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第 12 讲 方程组与一次函数
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标的值即为方程kx+b=0的解；
方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值，也是一次函数y=kx+b
与x轴交点的横坐标．
【典例】
1.已知直线 y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于 x的方程
mx+n=0的解为______
【答案】x=3
【解析】解：∵直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y=0时，x=3，
∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．
【方法总结】
由一次函数和一元一次方程的关系可知，方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b是一次函数
y=kx+b与x轴交点的横坐标．题中（3，0）是y=mx+n与x轴交点坐标，所以mx+n=0的
解为x=3．
【随堂练习】
1．（辽阳模拟）若一次函数 ， 为常数且 满足如表，则方程
的解是
0 1 2 3
6 4 2 0
A． B． C． D．
【解答】解：由表格可得：当 时， ，
方程 的解是
故选： ．2．（南开区期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，
点 ．有下列结论：①关于 的方程 的解为 ；②关于 的方程
的解为 ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【解答】解：由图象得：①关于 的方程 的解为 ，正确；
②关于 的方程 的解为 ，正确；
③当 时， ，正确；
④当 时， ，错误；
故选： ．
3．（禹州市期末）如图，直线 过点 和点 ，则方程 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 过点 ，
方程 的解是 ，
故选： ．
二．填空题（共3小题）
4．（襄州区期末）如图所示，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴相交于点 ，结合图象可知，关于 的方程 的解是 ．
【解答】解： 一次函数 与 的图象关于 轴对称，
一次函数 与 轴的交点关于 轴的对称点即为 与 轴的交点，
又 一次函数 的图象与 轴交于点 ，
一次函数 的图象与 轴交于点 ，
关于 的方程 的解是 ．
故答案为 ．
5．（鹿城区模拟）如图，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于
点 ，则关于 的方程 的解是 ．
【解答】解： 一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，
，
解得 ，
关于 的方程 即为： ，
解得 ，
故答案为： ．6．（湘桥区期末）如图，直线 与 的交点坐标为 ，则关于 的
方程 的解是 ．
【解答】解： 直线 与 的交点坐标为 ，
当 时， ；
关于 的方程 的解是 ．
故答案是： ．
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx﹣y+b=0的解；以二元一
次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上．
2.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．
3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．
【典例】
1.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程
{&x- y=-1
组 的解是________
&ax- y=-3
{&x=1
【答案】
& y=2
【解析】解：把x=1代入y=x+1，得出y=2，
函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P（1，2），
即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．
{&x- y=-1 {&x=1
所以关于x，y的方程组 的解是 ．
&ax- y=-3 & y=2【方法总结】
如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．题
中所求二元一次方程组是两个一次函数的变形．两个一次函数的交点为P，P点的坐标就是
对应的方程组的解．只需要将P点的横坐标带入函数y=x+1中，求出其纵坐标即可．
2.如图中的两直线l、l 的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
1 2
{ 1 { 1 { 1
A. & y=- x-1 B. & y= x-1 C. & y=- x-1 D.{& y=3x-1
3 3 3
& y=-2x+4
& y=-2x+4 & y=-2x+4 & y=-2x-4
【答案】A
1
【解析】解：由于直线l 经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l 的解析式为y=﹣ x
1 1
3
﹣1；
同理可求得直线l 的解析式为y=﹣2x+4；
2
{ 1
& y=- x-1
因此直线l，l 的交点坐标可以看作方程组 3 的解．
1 2
& y=-2x+4
【方法总结】
本题考查通过两个一次函数与对应的二元一次方程组的关系．题中已知一次函数的图像和
他们的交点以及与坐标轴的交点，求对应的方程组．只需要通过已知点求出函数的解析式，
将其联立即可．
【随堂练习】
1．（微山县期末）小明在学完一次函数时发现，可以运用画一次函数图象的方法求二元一
次方程组的解．小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示．
则小明所解的二元一次方程组是A． B．
C． D．
【解答】解：设过点 和 的直线解析式为 ，
则 ，
解得 ，
所以直线解析式为 ；
设过点 和 的直线解析式为 ，
则 ，
解得 ，
所以直线解析式为 ，
所以所解的二元一次方程组为 ．
故选： ．
2．（兰州期末）小亮在同一直角坐标系内作出了 和 的图象，方程
组 的解是A． B． C． D．
【解答】解：由图可知， 和 的图象相交于点 ，
所以方程组 的解是 ．
故选： ．
3．（历城区期末）已知直线 与 的交点的坐标为 ，则方程组
