文档内容
A12/B11 一元一次方程及其解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）方程与方程的解
（2）一元一次方程及其解法
（3）一元一次方程的简单应用
2. 考情分析
（1）一元一次方程及其解法属于方程与代数部分，属于探究性理解水平；
（2）主要考查方程的解的概念及一元一次方程的解法．选填与解答题都会考查本章节的知识点，占期
末考分值15%；
1知识加油站 1——方程与方程的解
考点一：方程的判断
知识笔记 1
方程及其相关概念
（1）用字母x、
2
y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为_________；含有未知数的等式叫做
_________. 在方程中，所含的未知数又称为_________.
（2）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；
（3）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；
（4）系数：在一项中，数字或者表示已知数的_________叫做未知数的系数；
（5）次数：在一项中，所含有的未知数的_________称为这一项的次数；
（6）常数项：不含_________的项称为常数项.
例题1:
（1）在下列各式中：
① 3 x − 4 = − 1 ；② 5 y 2 + 2 y = 3 ；③ 7 x − 1 ；④x−20；⑤ x x + 1 ；⑥ 3
2
3
2
=
3
；⑦ −2y=0．
x
其中是方程的有 ( ) 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）下列叙述中，正确的是 ( )
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母x， y 的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程练习1:
（1）①2x+1；②
3
1 + 7 = 1 5 − 8 + 1
1
；③1− x=x−1；④x+2y=3中，方程共有( )
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列说法中，正确的是 ( )
A．代数式是方程 B．方程是代数式 C．等式是方程 D．方程是等式
考点二：方程的次数
例题2:
下面四个关于x的方程次数和另外三个不同的是 ( )
A． a 2 x + 1 = x − a 3 B．x3 −x=ax2 C．ax+a3x2 +x3 =0 D． x 3 = a 3
练习2:
2
方程 xy+3=0中，
3
2
3
x y 的次数是 次．
考点三：列方程
例题3:
（1）下列所给条件，不能列出方程的是 ( )
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
1
C．某数与它的 的差 D．某数的3倍与7的和等于29
2
（2）（2022•奉贤区月考）甲班有 54人，乙班有 48人，要使甲班人数是乙班的 2倍，设从乙班调往甲
班人数x，可列方程 ( )
A．54+x=2(48−x) B．48+x=2(54−x) C．54−x=248 D．48+x=254（3）（2022•宝山区罗南中学月考）给x位学生分配宿舍，
4
x 正好是 12的倍数．若每间宿舍住 4人，最
后多余1间宿舍；如果每间宿舍住3人，最后还缺2间，求学生人数．可列方程( )
x−1 x+2
A． = B．
4 3
x
4
+ 1 =
x
3
− 2
C． 4 ( x − 1 ) = 3 ( x + 2 ) D．
x
4
− 1 =
x
3
+ 2
练习3:
（1）某班分两组志愿者去社区服务，第一组 20人，第二组 26人．现第一组发现人手不够，需第二组
支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的 2倍？设抽调x人，则可列方程(
)
A． 2 0 = 2 ( 2 6 − x ) B．20+x=226 C．2(20+x)=26−x D． 2 0 + x = 2 ( 2 6 − x )
（2）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共
车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若 3 个人乘一辆车，则空 2 辆车；若 2 个人乘一辆车，则
有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有 x 个人，则可列方程是( )
A．3(x+2)=2x−9 B．3(x+2)=2x+9 C．
x
3
+ 2 =
x −
2
9
D．
x
3
− 2 =
x −
2
9
考点四：方程的解
知识笔记 2
方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值_________，那么这个未知数的值叫做方程的解.
例题4:
（1）（2021•浦东新区月考）下列方程中，解为x=4的方程是 ( )
A．x+2=2 B． 4 x = 1 C． 2 ( x − 1 ) = 1 D． 4 x − 1 = 3 x + 3（2）方程
5
− 3 ( − 9 ) = 5 x − 1 ，处被盖住了一个数字，已知方程的解是x=8，那么处的数字是
( )
A． − 1 B． − 2 C． − 3 D． − 4
练习4:
（1）（2021•普陀区北海中学月考）下列方程中，其解为 − 1 的方程是 ( )
A．2x−1=4x+3 B．3x= x+3 C．
x
2
= −
1
2
D． 2 ( x − 3 ) = 3
（2）若x=1是关于x的方程2x+a=0的解，则a的值为( )
A． − 1 B． − 2 C．1 D．2
知识加油站 2——一元一次方程的解法
知识笔记 3
一元一次方程的概念
只含有_________未知数且未知数的次数是_________的方程叫做一元一次方程.
考点五：一元一次方程的概念
例题5:
（2022•宝山区罗南中学月考）观察方程： 3 x = 1 0 ， 5 x − 4 y = 1 0
2
， x2 −14=0 ， +1=0，，
x
4z−3(z+2)=1．其中一元一次方程有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习5:
下列方程中，一元一次方程共有( )
1 x
① =4；② +3=−5；③x−22 =−3；④
x 2
x = 0 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6考点六：解方程
知识笔记 4
1. 解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤
（1）__________________；
（2）__________________；
（3）__________________；
（4）化成__________________的形式；
（5）两边同除以未知数的_________，得到方程的解
7
x =
b
a
.
