文档内容
A12/B11 一元一次方程及其解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）方程与方程的解
（2）一元一次方程及其解法
（3）一元一次方程的简单应用
2. 考情分析
（1）一元一次方程及其解法属于方程与代数部分，属于探究性理解水平；
（2）主要考查方程的解的概念及一元一次方程的解法．选填与解答题都会考查本章节的知识点，占期
末考分值15%；
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：方程与方程的解 20分钟
切片2：一元一次方程及其解法 30分钟
切片三：一元一次方程的简单应用 30分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——方程与方程的解【建议时长：20分钟】
考点一：方程的判断
知识笔记1
方程及其相关概念
（1）用字母
2
x 、 y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为_________；含有未知数的等式叫做
_________. 在方程中，所含的未知数又称为_________.
（2）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；
（3）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；
（4）系数：在一项中，数字或者表示已知数的_________叫做未知数的系数；
（5）次数：在一项中，所含有的未知数的_________称为这一项的次数；
（6）常数项：不含_________的项称为常数项.
【填空答案】：
（1）未知数；方程；元；（4）字母因数；（5）指数和；（6）未知数
例题1:
（1）（★★☆☆☆）在下列各式中：
① 3 x − 4 = − 1 ；② 5 y 2 + 2 y = 3 ；③ 7 x − 1 ；④ x − 2 0 ；⑤ x x + 1 ；⑥ 3
2
3
2
=
3
；⑦ −2y=0．
x
其中是方程的有( )个．
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）（★★☆☆☆）下列叙述中，正确的是( )
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母 x ，y的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程【配题说明】考查了方程的概念.
【常规讲解】（1）解：①
3
3 x − 4 = − 1 ，是方程；
②y2 +2y=3，是方程；
③7x−1，是代数式，不是方程；
④ x − 2 0 ，是不等式，不是方程；
⑤ x x + 1 ，是不等式，不是方程；
⑥ 3
2
3
2
= ，是等式，不是方程；
3
⑦ −2y=0，是方程；
x
所以是方程的有①②⑦共3个．
故选：A．
（2）解： A 、方程是含有未知数的等式，错误；
B、方程是含有未知数的等式，故选项正确；
C 、并不是只有含有字母 x ， y 的等式才叫方程，错误；
D 、含有未知数的等式叫做方程，错误；
故选：B．
练习1:【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）① 2 x + 1 ；② 1 + 7 = 1 5 − 8 + 1 ；③ 1 −
1
2
x = x − 1 ；④x+2y=3中，方程共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（★★☆☆☆）下列说法中，正确的是( )
A．代数式是方程 B．方程是代数式 C．等式是方程 D．方程是等式
【配题说明】考查方程的定义.
【常规讲解】（1）解：① 2x+1，含未知数但不是等式，所以不是方程．
②1+7=15−8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程．
1
③1− x= x−1，是含有未知数的等式，所以是方程．
2④x+2y=3，是含有未知数的等式，所以是方程．
故有所有式子中有2个是方程．
故选：B．
（2）解：方程的定义是指含有未知数的等式，
4
A 、代数式不是等式，故不是方程；
B 、方程不是代数式，故 B 错误；
C 、等式不一定含有未知数，也不一定是方程；
D 、方程一定是等式，正确；
故选： D ．
考点二：方程的次数
例题2:
（★★☆☆☆）下面四个关于 x 的方程次数和另外三个不同的是( )
A．a2x+1=x−a3 B． x 3 − x = a x 2 C． a x + a 3 x 2 + x 3 = 0 D． x 3 = a 3
【配题说明】本题考查了方程的定义.
【常规讲解】解： A 、是一元一次方程，故A符合题意；
B 、 C 、 D 是一元三次方程，
故选：A．
练习2: 【学习框10】
2 2
（★★☆☆☆）方程 xy+3=0中， xy的次数是 次．
3 3
【配题说明】此题主要考查了方程的定义.
