当
时， ；② ；③ ；④ ，其中正确的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：①由图象知当 时， 不只是大于0．故①错误；② 对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，故②正确；
③ 对称轴 ，
；故③正确；
④ ，
，
当 时， ，
，故④错误．
故选： ．
8．（福田区模拟）已知 的部分图象如图所示，若 ， 是一元二次
方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
、 是抛物线与 轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为 ，
，即 ，
由图象可知， ，
，
解得： ，故选项 正确；
，观察图象可知，故选项 错误；抛物线与 轴有两个交点，
，故选项 错误；
由对称轴可知 ，故选项 错误．
故选： ．
9．（九龙坡区校级月考）已知二次函数 的图象如图，则下列结论错
误的是
A． B． C． D．
【解答】解：（A）由于对称轴为 ，
与 关于 对称，
， ，
， ，
，故 正确；
（B）由图象可知 ， ，
，
，
，故 正确；
（C） ，
，
，
时， ，，
，
，
，故 错误；
（D）
，
，故 正确；
故选： ．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单
位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是
__________
【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2
【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕
顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【答案】1
【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点 P旋转180°得到一个新的抛物线是 y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，
y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积= ×2×（3﹣2）
=1．
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平
移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持
1
抛物线 的形状不变，将其顶点平移到
a=
3 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（雨花区校级期末）要由抛物线 得到地物线 ，则抛物线
必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：抛物线 必须向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位才得到
．故选： ．
2．（沙坪坝区校级模拟）将抛物线 向左平移2个单位，得到的新抛物线顶
点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： 二次函数解析式为 ，
顶点坐标
向左平移2个单位，得到的点是 ，
故选： ．
3．（渝中区校级模拟）将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．得
到的新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【解答】解： 二次函数解析式为 ，
顶点坐标
向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的点是 ，
可设新函数的解析式为 ，
代入顶点坐标得 ，
故选： ．
4．（淄博）将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．
若得到的函数图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数
解析式为 ，即 ，
将 代入，得 ，即 ，
由题意，得△ ，解得 ．
故选： ．
5．（陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与
关于 轴对称，则符合条件的 ， 的值为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 抛物线 与 关于 轴对称，
，解之得 ，
故选： ．
6．（长安区一模）将抛物线 绕其对称轴上一点 旋转 ，得到一个新
抛物线 ，若 、 两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则 点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线 ，对称轴为直线 ，顶点为 ，
抛物线 ，顶点为 ，
解 ，得 ，
根据题意得， ，解得 ， （舍去），
抛物线 的顶点为 ，点坐标为 ，
故选： ．
7．（绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线 经变换后得到抛物线
，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【解答】解： ，顶点坐标是 ．
，顶点坐标是 ．
所以将抛物线 向右平移2个单位长度得到抛物线 ，
故选： ．
8．（河南二模）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 1个单位长度，然后绕原
点旋转 得到抛物线 ．则原抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线的解析式为： ，
设原抛物线上有点 ，绕原点旋转 后，变为 ，
点 在抛物线 上，
将 代入 得到新抛物线 ，
所以原抛物线的方程为 ，
向下平移1个单位长度的解析式为 ．
故选： ．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为_____
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线 y=﹣2
（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物
线解析式为y=2（x+1）2+1；
抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点
旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为
y=2（x﹣1）2﹣1．
故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的
解析式为 ．
【答案】y=4x2+5x
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是y=4x2+5x，
故答案为：y=4x2+5x．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】y=x2+x﹣2
【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，解得 ；
∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数
的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几
种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（邵阳县模拟）抛物线 经过点 ，则 的值为
A． B．2 C． D．
【解答】解： 抛物线 经过点 ，
，
解得 ，
故选： ．
2．（福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过 ， ， 三点，则该函数解
析式为
A． B． C． D．
【解答】解：
二次函数的图象经过 ， ， 三点
设二次函数的解析式为： ，将点 代入得
，解得
故函数解析式为：整理得：
故选： ．
3．（镇原县期末）顶点在点 ，且图象经过原点的二次函数解析式是
A． B．
C． D．
【解答】解： 二次函数图象的顶点在点 ，
可设函数的解析式是 ，
把点 代入得， ，
解得： ，
则此二次函数的解析式是 ．
故选： ．
4．（乐清市一模）如图，在正方形 中， 、 分别是 、 的中点，
， ，垂足分别为 ， ，设 ，图中阴影部分面积为 ，则
与 之间的函数关系式是
A． B． C． D．
【解答】解：设正方形的边长为 ，
