文档文本内容
第 13 讲 一元一次方程的应用二
知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题
1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
公式为：
①工作量=工作效率×工作时间，② ，③ 。
2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作
效率为 。
3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶
段“第一阶段工作量+第二阶段工作量=1”。
【典例】
1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、
丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是
否能按期完成？
【解析】解：由题意得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，设
乙、丙还需 天完成这项工程，根据题意得：
解得：
∵共需时间为 天>6天
∴不能按期完成
答：此工程不能按期完成。
【方法总结】
1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做 天”，
可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、丙合做 天”的工作量=工作总量
2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成
2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作
总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需多少天？
【解析】解：由题意甲的工作效率为 ，设乙的工作效率为 ，则有
解得
乙的工作效率为
则还需 天
所以完成这项工作共需4+5=9天
【方法总结】
1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成
工作进度的 ，可求出甲的工作效率为 ；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，
完成工作进度的 ，列式可求乙的工作效率为 。
2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况
【随堂练习】
1．（鞍山期末）一项工程，甲单独做 12小时完成，乙单独做 8小时完成，甲
先单独做9小时，后因甲由其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
【解答】解：设乙还要x小时完成，根据题意得：
×9+ x=1，
解得：x=2．
答：乙还要2小时完成．
2．（黄石期末）一项工程，由甲、乙、丙三人完成，甲单独做需 10天完成，
乙单独做需12天完成，丙单独需15天完成．现计划7天完成，乙、丙先合做3
天后，乙有事，由甲、丙完成剩下工程，问：能否按计划完成？
【解答】解：设甲、丙完成剩下工程需要x天，
根据题意得： =1，
15+12+6x+4x=60，
10x=33，
x=3.3，
∵3.3+3＜7，
∴能按计划完成．
3．（唐河县期中）现加工一批机器零件，甲单独完成需 4天，乙单独完成需6
天，现由乙先做1天，然后两人合作完成，共付给报酬600元，若按个人完成
的工作量付给报酬，该如何分配？【解答】解：设然后两人合作x天完成．
则列方程： + =1，
解得：x=2，
则甲、乙各做了工作量的 ．
故甲、乙平分300元．
故若按个人完成的工作量付给报酬，甲、乙各分300元．
知识点2 一元一次方程的实际问题-利润问题
销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%
出售．
【典例】
1.东方食品厂年的利润（总产值-总支出）为200万元，年总产值比年增加了20%，总支出
减少了10%．年的利润为780万元．问年总产值、总支出各是多少万元？
【解析】解：设年的总产值为 万元，则年的总支出为 万元，由题意得：
解得
则年的总支出：
答：年的总产值为2000万元，总支出为1800万元．
【方法总结】
1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得年总产值和总支出的关系，从而设未知数。
2、然后根据：年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。
2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 399元，两种商品原售价之和
为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____
【解析】解：设甲种商品的原售价为 元，则乙种商品的原售价为 元，
依题意得：
解得x=210
则甲种商品的原售价为210元，则乙种商品的原售价为280元。
所以甲种商品的进价是 元，乙种商品的进价为 元
【方法总结】
题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，
共付款399元”都是关于“原售价”的关系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设
“进价”更好列方程.
