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第 10 讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程的概念
方程 、 ，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次
数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程.
二元一次方程需要满足的条件：
1、只含有两个未知数；
2、含未知数项的最高次数是1；
3、整式方程.
【典例】
1.若方程 是关于 的二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意可知： 且 .
解得： .
∴ .
故答案为： .
【方法总结】有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手
通过建立方程模型，从而求出待定系数或相关字母值.
【随堂练习】
1．（新化县期末）下列各式中是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、该方程是二元二次方程的，故本选项错误；
、 不是方程，故本选项错误；
、该方程中含有3个未知数，属于三元一次方程，故本选项错误；
、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确．
故选： ．
2．（嘉兴期末）下列属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、该方程中含有两个未知数，但是未知数的最高次数是 2，不属于二元一
次方程，故本选项错误．
、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确．
、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误．
、它不是方程，故本选项错误．
故选： ．
3．（满城区期末）已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ，
的值为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 方程 是二元一次方程，
，
解得： ，
故选： ．4．（道外区期末）下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、该方程是一元一次方程，故本选项错误；
、该方程是二元一次方程，故本选项正确；
、该方程是二元二次方程，故本选项错误；
、该方程是分式方程，故本选项错误；
故选： ．
5．（杜尔伯特县期末）若 是关于 ， 的二元一次方
程，则
A． ， B． ， C． ，
D． ，
【解答】解： 是关于 ， 的二元一次方程，
，
解得： 、 ，
故选： ．
6．（万州区期末）若 是关于 的二元一次方程，则 的值是
A．0或1 B．0 C．1 D．任何数
【解答】解：依题意得： ，且 ，
解得 ．
故选： ．
7．（洛宁县期中）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、是二元一次方程，故此选项正确；
、是二元二次方程，故此选项错误；、是三元一次方程，故此选项错误；
、是分式方程，故此选项错误；
故选： ．
8．（道里区期末）若方程 是关于的 ， 二元一次方程，则 的取值范
围是
A． B． C． D．
【解答】解： 方程 是关于的 ， 二元一次方程，
，即 ，
故选： ．
知识点2 二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
如 是方程 的一个解，记作 .
【典例】
x、y
1.已知关于 的二元一次方程 ，当 时， ；
若无论 取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．
【答案】3；
【解析】解：把 代入方程得： ，
解得： ；
方程整理得： ，
令 ，得到 ，
把 代入方程得： ，
解得：y= ，则方程固定的解为 .
x2
1
y
2
故答案为：3；
【方法总结】
1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数
的方程，解方程即可求出参数的值.
2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参
数的项进行合并，并令合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.
【随堂练习】
1．（雨花区校级期末）已知 是方程 的一个解，则 的值是
A．3 B．1 C． D．
【解答】解： 是方程 的一个解，
，
解得： ．
故选： ．
2．（海淀区校级期末）若 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
A． B．3 C． D．4
【解答】解： 是二元一次方程 的一个解，
，
解得： ．
故选： ．
3．（通州区期末）已知关于 ， 的二元一次方程 ，其取值如下表，则 的值
为5
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：由表格可得 ．
则 ，
整理得 ．
所以 ，解得 ．
故选： ．
4．（永州期末）下列选项不是方程 的解的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、将 ， 代入 的左边得： ，右边为5，左边 右
边，不合题意；
、将 ， 代入 的左边得： ，右边为5，左边 右边，不合
题意；
、将 ， 代入 的左边得： ，右边为5，左边 右边，符合题
意；
、将 ， 代入 的左边得： ，右边为5，左边 右边，不合题意；
故选： ．
5．（江汉区期末）若 和 是方程 的解，则 ， 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：把 和 代入方程 中得： ，
解得： ．
