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第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y= x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y= x（x﹣3）= x2﹣ x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，
故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x +x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t= 是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函
数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围
内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不
论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数
中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要
先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条
件．
【随堂练习】
1．（榆林期末）若 是关于 的二次函数，则 的值为
A． B．1 C． 或1 D．2或1
【解答】解：若 是关于 的二次函数，则 且 ．，
解得： 或 ．
故选： ．
2．（官渡区期末）若函数 是二次函数，则 的值为A．3 B． C． D．9
【解答】解： 函数 是二次函数，
，且 ，
解得： ．
故选： ．
3．（曲靖一模）若 是关于自变量 的二次函数，则 2 ．
【解答】解：根据二次函数的定义，得：
，
解得 或 ，
又 ，
，
当 时，这个函数是二次函数．
故答案是：2．
4．（广饶县模拟）若函数 是关于 的二次函数，则 ．
【解答】解：由 是关于 的二次函数，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
5. （潜山县期末）若 与 的函数 是二次函数，则 ．
【解答】解： 是二次函数，
， ．
解得： ．
故答案为： ．
6．（福田区校级期末）若函数 是二次函数，则 的值为 ．
【解答】解：若 是二次函数，
则 ，且 ，故 ， ，
解得： （不合题意舍去）， ，
．
故答案为： ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中
3.二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我
们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点
、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴
对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
4. 二次函数 的性质
（1）当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当
时， 有最小值 ．
（2） 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，
有最大值 ．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)² 中 x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例 y=（x+2）²顶点坐
标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（湖州）已知 ， 是非零实数， ，在同一平面直角坐标系中，二次函数
与一次函数 的大致图象不可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 解得 或 ．
故二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的交点在 轴
上为 或点 ．
在 中，由一次函数图象可知 ， ，二次函数图象可知， ， ， ，
，故选项 错误；
在 中，由一次函数图象可知 ， ，二次函数图象可知， ， ，由，则 ，故选项 错误；
在 中，由一次函数图象可知 ， ，二次函数图象可知， ， ， ，
故选项 错误；
在 中，由一次函数图象可知 ， ，二次函数图象可知， ， ，由
，则 ，故选项 正确；
故选： ．
2．（攀枝花）在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由方程组 得 ，
，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除 ．
：二次函数开口向上，说明 ，对称轴在 轴右侧，则 ；但是一次函数 为一次
项系数，图象显示从左向右上升， ，两者矛盾，故 错；
：二次函数开口向上，说明 ，对称轴在 轴右侧，则 ； 为一次函数的一次项
系数，图象显示从左向右下降， ，两者相符，故 正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 错．
故选： ．
3．（汝阳县期末）在同一直角坐标系中，函数 与 ， 都不为 的
图象的相对位置可以是A． B．
C． D．
【解答】解： 、由抛物线可知， ， ．由直线可知， ， ，故本选项正
确；
、由抛物线可知 ，由直线可知 ，相矛盾，故本选项错误；
、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，相矛盾，故本选项错误；
、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，相矛盾，故本选项错误；
故选： ．
4．（广西模拟）如图，已知点 ， 为坐标原点， 是线段 上任一点（不含端
点 、 ，二次函数 的图象过 、 两点，二次函数 的图象过 、 两点，它们
的开口均向下，顶点分别为 、 ，射线 与射线 相交于点 ．则当
时，这两个二次函数的最大值之和等于
A．8 B． C． D．6
【解答】解：过 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
， ， ，
，
， ，
，由勾股定理得： ．
设 ，根据二次函数的对称性得出 ，
，
， ，
， ，
，
即 ， ，
解得： ， ，
．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
5．（南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴正半
轴上，顶点 在 轴正半轴上，抛物线 的顶点为 ，且经过点 、
．若 为等腰直角三角形，则 的值为 ．【解答】解：
抛物线 的顶点为 ，且经过点 、 ，
抛物线的对称轴是直线 ，且 、 关于直线 对称，
过 作 轴于 ，交 于 ，
为等腰直角三角形，
，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
把 、 的坐标代入 得：
解得： ，
故答案为： ．
三．解答题（共2小题）
6．（福州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交
于 、 两点，其中点 在 轴上，点 是直线 上方的抛物线上一动点（不与点 、
重合）过 作 轴的平行线交直线于点 ，连接 、 ．
（1）求直线的解析式及 、 点的坐标；
（2）当 面积最大时，求点 的坐标以及最大面积．【解答】解：（1） ，
当 时， ，
解得 ， ，
点的坐标为 ．
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线的解析式为 ．
由 ，解得 ， ，
点的坐标为 ；
（2）设 ，则 ，
，
，
当 时， 面积最大，最大值为27，此时点 的坐标为 ．
7．（南通一模）抛物线 经过点 ， ，与 轴交于点
，点 与原点 的距离等于2，且不经过第一象限．
（1）求 ， 的值；（2）若抛物线 与抛物线 的形状相同，且不经过三、四象限，
求 ， ， 的值．
（3）若直线 与抛物线 和（2）中的抛物线 分别相交于点 ， ．设 的长度
为 ，求 关于的函数解析式．当 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【解答】解：（1）由 、 坐标可知对称轴为
解得
由题意可知
（2）由题意可知
图象不经过三、四象限
，
（3）由（2）可知 抛物线解析式为
联立两个抛物线，可解得交点坐标为 ， ， ，
将 代入两个抛物线得到 ，
设点 ， ，
当 时 有最大值
综上所述 或
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∴x=﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0【答案】D.
