文档内容
A12/B11 一元一次方程及其解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）方程与方程的解
（2）一元一次方程及其解法
（3）一元一次方程的简单应用
2. 考情分析
（1）一元一次方程及其解法属于方程与代数部分，属于探究性理解水平；
（2）主要考查方程的解的概念及一元一次方程的解法．选填与解答题都会考查本章节的知识点，占期
末考分值15%；
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片 1：方程与方程的解 20分钟
切片 2：一元一次方程及其解法 30分钟
切片三：一元一次方程的简单应用 30分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——方程与方程的解【建议时长：20分钟】
考点一：方程的判断
知识笔记 1
方程及其相关概念
（1）用字母x、
2
y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为_________；含有未知数的等式叫做
_________. 在方程中，所含的未知数又称为_________.
（2）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；
（3）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；
（4）系数：在一项中，数字或者表示已知数的_________叫做未知数的系数；
（5）次数：在一项中，所含有的未知数的_________称为这一项的次数；
（6）常数项：不含_________的项称为常数项.
【填空答案】：
（1）未知数；方程；元；（4）字母因数；（5）指数和；（6）未知数
例题1:
（1）（★★☆☆☆）在下列各式中：
①3x−4=−1；② 5 y 2 + 2 y = 3 ；③ 7 x − 1 ；④x−20；⑤ x x + 1 ；⑥ 3
2
3
2
=
3
；⑦ −2y=0．
x
其中是方程的有 ( ) 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）（★★☆☆☆）下列叙述中，正确的是 ( )
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母x， y 的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程【配题说明】考查了方程的概念.
【常规讲解】（1）解：①
3
3 x − 4 = − 1 ，是方程；
② y 2 + 2 y = 3 ，是方程；
③ 7 x − 1 ，是代数式，不是方程；
④x−20，是不等式，不是方程；
⑤x x+1，是不等式，不是方程；
⑥ 3
2
3
2
= ，是等式，不是方程；
3
⑦ −2y=0，是方程；
x
所以是方程的有①②⑦共3个．
故选： A ．
（2）解：A、方程是含有未知数的等式，错误；
B、方程是含有未知数的等式，故选项正确；
C、并不是只有含有字母 x ， y 的等式才叫方程，错误；
D、含有未知数的等式叫做方程，错误；
故选： B ．
练习1:
（1）（★★☆☆☆）① 2 x + 1 ；② 1 + 7 = 1 5 − 8 + 1 ；③ 1 −
1
2
x = x − 1 ；④ x + 2 y = 3 中，方程共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（★★☆☆☆）下列说法中，正确的是 ( )
A．代数式是方程 B．方程是代数式 C．等式是方程 D．方程是等式
【配题说明】考查方程的定义.
【常规讲解】（1）解：① 2 x + 1 ，含未知数但不是等式，所以不是方程．
②1+7=15−8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程．
1
③1− x=x−1，是含有未知数的等式，所以是方程．
2④
4
x + 2 y = 3 ，是含有未知数的等式，所以是方程．
故有所有式子中有2个是方程．
故选： B ．
（2）解：方程的定义是指含有未知数的等式，
A、代数式不是等式，故不是方程；
B、方程不是代数式，故 B 错误；
C、等式不一定含有未知数，也不一定是方程；
D、方程一定是等式，正确；
故选：D．
考点二：方程的次数
例题2:
（★★☆☆☆）下面四个关于 x 的方程次数和另外三个不同的是 ( )
A． a 2 x + 1 = x − a 3 B．x3 −x=ax2 C．ax+a3x2 +x3 =0 D． x 3 = a 3
【配题说明】本题考查了方程的定义.
【常规讲解】解：A、是一元一次方程，故A符合题意；
B、 C 、D是一元三次方程，
故选： A ．
练习2:
（★★☆☆☆）方程
2
3
x y + 3 = 0
2
中， xy的次数是 次．
3
【配题说明】此题主要考查了方程的定义.
