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第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y= x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y= x（x﹣3）= x2﹣ x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，
故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x +x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t= 是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函
数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围
内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不
论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数
中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要
先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条
件．
【随堂练习】
1．（资中县一模）若关于 的函数 是二次函数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 是二次函数，
，即 ，
故选： ．2．（镇江模拟）已知函数 的图象是一条抛物线，则 3 ．
【解答】解：依题意得： ，
解得 ．
故答案是：3．
3．（施甸县模拟）若函数 是二次函数，则 的值是 1 ．
【解答】解：根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为：1
4．如果 是二次函数，那么 需满足的条件是 ．
【解答】解： 是二次函数，
，
解得： ，
需满足的条件是： ，
故答案为： ．
5．（奉贤区一模）如果函数 是常数）是二次函数，那么 的取值范围
是 ．
【解答】解： 函数 为常数）是二次函数，
，解得： ，
故答案为： ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.2.二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即 ，其中
3.二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我
们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点
、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴
对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.4. 二次函数 的性质
（1）当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当
时， 有最小值 ．
（2） 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，
有最大值 ．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.
【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)² 中 x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例 y=（x+2）²顶点坐
标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.【随堂练习】
1．（海州区二模）已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数
在直角坐标系中的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
， ， ，
一次函数 ，
， ，
一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
故选： ．
2．（葫芦岛）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数图象，得出 ， ， ，
、一次函数图象，得 ， ，故 错误；
、一次函数图象，得 ， ，故 错误；
、一次函数图象，得 ， ，故 错误；
、一次函数图象，得 ， ，故 正确；
故选： ．
3．（日照期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大
致是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时，函数 的图象经过一、二、三象限；函数 的
开口向上，对称轴在 轴的左侧；
当 时，函数 的图象经过二、三、四象限；函数 的开口向上，对
称轴在 轴的右侧，故 正确．
故选： ．
4．（呼和浩特）二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，排除 、
；
当 时，二次函数 开口向上，一次函数 经过一、二、三象限，当
时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 ；
故选： ．
5．（南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的大
致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由一次函数 的图象可得： ， ，此时二次函数
的图象应该开口向下，顶点的纵坐标 大于零，故 正确；
、由一次函数 的图象可得： ， ，此时二次函数 的图象
应该开口向上，顶点的纵坐标 大于零，故 错误；、由一次函数 的图象可得： ， ，此时二次函数 的图象应
该开口向上，故 错误；
、由一次函数 的图象可得： ， ，此时抛物线 的顶点的
纵坐标大于零，故 错误；
故选： ．
6．（宜宾）已知抛物线 与 轴交于点 ，与直线 为任意实数）相交于 ，
两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数 ，使得 为等腰三角形
B．存在实数 ，使得 的内角中有两角分别为 和
C．任意实数 ，使得 都为直角三角形
D．存在实数 ，使得 为等边三角形
【解答】解： 、如图1，可以得 为等腰三角形，正确；
、如图3， ， ，可以得 的内角中有两角分别为 和 ，