【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴
是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D.
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【方法总结】
1、抛物线 与 轴的交点个数与一元二次方程 的
有关系，
①当 时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当 时，抛物线与x轴有一个交点；
③当 时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与 有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于 .(“ ”
的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与 三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函
数关系式，(例如 的图象经过(1,0)，可以得到0= )
【随堂练习】
1．（定陶区三模）如图，函数 的图象过点 和 ，请思考下列判
断：
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
正确的是A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
时， ，
，即 ，故②正确，
的图象过点 和 ，
， ，
，
，故③正确，
，
，
，
，故④正确，
，，
，故⑤正确，
故选： ．
2．（麻城市校级自主招生）如图，二次函数 的图象经过点 且与
轴交点的横坐标分别为 ， ，其中 ， ，下列结论：
， ， ， ，其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由抛物线的开口向下知 ，
与 轴的交点为在 轴的正半轴上，得 ，
对称轴为 ，
，
，
而抛物线与 轴有两个交点， ，
当 时， ，
当 时， ．
，
，
，
① ，则 ，
② ，
③ ．
由①，③得到 ，由①，②得到 ， ，
上面两个相加得到 ，
．
故选： ．
3．（舟山）小飞研究二次函数 为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 上；
②存在一个 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点 ， 与点 ， 在函数图象上，若 ， ，则 ；
④当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围为 ．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：二次函数 为常数）
① 顶点坐标为 且当 时，
这个函数图象的顶点始终在直线 上
故结论①正确；
②假设存在一个 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形
令 ，得 ，其中
解得： ，
顶点坐标为 ，且顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形
解得： 或1
存在 或1，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；
③二次函数 为常数）的对称轴为直线
点 离对称轴的距离小于点 离对称轴的距离
，且
故结论③错误；
④当 时， 随 的增大而增大，且
的取值范围为 ．
故结论④正确．
故选： ．
4．（江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为整数，
则 把 点 叫 做 “ 整 点 ” ． 如 ： 、 都 是 “ 整 点 ” ． 抛 物 线
与 轴交于点 ， 两点，若该抛物线在 、 之间的部分与
线段 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 化为顶点式为 ，故函数的对
称轴： ， 和 两点关于 对称，根据题意，抛物线在 、 之间的部分与线段
所围的区域（包括边界）恰有 5个整点，这些整点是 ， ， ， ，
，
如图所示：当 时，
当 时，
即： ，
解得
故选： ．
二．填空题（共1小题）
5．（内江模拟）二次函数 的图象与 轴的两个交点 、 的横坐标
分别为 、1，与 轴交于点 ，下面四个结论：① ；②若 ，
， 是函数图象上的两点，则 ；③ ；④若 是等腰三角形，则
或 ．其中正确的有 ①③④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线
上）
【解答】解：① ，
抛物线开口向下，
图象与 轴的交点 、 的横坐标分别为 ，1，
当 时， ，
即 ；故①正确；
② 图象与 轴的交点 、 的横坐标分别为 ，1，
抛物线的对称轴是： ，
， ， ，
， ，
由对称性得： 与 ， 是对称点，
则 ；
故②不正确；
③ ，
，
当 时， ，即 ，
，
，故③正确；
④要使 为等腰三角形，则必须保证 或 或 ，
当 时，
， 为直角三角形，
又 的长即为 ，
，
由抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，
，
与 、 联立组成解方程组，解得 ；
同理当 时，
， 为直角三角形，
又 的长即为 ，
，
由抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，，
与 、 联立组成解方程组，解得 ；
同理当 时，
在 中， ，
在 中 ，
，
，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个 值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
三．解答题（共2小题）
6．（袁州区校级月考）如图，抛物线 经过 ， 两点，与
轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，求出点 的坐标；
（3）若点 为抛物线第四象限内一点，连接 、 、 ，求当 的面积最大
时点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，
，，
抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ， ；
（2）如图1，
连接 与抛物线对称轴的交点就是点 ，连接 ， ，
点 ， 关于抛物线对称轴对称，
，
， ，
直线 解析式为 ，
点 在抛物线对称轴上，
点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
， ；
（3）设 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，则点
，
故当 时， 面积最大，此时 ，
所以当 的面积最大时点 的坐标为 ．
7．（北京）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
抛物线 经过点 ，将点 向右平移5个单位长度，得到点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【解答】解：（1）与 轴交点：令 代入直线 得 ，