3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这
次生意中商品经营______
【解析】解：（1）设赚了15%的衣服的进价是 元，
则：
解得：x=1700
进价是1700元．
（2）设赔了15%的衣服的进价是 元，
则 ，
解得：y=2300
则：进价是2300元，
利润=总售价-总成本=1955×2-（1700+2300）=-90元
所以赔了90元．
【方法总结】
该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求
出总利润。
【随堂练习】
1．（襄城区期末）马刚家附近有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折，乙超市购物①不超过200元，不
给予优惠；②超过200元而不超过500元，打9折；③超过500元，其中的500
元仍打9折，超过500元的部分打8折．（假设两家超市相同商品的标价都一
样）
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲乙两个超市实付款分别是多少？
（2）当标价总额是多少元时，甲乙超市实付款一样？
【解答】解：（1）300×0.88=264（元），
300×0.9=270（元）．
答：当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款是264元，乙超市实付
款是270元．
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．
当一次性购物标价总额恰好是500元时，
甲超市实付款=500×0.88=440（元），
乙超市实付款=500×0.9=450（元）．
∵440＜450，
∴x＞500．
根据题意得0.88x=500×0.9+0.8（x﹣500），
解得：x=625．
答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样．2．（梁子湖区期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引
顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300元之后，超
出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按
原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由．
（3）计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
【解答】解：（1）设顾客在甲超市购物所付的费用为y ，顾客在乙超市购物
甲
所付的费用为y ，
乙
根据题意得：y =300+0.8（x﹣300）=0.8x+60；y =200+0.85（x﹣200）
甲 乙
=0.85x+30．
（2）他应该去乙超市，理由如下：
当x=500时，y =0.8x+60=460，y =0.85x+30=455，
甲 乙
∵460＞455，
∴他去乙超市划算．
（3）令y =y ，即0.8x+60=0.85x+30，
甲 乙
解得：x=600．
答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．3．（费县期末）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该
商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售
了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算
一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标？
【解答】解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预
期目标，
根据题意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500=80×500×40%，
解得：x=40．
答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标．
4．（罗平县期末）现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动
车出行，某商场销售的一款电动车每台的标价是 3270元，在一次促销活动中，
按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款电动车每台的进价？（利润率= = ）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款电动车100台，问盈利多少元？
【解答】解：（1）设这款电动车每台的进价为x元，
根据题意得：3270×0.8﹣x=9%x，
解得：x=2400．答：这款电动车每台的进价为2400元．
（2）2400×9%×100=21600（元）．
答：该商场共盈利21600元．
知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题
设而不求（设中间参数）的问题
一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不
需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。
这将有利于我们对问题本质的理解。
【典例】
1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．
若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可
排完积水？
【解析】解：设每小时雨水增加量为a，每台水泵每小时的排水量为b，则根据积水量相同
得
设用三台水泵需要 小时将积水排尽，由题意得
．
答：用三台水泵需要 小时将积水排尽．
【方法总结】
1、得到每小时雨水增加量为 和每台水泵每小时的排水量 的关系式是解决本题的突破点
2、设 小时可排完积水，等量关系为：3台水泵 小时的工作量﹣ 小时的积水量=1台水
泵10小时的工作量-10小时的积水量
【随堂练习】1．（桂林期末）如图，点 A，B是数轴上的两个点，点 A表示的数为﹣4，点
B在点A右侧，距离A点10个单位长度，动点P从点A出发，以每秒3个单位
长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）填空：①数轴上点B表示的数为____；
②数轴上点P表示的数为________（用含t的代数式表示）．
（2）若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，P，Q同时出发，问点P运动多少秒能追上点Q？
（3）设AP和PB的中点分别为点M，N，在点P的运动过程中，线段MN的长
度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．
【解答】解：（1）依题意得，①数轴上点B表示的数为 6；
②数轴上点P表示的数为 （3t﹣4）（用含t的代数式表示）．
故答案是：6；（3t﹣4）；
（2）依题意得，3t﹣4=10，
解得t=5；