例题6:
（1）解方程 2 x + 3 ( 2 x − 1 ) = 1 6 − ( x + 1 ) 的第一步应是 ( )
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
x+1 5x−1
（2）（2022•宝山区月考）解方程 =x− 时，去分母得( )
4 3
A．4(x+1)=x−3(5x−1) B． x + 1 = 1 2 x − ( 5 x − 1 )
C． 3 ( x + 1 ) = 1 2 x − 4 ( 5 x − 1 ) D．3(x+1)=x−4(5x−1)
（3）（2023•普陀区期末）下面的变形正确的是 ( )
A．由7−x=13，得x=13−7 B．由 5 x = 4 x + 8 ，得 5 x + 4 x = 8
1
C．由 x=1，得
2
x =
1
2
D．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7练习6:
x−1 2x+3
（1）在解方程 − =1时，去分母正确的是( )
2 3
A．
8
3 ( x − 1 ) − 4 x + 3 = 1 B．3x−1−4x+3=6
C． 3 x − 1 − 4 x + 3 = 1 D． 3 ( x − 1 ) − 2 ( 2 x + 3 ) = 6
（2）下列方程变形中，正确的是( )
A．方程 3 x − 2 = 2 x + 1 ，移项得，3x−2x=−1+2
B．方程 3 − x = 2 − 5 ( x − 1 ) ，去括号得， 3 − x = 2 − 5 x − 1
C．方程
2
3
t =
3
2
，系数化为1得，t =1
x−1 x
D．方程 − =1，去分母得，5(
0.2 0.5
x − 1 ) − 2 x = 1
例题7:
（1）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程：3−2(x+1)=2(x−3)．
y−1 y+4
（2）（2022•奉贤区肖塘中学月考）解方程：y− = ．
2 5
（3）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程：14%x−9%(x+10)=7%x−0.2．练习7:
（1）（2021•普陀区北海中学月考）解方程：3x+2(x−2)=6．
x−1 3x−4
（2）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： =2− ．
2 5
2x−1 3x+1
（3）（2021•普陀区北海中学月考）解方程： − =1．
3 6
9知识加油站 3——一元一次方程的的简单应用
考点七：列方程解应用题
知识笔记 5
列方程解应用题的一般步骤
（1）设未知数；
（2）列方程；
（3）解方程；
（4）检验并作答.
例题8:
（1）（2023•闵行区期末）甲工程队原有 400 人，乙工程队原有 150 人，现要抽调一定人数组成第三工
程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2:1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各
抽调了多少人？
10（2）（2023•嘉定区期末）已知数轴上有 A，B两点，分别代表−40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从
A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度
11
/ 秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，
乙沿BA方向以4个单位长度 / 秒的速度向左运动．
①A，B两点间的距离为 个单位长度；乙到达A点时共运动了 秒．
②甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
③多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
④若乙到达 A 点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 B 点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，
求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．练习8:
（1）（2023•松江区期中）有两个工程队，第一队有 45 人，第二队比第一队少 15 人，因任务需要，要
求第一队的人数是第二队的人数的2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援？
（2）如图，在数轴上点A表示的数是−3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是 18；点C在点A与
点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
①点
12
B 表示的数是 ；点 C 表示的数是 ；
②若点 P 从点A出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿
数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 t 秒．
当P运动到C点时，点 Q 所表示的数是多少？
当 t 为何值时，P、Q之间的距离为6？全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列方程中，其解为
13
− 2 的是( )
x+5
A． −1=0 B．3(x+1)−3=0 C．3x−4=2 D．2x=−1
3
2x−1 x+a
（2）小明在解方程 = −1去分母时，方程右边的−1没有乘 3，因而求得的解为
3 3
x = 2 ，则原
方程的解为 ( )
A．x=0 B．x=−1 C．x=2 D． x = − 2
练习2:
1
（1）（2021•浦东新区月考）x的3倍比x的 大7，所列方程是 ．
2
（2）（2021•普陀区月考）根据数量关系列出方程：某数 x 的
7
8
与 − 1 的差等于 10，方程
为： ．
（3）“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳 4 尺：如果将绳子折成四等份，井外余
绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为 x 尺，可列一元一次方程为 ．
练习3:
解方程．
（1） 2 x + 2 = 3 x − 2 ； （2）5x+3=2(x−3)；
3x−2 x−3 2x−5
（3） −(2−x)=x； （4） − =1．
2 3 4练习4:
新华书店正在搞促销活动：用 20 元办一张会员卡，买书时可以享受 8 折优惠．于是小明用 20 元办了
一张会员卡，又买了一些书．经过计算他发现加上他办卡的费用比这些书原来的总价还少了 12元，请
你求出小明所买的这些书原来的总价是多少？
练习5:
下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并常规讲解问题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=1第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1第二步
移项，得4x−5x=1−1−2第三步
合并同类项，得
14
− x = − 2 ，第四步
方程两边同除以−1，得 x = 2 ．第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是 ．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质 D．乘法分配律
（2）从第 步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为 ．关卡二
练习6:
小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.3为分数，解决方法
是：设 x=0.3，即 x=0.333，将方程两边都10，得
15
1 0 x = 3 .3 3 3 ，即10x=3+0.333，又因为
x=0.333，所以 1 0 x = 3 + x ，所以9x=3，即 x =
1
3
，所以 0 .3 =
1
3
．
尝试解决下列各题：
（1）把 0 .1 化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数0.16化成分数．
练习7:
解方程：
（1）
1
2
[ x −
1
2
( x − 1 ) ] =
2
3
( x + 2 ) ．
0.3x−0.2 1.5−5x
（2）7+ = ．
0.2 0.5
