文档文本内容
第 12 讲 方程组与一次函数
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标的值即为方程kx+b=0的解；
方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值，也是一次函数y=kx+b
与x轴交点的横坐标．
【典例】
1.已知直线 y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于 x的方程
mx+n=0的解为______
【答案】x=3
【解析】解：∵直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y=0时，x=3，
∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．
【方法总结】
由一次函数和一元一次方程的关系可知，方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b是一次函数
y=kx+b与x轴交点的横坐标．题中（3，0）是y=mx+n与x轴交点坐标，所以mx+n=0的
解为x=3．
【随堂练习】
1．（南山区期末）如图是一次函数 与 的图象，则下列结论：① ；
② ；③ ：④方程 的解是 ，错误的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 一次函数 经过第一、二、三象限，
， ，所以①③正确；直线 的图象与 轴的交点在 轴，下方，
，所以②错误；
一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3，
时， ，所以④正确．
综上所述，错误的个数是1．
故选： ．
2．（辽阳）如图，直线 过点 ， ，则方程 的解是
A． B． C． D．
【解答】解：方程 的解，即为函数 图象与 轴交点的横坐标，
直线 过 ，
方程 的解是 ，
故选： ．
二．填空题（共5小题）
3．（崇川区校级月考）已知直线 与直线 在同一坐标系中交于点
，则关于 的方程 的解为 3 ．
【解答】解： 直线 与直线 在同一坐标系中交于点 ，
关于 的方程 的解为 ，
故答案为：3．
4．（松北区期末）一次函数 ， 是常数，且 的图象如图所示，则关于
的方程 的解为 ．【解答】解：由图象可得：关于 的方程 的解为： ，
故答案为： ．
5．（连山区期末）如图，直线 与 轴交于点 ，则关于 的方程
的解为 ．
【解答】解：由图知：直线 与 轴交于点 ，
即当 时， ；
因此关于 的方程 的解为： ．
故答案为：
6．（邵阳）如图所示，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点
，结合图象可知，关于 的方程 的解是 ．
【解答】解： 一次函数 的图象与 轴相交于点 ，
关于 的方程 的解是 ．
故答案为 ．
7．（长春模拟）在平面直角坐标系中，一次函数 、 为常数，且 的图象
如图所示，根据图象中的信息可求得关于 的方程 的解为 ．【解答】解：把 和 代入 得： ，
解得： ， ，
即 ，
当 时， ，
解得： ，
故答案为： ．
三．解答题（共1小题）
8．（宜城市期末）某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元 件，该产品
在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月 天）的试销售，售价为10元 件，
工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线 表
示日销售量 （件 与销售时间 （天 之间的函数关系．
（1）求 与 之间的函数表达式，并写出 的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为 （元 ，求 与 之间的函数表达式，并求出日销售
利润不超过1040元的天数共有多少天？
（3）若 ，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说
理）
【解答】解：（1）当 时，设 的解析式为： ，把 ， 代入得： ，
解得： ，
，
当 时，同理可得 ，
综上所述， 与 之间的函数表达式为： ；
（2）当 时， ，
当 元， ，
，
，
随 的增大而减小，
日销售利润不超过1040元的天数：3，4，5，6，7，8，9，10，一共8天；
当 时， ，
，
，
，
随 的增大而增大，
日销售利润不超过1040元的天数：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，一共10
天；
综上所述，日销售利润不超过1040元的天数共有18天；
（3）当 时，当 时， ，
当 时，当 时， ，
若 ，第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元．
知识点2：一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx﹣y+b=0的解；以二元一
次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上．
2.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．
【典例】
1.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程
{&x- y=-1
组 的解是________
&ax- y=-3
{&x=1
【答案】
& y=2
【解析】解：把x=1代入y=x+1，得出y=2，
函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P（1，2），