，
点 向右平移5个单位长度，得到点 ，
；
（2）与 轴交点：令 代入直线 得 ，
，
点 向右平移5个单位长度，得到点 ，将点 代入抛物线 中得 ，即 ，
抛物线的对称轴 ；
（3） 抛物线 经过点 且对称轴 ，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 的对称点 ，
① 时，如图1，
将 代入抛物线得 ，
抛物线与线段 恰有一个公共点，
，
，
将 代入抛物线得 ，
，
，
；
② 时，如图2，
将 代入抛物线得 ，
抛物线与线段 恰有一个公共点，
，
；
③当抛物线的顶点在线段 上时，则顶点为 ，如图3，
将点 代入抛物线得 ，
解得 ．
综上所述， 或 或 ．知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单
位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是
__________
【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2
【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕
顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积
为______
【答案】1
【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点 P旋转180°得到一个新的抛物线是 y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，
y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积= ×2×（3﹣2）
=1．
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平
移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持
1
抛物线 的形状不变，将其顶点平移到
a=
3 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（朝阳区模拟）在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴是
．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ，求点 的
坐标；
（3）抛物线 与 轴交于点 ，点 关于平移后抛物线的对称轴的对
称点为点 ，两条抛物线在点 、 和点 、 之间的部分（包含点 、 、 记
为图象 ．将直线 向下平移 个单位，在平移过程中直线与图象 始
终有两个公共点，请你写出 的取值范围 ．
【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴是 ，
．
．
抛物线的表达式为 ．
．
顶点坐标为 ．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为 ，
，
．
， ．
（3）点 坐标为 ， ，
则点 的坐标为 ， ，
设直线 向下平移 个单位经过点 ，
则 ，
故 ，
解得 ，
平移过程中直线与图象 始终有两个公共点，则 ．
2．（常熟市二模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点
和 ， 是 轴正半轴上的一个动点， 是线段 的中点，将线段 绕点
顺时针旋转 得线段 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，两直线交
于点 ．
（1）求 、 的值；
（2）当 为何值时，点 落在抛物线上．【解答】解：（1）把 和 代入 得 ，
解得 ， ；
（2）作 轴于点 ，如图，
是线段 的中点，
，
， 轴，
，
线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，
， ，
， ，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
而点 、点 为对称点，
点坐标为 ，
，解得 ，即当 为3时，点 落在抛物线上．
3．（莲池区一模）已知 和 是抛物线 上的两点．
（1）求 的值；
（2）将抛物线 的图象向上平移 （是正整数）个单位，使平移后的图象与
轴无交点，求 的最小值；
（3）将抛物线 的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不
变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线 与这个新图象有两个公
共点时，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 和 是抛物线 上的两点，
，解得： ；
（2）平移后抛物线的关系式为 ．
要使平移后图象与 轴无交点，
则有 ，．
因为 是正整数，所以 的最小值为5．
（3）令 ，
解之得： ， ，
故 ， 两点的坐标分别为 ， ．
如图，当直线 ，
经过 点时，可得 ，
当直线 经过 点时，
可得 ，
的取值范围为 ，
翻折后的二次函数解析式为二次函数
当直线 与二次函数 的图象只有一个交点时，
，
整理得： ，
△ ，
解得： ，
的取值范围为： ，
由图可知，符合题意的 的取值范围为： 或 ．知识点5二次函数的解析式
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为_____
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线 y=﹣2
（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物
线解析式为y=2（x+1）2+1；
抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点
旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为
y=2（x﹣1）2﹣1．
故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的
解析式为 ．
【答案】y=4x2+5x
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是y=4x2+5x，
故答案为：y=4x2+5x．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】y=x2+x﹣2【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，
解得 ；
∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数
的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几
种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（昆明模拟）如图，抛物线 的图象经过点 ，点 ，