的解是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 经过
，
交点坐标为 ，
方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
方程组的解 ，
故选： ．
4．（大名县期末）如图，已知函数 和 图象交于点 ，点 的横坐标为
1，则关于 ， 的方程组 的解是A． B． C． D．
【解答】解：把 代入 ，得出 ，
函数 和 的图象交于点 ，
即 ， 同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于 ， 的方程组 的解是 ．
故选： ．
5．（李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于
点 ，则关于 、 的方程组 的解为
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与直线 交于点 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
关于 、 的方程组 的解是 ，故选： ．
6．（玉田县期末）直线 是以二元一次方程 的解为坐标所构成的直线，则该直
线不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ，
，
， ，
图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选： ．
7．（嘉祥县期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个
一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标， 、 、 ；
分别求出图中两条直线的解析式为 ， ，
因此所解的二元一次方程组是 ．故选： ．
二．填空题（共1小题）
8．（延庆区期末）如图，函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，
二元一次方程组 的解是 ．
【解答】解：由图可得，函数 和 的图象交于点 ，
二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系
1.一元一次不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取
值范围，也是直线y=kx+b在x轴上方部分所有点的横坐标范围．
2.一元一次不等式y ≤kx+b≤ y (y ，y 是已知数，且y ＜y )的解集就是直线
1 2 1 2 1 2
y=kx+b上满足y ≤y≤y 那条线段所对应的自变量的取值范围．
1 2
3. ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时自变量
x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应点的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A（0，2），B（3，0）两点，则不
等式ax+b＞0的解是_______【答案】x＜3
【解析】解：一次函数y=ax+b的图象经过点B（3，0），且函数值y随x的增大而减小，
由函数的图象可知x＜3时，图象在x轴上方，即y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜3．
【方法总结】
不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围．题
中求ax+b＞0的解集只需要找出一次函数y=ax+b的图像位于x轴上方的部分自变量x的范
围．
2.如图，关于x的一次函数l ：y=kx+b ，l ：y=kx+b 的图象如图所示，则y ＞y 的解集
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
表示在数轴上为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
1
【解析】解：∵由函数图象可知，当x＜ 时直线l：y=kx+b 在直线l：y=kx+b 的上方，
1 1 1 1 2 2 2 2
2
1
∴y＞y 的解集是x＜ ．
1 2
2
解集表示在数轴上为
【方法总结】
题中已知两个一次函数的图像求不等式y＞y 的解集，方法如下：
1 2
1.通过观看图像找出两个一次函数的交点，观察交点的左右两侧哪个函数的图像在上方；
2.图像位于上方的函数值较大， 找出所求不等式对应的函数图像的部分；
3.写出该部分自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．（资中县期中）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 过点 ，
，
解得： ，
， ，
不等式 的解集为 ．
故选： ．
2．（宜春期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，则根据图象
可得不等式 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解： ，即 ，
从图象可以看出，当 时， ，
故选： ．
3．（行唐县期末）如图，直线 经过 和 两点，且与直线
交于点 ，则不等式 的解集为A． B． C． D．
【解答】解：从图象可以看出，当 时， ，
故选： ．
4．（通辽）如图，直线 经过点 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：观察图象知：当 时， ，
故选： ．
5．（长葛市期末）如图，函数 与 的图象交于点 ．则不等式
的解集是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 和 的图象相交于点 ．
由图可知，不等式 的解集为 ．
故选： ．
6．（平顶山三模）在平面直角坐标系中，若直线 与直线 、 为常数，相交于点 ，则关于 的不等式 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 从左向右逐渐上升，直线 、 为常数， 从
左向右逐渐下降，且两直线相交于点
当 时， ，
．
故选： ．
7．（昆山市一模）如图所示，直线 经过点 ，则关于 的不等式
的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可得：当 时， ，
所以关于 的不等式 的解集是 ，
故选： ．
8．（崇川区校级月考）如图，直线 交坐标轴于 、 两点，则不等式