即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．
{&x- y=-1 {&x=1
所以关于x，y的方程组 的解是 ．
&ax- y=-3 & y=2
【方法总结】
如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．题
中所求二元一次方程组是两个一次函数的变形．两个一次函数的交点为P，P点的坐标就是
对应的方程组的解．只需要将P点的横坐标带入函数y=x+1中，求出其纵坐标即可．
2.如图中的两直线l、l 的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
1 2
{ 1 { 1 { 1
A. & y=- x-1 B. & y= x-1 C. & y=- x-1 D.{& y=3x-1
3 3 3
& y=-2x+4
& y=-2x+4 & y=-2x+4 & y=-2x-4
【答案】A
1
【解析】解：由于直线l 经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l 的解析式为y=﹣ x
1 1
3
﹣1；同理可求得直线l 的解析式为y=﹣2x+4；
2
{ 1
& y=- x-1
因此直线l，l 的交点坐标可以看作方程组 3 的解．
1 2
& y=-2x+4
【方法总结】
本题考查通过两个一次函数与对应的二元一次方程组的关系．题中已知一次函数的图像和
他们的交点以及与坐标轴的交点，求对应的方程组．只需要通过已知点求出函数的解析式，
将其联立即可．
【随堂练习】
1．（锦州期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，
与正比例函数 交于点 ，已知点 的横坐标为2，下列结论：①关于 的方程
的解为 ；②对于直线 ，当 时， ；③对于直线
，当 时， ；④方程组 的解为 ，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解： 点 的横坐标为2，
当 时， ，
，
把 代入 得， ，
，当 时， ，当 时， ，
， ，
①关于 的方程 的解为 ，正确；
②对于直线 ，当 时， ，正确；
③对于直线 ，当 时， ，故③错误；
，
方程组 的解为 ，正确；
故选： ．
二．填空题（共6小题）
2．（沈河区期末）一次函数 和 的图象上一部分点的坐标见下表：
2 3 4
3 5 7
则方程组 的解为 ．
【解答】解：把 和 代入 ，
可得： ，
解得： ，
所以 ；
把 代入 ，可得： ，
解得： ，
所以 ，联立两个方程可得：
解得： ，
故答案为： ，
3．（焦作期末）已知直线 与直线 在同一坐标系中的图象交于点
，那么方程组 的解是 ．
【解答】解： 直线 与直线 在同一坐标系中的图象交于点 ，
方程组 的解是 ，
故答案为： ，
4．（南京期末）若以二元一次方程 的解为坐标的点 都在函数
的图象上，则常数 0. 5 ．
【解答】解：因为以二元一次方程 的解为坐标的点 都在函数
的图象上，
直线解析式变形为：
所以 ，
解得： ，
故答案为：0.5．
5．（滨海县期末）若一次函数 、 的图象相交于 ，则关于 、 的方程组 的解为 ．
【解答】解： 由图可知： 直线 和直线 的交点坐标为 ；
因此方程组 的解为： ．
故答案为： ．
6．（福田区期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程
组 的解是 ．
【解答】解： 的图象经过 ，
，
，
一次函数 与 的图象相交于点 ，
方程组 的解是 ，
故答案为 ．
7．（淮安区期末）若一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组
的解是 ． ．【解答】解： 一次函数 的图象 与 的图象 相交于点 ，
方程组组 的解是
．
故答案为 ．
三．解答题（共2小题）
8．（青岛期末）小明同学在解方程组 的过程中，错把 看成了6，其余的解题
过程没有出错，解得此方程组的解为 ，又已知直线 过点 ，则 的
正确值应该是多少？
【解答】解：依题意得： ，
解得： ；
又 ，
．
9．（兰州期末）已知两直线 ， 的位置关系如图所示，请求出以点 的坐标为解的二元
一次方程组．
【解答】解：设直线 的解析式是 ，已知直线 经过 和 ，根据题意，
得： ，解得 ；
则直线 的函数解析式是 ；
同理得直线 的函数解析式是 ．
则所求的方程组是 ；
两个函数图象的交点坐标为 ．
知识点3：一次函数与一元一次不等式的关系
1.一元一次不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取
值范围，也是直线y=kx+b在x轴上方部分所有点的横坐标范围．
2.一元一次不等式y ≤kx+b≤ y (y ，y 是已知数，且y ＜y )的解集就是直线
1 2 1 2 1 2
y=kx+b上满足y ≤y≤y 那条线段所对应的自变量的取值范围．
1 2
3. ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时自变量
x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应点的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A（0，2），B（3，0）两点，则不
等式ax+b＞0的解是_______
【答案】x＜3
【解析】解：一次函数y=ax+b的图象经过点B（3，0），且函数值y随x的增大而减小，
由函数的图象可知x＜3时，图象在x轴上方，即y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜3．
