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第 10 讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程的概念
方程 、 ，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次
数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程.
二元一次方程需要满足的条件：
1、只含有两个未知数；
2、含未知数项的最高次数是1；
3、整式方程.
【典例】
1.若方程 是关于 的二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意可知： 且 .
解得： .
∴ .
故答案为： .
【方法总结】有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手
通过建立方程模型，从而求出待定系数或相关字母值.
【随堂练习】
1．（高邮市期中）若 是关于 、 的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解：由 是关于 、 的二元一次方程，
得 且 ，
解得 ．
故答案为：1．
2．（滨州期中）已知 是关于 和 的二元一次方程，则 的值为
．
【解答】解：由题意，得
，解得 ．
当 ， 时， ，
故答案为： ．
3．（站前区校级期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则
7 ．
【解答】解：根据题意，得： ，
解得：
，
故答案为：7．
知识点2 二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
如 是方程 的一个解，记作 .
【典例】x、y
1.已知关于 的二元一次方程 ，当 时， ；
若无论 取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．
【答案】3；
【解析】解：把 代入方程得： ，
解得： ；
方程整理得： ，
令 ，得到 ，
把 代入方程得： ，
解得：y= ，
则方程固定的解为 .
x2
1
y
2
故答案为：3；
【方法总结】
1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数
的方程，解方程即可求出参数的值.
2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参
数的项进行合并，并令合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.
【随堂练习】
1．（嵊州市期中）方程 且 ，则 的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解： ，
， ，解得： ，
将 代入 中得： ，
则 ．
故选： ．
2．（晋江市期中）已知 是二元一次方程 的解，又是下列哪个方程的解？
A． B． C． D．
【解答】解： 、把 代入方程 ，左边 右边，
所以 不是方程 的解，故本选项不符合题意；
、把 代入方程 ，左边 右边，
所以 是方程 的解，故本选项符合题意；
、把 代入方程 ，左边 右边，
所以 不是方程 的解，故本选项不符合题意；
、把 代入方程 ，左边 右边，
所以 不是方程 的解，故本选项不符合题意．
故选： ．
二．填空题（共6小题）
3．（蒸湘区校级月考）已知二元一次方程 的一组解为 ，则．
【解答】解： 是二元一次方程 的解，
，
即 ，
．
故答案为：
4．（宝应县期末）已知是 是二元一次方程 的解，则 ．
【解答】解：将 代入二元一次方程 ，得： ，
解得： ，
故答案为： ．
5．（兴城市期末）已知 是方程 的解，则 ．
【解答】解：将 ， 代入方程得： ，
解得： ．
故答案为 ．
6．（陆川县期末）已知二元一次方程 的一个解是 ，其中， ，则
4 ．
【解答】解：将 ， 代入方程 ，得 ，
故 ．故答案为：4．
7．（天津期末）若 是方程 的解，则 的值是 1 ．
【解答】解：将 ， 代入方程组得：
，
解得： ， ，
则 ．
故答案为：1
8．（工业园区期末）已知 是方程 的解，那么 的值是 ．
【解答】解：由题意，得
，
解得 ，
故答案为： ．
三．解答题（共1小题）
9．（姜堰区期末）已知 和 是二元一次方程 的两个解．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）把 和 代入方程得： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ；
（2）当 时，原方程变为： ，
解得 ，，
，
解得 ．
故 的取值范围是 ．
知识点3解二元一次方程组---代入消元法
代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，
并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
【典例】
1.用代入法解方程组（1） ； （2） .
【答案】略
【解析】解：（1） ，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
整理得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
故方程组的解为 ．
（2）
由①得， ③，
把③代入②得， ，
解得 ，
把 代入③式得， ，故方程组的解为 ．
【方法总结】
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1的方程进行
变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法
把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二
元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.
【典例】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组
{
&2x+3(y-2)=6
{&7x+4 y=2①
（1） y ；（2） ．
&x- =2 &3x-6 y=24②
2
【答案】略．
{&2x+3 y=12①
【解析】解：（1）方程组整理得： ，
&2x- y=4②
①﹣②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=3
则方程组的解为 ．
& y=2
（2）①×3+②×2得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=2
则方程组的解为 ．
& y=-3
【方法总结】
先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如
下：
1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；
2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个
相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过变形，把系数变为相同或相反.