2 2
【常规讲解】解：方程 xy+3=0中， xy的次数是2次．
3 3
故答案为：2．考点三：列方程
例题3:
（1）（★★☆☆☆）下列所给条件，不能列出方程的是
5
( )
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
1
C．某数与它的 的差 D．某数的3倍与7的和等于29
2
（2）（★★☆☆☆）（2022•奉贤区月考）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设
从乙班调往甲班人数 x ，可列方程 ( )
A．54+x=2(48−x) B． 4 8 + x = 2 ( 5 4 − x ) C． 5 4 − x = 2 4 8 D． 4 8 + x = 2 5 4
（3）（★★☆☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）给 x 位学生分配宿舍， x 正好是 12 的倍数．若每间
宿舍住4人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住3人，最后还缺2间，求学生人数．可列方程 ( )
x−1 x+2
A． = B．
4 3
x
4
+ 1 =
x
3
− 2
C． 4 ( x − 1 ) = 3 ( x + 2 ) D．
x
4
− 1 =
x
3
+ 2
【配题说明】考察方程的应用，根据题目条件找出等量关系列方程.
【常规讲解】（1）解：设某数为 x ，
A 、 x 2 − x = 6 ，是方程，故本选项错误；
B 、 2 ( x + 3 ) = 1 4 ，是方程，故本选项错误；
C 、 x −
1
2
x ，不是方程，故本选项正确；
D、 3 x + 7 = 2 9 ，是方程，故本选项错误．
故选：C．
（2）解：设从乙班调入甲班x人，则乙班现有48−x人，甲班现有54+x人．此时，甲班人数是乙班
的2倍，所以所列的方程为：54+x=2(48−x)，
故选：A．（3）【常规讲解】解：由题意得：
6
x
4
+ 1 =
x
3
− 2 ，
故选：B．
练习3: 【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不
够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的 2 倍？设抽调 x 人，
则可列方程 ( )
A．20=2(26−x) B． 2 0 + x = 2 2 6 C．2(20+x)=26−x D．20+x=2(26−x)
（2）（★★☆☆☆）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二
车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若 3 个人乘一辆车，则空 2 辆车；若 2 个人
乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是 ( )
A．3(x+2)=2x−9 B． 3 ( x + 2 ) = 2 x + 9 C．
x
3
+ 2 =
x −
2
9
D．
x
3
− 2 =
x −
2
9
【配题说明】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，先确定相等关系再列出方程．
【常规讲解】（1）解：设抽调 x 人，由题意得：
2 0 + x = 2 ( 2 6 − x ) ，
故选： D ．
（2）解：依题意得：
x
3
+ 2 =
x −
2
9
．
故选：C．考点四：方程的解
知识笔记2
方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值_________，那么这个未知数的值叫做方程的解.
【填空答案】：相等
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区月考）下列方程中，解为
7
x = 4 的方程是 ( )
A．x+2=2 B． 4 x = 1 C． 2 ( x − 1 ) = 1 D． 4 x − 1 = 3 x + 3
（2）（★★☆☆☆）方程−3(★ − 9 ) = 5 x − 1 ，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x=8，那么★处
的数字是 ( )
A．−1 B． − 2 C． − 3 D． − 4
【配题说明】本题考查了方程的解的定义.