的解集是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 交坐标轴于 、 两点，把 、 代入 ，可得： ，
解得： ，
所以不等式 即为 ，
解得： ，
故选： ．
综合运用
1.已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点
（0，2），则这个一次函数的表达式是____________．
【答案】y=x+2
【解析】解：把x=﹣2代入kx+b=0得﹣2k+b=0，
把（0，2）代入y=kx+b得b=2，
所以﹣2k+2=0，解得k=1，
所以一次函数解析式为y=x+2．
故答案为y=x+2．
2.已知方程3x+9=0的解是x=﹣3，则函数y=3x+9与x轴的交点坐标是____________，与y
轴的交点坐标是___________．
【答案】（﹣3，0），（0，9）
【解析】解：∵方程3x+9=0的解是x=﹣3，
∴函数y=3x+9与x轴的交点坐标是：（﹣3，0），
∵x=0时，y=9，
∴与y轴的交点坐标是：（0，9）．
故答案为：（﹣3，0），（0，9）．
{ 4
{&-3x+ y+3=0 &x= 3
3.已知方程组 的解是 3，则直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标
&3x+2y-6=0 2
& y=1
为_____________．
4
【答案】（ ，1）
3{ 4
{&-3x+ y+3=0 &x=
【解析】解：∵方程组 的解是 3，
&3x+2y-6=0
& y=1
3 4
∴直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标为（ ，1）．
2 3
4
故答案为（ ，1）．
3
4.如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2
的解为x=_________．
【答案】﹣2
【解析】解：∵直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，
∴当x=﹣2时，3x+b=ax﹣2，
∴关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=﹣2．
故答案为﹣2．
{& y=x+2
5.如图，直线l ：y=x+2与直线l ：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组 的
1 2 & y=kx+b
解是_______________．
{&x=2
【答案】
& y=4
【解析】解：∵y=x=2经过P（m，4），
∴4=m+2，
∴m=2，
∴直线l：y=x+2与直线l：y=kx+b相交于点P（2，4），
1 2
{&x=2
∴方程组的解是 ，
& y=4{&x=2
故答案为
& y=4
6.直线l ：y=kx+b与直线l ：y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的
1 1 2 2
不等式kx+b＞kx的解集为__________．
1 2
【答案】x＜﹣1
【解析】能使函数y=kx+b的图象在函数y=kx的上边时的自变量的取值范围是x＜﹣1．
1 2
故关于x的不等式kx+b＞kx的解集为：x＜﹣1．
1 2
故答案为：x＜﹣1．
7.如图，平面直角坐标系中，经过点 B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点
3
A(- ，-1)，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为____________．
2
3
【答案】﹣4＜x＜﹣
2
【解析】解：由图像可知，不等式mx+2＜kx+b＜0的解集就是图象上两个一次函数的图象
都在x轴的下方，且y=mx+2的图象在y=kx+b的图象的下边的部分，
3
不等式mx+2＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣ ．
2
3
故答案是：﹣4＜x＜﹣ ．
2
8.如图，函数 y=3x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），不等式 3x≥ax+4 的解集为
_________．【答案】x≥1
【解析】解：将点A（m，3）代入y=3x得，3m=3，
解得，m=1，
所以点A的坐标为（1，3），
由图可知，不等式3x≥ax+4的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
9.如图，直线y=2x+6与直线l：y=kx+b交于点P（﹣1，m）
（1）求m的值；
{& y=2x+6
（2）方程组 的解是_______________；
& y=kx+b
（3）直线y=﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．
【答案】略
【解析】解：（1）将点P（﹣1，m）代入直线方程y=2x+6得：
﹣2+6=m，
所以m的值是4；
{& y=2x+6 {&x=-1
（2）方程组 的解为 ，
& y=kx+b & y=4
{&x=-1
故答案为： ，
& y=4
（3）直线y=﹣bx﹣k也经过点P．
理由如下：
∵当P（﹣1，4），在直线y=﹣bx﹣k上时，
∴b﹣k=4，
∵y=kx+b交于点P，
∴﹣k+b=4，∴b﹣k=﹣k+b，这说明直线y=﹣bx﹣k也经过点P．
10.如图，直线l 过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l 过点C（0，﹣1），l 、l 相交于
1 2 1 2
点D，且△DCB的面积等于8．
（1）求点D的坐标；
（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．
【答案】略
【解析】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，
1
{&8k+b=0
根据题意得： ，
&b=-5
{ 5
&k=
解得： 8 ，
&b=-5
5
∴直线l 的解析式为y= x﹣5，
1
8
∴B（0，﹣5），
∴OB=5，
∵点C（0，﹣1），
∴OC=1，
∴BC=5﹣1=4，
1
设D（x，y），则△DCB的面积= ×4×|x|=8，
2
解得：x=±4（负值舍去），
5 5
∴x=4，代入y= x﹣5得：y=﹣ ，
8 2
5
﹣
∴D（4， ）；
2
（2）设直线l 的解析式为y=ax+c，
2
{ 5
&4a+c=-
根据题意得： 2，
&c=-1
{ 3
&a=-
解得： 8，
&c=-13
∴直线l 的解析式为y=﹣ x﹣1，
2
8
∵l、l 相交于点D，
1 2
5
{& y= x-5
∴点D的坐标是方程组 8 的解．
3
& y=- x-1
8