【常规讲解】解：方程
2
3
x y + 3 = 0
2
中， xy的次数是2次．
3
故答案为：2．考点三：列方程
例题3:
（1）（★★☆☆☆）下列所给条件，不能列出方程的是
5
( )
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的
1
2
的差 D．某数的3倍与7的和等于29
（2）（★★☆☆☆）（2022•奉贤区月考）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设
从乙班调往甲班人数 x ，可列方程( )
A．54+x=2(48−x) B．48+x=2(54−x) C． 5 4 − x = 2 4 8 D． 4 8 + x = 2 5 4
（3）（★★☆☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）给 x 位学生分配宿舍， x 正好是 12 的倍数．若每间
宿舍住4人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住3人，最后还缺2间，求学生人数．可列方程( )
x−1 x+2
A． = B．
4 3
x
4
+ 1 =
x
3
− 2
C．4(x−1)=3(x+2) D．
x
4
− 1 =
x
3
+ 2
【配题说明】考察方程的应用，根据题目条件找出等量关系列方程.
【常规讲解】（1）解：设某数为x，
A、x2 −x=6，是方程，故本选项错误；
B、 2 ( x + 3 ) = 1 4 ，是方程，故本选项错误；
1
C、x− x，不是方程，故本选项正确；
2
D、3x+7=29，是方程，故本选项错误．
故选：C．
（2）解：设从乙班调入甲班x人，则乙班现有48−x人，甲班现有54+x人．此时，甲班人数是乙班
的2倍，所以所列的方程为： 5 4 + x = 2 ( 4 8 − x ) ，
故选：A．x x
（3）【常规讲解】解：由题意得： +1= −2，
4 3
故选：B．
练习3:
（1）（★★☆☆☆）某班分两组志愿者去社区服务，第一组 20人，第二组 26人．现第一组发现人手不
够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的 2 倍？设抽调
6
x 人，
则可列方程 ( )
A． 2 0 = 2 ( 2 6 − x ) B．20+x=226 C．2(20+x)=26−x D．20+x=2(26−x)
（2）（★★☆☆☆）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二
车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若 3 个人乘一辆车，则空 2 辆车；若 2 个人
乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有 x 个人，则可列方程是( )
A．3(x+2)=2x−9 B．3(x+2)=2x+9 C．
x
3
+ 2 =
x −
2
9
D．
x
3
− 2 =
x −
2
9
【配题说明】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，先确定相等关系再列出方程．
【常规讲解】（1）解：设抽调 x 人，由题意得：
20+x=2(26−x)，
故选：D．
（2）解：依题意得：
x
3
+ 2 =
x −
2
9
．
故选： C ．考点四：方程的解
知识笔记 2
方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值_________，那么这个未知数的值叫做方程的解.
【填空答案】：相等
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区月考）下列方程中，解为x=4的方程是
7
( )
A．x+2=2 B． 4 x = 1 C．2(x−1)=1 D． 4 x − 1 = 3 x + 3
（2）（★★☆☆☆）方程 − 3 ( ★−9)=5x−1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x=8，那么★处
的数字是( )
A．−1 B．−2 C． − 3 D．−4
【配题说明】本题考查了方程的解的定义.
【常规讲解】（1）解：A、当x=4时，左边=+2=6右边，故选项不符合题意；
B、当x=4时，左边 = 1 6 右边，故选项不符合题意；
C、当x=4时，左边 = 6 右边，故选项不符合题意；
D、当x=4时，左边 = 4 4 − 1 = 1 ，右边 = 3 4 + 3 = 1 5 ，则左边 = 右边，则x=4是方程的解，选项
符合题意；
故选：D．
（2）【常规讲解】解：将 x = 8 代入方程，得：−3(★ − 9 ) = 4 0 − 1 ，
解得：★ = − 4 ，
即★处的数字是 − 4 ，
故选：D．练习4:
（1）（★★☆☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）下列方程中，其解为
8
− 1 的方程是( )
A．2x−1=4x+3 B．3x= x+3 C．
x
2
= −
1
2
D． 2 ( x − 3 ) = 3
（2）（★★☆☆☆）若 x = 1 是关于 x 的方程 2 x + a = 0 的解，则 a 的值为 ( )
A．−1 B． − 2 C．1 D．2
【配题说明】此题考查了一元一次方程的解．
【常规讲解】（1）解： A 、把 x = − 1 代入方程得：左边=2(−1)−1=−3，右边=4(−1+3)=−1，左
边 右边，故本选项不符合题意；
B、把 x = − 1 代入方程得：左边 = 3 ( − 1 ) = − 3 ，右边 = − 1 + 3 = 2 ，左边 右边，故本选项不符合题意；
−1 1
C、把x=−1代入方程得：左边= =− ，左边=右边，故本选项符合题意；
2 2
D、把x=−1代入方程得：左边=2(−1−3)=−8，右边=3，左边 右边，故本选项不符合题意．
故选： C ．
（2）解：由题意得：当 x = 1 时，2+a=0．
a = − 2 ．
故选： B ．知识加油站 2——一元一次方程的解法【建议时长：30分钟】
知识笔记 3
一元一次方程的概念
只含有_________未知数且未知数的次数是_________的方程叫做一元一次方程.