正确；
、如图2和3， ，可以得 为直角三角形，正确；、不存在实数 ，使得 为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选： ．
7．（南浔区二模）如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴
交于点 ，顶点为 ，直线 经过点 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点
是对称轴上的一个动点，若 的值最小，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点 作 轴于 ，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ’，连接 ’， ’，过点 作 ’交抛物线对称轴于点 ，此时点 到 ’
距离最小
抛物线
，
直线
，
当 、 、 三点共线时 最小．
．
故选： ．
8．（蓝田县一模）开口向下的抛物线 的对称轴经过点 ，则
的值为
A． B．1 C． 或2 D．
【解答】解： 开口向下的抛物线 的对称轴经过点 ，，
解得， ，
故选： ．
9．（老河口市模拟）已知点 ， 均在抛物线 上，点
是该抛物线的顶点，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 点 ， 均在抛物线 上，点 是该抛物线
的顶点， ，
，
解得 ，
故选： ．
二．解答题（共3小题）
10．（宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线
均经过点 ．直线 在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴
重合）．函数 的图象记为 ，函数 的图象记
为 ，图象 与 合起来得到的图形记为 ．
（1）求 、 的值．
（2）当 时，求图形 上 随 的增大而减小时 的取值范围．
（3）当 时，图形 上最高点的纵坐标为2，求 的值．
（4）当直线 与图形 有2个公共点时，直接写出 的取值范围．【解答】解：（1） 抛物线 与抛物线 图象 与均
经过点
， ，
解得 ， ；
（2） ，
图象 与的对称轴为直线 ，
， 图象 与的对称轴为直线 ，
当 时，图形 上 随 的增大而减小时 的取值范围是 或 ；
（3）当 时， （如图
解得 ， （舍去）
当 时， （如图
解得 ， （舍去）
（4）当直线 与 ， 相交时，
，
， ；
当直线 与 ， 相交时，
， ，当 时， ，
当 时， ，
， ， ；
11．（上城区一模）已知二次函数 ．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当 时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当 时， 随着 增大而增大，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ， 二次函数的对称轴为 ．
（2）由题知二次函数与 轴的交点坐标为 ， ；
， ， ，且二次函数的开口方向向下；
二次函数的大致图象如图①：
所以二次函数的顶象限．（3）当 时，明显不符合题意；
；
由（2）知，二次函数的对称轴为直线 ，
当 时， 随着 增大而增大，
当 时， ，解得 ；
当 ， ，解得 ．
的取值范围为 或 ．
12．（思明区校级月考）点 为二次函数 图象的顶点，直线
分别交 轴正半轴， 轴于点 ， ．
（1）判断顶点 是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，借助图象，求
出 的取值范围．
（3）点 坐标为 ，点 在 内时，若点 ， ， ， 都在二次函数
图象上，试比较 与 的大小．
【解答】解：（1） ，
为二次函数的顶点，
，
设 ， ，则 ，
点 在直线 上．
（2）如图1所示，
直线 交 轴于点 ，
，
又 点 在抛物线上，
，解得 ，
二次函数解析式为 ，
当 时， ，解得 ， ，
，
由图象得当 时， 的取值范围是 或 ．
（3）如图2所示，
直线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，
， ，可得直线 的解析式为 ，
则有
解得
， ，
点 在 内，
，
．
当点 、 关于抛物线的对称轴对称时，
，解得 ，
二次函数的开口方向向下，顶点 在直线 上，
综上：①当 时， ，
②当 时， ，
③当 时， ．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原
点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∴x=﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
【答案】D.
【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴
是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D.
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【方法总结】
1、抛物线 与 轴的交点个数与一元二次方程 的
有关系，
①当 时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当 时，抛物线与x轴有一个交点；
③当 时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与 有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于 .(“ ”
的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与 三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函
数关系式，(例如 的图象经过(1,0)，可以得到0= )
【随堂练习】
1．（丹东二模）已知抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．以下结
论：
① ；
② ；
③ 是大于1的实数）；
④
其中正确结论的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，所以①错误；
对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点在 和 之间，
抛物线与 轴的一个交点在 和 之间，
时， ，
，所以②错误；
时， 有最小值 ，
是大于1的实数），所以③正确；
时， ，
即 ，
把 代入得 ，所以④错误．
故选： ．
2．（汇川区模拟）抛物线 的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下