【常规讲解】（1）解： A 、当x=4时，左边=+2=6右边，故选项不符合题意；
B 、当 x = 4 时，左边 = 1 6 右边，故选项不符合题意；
C 、当 x = 4 时，左边 = 6 右边，故选项不符合题意；
D、当 x = 4 时，左边 = 4 4 − 1 = 1 ，右边 = 3 4 + 3 = 1 5 ，则左边=右边，则x=4是方程的解，选项
符合题意；
故选：D．
（2）【常规讲解】解：将 x = 8 代入方程，得：−3(★−9)=40−1，
解得：★=−4，
即★处的数字是 − 4 ，
故选： D ．练习4: 【学习框14】
（1）（★★☆☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）下列方程中，其解为
8
− 1 的方程是 ( )
A． 2 x − 1 = 4 x + 3 B． 3 x = x + 3 C．
x
2
= −
1
2
D． 2 ( x − 3 ) = 3
（2）（★★☆☆☆）若 x = 1 是关于 x 的方程 2 x + a = 0 的解，则 a 的值为( )
A．−1 B． − 2 C．1 D．2
【配题说明】此题考查了一元一次方程的解．
【常规讲解】（1）解： A 、把 x = − 1 代入方程得：左边=2(−1)−1=−3，右边=4(−1+3)=−1，左
边 右边，故本选项不符合题意；
B 、把 x = − 1 代入方程得：左边 = 3 ( − 1 ) = − 3 ，右边 = − 1 + 3 = 2 ，左边 右边，故本选项不符合题意；
C 、把 x = − 1
−1 1
代入方程得：左边= =− ，左边
2 2
= 右边，故本选项符合题意；
D 、把 x = − 1 代入方程得：左边 = 2 ( − 1 − 3 ) = − 8 ，右边 = 3 ，左边 右边，故本选项不符合题意．
故选：C．
（2）解：由题意得：当 x = 1 时， 2 + a = 0 ．
a=−2．
故选：B．知识加油站 2——一元一次方程的解法【建议时长：30分钟】
知识笔记3
一元一次方程的概念
只含有_________未知数且未知数的次数是_________的方程叫做一元一次方程.
【填空答案】：一个；一次；
考点五：一元一次方程的概念
例题5:
（★★☆☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）观察方程：
9
3 x = 1 0 ， 5 x − 4 y = 1 0 ， x 2 − 1 4 = 0 ，
2
x
+ 1 = 0 ，，
4 z − 3 ( z + 2 ) = 1 ．其中一元一次方程有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】本题考查了一元一次方程的定义．
【常规讲解】解：一元一次方程有 3 x = 1 0 ， 4 z − 3 ( z + 2 ) = 1 ，共2个，
故选：B．
练习5: 【学习框16】
（★★☆☆☆）下列方程中，一元一次方程共有( )
1
① =4；②
x
x
2
+ 3 = − 5 ；③x−22 =−3；④x=0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】本题考查了一元一次方程的定义．
【常规讲解】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，
②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
一元一次方程有②③④，共3个，
故选：C．考点六：解方程
知识笔记4
1. 解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤
（1）__________________；
（2）__________________；
（3）__________________；
（4）化成__________________的形式；
（5）两边同除以未知数的_________，得到方程的解
10
x =
b
a
.
【填空答案】：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4） a x = b ( a 0 ) ；（5）系数
例题6:
（1）（★★☆☆☆）解方程 2 x + 3 ( 2 x − 1 ) = 1 6 − ( x + 1 ) 的第一步应是( )
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
x+1 5x−1
（2）（★★☆☆☆）（2022•宝山区月考）解方程 =x− 时，去分母得
4 3
( )
A．4(x+1)=x−3(5x−1) B． x + 1 = 1 2 x − ( 5 x − 1 )
C．3(x+1)=12x−4(5x−1) D． 3 ( x + 1 ) = x − 4 ( 5 x − 1 )
（3）（★★★☆☆）（2023•普陀区期末）下面的变形正确的是( )
A．由7−x=13，得x=13−7 B．由5x=4x+8，得5x+4x=8
1 1
C．由 x=1，得x= D．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7
2 2【配题说明】此题考查了解一元一次方程的步骤及变形过程．
【常规讲解】（1）解：解方程2x+3(2x−1)=16−(x+1)的第一步应是去括号，
故选：B．
（2）解：去分母得：
11
3 ( x + 1 ) = 1 2 x − 4 ( 5 x − 1 ) ，
故选：C．
（3）解： A 、由 7 − x = 1 3 得 x = 7 − 1 3 ，故本选项错误；
B 、由 5 x = 4 x + 8 得 5 x − 4 x = 8 ，故本选项错误；
C
1
、由 x=1，得
2
x = 2 ，故本选项错误；
D 、由 2 x − 7 = 3 x + 2 ，得 2 x − 3 x = 2 + 7 ，故本选项正确．
故选： D ．
练习6: 【学习框18】
x−1 2x+3
（1）（★★☆☆☆）在解方程 − =1时，去分母正确的是
2 3
( )
A．3(x−1)−4x+3=1 B． 3 x − 1 − 4 x + 3 = 6
C． 3 x − 1 − 4 x + 3 = 1 D． 3 ( x − 1 ) − 2 ( 2 x + 3 ) = 6
（2）（★★☆☆☆）下列方程变形中，正确的是( )
A．方程 3 x − 2 = 2 x + 1 ，移项得， 3 x − 2 x = − 1 + 2
B．方程3−x=2−5( x − 1 ) ，去括号得， 3 − x = 2 − 5 x − 1
2 3
C．方程 t = ，系数化为1得，
3 2
t = 1
x−1 x
D．方程 − =1，去分母得，
0.2 0.5
5 ( x − 1 ) − 2 x = 1
【配题说明】此题考查了解一元一次方程的步骤及变形过程.