【填空答案】：一个；一次；
考点五：一元一次方程的概念
例题5:
（★★☆☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）观察方程：3x=10，
9
5 x − 4 y = 1 0
2
，x2 −14=0， +1=0，
x
4 z − 3 ( z + 2 ) = 1 ．其中一元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】本题考查了一元一次方程的定义．
【常规讲解】解：一元一次方程有3x=10，4z−3(z+2)=1，共2个，
故选： B ．
练习5:
（★★☆☆☆）下列方程中，一元一次方程共有 ( )
①
1
x
= 4
x
；② +3=−5；③x−22 =−3；④x=0．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】本题考查了一元一次方程的定义．
【常规讲解】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，
②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
一元一次方程有②③④，共3个，
故选：C．考点六：解方程
知识笔记 4
1. 解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤
（1）__________________；
（2）__________________；
（3）__________________；
（4）化成__________________的形式；
（5）两边同除以未知数的_________，得到方程的解
10
x =
b
a
.
【填空答案】：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4） a x = b ( a 0 ) ；（5）系数
例题6:
（1）（★★☆☆☆）解方程 2 x + 3 ( 2 x − 1 ) = 1 6 − ( x + 1 ) 的第一步应是 ( )
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
（2）（★★☆☆☆）（2022•宝山区月考）解方程
x +
4
1
= x −
5 x
3
− 1
时，去分母得 ( )
A．4(x+1)=x−3(5x−1) B．x+1=12x−(5x−1)
C． 3 ( x + 1 ) = 1 2 x − 4 ( 5 x − 1 ) D． 3 ( x + 1 ) = x − 4 ( 5 x − 1 )
（3）（★★★☆☆）（2023•普陀区期末）下面的变形正确的是 ( )
A．由7−x=13，得x=13−7 B．由 5 x = 4 x + 8 ，得 5 x + 4 x = 8
1 1
C．由 x=1，得x= D．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7
2 2【配题说明】此题考查了解一元一次方程的步骤及变形过程．
【常规讲解】（1）解：解方程2x+3(2x−1)=16−(x+1)的第一步应是去括号，
故选：
11
B ．
（2）解：去分母得：3(x+1)=12x−4(5x−1)，
故选： C ．
（3）解：A、由7−x=13得x=7−13，故本选项错误；
B、由5x=4x+8得 5 x − 4 x = 8 ，故本选项错误；
1
C、由 x=1，得x=2，故本选项错误；
2
D、由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7，故本选项正确．
故选：D．
练习6:
（1）（★★☆☆☆）在解方程
x −
2
1
−
2 x +
3
3
= 1 时，去分母正确的是 ( )
A． 3 ( x − 1 ) − 4 x + 3 = 1 B． 3 x − 1 − 4 x + 3 = 6
C． 3 x − 1 − 4 x + 3 = 1 D． 3 ( x − 1 ) − 2 ( 2 x + 3 ) = 6
（2）（★★☆☆☆）下列方程变形中，正确的是 ( )
A．方程3x−2=2x+1，移项得， 3 x − 2 x = − 1 + 2
B．方程3−x=2−5( x − 1 ) ，去括号得， 3 − x = 2 − 5 x − 1
C．方程
2
3
t =
3
2
，系数化为1得，t =1
D．方程
x
0
−
.2
1
−
0
x
.5
= 1 ，去分母得，5( x − 1 ) − 2 x = 1
【配题说明】此题考查了解一元一次方程的步骤及变形过程.