列判断中：
① ；
② ；
③ ；
④若点 ， 均在抛物线上，则 ；
⑤ ；
其中正确的个数有A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线与 轴有2个交点，
△ ，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
，所以③正确；
点 到直线 的距离比点 到直线 的距离小，
而抛物线开口向上，
；所以④错误；
，
，所以⑤错误．
故选： ．
3．（天心区校级期末）抛物线 的部分图象如图所示，与 轴的一个
交点坐标为 ，抛物线的对称轴是 ．下列结论中：① ； ② ； ③
方程 有两个不相等的实数根； ④ ； ⑤若点 在该抛物线上，则 ，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图象可得，
， ， ，
，故①错误，
，则 ，故 ，故②正确；
抛物线与 轴有两个交点，故方程 有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是 ，
该抛物线与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，故④正确；
当 时，该函数取得最大值，此时 ，
点 在该抛物线上，则 ，故⑤正确；
故选： ．
4．（碑林区校级一模）已知抛物线 的图象如图所示，则下列结论①
，② ，③ ④ 中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：因为抛物线开口向上，可知 ，
对称轴在 轴的左侧， 、 同号．故 ，
抛物线与 轴的交点在负半轴，因此 ，
，故①正确；
把 代入得 ，故②正确；
因为对称轴 介在 与0之间，因此 ，得 ，无法判断③④一定
正确，
因此①②一定正确．
故选： ．
5．（碑林区校级三模）二次函数 ，经过点 ，对称轴 如图所示，
若 ， ， ，则 ， ， 中，值小于0的数有 个．
A．2 B．1 C．0 D．3
【解答】解：（1） 二次函数 ，经过点 ，
，
又 抛物线与 轴交在 轴的正半轴，
，故 ；
（2）抛物线开口向下，因此 ，对称轴在 轴左侧， 的右侧，
，
，故 ；
（3）抛物线开口向下，因此 ，对称轴在 轴左侧，因此 、 同号，
，
，因此
综上所述： ， ， ；
故选： ．6．（桐梓县模拟）如图是二次函数 的部分图象，图象过点 ，对称
轴为直线 ，给出四个结论：① ：② ③ ④若点 ， ，
， 为函数图象上的两点，则 ，其中正确结论是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线与 轴有两个交点，因此 ，故①不正
确；
（2） 对称轴是直线 ，即 ， ， ，故③不正确；
（3） 对称轴是直线 ，抛物线与 轴的一个交点
抛物线与 轴的另一个交点为
把 代入 得： ，而 ，
，因此②是正确的；
（4） 对称轴是直线 ，
点 ， 在对称轴的左侧，点 ， 在对称轴的右侧，且点 离
对称轴比点 离对称轴远，根据增减性可知 ，因此④是正确的；
综上所述：②④是正确的，①③是不正确的，故选： ．
7．（红花岗区校级二模）如图是二次函数 的图象的一部分，对称轴是直线
，以下结论：① ；② ；③ 为任意实数，则有 ；④
若 ， 是抛物线上的两点，则 ，正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：
， ，
由对称轴可知： ，
，
，故①正确；
②由对称轴可知： ，
，
当 时， ，
，
，
，故②正确；
③ 抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 有最小值，
为任意
实数），
为 任 意 实
数），
为 任 意实数），
，
，故④正确；
④ 点 离对称轴要比点
离对称轴要近，
，故④正确．
故选： ．
8．（铅山县一模）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，
对称轴为直线 ，下列论正确的是
A．
B．
C．
D．若 ， 在该函数图象上，则
【解答】解： 二次函数 的图象过点 ，代入得：
，①
对称轴是 ，即 ，
，②代入①得： ，即
故选： ．
9．（随州）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ， ，对称轴为直线 ，则下列结论：① ；② ；
③ ；④ 是关于 的一元二次方程 的一个根．其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以①正确；
，
，
，
，所以②错误；
， ，
，
把 代入 得 ，
，所以③错误；
，对称轴为直线 ，
，
是关于 的一元二次方程 的一个根，所以④正确；
故选： ．
10．（巴中）二次函数 的图象如图所示，下列结论① ，②
，③ ，④ ．其中正确的是A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【解答】解：① 抛物线与 轴由两个交点，
，
即 ，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
， ， ，
，
故②错误；
③ 对称轴：直线 ，
，
，
， ，
， ，
，
故③错误；
④ 对称轴为直线 ，抛物线与 轴一个交点 ，
抛物线与 轴另一个交点 ，
当 时， ，
故④正确．
故选： ．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单
位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是
__________
【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2
【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕
顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积
为______
【答案】1
【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点 P旋转180°得到一个新的抛物线是 y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，
y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积= ×2×（3﹣2）
=1．
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平
移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持
1
抛物线 的形状不变，将其顶点平移到
a=