【方法总结】
不等式kx+b＞0的解集就是一次函数y=kx+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围．题
中求ax+b＞0的解集只需要找出一次函数y=ax+b的图像位于x轴上方的部分自变量x的范
围．
2.如图，关于x的一次函数l ：y=kx+b ，l ：y=kx+b 的图象如图所示，则y ＞y 的解集
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2表示在数轴上为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
1
【解析】解：∵由函数图象可知，当x＜ 时直线l：y=kx+b 在直线l：y=kx+b 的上方，
1 1 1 1 2 2 2 2
2
1
∴y＞y 的解集是x＜ ．
1 2
2
解集表示在数轴上为
【方法总结】
题中已知两个一次函数的图像求不等式y＞y 的解集，方法如下：
1 2
1.通过观看图像找出两个一次函数的交点，观察交点的左右两侧哪个函数的图像在上方；
2.图像位于上方的函数值较大， 找出所求不等式对应的函数图像的部分；
3.写出该部分自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．（宁津县期末）如图，函数 与 的图象交于 ．
（1）求出 、 的值；
（2）直接写出不等式 的解集；
（3）求出 的面积．【解答】解：（1） 过 ．
，
解得： ，
， ，
的图象过 ， ．
，
解得： ；
（2）不等式 的解集为 ；
（3） 当 中， 时， ，
，
中， 时， ，
，
；
的面积： ．
2．（鼓楼区期末）将一次函数 的图象称为直线 ．
（1）若直线 经过点 ，直接写出关于 的不等式 的解集；
（2）若直线 经过点 ，求这个函数的表达式；
（3）若将直线 向右平移2个单位长度后经过点 ，求 的值．
【解答】解：（1）不等式 的解集为： ；
（2）将 代入到 中，，
解得： ．
函数表达式为 ；
（3）将点 向左平移2个单位，得 ，
则 的图象经过点 ，将 代入，
解得 ．
3．（景德镇期末）如图，直线 与 轴交于点 ，直线
分别与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，两条直线交点记
为 ．
（1） 6 ， ；
（2）求两直线交点 的坐标；
（3）根据图象直接写出 时自变量 的取值范围．
【解答】解：（1）把 ，代入 ，得到 ，
把 代入 ，得到
故答案为6， ；（2）联立 ， 解析式，即 ，解得： ，
点坐标为 ；
（3）观察图象可知： 时， ．
4．（达川区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴
交于点 、 ，且与直线 交于点 ．
（1）分别求出点 、 、 的坐标；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式．
【解答】解：（1）直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ， ， （3分）
解方程组： 得： ，
则 ，
故 ， ， ．（2）关于 的不等式 的解集为： ；
（3）设 ，
的面积为12，
，
解得： ，
，
设直线 的函数表达式是 ，把 ， 代入得： ，
解得： ．
直线 的函数表达式为： ．
5．（历下区期末）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若一次函数 与 的图象与 轴分别相交于点 、 ，求 的面
积．
（3）结合图象，直接写出 时 的取值范围．
【解答】解：（1）解方程组 ，得 ，
所以点 坐标为 ；
（2）当 时， ， ，则 点坐标为 ；当 时， ， ，则 点坐标为 ；
，
的面积 ；
（3）根据图象可知， 时 的取值范围是 ．
6．（牡丹区期末）如图，已知直线 经过点 ，直线与 轴， 轴分别交于 ，
两点．
（1）求 ， 两点坐标；
（2）结合图象，直接写出 的解集．
【解答】解：根据图示知，直线 经过点 ，
，
解得： ；
当 时， ；
当 时， ，
则 ， ， ；
（2） 的解集为： ．7．（诸城市期末）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ；直线
分别与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，已知关于 的不等式
的解集是 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 ．
【解答】解：（1） 直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ，
，
解得： ， ，
关于 的不等式 的解集是 ，
点 的横坐标为 ，
将 代入 ，得： ，
将 ， 代入 ，
解得： ；
（2）对于 ，令 ，得： ，
点 的坐标为 ，
．
综合运用1.已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点
（0，2），则这个一次函数的表达式是____________．
【答案】y=x+2
【解析】解：把x=﹣2代入kx+b=0得﹣2k+b=0，
把（0，2）代入y=kx+b得b=2，
所以﹣2k+2=0，解得k=1，
所以一次函数解析式为y=x+2．
故答案为y=x+2．
2.已知方程3x+9=0的解是x=﹣3，则函数y=3x+9与x轴的交点坐标是____________，与y
轴的交点坐标是___________．
【答案】（﹣3，0），（0，9）
【解析】解：∵方程3x+9=0的解是x=﹣3，
∴函数y=3x+9与x轴的交点坐标是：（﹣3，0），
∵x=0时，y=9，
∴与y轴的交点坐标是：（0，9）．