【常规讲解】（1）解：去分母得： 3 ( x − 1 ) − 2 ( 2 x + 3 ) = 6 ，
故选： D ．
（2）解：A、方程3x−2=2x+1，移项得：3x−2x=1+2，不符合题意；12
B 、方程 3 − x = 2 − 5 ( x − 1 ) ，去括号得： 3 − x = 2 − 5 x + 5 ，不符合题意；
C 、方程
2
3
t =
3
2
，系数化为1得： t =
9
4
，不符合题意；
D 、方程
x
0
−
.2
1
−
0
x
.5
= 1 ，去分母得： 5 ( x − 1 ) − 2 x = 1 ，符合题意，
故选： D ．
例题7:
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： 3 − 2 ( x + 1 ) = 2 ( x − 3 ) ．
（2）（★★★☆☆）（2022•奉贤区肖塘中学月考）解方程： y −
y −
2
1
=
y +
5
4
．
（3）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： 1 4 % x − 9 % ( x + 1 0 ) = 7 % x − 0 .2 ．
【配题说明】此题考查了解一元一次方程．
【常规讲解】（1）解：去括号得： 3 − 2 x − 2 = 2 x − 6 ，
移项得： − 2 x − 2 x = − 6 − 3 + 2 ，
合并得： − 4 x = − 7 ，
系数化为1
得： x =
7
4
．
y−1 y+4
（2）解：y− = ，
2 5
去分母得：10y−5(y−1)=2(y+4)，
去括号得： 1 0 y − 5 y + 5 = 2 y + 8 ，
移项合并同类项得：3y=3，
解得： y = 1 ．
（3）解： 1 4 % x − 9 % ( x + 1 0 ) = 7 % x − 0 .2 ，
整理，得14x−9(x+10)=7x−20，
去括号，得14x−9x−90=7x−20，
移项，得14x−9x−7x=90−20，
合并同类项，得−2x=70，系数化为1，
得
13
x = − 3 5 ．
练习7: 【学习框20】
（1）（★★★☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）解方程：3x+2(x−2)=6．
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程：
x −
2
1
= 2 −
3 x −
5
4
．
（3）（★★★☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）解方程：
2 x
3
− 1
−
3 x
6
+ 1
= 1 ．
【配题说明】此题考查了解一元一次方程．
【常规讲解】（1）解：去括号，可得： 3 x + 2 x − 4 = 6 ，
移项，可得： 3 x + 2 x = 6 + 4 ，
合并同类项，可得：5x=10，
系数化为1，
可得： x = 2 ．
（2）解：去分母得： 5 ( x − 1 ) = 2 0 − 2 ( 3 x − 4 ) ，
去括号得： 5 x − 5 = 2 0 − 6 x + 8 ，
移项合并得： 1 1 x = 3 3 ，
解得： x = 3 ．
（3）解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x+1)=6，
去括号，可得： 4 x − 2 − 3 x − 1 = 6 ，
移项，可得：4x−3x=6+2+1，
合并同类项，
可得：x=9．知识加油站 3——一元一次方程的的简单应用【建议时长：30分钟】
考点七：列方程解应用题
知识笔记5
列方程解应用题的一般步骤
（1）设未知数；
（2）列方程；
（3）解方程；
（4）检验并作答.