点 ，与 轴交于点 ，作直线 ，连接 、 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2） 是抛物线上的点，求满足 的点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 的图象经过点 ，点 ，点 ，
设抛物线的解析式为 ，
，
，
，
抛物线的解析式为 ，
（2）①当点 在直线 的抛物线上方，记 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，
由（1）得 ，
，
，
，
设线段 ，则 ，
点 ，
点 在抛物线上，
，
（舍去）， ，
；②当点 在直线 的抛物线下方；
同①的方法得， ，
综上，点 的坐标为 ， ．
2．（汇川区模拟）已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线
分别交 轴正半轴， 轴于点 ， ．
（1）如图1，若二次函数图象也经过点 ， ，试求出该二次函数解析式，并求出 的值．
（2）如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， ， ， 都在二次
函数图象上，试比较 与 的大小．
【解答】解：（1）直线 分别交 轴于点 ．
当 时， ，因此
把点 代入二次函数关系式得： ，解得： ，
二次函数解析式为
当 时，即
解得： ，
点 在 轴的正半轴，
点 ，
把点 代入 得：
答：二次函数解析式为 ， 的值为 ．
（2） ，
二次函数 图象的顶点 在 内部，
，解得： ，
由抛物线的对称轴为 ，
①当 时，点 ， ， ， 根据抛物线的对称性和增减性可得： ，
②当 时，点 ， ， ， 根据抛物线的对称性和增减性可得： ，
③当 时，点 ， ， ， 根据抛物线的对称性和增减性可得： ，
答：当 时， ；当 时， ；当 时， ．
3．（台江区模拟）已知，抛物线 的顶点为 （其中 ．
（1）若抛物线经过 和 两点，且 ．
①求抛物线的解析式；
②若 ，设点 ， 在抛物线上，比较 ， 的大小关系，并说明理由；
（2）若 ， ，直线 与抛物线 的交于点 和点 ，点
的横坐标为 ，点 的横坐标为，求出 和 的函数关系式；
（3）若点 在抛物线 上，且 时，求 的取值范围．
【解答】解：（1）①设抛物线的解析式为： ，
根据题意得： ，
解得： ，
；
② ， 在抛物线上，
，
，
，
；
（2）根据题意得： ， ，
，
又 、 在抛物线上，
，
；
（3）设抛物线 ．
抛物线经过点 ，
，即： ．①
又 点 在抛物线 上，
，即： ．②由①②可得： ．
，
，
，
．
4．（鹿城区模拟）如图， 与抛物线 相交于点 ， ， ，点 在
抛物线的对称轴上，已知点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的函数表达式．
【解答】解：（1） ， ，
，即抛物线对称轴为直线 ，
，
解得： ，
则抛物线解析式为 ；
（2） 四边形 为平行四边形，
，且 ，
与 关于对称轴直线 对称，且 ，
横坐标为1， 横坐标为5，把 代入抛物线解析式得： ，即 ，
设直线 解析式为 ，
把 与 坐标代入得： ，
解得： ，
则直线 的解析式为 ．
5．（大连期末） 如图，已知二次函数 的图象顶点在 轴上，且 ，与
一次函数 的图象交于 轴上一点 和另一交点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为线段 上一点，过点 作 轴，垂足为 ，交抛物线于点 ，请求出
线段 的最大值．
【解答】解：（1） ，
抛物线的顶点 的坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
在直线 中，当 时， ，
则点 ，代入得： ，
抛物线解析式为 ．（2）由 ，解得 或 ，
即点 、点 ，
，
令 ，
则 ，
当 时， ，
即线段 的最大值 ．
6．（仙桃模拟）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和 ，
与 轴交于
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点 的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式： 解集为： 或
（3）若抛物线的对称轴交 轴于点 ，求四边形 的面积．
【解答】解：（1） 抛物线与 轴交于 ，
，
，
把 、 代入 中，得
，
解得，
二次函数的解析式是 ，
其顶点 的坐标是 ；
（2）据图可知： 解集为 或 ；
（3） ．
知识点6二次函数的最值
y=ax2 +bx+c(a≠0)
1. 一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，
b
4ac−b2
x=−
2a y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
当 时，二次函数 有最小（大）值 ；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其
对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
【答案】3+ 或1﹣
【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=1﹣ 或h=1+ （舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=3+ 或h=3﹣ （舍）．综上，h的值为1﹣ 或3+ ，
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对
应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【答案】1或﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
解得：m=1或m=﹣3，
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（无锡期中）若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8
﹣x}时（x≥0），则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：
如图所示：
x＝0，y＝min{0，2，8}＝0；
x＝1，y＝min{1，3，7}＝1；
x＝2，y＝min{4，4，6}＝4；
x＝3，y＝min{9，5，5}＝5；
x＝4，y＝min{16，6，4}＝4；
x＝5，y＝min{25，7，3}＝3；
…
∴y的最大值是5，故选：B．
2．（江干区期末）四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）时，甲发
现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的
最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，
则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：四人的结论如下：
甲：b+2a＝0，且a＜0，b＞0；
乙：a﹣b+c＝0；