故选： ．6．（余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程 的解的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、把 代入方程 得：
左边 ，右边 ，
左边 右边，
所以不是方程 的解，故本选项不符合题意；
、把 代入方程 得：
左边 ，右边 ，
左边 右边，
所以是方程 的解，故本选项符合题意；
、把 代入方程 得：
左边 ，右边 ，
左边 右边，
所以不是方程 的解，故本选项不符合题意；
、把 代入方程 得：
左边 ，右边 ，
左边 右边，
所以不是方程 的解，故本选项不符合题意；
故选： ．
7．（泰山区期中）下列数值是二元一次方程 的解的是
A． B． C． D．【解答】解：把 代入二元一次方程 ，可得左边 右边．
故选： ．
8．（阳谷县期中）已知二元一次方程 的一个解是 ，求 的值
A． B． C． D．
【解答】解： 二元一次方程 的一个解是 ，
，
解得： ．
故选： ．
9．（惠阳区期末）若 是关于 和 的二元一次方程 的解，则 的值等于
A． B． C．1 D．3
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选： ．
10．（遵义期末）已知 ， 与 ， 都是方程 的解，则 ， 的
值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故选： ．11．（庐江县期末）下列各组数中，是二元一次方程 的一个解的是
A． B． C． D．
【解答】解：把选项中四个解逐一代入，得到当 时， 符合方程 ．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
12．（和田地区期末）已知 是方程 的解，则 ．
【解答】解： 是方程 的一个解，
代入得： ，
解得： ，
故答案为： ．
知识点3解二元一次方程组---代入消元法
代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，
并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
【典例】
1.用代入法解方程组（1） ； （2） .
【答案】略
【解析】解：（1） ，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
整理得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，故方程组的解为 ．
（2）
由①得， ③，
把③代入②得， ，
解得 ，
把 代入③式得， ，
故方程组的解为 ．
【方法总结】
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1的方程进行
变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
【随堂练习】
1．（资中县期中）解方程组
【解答】解：（1） ，
把①代入②，5x﹣3（3x﹣2）=﹣2，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：y=3×2﹣2=4，
所以方程组的解为 ；
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法
把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二
元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.
【典例】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组{
&2x+3(y-2)=6
{&7x+4 y=2①
（1） y ；（2） ．
&x- =2 &3x-6 y=24②
2
【答案】略．
{&2x+3 y=12①
【解析】解：（1）方程组整理得： ，
&2x- y=4②
①﹣②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=3
则方程组的解为 ．
& y=2
（2）①×3+②×2得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=2
则方程组的解为 ．
& y=-3
【方法总结】
先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如
下：
1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；
2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.
3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个
相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过变形，把系数变为相同或相反.
【随堂练习】
1．（宿迁）解方程组： ．
【解答】解： ，
①×2﹣②得：
﹣x=﹣6，
解得：x=6，故6+2y=0，
解得：y=﹣3，
故方程组的解为： ．
2．（湘西州）解方程组：
【解答】解：①+②得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2+y=3，
解得：y=1，
所以原方程组的解为 ．
【补充练习】
1．（来宾期末）方程组 的解是
A． B． C． D．
【解答】解：原方程组的两个方
程相加可得 ，解得 ，
把 代入第一个方程可得
．
故选： ．
2．（谢家集区期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用
① ② 消去 ，则 、 的值可能是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，
利用① ② 消去 ，
则 、 的值可能是 ， ，故选： ．
3．（云梦县期末）方程组 的解是
A． B． C． D．
【解答】解：方程组整理得： ，
② ①得： ，
把 代入②得： ，
则方程组的解为 ．
故选： ．
4．（孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是