例题8:
（1）（★★★☆☆）（2023•闵行区期末）甲工程队原有 400 人，乙工程队原有 150 人，现要抽调一定
人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为
14
2 : 1 ，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，
问甲乙两队各抽调了多少人？
（2）（★★★★☆）（2023•嘉定区期末）已知数轴上有 A ， B 两点，分别代表 − 4 0 ，20，两只电子蚂
蚁甲，乙分别从 A ， B 两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度 / 秒的速度向右运动，甲到达点 B
处时运动停止，乙沿 B A 方向以4个单位长度 / 秒的速度向左运动．
① A ，B两点间的距离为 个单位长度；乙到达 A 点时共运动了 秒．
②甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
③多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
④若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，
求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
【配题说明】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知条件得出正确等量关系．
【常规讲解】（1）解：设乙队抽调了x人，则甲队抽调了2x人，根据题意得，
15
4 0 0 − 2 x = 4 (1 5 0 − x ) ，
解得，x=100．
则 2 x = 2 0 0 ．
答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人．
（2）【常规讲解】解：① A 、 B 两点的距离为 A B = | − 4 0 − 2 0 |= 6 0 ，乙到达 A 点时共运动了604=15
（秒)；
故答案为：60，15；
②设甲，乙经过 x 秒会相遇，根据题意得：
x + 4 x = 6 0 ，
解得 x = 1 2 ，
− 4 0 + x = − 2 8 ．
答：甲，乙在数轴上的 − 2 8 点相遇；
③两种情况，相遇前，
设 y 秒时，甲、乙相距10个单位长度，
根据题意得，y+4y=60−10，
解得 y = 1 0 ；
相遇后，
设 y 秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得：
y + 4 y − 6 0 = 1 0 ，
解得： y = 1 4 ，
答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；
④乙到达 A 点需要15秒，甲位于 − 4 0 + 1 5 = − 2 5 ，
乙追上甲需要 2 5 (1 + 4 ) = 5 （秒 ) ，
此时相遇点的数是−25+5=−20，
故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是 − 2 0 ．练习8: 【学习框22】
（1）（★★★☆☆）（2023•松江区期中）有两个工程队，第一队有 45 人，第二队比第一队少 15 人，
因任务需要，要求第一队的人数是第二队的人数的2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援？
（2）（★★★★☆）如图，在数轴上点A表示的数是−3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是 18；
点
16
C 在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的2倍．
①点B表示的数是 ；点C表示的数是 ；
②若点P从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点 Q 从点 B 出发，沿
数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 t 秒．
当 P 运动到 C 点时，点 Q 所表示的数是多少？
当t为何值时， P 、 Q 之间的距离为6？
【配题说明】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知条件得出正确等量关系．
【常规讲解】（1）解：设需要从第二队抽调 x 人去支援第一队，
根据题意得： 2 ( 4 5 − 1 5 − x ) = 4 5 + x ，
解得 x = 5 ，
答：需要从第二队抽调5人去支援第一队．
（2）解：① − 3 + 1 8 = 1 5 ，