【随堂练习】
1．（滕州市期末）解方程组：
（1）
（2）
【解答】解：（1） ，
整理得： ，
①+②：11x=22，
x=2，
把x=2代入3x﹣y=7得：3×2﹣y=7，
y=﹣1，
∴方程组的解为 ；
（2） ，
整理得： ，
①+②得：10x=30，
x=3，
①﹣②得：6y=0，
y=0，
∴方程组的解为 ．
【补充练习】
1．（莘县期中）解下列方程组：（1）
（2） ．
【解答】解：（1） ，
① ②得， ，解得 ，
把 代入①得， ，解得 ，
故方程组的解为 ；
（2）原方程可化为 ，
① ②得， ，解得 ，
把 代入②得， ，解得 ，
故方程组的解为 ．
2．（内江期末）已知 ．当 时， ；当 时， ．
（1）求出 ， 的值；
（2）当 时，求代数式 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
则 ， ；
（3） ， ，
，即 ，
，．
3．（河南期末）解下列方程（组
（1）
（2） ．
【解答】解：（1）去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ；
（2）方程组整理得 ，
① 得： ③，
② ③得： ，即 ，
将 代入①得： ，
则原方程组的解为 ．
4．（南召县期中）解方程组： ．
【解答】解：原方程组可化简为 ，
把（1）代入（2）得： ，
，
即 ，
把 代入（1）得： ．
所以方程组的解为 ．5．（江都区期中）对于两个不相等的实数 、 ，我们规定符号 ， 表示 、 中
的较大值， ， 表示 、 中的较小值．如： ， ， ， ．
按照这个规定：
解方程组： ．
【解答】解：由题意得： 或 ，
解得 （舍去） 或 （舍去）．
故方程组无解．
6．（平谷区期末）阅读理解：
善于思考的小聪在解方程组 时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他
的解法如下：
解：将方程②变形为： ③．
把方程①代入方程③得： ，
解得 ．
把 代入方程①得 ．
原方程组的解为 ．
小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：
（1）解方程组： ；
①把方程①代入方程②，则方程②变为 ；
②原方程组的解为 ．
（2）解方程组： ．【解答】解：（1）解方程组： ；
①把方程①代入方程②，则方程②变为： ；
②原方程组的解为： ．
（2）
将方程（2）变形为： （3）．
把方程（1）代入方程（3），可得： ，
解得 ，
把 代入方程（1），可得 ，
原方程组的解为 ．
故答案为： ； ．
知识点5 二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
【典例】
1.已知方程组 的解为 ，则 的值为________．
【答案】﹣4
【解析】解：∵方程组 的解为 ，
∴把 代入方程组中得 ，
解得 ，∴ ．
故答案为：-4．
【方法总结】
已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，
得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，求出参数的值，进而求得含参代数式的值.
【随堂练习】
1．（顺义区期末）下列方程组：① ，② ，③ ，其中
是二元一次方程组的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
【解答】解：① 是三元一次方程组，故错误．
② 中的第一个方程不是整式方程，故错误．
③ 符合二元一次方程组的定义，故正确．
故选：D．
2．（长宁县月考）已知方程组 是二元一次方程组，求m
的值．
【解答】解：依题意，得
|m﹣2|﹣2=1，且m﹣3≠0、m+1≠0，
解得m=5．
故m的值是5．
知识点6 同解方程组
【典例】
1.（1）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．（2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方
程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
试计算： ．
【答案】略
【解析】解：（1）∵方程组 和方程组 的解相同，
∴方程组 与上述两方程组有相同的解．
解可得 ．
将其代入到 中，
化简得 ，
解得 .
∴ ．
（2）甲看错了方程①中的a，则 满足方程组②，
把 代入②得： ，即 ；
乙看错了方程②中的b，则 满足方程组①，
把 代入①得： ，即 ，则
【方法总结】
1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程
组，求得它们共有的解，再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.
2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.
【随堂练习】
1．（太康县期中）已知方程组 与 有相同的解，求m，n
的值．
【解答】解：∵方程组 与 有相同的解，
∴ 与原两方程组同解．
由5y﹣x=3可得：x=5y﹣3，
将x=5y﹣3代入3x﹣2y=4，则y=1．
再将y=1代入x=5y﹣3，则x=2．
将 代入 得：
，
将（1）×2﹣（2）得：n=﹣1，
将n=﹣1代入（1）得：m=4．
知识点7 解三元一次方程组
1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变
三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
【典例1】1.解三元一次方程组 ．
【答案】略
【解析】解：
①×2﹣②，得
④
①×3-③，得
⑤
④+⑤，得 .
将 代入⑤，得 .
将 代入①，得
.
故原方程组的解是 ．
【方法总结】
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程
组的特点，选准消元对象，定好消元方案.例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，
则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，即“缺
某元，消某元”.
2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求 的值．
【答案】略
【解析】解：由题意得： ，
②×3﹣①×2，得：5x=20z，即x=4z，
将x=4z代入①，得：8z﹣3y=﹣z，解得y=3z，将x=4z、y=3z代入原式，得：
原式= = = ．
【方法总结】
已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的
值，只需把其中一个未知数（如： ）当作一个常数，解关于另外两个未知数（如：
）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.
