文档内容
第 03 讲 二次函数的图像与性质——一般式
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形
式之间的转化。
①二次函数的三种形式
2. 根据顶点式从而掌握二次函数一般式的形式与图
②二次函数的一般式的图像与性质
像。
3. 解决相关的题型题目。
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
有定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点的函数解析式叫二次函数的顶点式。即 。
由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：能直接得到二次函数与 轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
交点式。即 。此时二次函数与 轴的两个交点坐标分别为 与
。二次函数的对称轴为 。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
题型考点：①二次函数的形式转换。
【即学即练1】
1．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+4
【即学即练2】
2．将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 ．
【即学即练3】
3. 把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是 ．
【即学即练4】
4．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常
数项为 ．
【即学即练5】
5．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
知识点02 二次函数的图像与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图像与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：开口方向
顶点坐标
对称轴
对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而
。 。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标
题型考点：①二次函数的性质。
【即学即练1】
6．二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为 ．
【即学即练2】
7．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【即学即练3】
8．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直
线x＝ ，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练4】
9．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
知识点03 二次函数的图像与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定， ，开口向 ， ，开口向 。
2. 二次函数的对称轴：
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 。若 同号，则
小于0，二次函数的对称轴在 轴的 ；若 异号，则 大于0，二次函数的
对称轴在 轴的 。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为 。
4. 二次函数与 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
与 轴有两个交点 有2个 的实数根
根的判别式 0。
与 轴有 个交点 有2个相等的实数根
根的判别式 0。
与 轴没有交点 实数根 根的判别式
0。
题型考点：①二次函数的图像。②二次函数与一元二次方程。
【即学即练1】
10．已知一次函数y＝ x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
12．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【即学即练4】
33．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
题型01 二次函数的一般式化为顶点式【典例1】
将二次函数y＝x2﹣4x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2﹣8 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2﹣8
变式1：
用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25
变式2：
把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ．
题型02 函数的图像
【典例1】
如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】
如图所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 二次函数的对称轴
【典例1】
抛物线y＝x2+4x+4的对称轴是（ ）
A．直线x＝4 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【典例2】
下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（ ）
A．y＝4x2+2x+1 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x
题型04 二次函数的最值
【典例1】
二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6
【典例2】
二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【典例3】当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9
【典例4】
已知一个二次函数图象经过P （﹣3，y ），P （﹣1，y ），P （1，y ），P （3，y ），其中y ＜y ＝
1 1 2 2 3 3 4 4 2 3
y ，则y ，y ，y 中最值情况是（ ）
4 1 2 3
A．y 最小，y 最大 B．y 最小，y 最大
1 3 2 1
C．y 最小，y 最大 D．无法判断
2 3
【典例5】
已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1 B． C． 或﹣8 D．1或﹣8
【典例6】
二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣
5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【典例7】
若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，则m+n＝（ ）
A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．2
题型05 二次函数的函数值比较
【典例1】
若点M（﹣2，y ），N（﹣1，y ），P（5，y ）在抛物线y＝x2﹣2x上，则下列结论正确的是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【典例2】
设A（﹣2，y ），B（1，y ），C（2，y ）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y ，y ，
1 2 3 1 2
y 的大小关系为（ ）
3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【典例3】
已知抛物线y＝mx2﹣4mx过点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），其中y ＝﹣4m，以下结论正确的
1 1 2 2 1 3 2
是（ ）
A．若|x ﹣x |≤|x ﹣x |，则y ≥y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
B．若|x ﹣x |≥|x ﹣x |，则y ≥y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
C．若y ＜y ≤y ，则|x ﹣x |＜|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
D．若y ＜y ≤y ，则|x ﹣x |＞|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
【典例4】已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），x ＜x ，且x +8＝﹣
1 1 2 2 1 2 1
x ，则y 与y 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．y +8＝﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
【典例5】
已知抛物线 y＝x2+4x+3上两点 A（x ，y ），B（x ，y ），且 x ﹣x ＝2，则下列说法一定正确的是
1 1 2 2 2 1
（ ）
A．若x ＜﹣1时，则y ＞0＞y
1 1 2
B．若x ＜﹣1时，则0＞y ＞y
1 1 2
C．若﹣1＜x ＜1时，则y ＞0＞y
1 1 2
D．若﹣1＜x ＜1时，则y ＞y ＞0
1 2 1
题型06 二次函数的综合
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞
0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
典例1 典例2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【典例2】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，
则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若 且x ≠x ，则x +x ＝4，其中正确结论的个
1 2 1 2
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例3】
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对
任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【典例4】
在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；
②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例5】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜
0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）
C．当x＝1时，y有最大值为5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3．若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于直线x＝1对称，则Q点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
4．设A（﹣2，y ），B（1，y ），C（2，y ）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
5．已知抛物线 y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9
7．二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y ），B（0，y ），C（3，y ），D（5，y ）四个
1 2 3 4
点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＜0
2 4 1 3 3 4 1 2
8．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线 x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；
②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．已知抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a＝ ．
10．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
．
11．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ．12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA ∥x轴
1
交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点
1 1 1 2 2 2 2 3 3
A 作A A ∥OA交抛物线于点A …，依次进行下去，则点A 的坐标为 ．
3 3 4 4 2023
13．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y ），（1，y ）两点．
1 2
（1）当b＝1时，判断y 与y 的大小．
1 2
（2）当y ＜y 时，求b的取值范围．
1 2
（3）若此函数图象还经过点（m，y ），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
1
14．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x ，x 满足3≤x ﹣x ＜9，且p＝x 2﹣3x 2，求p的最大值．
1 2 2 1 1 215．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当 时，求函数值y的取值范围．（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的
取值范围是 ．
（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线
上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，
求m的值．