点B表示的数是15，
设点 C 表示的数是 x ，
根据题意得： 1 5 − x = 2 ( x + 3 ) ，
解得：x=3，
点C表示的数是3，
故答案为：15，3．
②点P表示的数是−3+4t，点 Q 表示的数是 1 5 − 2 t ，
当点 P 运动到点 C 时，
则−3+4t=3，
3
解得：t =
23
当t = 时，
2
17
1 5 − 2 t = 1 5 − 2
3
2
= 1 2 ，
点Q表示的数是12；
当 P 、 Q 两点之间的距离为6时，
则 4 t + 2 t + 6 = 1 8 或 4 t + 2 t − 6 = 1 8 ，
解得：t=2或t=4，
答：当t=2或 t = 4 时P、Q之间的距离为6．全真战场
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）下列方程中，其解为−2的是
18
( )
x+5
A． −1=0 B．
3
3 ( x + 1 ) − 3 = 0 C．3x−4=2 D．2x=−1
（2）（★★★☆☆）小明在解方程
2 x
3
− 1
=
x +
3
a
− 1 去分母时，方程右边的 − 1 没有乘 3，因而求得的解
为 x = 2 ，则原方程的解为 ( )
A． x = 0 B． x = − 1 C． x = 2 D． x = − 2
【配题说明】对应考点四．
【常规讲解】（1）解： A 、
x +
3
5
− 1 = 0 ，解得： x = − 2 ，故此选项正确；
B 、3(x+1)−3=0，解得： x = 0 ，故此选项错误；
C 、 3 x − 4 = 2 ，解得： x = 2 ，故此选项错误；
D 、2x=−1，解得： x = −
1
2
，故此选项错误；
故选：A．
（2）解：根据题意，得： 2 x − 1 = x + a − 1 ，
把 x = 2 代入这个方程，得： 3 = 2 + a − 1 ，
解得：a=2，
2x−1 x+2
代入原方程，得： = −1，
3 3
去分母，得：2x−1=x+2−3，
移项、合并同类项，得： x = 0 ，
故选：A．练习2:
（1）（★★★☆☆）（2021•浦东新区月考）
19
x 的3倍比 x
1
的 大7，所列方程是 ．
2
（2）（★★★☆☆）（2021•普陀区月考）根据数量关系列出方程：某数 x 的
7
8
与 − 1 的差等于 10，方程
为： ．
（3）（★★★☆☆）“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳 4 尺：如果将绳子折成四
等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为 x 尺，可列一元一次方程为 ．
【配题说明】对应考点三．
【常规讲解】（1）解：由题意，得 3 x −
1
2
x = 7 ．
故答案为： 3 x −
1
2
x = 7 ．
（2）【常规讲解】解：某数 x 的
7
8
7
表示为 x，与
8
− 1 的差表示为：
7
8
x − ( − 1 ) ，则
7
8
x − ( − 1 ) = 1 0 ．
7
故答案为： x−(−1)=10．
8
（3）解：井深为 x 尺，
由将绳三折测之，绳多4尺，可得绳长为 3 ( x + 4 ) ，
由将绳四折测之，绳多1尺，可得绳长为 4 ( x + 1 ) ．
由绳长相等，可得3(x+4)=4(x+1)．
故答案为： 3 ( x + 4 ) = 4 ( x + 1 ) ．
练习3:
（★★★☆☆）解方程．
（1）2x+2=3x−2； （2）5x+3=2(x−3)；
3x−2
（3） −(2−x)=x； （4）
2
x −
3
3
−
2 x −
4
5
= 1 ．
【配题说明】对应考点六．
【常规讲解】解：（1）2x+2=3x−2，移项，得
20
2 x − 3 x = − 2 − 2 ．
合并同类项，得 − x = − 4 ．
x 的系数化为1，得 x = 4 ．
这个方程的解为 x = 4 ．
（2）5x+3=2(x−3)，
去括号，得5x+3=2x−6．
移项，得 5 x − 2 x = − 6 − 3 ．
合并同类项，得 3 x = − 9 ．
x 的系数化为1，得 x = − 3 ．
这个方程的解为 x = − 3 ．
3x−2
（3） −(2−x)=x，
2
去分母，得 3 x − 2 − 2 ( 2 − x ) = 2 x ．
去括号，得3x−2−4+2x=2x．
移项，得 3 x + 2 x − 2 x = 4 + 2 ．
合并同类项，得 3 x = 6 ．
x 的系数化为1，得 x = 2 ．
这个方程的解为 x = 2 ．
x−3 2x−5
（4） − =1，
3 4
去分母，得 4 ( x − 3 ) − 3 ( 2 x − 5 ) = 1 2 ．
去括号，得4x−12−6x+15=12．
移项，得 4 x − 6 x = 1 2 − 1 5 + 1 2 ．
合并同类项，得−2x=9．