A． B．5 C． D．6
【解答】解： ，
② ① 得， ，解得 ，
把 代入①得， ，解得 ，
．
故选： ．
5．（从化区一模）已知 ，则 等于
A．1 B．3 C． D．
【解答】解： ，
② ①得： ，
把 代入①得： ，则 ，
故选： ．
6．（莒县期中）若 ，则点 在第 象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【解答】解： ，
，
解得： ，
则点 在第一象限，
故选： ．
7．（鞍山一模）若 ，则 ， 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
① ②得： ，
解得： ，
② ①得： ，
解得： ，
则方程组的解为 ，
故选： ．
8．（冠县期中）解方程组① ，② ，比较简便的方法是
A．都用代入法 B．都用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法【解答】解：①中的第一个方程为 ，用代入法比较简便；
②中的 的系数相等，用加减法比较简便；
故选： ．
9．（贵阳模拟）若关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则 的
值为
A． B． C．1 D．3
【解答】解： ，
由①得， ③，
把③代入②得， ，解得 ，
把 代入③得， ，
，
．
故选： ．
10．（兰州期末）如果方程组 的解是二元一次方程 的一个解，
那么 的值为
A．7 B．6 C．3 D．2
【解答】解： ，
① ②得： ，
解得： ，
① ②得： ，解得： ，
代入 得： ，
解得： ，
故选： ．
二．解答题（共1小题）
11．（海淀区校级期末）解关于 、 的二元一次方程组：
（1）
（2）
【解答】解：（1） ，
由②得 ③，
把③代入①，得 ，
解得 ，
把 代入③中得 ．
所以原方程的解为 ．
（2） ，
① ② ，得 ，
所以 ，
② ① ，得 ，
所以 ．所以原方程的解为 ．
知识点5 二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
【典例】
1.已知方程组 的解为 ，则 的值为________．
【答案】﹣4
【解析】解：∵方程组 的解为 ，
∴把 代入方程组中得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：-4．
【方法总结】
已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，
得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，求出参数的值，进而求得含参代数式的值.
【随堂练习】
1．（白云区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、未知数的次数是2，错误；
B、含有三个未知数，错误；
C、不是整式方程组，错误；D、符合二元一次方程组的定义，正确；
故选：D．
知识点6 同解方程组
【典例】
1.（1）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
（2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方
程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
试计算： ．
【答案】略
【解析】解：（1）∵方程组 和方程组 的解相同，
∴方程组 与上述两方程组有相同的解．
解可得 ．
将其代入到 中，
化简得 ，
解得 .
∴ ．
（2）甲看错了方程①中的a，则 满足方程组②，把 代入②得： ，即 ；
乙看错了方程②中的b，则 满足方程组①，
把 代入①得： ，即 ，
则
【方法总结】
1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程
组，求得它们共有的解，再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.
2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.
【随堂练习】
1．（雁塔区校级期末）已知方程组 与 有相同的解，则
m=____，n=___．
【解答】解：
由（1）×2+（2），得10x=20，
x=2，
代入，得y=0．
将x、y代入第一个方程组可得 ，
解，得 ．
知识点7 解三元一次方程组
1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变
三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.【典例1】
1.解三元一次方程组 ．
【答案】略
【解析】解：
①×2﹣②，得
④
①×3-③，得
⑤
④+⑤，得 .
将 代入⑤，得 .
将 代入①，得
.
故原方程组的解是 ．
【方法总结】
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程
组的特点，选准消元对象，定好消元方案.例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，
则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，即“缺
某元，消某元”.
2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求 的值．
【答案】略
【解析】解：由题意得： ，
②×3﹣①×2，得：5x=20z，即x=4z，将x=4z代入①，得：8z﹣3y=﹣z，解得y=3z，
将x=4z、y=3z代入原式，得：
原式= = = ．
【方法总结】
已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的
值，只需把其中一个未知数（如： ）当作一个常数，解关于另外两个未知数（如：
）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.