3 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（资阳）如图是函数 的图象，直线 轴且过点 ，将该函
数在直线 上方的图象沿直线 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．
若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则 的取值范围是
A． B． C． D． 或
【解答】解：如图1所示，当 等于0时，
，
顶点坐标为 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
当 时，
，此时最大值为0，最小值为 ；
如图2所示，当 时，
此时最小值为 ，最大值为1．
综上所述： ，
故选： ．
2．（玉环市一模）把抛物线 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3
个单位长度，所得的图象的解析式是 ，则 的值为
A．2 B．3 C．5 D．12
【解答】解： ．则其顶点坐标是 ， ，将其右左平移2
个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到 ， ．
故原抛物线的解析式是： ．
所以 ， ．
所以 ．
故选： ．
3．（婺城区模拟）如图所示，抛物线 与 、 轴分别交于 、 、 三
点，连结 和 ，将 沿与坐标轴平行的方向平移，若边 的中点 落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由抛物线 可知，令 ，则 ，
解得 ，
，
令 ，则 ，
解得， 或6，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 为线段 的中点，
点 的坐标为 ．
当 时， ，
解得： ， ，
平移的距离为 或 ，
故选： ．
4．（新野县三模）如图，将抛物线 的图象 轴上方的部分沿 轴折到 轴下
方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线 的交点个数为A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图， 中，当 时， ，
抛物线 与 轴的解得为 ， 将抛物线 图象中 轴上方
的部分沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，
新图象与 轴的交点坐标为 ，
新图象与直线 的交点个数是4个，
故选： ．
5．（金水区校级一模）如图，点 ， 是抛物线 上的两点，
将抛物线 向左平移，得到抛物线 ，点 ， 的对应点分别为点 ， ．若曲线段
扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线 的解析式是
A． B． C． D．【解答】解： ．
曲线段 扫过的面积为9（图中的阴影部分），点 ，
，
，
即将函数 的图象沿 轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
新图象的函数表达式是 ．
故选： ．
6．（金水区校级模拟）二次函数 的图象与 的图象形状相同，开口方向
相反，且经过点 ，则该二次函数的解析式为
A． B． C． D．
【解答】解： 二次函数 的图象与 的图象形状相同，开口方向相反，
，
二次函数是 ，
二次函数 经过点 ，
，
，
抛该二次函数的解析式为 ；
故选： ．
7．（西青区二模）作抛物线 关于 轴对称的抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位，
向上平移1个单位，得到的抛物线 的函数解析式是 ，则抛物线 所对
应的函数表达式是
A． B． C． D．【解答】解：易得抛物线 的顶点为 ，
是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线 的，
抛物线 的坐标为 ，
可设抛物线 的坐标为 ，代入得： ，
易得抛物线 的二次项系数为 ，顶点坐标为 ，
抛物线 的解析式为 ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）
8．（慈溪市模拟）把抛物线 （其中 是常数）向上平移，使平移后
的抛物线与直线 只有一个公共点，则需平移 2 个单位．
【解答】解：设抛物线 （其中 是常数）向上平移 个单位，
．
把抛物线 （其中 是常数）向上平移 个单位后抛物线解析式为：
．
依题意得： ，即 ，
△ ．
解得 ．
故答案是：2．
9．（吴兴区一模）在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点 顺时针旋
转 后，得到新曲线 ．
（1）如图①已知点 、 在函数 的图象上，若 、 是 、 旋
转后的对应点，连结 、 ，则 9 ；（2）如图②，曲线 与直线 相交于点 、 ，则 ．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
如图1所示，
直线 的解析式为 ，
，
，
故答案为：9
（2）如图2所示，将直线 逆时针旋转 ，
过点 作 垂直 ，
，
， ，
直线 的解析式为 ，
，
解得 ， ，
．
．
故答案为： ．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为_____
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线 y=﹣2
（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物
线解析式为y=2（x+1）2+1；抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点
旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为
y=2（x﹣1）2﹣1．
故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的
解析式为 ．
【答案】y=4x2+5x
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是y=4x2+5x，
故答案为：y=4x2+5x．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】y=x2+x﹣2
【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，
解得 ；
∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数
的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（北京模拟）写出经过点 ， 的一个二次函数的解析式 （答案
不唯一） （写一个即可）