x
9
的系数化为1，得x=− ．
2
9
这个方程的解为x=− ．
2练习4:
（★★★★☆）新华书店正在搞促销活动：用20元办一张会员卡，买书时可以享受8折优惠．于是小明
用 20元办了一张会员卡，又买了一些书．经过计算他发现加上他办卡的费用比这些书原来的总价还少
了12元，请你求出小明所买的这些书原来的总价是多少？
【配题说明】对应考点七．
【常规讲解】解：设小明所买的这些书原来的总价是x元，
由题意可得：
21
x − 1 2 = 2 0 + 0 .8 x ，
解得 x = 1 6 0 ，
答：小明所买的这些书原来的总价是160元．
练习5:
（★★★★☆）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并常规讲解问题．
解方程：
2 x
3
+ 1
−
5 x
6
− 1
= 1
解：去分母，得 2 ( 2 x + 1 ) − ( 5 x − 1 ) = 1 第一步
去括号，得 4 x + 2 − 5 x + 1 = 1 第二步
移项，得 4 x − 5 x = 1 − 1 − 2 第三步
合并同类项，得−x=−2， 第四步
方程两边同除以 − 1 ，得 x = 2 ． 第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是 ．
A ．等式的基本性质 B ．不等式的基本性质
C ．分式的基本性质 D ．乘法分配律
（2）从第 步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为 ．
【配题说明】对应考点六．
【常规讲解】解：（1）以上求解过程中，第三步的依据是等式的性质1，
故答案为：等式的性质1；
（2）从第一步开始出现错误，具体的错误是方程的右边没乘6，故答案为：一；
2x+1 5x−1
（3） − =1，
3 6
去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=6，
去括号，得
22
4 x + 2 − 5 x + 1 = 6 ，
移项，得 4 x − 5 x = 6 − 2 − 1 ，
合并同类项，得 − x = 3 ，
系数化成1，得 x = − 3 ，
故答案为： x = − 3 ．
关卡二
练习6:
（★★★★☆）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化 0 .3 为
分数，解决方法是：设 x = 0 .3 ，即 x = 0 .3 3 3 ，将方程两边都 1 0 ，得 1 0 x = 3 .3 3 3 ，即
1 0 x = 3 + 0 .3 3 3 ，又因为 x = 0 .3 3 3 ，所以 1 0 x = 3 + x ，所以 9 x = 3 ，即 x =
1
3
1
，所以0.3= ．
3
尝试解决下列各题：
（1）把 0 .1 化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数 0 .1 6 化成分数．
【配题说明】考察运用一元一次方程解实际问题，需要结合等式的性质变形建立方程．
【常规讲解】解：（1）设 x = 0 .1 ，即 x = 0 .1 1 1 1 ，
将方程两边都 1 0 ，得 1 0 x = 1 .1 1 1 1 ，
即10x=1+0.1111，
又因为 x = 0 .1 1 1 ，所以 1 0 x = 1 + x ，所以 9 x = 1 ，即 x =
1
9
．
1
故答案为： ．
9
（2）设x=0.16，即x=0.1616，
将方程两边都100，得100x=16.1616，即100x=16+0.1616，又因为
23
x = 0 .1 6 1 6 ，
所以 1 0 0 x = 1 6 + x ，所以 9 9 x = 1 6
16
，即x= ，
99
所以 0 .1 6 =
1
9
6
9
．
练习7:
（★★★★★）解方程：
（1）
1
2
[ x −
1
2
( x − 1 ) ] =
2
3
( x + 2 ) ．
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
【配题说明】本题考查了解一元一次方程，过程较复杂．
【常规讲解】解：（1）
1
2
[ x −
1
2
( x − 1 ) ] =
2
3
( x + 2 ) ，
1 1 2 4
x− (x−1)= x+ ，
2 4 3 3
1
2
x −
1
4
x +
1
4
=
2
3
x +
4
3
，
6 x − 3 x + 3 = 8 x + 1 6 ，
x = −
1 3
5
；
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
整理得： 7 0 + 1 5 x − 1 0 = 3 0 − 1 0 0 x ，
1 1 5 x = − 3 0 ，
x = −
6
2 3
．