， ，
、 分别是 、 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知： ，
，
，
易证： ，
，
，
，
故选： ．
二．填空题（共2小题）
5．（井研县模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平
行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 的特征线有：
， ， ， ．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形 ，
点 在第一象限， 、 分别在 轴和 轴上，抛物线 经过 、 两点，
顶点 在正方形内部．
（1）写出点 任意两条特征线为 ， ；
（2）若点 有一条特征线是 ，则此抛物线的解析式为 ．【解答】解：（1） 点 ，
点 是 ， ， ， ，
故答案为 ， ；
（2）点 有一条特征线是 ，
，
抛物线解析式为 ，
，
四边形 是正方形，且 点为正方形的对称轴， ，
，
，将 带入得到 ， ；
，
抛物线解析式为 ．
故答案为 ．
6．（武陵区校级期末）已知二次函数图象经过点 ， 和 ，则它的解析式为
．
【解答】解：设抛物线解析式 ，
点 代入得， ，
解得 ，
所以， ，
故答案为： ，
三．解答题（共2小题）7．（昆明三模）如图，已知抛物线 与 轴交于 ，于 轴交
于 、 ，点 坐标为 ，连接 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断 的形状，并说明理由．
【解答】解（1） 抛物线 与 轴交于 于 轴交于 、 ，点 坐标
为 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 为直角三角形，理由如下：
当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
由已知可得在 中， ，
在 中， ，
又 ，
在 中， ，
是直角三角形．8．（海安市期末）一个二次函数的图象经过 ， ， 三点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点 ， ， ， ， ， 也在该二次函数图象上，求 的值．
【解答】解：（1）设二次函数的关系式为 ，
二次函数的图象经过点 ， ， 三点，
，
解得 ，
所以这个函数关系式是： ；
（2） 二次函数为 ，
对称轴为直线 ，
三点 ， ， ， ， ， 也在该二次函数图象上，
，
，
．
知识点6二次函数的最值
y=ax2 +bx+c(a≠0)
1. 一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，
b
4ac−b2
x=−
2a y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
当 时，二次函数 有最小（大）值 ；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其
对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
【答案】3+ 或1﹣
【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=1﹣ 或h=1+ （舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=3+ 或h=3﹣ （舍）．
综上，h的值为1﹣ 或3+ ，
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对
应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【答案】1或﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
解得：m=1或m=﹣3，
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（济南一模）己知二次函数 为常数），在自变量 的值满足 的
情况下，与其对对应的函数值 的最小值为10，则 的值为
A． 或4 B．0或6 C．1或3 D． 或6
【解答】解： 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
①若 ， 时， 取得最小值10，
可得： ，
解得： 或 （舍 ；②若 ，当 时， 取得最小值10，
可得： ，
解得： 或 （舍 ；
③若 时，当 时， 取得最小值为1，不是10，
此种情况不符合题意，舍去．
综上， 的值为 或6，
故选： ．
2．（无锡模拟）四边形的两条对角线 、 所成的锐角为 ，当 时，四
边形 的面积最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 ，与 延长线交于点 ，过点 作 于点 ，
与 所成的锐角为 ，
， ，
四 边 形 的 面 积
设 ，则 ，
所以 ，
所以当 ， 有最大值 ．
故选： ．
3．（江干区期末）二次函数 的最大值是
A． B．1 C．3 D．【解答】解：二次函数 的最大值是3．
故选： ．
4．（浦东新区一模）已知二次函数 ，那么这个二次函数的图象有
A．最高点 B．最高点 C．最低点 D．最低点
【解答】解：在二次函数 中， ，
这个二次函数的图象有最高点 ，
故选： ．
5．（淮阴区期末）二次函数 有
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【解答】解：已知函数 ，
有顶点坐标 ，函数开口向上，有最小值即 ．
故选： ．
6．（武汉模拟）已知抛物线 ，当 时， 的最小值为 ，最大值为
3，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ；
当 时，有 ，
解得： ， ，
当 或4时， ．
又 当 时， 的最小值为 ，最大值为3，
．
故选： ．7．（成武县一模）已知二次函数 的图象如图，当 时，下列
说法正确的是
A．有最小值 、最大值0 B．有最小值 、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【解答】解：由二次函数的图象可知，
，
当 时函数有最大值， ；
当 时函数值最小， ．
故选： ．
8．（滨海县期末）函数 的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：根据二次函数的性质，当 时，二次函数 的最小值是 ．
故选： ．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
【答案】y=x2+2x
【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2），
把a=1代入，得y=x2+2x．
故答案为y=x2+2x（答案不唯一）．
2.已知反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+ 有最 值，这个值
是 ．
【答案】大, 1
【解析】解：根据反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣ ．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（ ，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O
旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，1）
∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1．
故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；
（2）函数的图象如图所示：
（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣ x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a
（x﹣2）2，将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a，
解得a=﹣ ，
所以二次函数的解析式为y=﹣ （x﹣2）2；
（2）将抛物线y=﹣ x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣ （x﹣2）2；
（3）∵y=﹣ （x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，
抛物线开口向下，当x=2时有最大值0，
当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为 y= （x﹣2）
2．