故答案为：（﹣3，0），（0，9）．
{ 4
{&-3x+ y+3=0 &x= 3
3.已知方程组 的解是 3，则直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标
&3x+2y-6=0 2
& y=1
为_____________．
4
【答案】（ ，1）
3
{ 4
{&-3x+ y+3=0 &x=
【解析】解：∵方程组 的解是 3，
&3x+2y-6=0
& y=1
3 4
∴直线y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点坐标为（ ，1）．
2 3
4
故答案为（ ，1）．
3
4.如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2
的解为x=_________．【答案】﹣2
【解析】解：∵直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，
∴当x=﹣2时，3x+b=ax﹣2，
∴关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=﹣2．
故答案为﹣2．
{& y=x+2
5.如图，直线l ：y=x+2与直线l ：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组 的
1 2 & y=kx+b
解是_______________．
{&x=2
【答案】
& y=4
【解析】解：∵y=x=2经过P（m，4），
∴4=m+2，
∴m=2，
∴直线l：y=x+2与直线l：y=kx+b相交于点P（2，4），
1 2
{&x=2
∴方程组的解是 ，
& y=4
{&x=2
故答案为
& y=4
6.直线l ：y=kx+b与直线l ：y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的
1 1 2 2
不等式kx+b＞kx的解集为__________．
1 2【答案】x＜﹣1
【解析】能使函数y=kx+b的图象在函数y=kx的上边时的自变量的取值范围是x＜﹣1．
1 2
故关于x的不等式kx+b＞kx的解集为：x＜﹣1．
1 2
故答案为：x＜﹣1．
7.如图，平面直角坐标系中，经过点 B（﹣4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点
3
A(- ，-1)，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为____________．
2
3
【答案】﹣4＜x＜﹣
2
【解析】解：由图像可知，不等式mx+2＜kx+b＜0的解集就是图象上两个一次函数的图象
都在x轴的下方，且y=mx+2的图象在y=kx+b的图象的下边的部分，
3
不等式mx+2＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣ ．
2
3
故答案是：﹣4＜x＜﹣ ．
2
8.如图，函数 y=3x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），不等式 3x≥ax+4 的解集为
_________．
【答案】x≥1
【解析】解：将点A（m，3）代入y=3x得，3m=3，解得，m=1，
所以点A的坐标为（1，3），
由图可知，不等式3x≥ax+4的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
9.如图，直线y=2x+6与直线l：y=kx+b交于点P（﹣1，m）
（1）求m的值；
{& y=2x+6
（2）方程组 的解是_______________；
& y=kx+b
（3）直线y=﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．
【答案】略
【解析】解：（1）将点P（﹣1，m）代入直线方程y=2x+6得：
﹣2+6=m，
所以m的值是4；
{& y=2x+6 {&x=-1
（2）方程组 的解为 ，
& y=kx+b & y=4
{&x=-1
故答案为： ，
& y=4
（3）直线y=﹣bx﹣k也经过点P．
理由如下：
∵当P（﹣1，4），在直线y=﹣bx﹣k上时，
∴b﹣k=4，
∵y=kx+b交于点P，
∴﹣k+b=4，
∴b﹣k=﹣k+b，这说明直线y=﹣bx﹣k也经过点P．
10.如图，直线l 过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l 过点C（0，﹣1），l 、l 相交于
1 2 1 2
点D，且△DCB的面积等于8．
（1）求点D的坐标；
（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．【答案】略
【解析】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，
1
{&8k+b=0
根据题意得： ，
&b=-5
{ 5
&k=
解得： 8 ，
&b=-5
5
∴直线l 的解析式为y= x﹣5，
1
8
∴B（0，﹣5），
∴OB=5，
∵点C（0，﹣1），
∴OC=1，
∴BC=5﹣1=4，
1
设D（x，y），则△DCB的面积= ×4×|x|=8，
2
解得：x=±4（负值舍去），
5 5
∴x=4，代入y= x﹣5得：y=﹣ ，
8 2
5
﹣
∴D（4， ）；
2
（2）设直线l 的解析式为y=ax+c，
2
{ 5
&4a+c=-
根据题意得： 2，
&c=-1
{ 3
&a=-
解得： 8，
&c=-1
3
∴直线l 的解析式为y=﹣ x﹣1，
2
8
∵l、l 相交于点D，
1 2
5
{& y= x-5
∴点D的坐标是方程组 8 的解．
3
& y=- x-1
8