【随堂练习】
1．（武昌区期中）在等式 中，当 时， ；当 时， ；当
时， ，则
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】 解：把 时， ； 时， ； 时， 分别代入
，得
，
解得， ，
，
故选： ．
2．（南江县期末）下列四组数值中，为方程组 的解是
A． B． C． D．【解答】解： ，
① ②得： ④，
① ③得： ⑤，
⑤ ④得： ，
将 代入④得： ，
将 ， 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
故选： ．
3．（莘县期中）关于 ， 的方程组 的解互为相反数，则 的值是
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由 ， 互为相反数得 ，
代入（1）得 ，
则 ，
把 ， ，
代入（2）得： ，
则 ．
故选： ．
4．（丰润区一模）已知 ，如果 与 互为相反数，那么
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，解得 ，
与 互为相反数，
，
即 ．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
5．（九龙坡区校级期末）育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装
一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需
要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为 、 、 三个组，分别
生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天 24小时轮班连续工作（假设每小
时工作效率相同），若干天后的零点 组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12
点 组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时 组完成任务．已知 、 、 三个
组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了 1350
套文具套装．
【解答】解：设 组工作 天， 组工作 天， 组工作 天，
， ， 都是正整数，且 ， ，则 ，
根据题意得，
由①得， ③，
由②得， ④，
④ ③得， ，
， 是正整数，
当 时， ， ，
，符合题意，
当 时， ， ，
，不符合题意，
即： 组工作5天，一共加个了 个笔袋，
巅峰文具超市一共订购了1350套文具套装，
故答案为：1350．
6．（大丰区期中）若 ，则 ．
【解答】解：根据题意得 ， ， ，
三个式子左右两边分别相加得 ，
则 ．
故答案是： ．
7．（洛江区期末）三元一次方程组 的解是 ．
【解答】解： ，
① ② ③得： ，即 ④，
将①代入④得： ，
将②代入④得： ，
将③代入④得： ，
则方程组的解为 ．
故答案为：
8．（雨花区期末）已知： ，且 ，则 的值等于 ．
【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
代入 ，
得 ，解得： ，
， ， ，
于是 ．
故本题答案为： ．
三．解答题（共1小题）
9．（武昌区期中）解方程组 ．
【解答】解： ，
① ②得： ④；
② ③得： ⑤，
④ ⑤得： ，即 ，
把 代入④得： ，
把 ， 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
综合运用
1.关于 的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出 ，
则 的值是____
【答案】﹣
【解析】解：根据题意，将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，得： ，解得： .
2.已知 是方程组 的解，则 ．
【答案】7
【解析】解：∵ 是方程组 的解，
∴把 代入得： ，
解得： .
∴ ，
故答案为：7．
3.已知方程 是二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意得： ， ，
解得： ，
，
故答案为：3．
4.解方程组 ．
【答案】略．
【解析】解：方程组化简，得
{&-2x+3 y=4①
，
& y=-8+2x②
把②代入①，得
，
解得 ，
把 代入②，得
，
{&x=7
方程组的解是 ．
& y=6{&3(x-1)= y+5
5.用加减消元法解二元一次方程组 ．
&5 y-6=3(x+4)
【答案】略
{&3x- y=8①
【解析】解：方程组整理得： ，
&3x-5 y=-18②
①﹣②得：4y=26，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
6.已知方程组 和 有相同的解，求 的值．
【答案】略
【解析】解：解方程组 得
，
把 代入第二个方程组得 ，
解得 ，
则
7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 b，得到方程组的解为 ．请计算代数式
的值．
【答案】略【解析】解：由甲同学看错了方程①中的a可知， 满足方程组②，
把 代入②得， ，解得 .
由乙看错了方程②中的b可知， 满足方程组①，
把 代入①得， ，解得 .
∴ =（﹣1）2007×（﹣1）2008=（﹣1）4015=﹣1．
{
&3x- y+z=10①
8.解方程组： &x+2y-z=6② ．
&x+ y+2z=17③
【答案】略．
【解析】解：①+②得：4x+y=16④，
②×2+③得：3x+5y=29⑤，
{&4x+ y=16
④⑤组成方程组
&3x+5 y=29
{&x=3
解得
& y=4
将x=3，y=4代入③得：z=5，
{
&x=3
则方程组的解为 & y=4．
&z=5
9.已知： ，求 的值．
【答案】略．
{&4x-3 y-6z=0①
【解析】解：由题意得 ，
&x+2y-7z=0②
①﹣②×4得：
，
解得： ，将 代入①得： ，
{&x=3z
即 ，
& y=2z
{&x=3z
把 & y=2z代入 中
原式= .