答：若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，P，Q同时出发，问点P运动5秒能追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化．①如图，当点P在点A、B之间运动时，
MN=MP+NP= AP+PB= AB=5；
②当点P运动到点B的右侧时，
MN=MP﹣PB= AP﹣ BP= （AP﹣PB）= AB=5；
③当点P运动到点B时，MN=MB= AB=5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，值为5．
2．（沙坪坝区校级期末）张先生准备购买一套小户型商品房，他去 A楼盘了
解情况得知，该户型商品房的单价是8000元/米2，面积如图所示（卫生间的宽
未定，设宽为x米），张先生了解到在A楼盘购房有以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价是8000元/米2，其中厨房可免费赠送 的面积；
方案二：整套房按原总价9折出售．
（1）用y 表示方案一中购买一套该户型商品房所需支付的总金额，用 y 表示
1 2
方案二中购买一套该户型商品房所需支付的总金额，分别求出y 、y 与x的关
1 2
系式（用含x的代数式分别表示出y 、y ）
1 2
（2）求x取何值时，两种优惠方案所支付的总金额一样多？
（3）张先生考虑许久，决定再到B楼盘去了解情况，他得知该楼盘小户型（与A楼盘户型不同）商品房的单价为8300元/米2，优惠方式如下表：
房价总金额 不超过15万元 超过15万元但 超过25万元但 超过35万元
不超过25万元 不超过35万元
的部分 的部分
的部分 的部分
优惠比例 90% 85% 80% 75%
经售房部介绍，张先生看中了一套房子，享受优惠后的总价格为292240元．
①试求该套房子的面积；
②按①题中这套房子的面积大小，请你帮张先生算一算，他应该在A、B楼盘
中选择哪个更划算？
【解答】解：（1）∵厨房可免费赠送 的面积；
∴收费面积为： ×2×3=2，
∴y =（18+12+ ×6+2x）×8000
1
=（32+2x）×8000
=16000x+256000，
y =（18+12+6+2x）×8000×90%
2
=（36+2x）×8000×0.9
=14400x+259200；（2）令（36+2x）×0.9=32+2x，
解得x=2．
故x=2时，两种优惠方案的总金额一样多；
（3）①[292240﹣150000×90%﹣（250000﹣150000）×85%]÷80%
=72240÷80%
=90300（元），
（250000+90300）÷8300=41（米2）．
答：该套房子的面积是41米2；
②41﹣18﹣12﹣6=5（米2），
14400x+259200=14400×5+259200=331200（元），
∵292240＜331200，
∴在A、B楼盘中选择B楼盘更划算．
3．（市南区期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为 7，点B表示的数为﹣
5，点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，同时，
另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，
设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB的长度为____，数轴上点P和点Q表示的数分别为____、____（用含t的代数式表示）；
（2）在点P和点Q的运动过程中，经过多少秒点P追上点Q？经过多少秒点B
恰为PQ的中点？
（3）运动过程中，若时间t总满足|t+7|﹣|5﹣t|=12，则t的范围是____．
【解答】解：（1）线段AB的长度为7﹣（﹣5）=12，
当运动时间为t秒时，点P表示的数为7﹣3t，点Q表示的数为﹣t．
故答案为：12；7﹣3t；﹣t．
（2）当点P追上点Q时，有7﹣3t=﹣t，
解得：t= ；
当点B恰为PQ的中点时，有2×（﹣5）=7﹣3t+（﹣t），
解得：t= ．
（3）当t≤﹣7时，|t+7|﹣|5﹣t|=﹣t﹣7﹣5+t=﹣12，
∵﹣12≠﹣12，
∴t≤﹣7不合适；
当﹣7＜t≤5时，|t+7|﹣|5﹣t|=t+7﹣5+t=2t+2=12，
解得：t=5．
当t＞5时，|t+7|﹣|5﹣t|=t+7﹣t+5=12，
∵12=12，
∴t＞5．综上所述：t的范围是t≥5．
故答案为：t≥5．
综合运用
1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余
的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?
【解析】设有 支钢笔打9折，则有 支钢笔是原价出售，可得：
解得：
答：打9折的钢笔有20支.
2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出
的价格），此商场为了促销，又对该电脑打折销售，每台电脑仍可盈利 420元，那么该型
号电脑每台打多少折出售？
【解析】解：设该型号电脑每台打 折销售．
由题意得： ，
解得：x=8，
答：该型号电脑每台打八折销售．
3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操
作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.
【解析】解：设这次任务需装配的机床总数为 台，则
，
∴
解得：x=162，答：这次任务需装配的机床总数为162台
4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而
另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是亏损了？
【解析】解：设盈利20%的进价是x元，则
（1+20%）x=1680，
x=1400；
设亏损20%的进价是y元，
则有（1﹣20%）y=1680，
y=2100．
则进价和是1400+2100=3500元，售价和是1680×2=3360元，
3500﹣3360=140元．即亏损140元．
答：商店亏损了140元。
5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分
钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校
决定在考试前由两台复印机同时复印．
（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有
13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一
下，学校能否按时发卷考试？
【解析】解：（1）设共需 分钟才能印完，列方程得：
，
解得x=36
答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完。
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要 分钟才能印完，则有
，
解得y=15
则y=15＞13，
答：会影响学校按时发卷考试；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了 分钟印完试卷，解得z=2.4
则有9+2.4=11.4分钟＜13分钟．
答：学校可以按时发卷考试．