【解答】解： 抛物线过点 ， ，
可设此二次函数的解析式为 ，
把 代入，得 ．
故答案为 （答案不唯一）．
2．（台安县一模）一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐
标是 ，则该抛物线的解析式为 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为 ，且该抛物线的形状与开口方向和抛物
线 相同，
，
，
顶点坐标是 ，
，
这个函数解析式为 ，
故答案为： ．
二．解答题（共5小题）
3．如图一，抛物线 过 ， 、 三点（1）求该抛物线的解析式；
（2） ， 、 两点均在该抛物线上，若 ，求 点横坐标 的取值范围；
（3）如图二，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，该抛物线的对称轴与 轴交于点
，连结 、 ，点 为线段 的中点，点 、 分别为直线 和 上的动点，
求 周长的最小值．
【解答】解：（1） 抛物线 过 ， 、 三点
解得： ， ， ；
抛物线的解析式为： ．
（2）抛物线的对称轴为 ，抛物线上与 相对称的点
， 在该抛物线上， ，根据抛物线的增减性得：
或
答： 点横坐标 的取值范围： 或 ．
（3） ， ， ，
， ， ，
是 的中点，
，
当点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ，直线 与 、交点为 、 ，此时 的周长最小，周长为 的长，由对称可得到： ，
， 即点 ，
，
即： 的周长最小值为3，
4．（安阳二模）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 在 轴负半
轴上，且 ，抛物线 经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的动点，设点 的横坐标为 ，过点 作 ，垂
足为 ，用含 的代数式表示线段 的长，并求出线段 的最大值．
【解答】解：（1）由 ，当 时， ；当 时， ，
， ，
，
，
，
把 ， 代入抛物线 中，得，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 点 在二次函数 图象上且横坐标为 ，
，
过 作 轴，交 于 ，则 ，
，
于点 ，
在 中， ，
，
轴，
，
，
， ，
当 时， 最大，最大值为 ．
5．（滨海新区二模）在平面直角坐标系中， 为原点，抛物线 经过
点 ， ，对称轴为直线 ，点 关于直线 的对称点为点 ．过点 作直线
轴，交 轴于点 ．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点 在 轴上，当 的值最小时，求点 的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） 经过点 ， ，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
（Ⅱ） 点 ，对称轴为 ，
点 关于对称轴的对称点 点坐标为 ， ，
作点 关于 轴的对称点 ，得 ， ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， ，点 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
直线 与 轴的交点即为 点．令 得 ，
点坐标为 ．
（Ⅲ） ， ， 轴，
， ，
，
又 ，
，
设 点坐标为 ，
作 ，交 延长线于点 ，
，
． ，
化简整理得 ，
解得 ， ，
点坐标为 ， 或 ， ，
抛物线上存在点 ，使得 ．6．（瓯海区二模）已知抛物线 的对称轴为 ，且过点 ， ．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点 和点 在此抛物线上，其中 ，请判断关于 的方程
是否有实数根，并说明理由．
【解答】解：（1）抛物线 的对称轴为 ，且过点 ，
解得 ， ，
抛物线 ；
（2） 点 ， 在此抛物线上，
， 是关于直线 的对称点，
即
此方程有两个不相等的实数根．
7．（芜湖二模）如图，抛物线 经过点 和点 ．
（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；
（2）若点 是抛物线落在第一象限，连接 ， ，求 的面积 的最大值及此时
点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 和点 ，，解得 ，
抛物线的函数表达式是 ；
设直线 ，
根据题意得 ，解得 ，
直线 的函数表达式是 ；
（2）如图，过 点作 于 ，交直线 于 ，设点 横坐标为 ，则点 的坐标
为 ，点 的坐标是 ，
又点 ， 在第一象限，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时点 坐标为 ， ．
知识点6二次函数的最值
y=ax2 +bx+c(a≠0)
1. 一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，
b
4ac−b2
x=−
2a y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
当 时，二次函数 有最小（大）值 ；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
【答案】3+ 或1﹣
【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=1﹣ 或h=1+ （舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=3+ 或h=3﹣ （舍）．
综上，h的值为1﹣ 或3+ ，
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对
应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【答案】1或﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
解得：m=1或m=﹣3，
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（怀柔区二模）在平面直角坐标系 中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项
系数绝对值最小的是A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知：
抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点为 ，根据待定系数法求得 ；
抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点为 ，根据待定系数法求得 ；
抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点为 ，根据待定系数法求得 ；
抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点为 且 ，根据待定系数法求得
；
综上，二次项系数绝对值最小的是
故选： ．
2．（拱墅区二模）二次函数 的图象经过坐标原点 和点 ，直线
交 轴于点 ，动点 在直线 上，且 ，过点 作 轴的垂线交抛物
线于点 ，则 的最值情况是
A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值8 D．有最大值8
【解答】解： 二次函数 的图象经过坐标原点 和点 ，
，解得 ，
二次函数为 ，
， ，
直线 为： ，
设 ，则 ，
，
范围内，有最大值9，故选： ．
3．（邯郸模拟）对于题目“二次函数 ，当 时， 的最小值
是1，求 的值．”甲的结果是 ，乙的结果是 ，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴为直线 ，
① 时，即 ， 的最小值是当 时的函数值，
此时 ，
因为方程无解，故 值不存在；
②当 时，即 时，二次函数有最小值1，
此时， ，
③当 时，即 ， 的最小值是当 时的函数值，
此时， ，
解得 ，
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选： ．
4．（玉州区一模）已知二次函数 为常数），在自变量 的值满足
的情况下，与其对应的函数值 的最大值为0，则 的值为
A． 和6 B．2和6 C． 和3 D．2和3
【解答】解： 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
①若 ， 时， 取得最大值0，
可得： ，
解得： 或 （舍 ；②若 ，当 时， 取得最大值0，
可得： ，
解得： 或 （舍 ．
综上， 的值为 或6，
故选： ．
5．（下城区一模）已知二次函数 ，其中 ， 为常数．下列说
法正确的是
A．若 ， ，则二次函数 的最大值小于0
B．若 ， ，则二次函数 的最大值大于0
C．若 ， ，则二次函数 的最大值小于0
D．若 ， ，则二次函数 的最大值大于0
【解答】解 ，
当 时，函数最大值为 ，
则当 ， 时，则二次函数 的最大值大于0．
故选： ．
6．（江北区一模）已知点 ， 在抛物线 的图象上，且 ，
则线段 长的最大值、最小值分别是
A． ，2 B． ， C． ，2 D． ，
【解答】解： 点 ， 在抛物线 的图象上
，
与 是二次函数的关系，由抛物线性质可知：
当 时， 取得最小值， ，当 时， 取得最大值， ，
故选： ．
7．（河北模拟）对于题目“当 时，二次函数 有最大值4，求
实数 的值．”：甲的结果是2或 ，乙的结果是 或 ，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴
为直线 ，
① 时， 时二次函数
有最大值，
此时 ，
解得 ，与 矛盾，
故 值不存在；
②当 时， 时，二次
函数有最大值，
此时， ，
解得 ， （舍去）；
③当 时， 时二次函数
有最大值，
此时， ，
解得 ，
综上所述， 的值为2或 ．
所以甲、乙的结果合在一起也不
正确，
故选： ．8．（江都区校级月考）已知二次函数 为常数），在自变量 的值满足
的情况下，与其对应的函数值 的最小值为4，则 的值为
A．2 B．2或 C．2或 D．2或 或
【解答】解：二次函数 为常数）的对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
①若 ， 时，函数值 的最小值为4，
可得： ，
解得： （舍去）； ；
②若 ， 时，函数值 的最小值为4，
可得： ，
解得： ；
的值为2或 ．
故选： ．
9．（白水县一模）若二次函数 的最高点在 轴上，则 的值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解： 二次函数 的最高点在 轴上，
△ ，即 ，
解得： ， ，
当 时， ，此时图象有最低点，不合题意舍去，
则 的值为： ．
故选： ．
10．（和平区期末）当 时，函数 的最小值为4，则 的值为
A． B．4 C．4或3 D． 或3【解答】解：当 时，有 ，
解得： ， ．
当 时，函数有最小值4，
或 ，
或 ，
故选： ．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
【答案】y=x2+2x
【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2），
把a=1代入，得y=x2+2x．
故答案为y=x2+2x（答案不唯一）．
2.已知反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，
并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+ 有最 值，这个值
是 ．
【答案】大, 1
【解析】解：根据反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣ ．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（ ，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O
旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，1）
∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1．
故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；
（2）函数的图象如图所示：（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣ x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a
（x﹣2）2，
将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a，
解得a=﹣ ，
所以二次函数的解析式为y=﹣ （x﹣2）2；
（2）将抛物线y=﹣ x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣ （x﹣2）2；
（3）∵y=﹣ （x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，抛物线开口向下，当x=2时有最大值0，
当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为 y= （x﹣2）
2．