丙：a＜0，且$\frac{4ac﹣b2}{4a}＝﹣1$，即：4ac﹣b2＝﹣4a；
丁：4a+2b+c＝﹣2．
由于甲、乙、丁正确，联立，解得：c＝﹣2，a＝ ＞0，与甲矛盾，故其中必有一个错
误，所以丙是正确的；
若甲乙正确，则：c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入丙：﹣12a2﹣4a2＝﹣4a，得：a＝ ＞0，与
甲矛盾，故甲乙中有一个错，所以丁正确；
若乙正确，则b＝a+c，代入丙：4ac﹣（a+c） 2＝﹣4a，化简，得：﹣（a﹣c）2＝﹣
4a，故a≥0，与丙中a＜0矛盾，故乙错误．
因此乙错误．
故选：B．
3．（武昌区校级期末）正实数x，y满足xy＝1，那么 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：由已知，得x＝ ，
∴ ＝ + ＝（ ﹣ ）2+1，
当 ＝ ，即x＝ 时，
的值最小，最小值为1．
故选：C．二．填空题（共3小题）
4．（萧山区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ﹣ 1 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 或﹣ 4 ．
【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
∵a＝1＞0
∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．
（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，
当x＝4时y有最大值，
a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝ ，
当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，
a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．
故答案为（1）﹣1；（2） ．
5．（晋江市一模）如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为
斜边在AB的同侧作Rt AEP与Rt PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝
△ △
8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是 ≤ EF ＜ 8 ．
【解答】解一（函数思想）：设AE＝x，PE＝y，则PF＝8﹣x，BF＝6﹣y，
∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，
∴PE∥BF，
∴△PEA∽△BFP，
∴ ＝ ，
∴4y＝3x，
在Rt FEP中，FE2＝FP2+EP2，
∴FE△ 2＝y2+（8﹣x）2，∴FE2＝（ x）2+x2﹣16x+64＝ x2﹣16x+64＝ （x﹣ ）2+ ，
∵0＜x＜8，
∴当x＝ 时，FE有最小 ，
当x＝0时，EF有最大值8，
∴ ≤EF＜8．
故答案为 ≤EF＜8．
解二（几何思想）：延长BF、AE相交于点G，连接GP，
∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，
∴四边形GFPE是矩形，
∴FE＝GP，
∵GF＝PE，GE＝BF，
∴BG＝BF+PE，AG＝AE+FP，
∵AE+PF＝8，EP+FB＝6，
∴BG＝6，AG＝8，
∴AB＝10，
当GP⊥AB时，GP最小，最小值为 ；
当EF与GA重合时，EF最大，最大值为8，
∵点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，
∴ ≤EF＜8．
故答案为故答案为 ≤EF＜8．
6．（平邑县一模）对于两个实数，规定max{a，b}表示a、b中的较大值，当a≥b时，
max{a，b}＝a，当 a＜b 时，max{a，b}＝b，例如：max{1，3}＝3．则函数 y＝
max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是 1 ．
【解答】解：∵x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1，﹣x2﹣1≤﹣1，
∴x2+2x+2＞﹣x2﹣1，∴y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}＝x2+2x+2≥1，
即函数y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是1．
故答案为1．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
【答案】y=x2+2x
【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2），
把a=1代入，得y=x2+2x．
故答案为y=x2+2x（答案不唯一）．
2.已知反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，
并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+ 有最 值，这个值
是 ．
【答案】大, 1
【解析】解：根据反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣ ．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（ ，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O
旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，1）
∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1．故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；
（2）函数的图象如图所示：
（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
6.如图是y=a（x+m）2的图象（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣ x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a
（x﹣2）2，
将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a，
解得a=﹣ ，
所以二次函数的解析式为y=﹣ （x﹣2）2；
（2）将抛物线y=﹣ x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣ （x﹣2）2；
（3）∵y=﹣ （x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，
抛物线开口向下，当x=2时有最大值0，
当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为 y= （x﹣2）
2．