【常规讲解】（1）解：去分母得： 3 ( x − 1 ) − 2 ( 2 x + 3 ) = 6 ，
故选：D．
（2）解：A、方程3x−2=2x+1，移项得：3x−2x=1+2，不符合题意；B、方程
12
3 − x = 2 − 5 ( x − 1 ) ，去括号得：3−x=2−5x+5，不符合题意；
C、方程
2
3
t =
3
2
，系数化为1得： t =
9
4
，不符合题意；
D、方程
x
0
−
.2
1
−
0
x
.5
= 1 ，去分母得：5(x−1)−2x=1，符合题意，
故选：D．
例题7:
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程：3−2(x+1)=2(x−3)．
y−1 y+4
（2）（★★★☆☆）（2022•奉贤区肖塘中学月考）解方程：y− = ．
2 5
（3）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程：14%x−9%(x+10)=7%x−0.2．
【配题说明】此题考查了解一元一次方程．
【常规讲解】（1）解：去括号得：3−2x−2=2x−6，
移项得：−2x−2x=−6−3+2，
合并得：−4x=−7，
系数化为1
得： x =
7
4
．
y−1 y+4
（2）解：y− = ，
2 5
去分母得：10y−5(y−1)=2(y+4)，
去括号得：10y−5y+5=2y+8，
移项合并同类项得： 3 y = 3 ，
解得：y=1．
（3）解：14%x−9%(x+10)=7%x−0.2，
整理，得14x−9(x+10)=7x−20，
去括号，得14x−9x−90=7x−20，
移项，得14x−9x−7x=90−20，
合并同类项，得−2x=70，系数化为1，
得
13
x = − 3 5 ．
练习7:
（1）（★★★☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）解方程：3x+2(x−2)=6．
x−1 3x−4
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： =2− ．
2 5
2x−1 3x+1
（3）（★★★☆☆）（2021•普陀区北海中学月考）解方程： − =1．
3 6
【配题说明】此题考查了解一元一次方程．
【常规讲解】（1）解：去括号，可得： 3 x + 2 x − 4 = 6 ，
移项，可得： 3 x + 2 x = 6 + 4 ，
合并同类项，可得： 5 x = 1 0 ，
系数化为1，
可得：x=2．
（2）解：去分母得：5(x−1)=20−2(3x−4)，
去括号得： 5 x − 5 = 2 0 − 6 x + 8 ，
移项合并得： 1 1 x = 3 3 ，
解得：x=3．
（3）解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x+1)=6，
去括号，可得： 4 x − 2 − 3 x − 1 = 6 ，
移项，可得：4x−3x=6+2+1，
合并同类项，
可得：x=9．知识加油站 3——一元一次方程的的简单应用【建议时长：30分钟】
考点七：列方程解应用题
知识笔记 5
列方程解应用题的一般步骤
（1）设未知数；
（2）列方程；
（3）解方程；
（4）检验并作答.
例题8:
（1）（★★★☆☆）（2023•闵行区期末）甲工程队原有 400 人，乙工程队原有 150 人，现要抽调一定
人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2:1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，
问甲乙两队各抽调了多少人？
（2）（★★★★☆）（2023•嘉定区期末）已知数轴上有 A，
14
B 两点，分别代表−40，20，两只电子蚂
蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段 A B 以 1个单位长度 / 秒的速度向右运动，甲到达点B
处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度 / 秒的速度向左运动．
①A，B两点间的距离为 个单位长度；乙到达A点时共运动了 秒．
②甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
③多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
④若乙到达 A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，
求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
【配题说明】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知条件得出正确等量关系．
【常规讲解】（1）解：设乙队抽调了x人，则甲队抽调了2x人，根据题意得，400−2x=4(150−x)，
解得，x=100．
则2x=200．
答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人．
（2）【常规讲解】解：① A、B两点的距离为
15
A B = | − 4 0 − 2 0 |= 6 0 ，乙到达 A点时共运动了604=15
（秒)；
故答案为：60，15；
②设甲，乙经过 x 秒会相遇，根据题意得：
x+4x=60，
解得 x = 1 2 ，
− 4 0 + x = − 2 8 ．