【随堂练习】
1．（沙坪坝区校级期末）“驴友”小明分三次从 地出发沿着不同的线路 线， 线，
线）去 地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉
水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等． 线、 线路程相等，都比 线路程多
， 线总时间等于 线总时间的 ，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小
时攀登走完 线，在 线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比 线上升了 ，
， ，若他用了 小时穿越丛林、 小时涉水行走和 小时攀登走完 线，且 ，
， 都为正整数，则 ．
【解答】解： 他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，
可以假设涉水行走的速度为 与攀登的速度为 ，穿越丛林的速度为
．
由题意： ，
可得 ， ①
②，
由①②消去 得到： ，
， 是正整数，
， ， ，
，
故答案为 ．2．（港南区期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔 2支和乙种1支，丙种3支共12、
5元，买甲种1支，乙4支，丙种5支，共18、5元，那么买甲种1支，乙种2支，丙种
3支，共需 11. 5 元．
【解答】解：设买1支甲，乙，丙三种笔各 ， ， 元．
由题意得 ，
由② ①得： ③，
由③代入①得： ④，
由④ ③得： ．
故答案为：11.5．
二．解答题（共3小题）
3．（监利县期末）阅读材料：善于思考的小明在解方程组 时，采用了一
种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得，
，则 ；把 代入①得， ，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知 、 、 ，满足 试求 的值．
【解答】解：（1）
将②变形得 ④
将①代入④得
把 代入①得 ，方程组的解为
（2）
由①得 ③
由②得 ④
③ ④ 得
4．（洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作
积极性，实行“月总收入 基本工资 计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 ：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员 ：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为 元，销售每件服装奖励 元．
（1）求 、 的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲 3件，乙2件，丙1件
共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙
各一件共需多少元？
【解答】解：（1）由题意，得
，
解得
即 的值为1800， 的值为3；
（2）设某营业员当月卖服装 件，由题意得，
，
解得， ，
只能为正整数，
最小为434，
即某营业员当月至少要卖434件；
（3）设一件甲为 元，一件乙为 元，一件丙为 元，则，
将两等式相加得， ，
则 ，
即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．
5．（来宾期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资 120吨打算运往灾区，
现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车
均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨 辆） 5 8 10
汽车运费（元 辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200元，问分别需甲、乙两种车型
各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数
为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
【解答】解：（1）设需甲车型 辆，乙车型 辆，得： 解得
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）设需甲车型 辆，乙车型 辆，丙车型 辆，得：
消去 得 ， ，
因 ， 是非负整数，且不大于16，得 ，5，10，15，
由 是非负整数，解得 ， ， ，
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）三种方案的运费分别是：
① ；② ；
③ ．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
综合运用
1.关于 的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出 ，
则 的值是____
【答案】﹣
【解析】解：根据题意，将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，得： ，
解得： .
2.已知 是方程组 的解，则 ．
【答案】7
【解析】解：∵ 是方程组 的解，
∴把 代入得： ，
解得： .
∴ ，
故答案为：7．
3.已知方程 是二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意得： ， ，
解得： ，
，
故答案为：3．4.解方程组 ．
【答案】略．
【解析】解：方程组化简，得
{&-2x+3 y=4①
，
& y=-8+2x②
把②代入①，得
，
解得 ，
把 代入②，得
，
{&x=7
方程组的解是 ．
& y=6
{&3(x-1)= y+5
5.用加减消元法解二元一次方程组 ．
&5 y-6=3(x+4)
【答案】略
{&3x- y=8①
【解析】解：方程组整理得： ，
&3x-5 y=-18②
①﹣②得：4y=26，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
6.已知方程组 和 有相同的解，求 的值．
【答案】略
【解析】解：解方程组 得
，把 代入第二个方程组得 ，
解得 ，
则
7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 b，得到方程组的解为 ．请计算代数式
的值．
【答案】略
【解析】解：由甲同学看错了方程①中的a可知， 满足方程组②，
把 代入②得， ，解得 .
由乙看错了方程②中的b可知， 满足方程组①，
把 代入①得， ，解得 .
∴ =（﹣1）2007×（﹣1）2008=（﹣1）4015=﹣1．
{
&3x- y+z=10①
8.解方程组： &x+2y-z=6② ．
&x+ y+2z=17③
【答案】略．
【解析】解：①+②得：4x+y=16④，
②×2+③得：3x+5y=29⑤，
{&4x+ y=16
④⑤组成方程组
&3x+5 y=29{&x=3
解得
& y=4
将x=3，y=4代入③得：z=5，
{
&x=3
则方程组的解为 & y=4．
&z=5
9.已知： ，求 的值．
【答案】略．
{&4x-3 y-6z=0①
【解析】解：由题意得 ，
&x+2y-7z=0②
①﹣②×4得：
，
解得： ，
将 代入①得： ，
{&x=3z
即 ，
& y=2z
{&x=3z
把 & y=2z代入 中
原式= .