答：甲，乙在数轴上的−28点相遇；
③两种情况，相遇前，
设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，
根据题意得，y+4y=60−10，
解得 y = 1 0 ；
相遇后，
设 y 秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得：
y+4y−60=10，
解得： y = 1 4 ，
答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；
④乙到达A点需要15秒，甲位于 − 4 0 + 1 5 = − 2 5 ，
乙追上甲需要 2 5 (1 + 4 ) = 5 （秒)，
此时相遇点的数是 − 2 5 + 5 = − 2 0 ，
故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是−20．练习8:
（1）（★★★☆☆）（2023•松江区期中）有两个工程队，第一队有 45 人，第二队比第一队少 15 人，
因任务需要，要求第一队的人数是第二队的人数的2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援？
（2）（★★★★☆）如图，在数轴上点A表示的数是
16
− 3 ，点B在点A的右侧，且到点A的距离是 18；
点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
①点 B 表示的数是 ；点 C 表示的数是 ；
②若点 P 从点A出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿
数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 t 秒．
当P运动到C点时，点 Q 所表示的数是多少？
当 t 为何值时，P、Q之间的距离为6？
【配题说明】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知条件得出正确等量关系．
【常规讲解】（1）解：设需要从第二队抽调x人去支援第一队，
根据题意得： 2 ( 4 5 − 1 5 − x ) = 4 5 + x ，
解得 x = 5 ，
答：需要从第二队抽调5人去支援第一队．
（2）解：① − 3 + 1 8 = 1 5 ，
点 B 表示的数是15，
设点 C 表示的数是 x ，
根据题意得：15−x=2(x+3)，
解得：x=3，
点C表示的数是3，
故答案为：15，3．
②点P表示的数是−3+4t，点 Q 表示的数是15−2t ，
当点P运动到点C时，
则−3+4t =3，
3
解得：t =
23 3
当t = 时，15−2t=15−2 =12，
2 2
17
点 Q 表示的数是12；
当P、Q两点之间的距离为6时，
则4t+2t+6=18或4t+2t−6=18，
解得：t =2或t =4，
答：当t =2或t =4时P、 Q 之间的距离为6．全真战场
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）下列方程中，其解为
18
− 2 的是 ( )
x+5
A． −1=0 B．3(x+1)−3=0 C．3x−4=2 D．2x=−1
3
2x−1 x+a
（2）（★★★☆☆）小明在解方程 = −1去分母时，方程右边的−1没有乘 3，因而求得的解
3 3
为x=2，则原方程的解为 ( )
A．x=0 B．x=−1 C．x=2 D． x = − 2
【配题说明】对应考点四．
x+5
【常规讲解】（1）解：A、 −1=0，解得：
3
x = − 2 ，故此选项正确；
B、3(x+1)−3=0，解得： x = 0 ，故此选项错误；
C、3x−4=2，解得： x = 2 ，故此选项错误；
1
D、2x=−1，解得：x=− ，故此选项错误；
2
故选： A ．
（2）解：根据题意，得：2x−1= x+a−1，
把 x = 2 代入这个方程，得：3=2+a−1，
解得：a=2，
2x−1 x+2
代入原方程，得： = −1，
3 3
去分母，得：2x−1= x+2−3，
移项、合并同类项，得： x = 0 ，
故选：A．练习2:
（1）（★★★☆☆）（2021•浦东新区月考）x的3倍比
19
x
1
的 大7，所列方程是 ．
2
（2）（★★★☆☆）（2021•普陀区月考）根据数量关系列出方程：某数 x
7
的 与−1的差等于 10，方程
8
为： ．
（3）（★★★☆☆）“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳 4 尺：如果将绳子折成四
等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为 x 尺，可列一元一次方程为 ．
【配题说明】对应考点三．
1
【常规讲解】（1）解：由题意，得3x− x=7．
2
1
故答案为：3x− x=7．
2
（2）【常规讲解】解：某数 x
7 7
的 表示为 x，与−1的差表示为：
8 8
7
8
x − ( − 1 ) ，则
7
8
x − ( − 1 ) = 1 0 ．
故答案为：
7
8
x − ( − 1 ) = 1 0 ．
（3）解：井深为 x 尺，
由将绳三折测之，绳多4尺，可得绳长为3(x+4)，
由将绳四折测之，绳多1尺，可得绳长为4(x+1)．
由绳长相等，可得3(x+4)=4(x+1)．
故答案为：3(x+4)=4(x+1)．
练习3:
（★★★☆☆）解方程．
（1）2x+2=3x−2； （2）5x+3=2(x−3)；
3x−2 x−3 2x−5
（3） −(2−x)=x； （4） − =1．
2 3 4
【配题说明】对应考点六．
【常规讲解】解：（1）2x+2=3x−2，移项，得
20
2 x − 3 x = − 2 − 2 ．
合并同类项，得 − x = − 4 ．
x 的系数化为1，得 x = 4 ．
这个方程的解为 x = 4 ．
（2）5x+3=2(x−3)，
去括号，得5x+3=2x−6．
移项，得5x−2x=−6−3．
合并同类项，得3x=−9．
x 的系数化为1，得 x = − 3 ．
这个方程的解为 x = − 3 ．
3x−2
（3） −(2−x)=x，
2
去分母，得3x−2−2(2−x)=2x．
去括号，得3x−2−4+2x=2x．
移项，得3x+2x−2x=4+2．
合并同类项，得 3 x = 6 ．
x 的系数化为1，得 x = 2 ．
这个方程的解为 x = 2 ．
x−3 2x−5
（4） − =1，
3 4
去分母，得4(x−3)−3(2x−5)=12．
去括号，得4x−12−6x+15=12．
移项，得4x−6x=12−15+12．
合并同类项，得−2x=9．
9
x的系数化为1，得x=− ．
2
9
这个方程的解为x=− ．
2练习4:
（★★★★☆）新华书店正在搞促销活动：用 20元办一张会员卡，买书时可以享受8折优惠．于是小明
用 20元办了一张会员卡，又买了一些书．经过计算他发现加上他办卡的费用比这些书原来的总价还少
了12元，请你求出小明所买的这些书原来的总价是多少？
【配题说明】对应考点七．
【常规讲解】解：设小明所买的这些书原来的总价是
21
x 元，
由题意可得：x−12=20+0.8x，
解得x=160，
答：小明所买的这些书原来的总价是160元．
练习5:
（★★★★☆）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并常规讲解问题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得 2 ( 2 x + 1 ) − ( 5 x − 1 ) = 1 第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1第二步
移项，得4x−5x=1−1−2第三步
合并同类项，得 − x = − 2 ，第四步
方程两边同除以 − 1 ，得 x = 2 ．第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是 ．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质 D．乘法分配律
（2）从第 步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为 ．
【配题说明】对应考点六．
【常规讲解】解：（1）以上求解过程中，第三步的依据是等式的性质1，
故答案为：等式的性质1；
（2）从第一步开始出现错误，具体的错误是方程的右边没乘6，故答案为：一；
2x+1 5x−1
（3） − =1，
3 6
去分母，得
22
2 ( 2 x + 1 ) − ( 5 x − 1 ) = 6 ，
去括号，得4x+2−5x+1=6，
移项，得4x−5x=6−2−1，
合并同类项，得 − x = 3 ，
系数化成1，得 x = − 3 ，
故答案为：x=−3．
关卡二
练习6:
（★★★★☆）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化 0 .3 为
分数，解决方法是：设 x=0.3 ，即 x = 0 .3 3 3 ，将方程两边都 1 0 ，得10x=3.333 ，即
10x=3+0.333，又因为 x = 0 .3 3 3 ，所以10x=3+x，所以 9 x = 3 ，即 x =
1
3
，所以 0 .3 =
1
3
．
尝试解决下列各题：
（1）把0.1化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数0.16化成分数．
【配题说明】考察运用一元一次方程解实际问题，需要结合等式的性质变形建立方程．
【常规讲解】解：（1）设x=0.1，即x=0.1111，
将方程两边都10，得 1 0 x = 1 .1 1 1 1 ，
即10x=1+0.1111，
又因为x=0.111，所以10x=1+x，所以9x=1，即 x =
1
9
．
1
故答案为： ．
9
（2）设x=0.16，即x=0.1616，
将方程两边都100，得100x=16.1616，即100x=16+0.1616，又因为x=0.1616，
所以
23
1 0 0 x = 1 6 + x ，所以 9 9 x = 1 6
16
，即x= ，
99
16
所以0.16= ．
99
练习7:
（★★★★★）解方程：
（1）
1
2
[ x −
1
2
( x − 1 ) ] =
2
3
( x + 2 ) ．
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
【配题说明】本题考查了解一元一次方程，过程较复杂．
1 1 2
【常规讲解】解：（1） [x− (x−1)]= (x+2)，
2 2 3
1 1 2 4
x− (x−1)= x+ ，
2 4 3 3
1 1 1 2 4
x− x+ = x+ ，
2 4 4 3 3
6x−3x+3=8x+16，
13
x=− ；
5
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
整理得：70+15x−10=30−100x，
1 1 5 x = − 3 0 ，
x = −
6
2 3
．
