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第 10 讲 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程的概念
方程 、 ，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次
数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程.
二元一次方程需要满足的条件：
1、只含有两个未知数；
2、含未知数项的最高次数是1；
3、整式方程.
【典例】
1.若方程 是关于 的二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意可知： 且 .
解得： .
∴ .
故答案为： .
【方法总结】有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手
通过建立方程模型，从而求出待定系数或相关字母值.
【随堂练习】
1．（济宁期末）下列各式中，属于二元一次方程的个数是 ① ；②
；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧
．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【解答】解：① ，不是；② ，是；③ ，不是；④ ，
是 ； ⑤ ， 不 是 ； ⑥ ， 不 是 ； ⑦ ， 不 是 ； ⑧
，是．
故选： ．
2．（金乡县期末）若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值为
A． B．1 C．1或 D．0
【解答】解：由题意知： ， ，
解得 ．
故选： ．
3．（南安市期末）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． 不是二元一次方程；
． 是二元一次方程；
． 不是二元一次方程；
． 不是二元一次方程；
故选： ．
二．填空题（共6小题）4．（沧州期末）若 是关于 、 的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解： 是关于 、 的二元一次方程，
， ，
解得： ，
故答案为：1
5．（开福区校级月考）关于 的方程 是二元一次方程，则：
．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，得
，
解得 ．
所以 ．
故答案是： ．
6．（金乡县期末）已知 是关于 、 的二元一次方程，则 0. 5 ．
【解答】解： 是关于 、 的二元一次方程，
， ，
，
，
故答案为：0.5．
7．（香坊区校级期中）方程 是二元一次方程，则 2 ．
【解答】解：
方程 是二元一次方程，
可得 ，解得 ，
，
故答案为：2．8．（全南县期末）已知 是关于 ， 的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解： 是关于 ， 的二元一次方程，
， ，解得 ， ，
，
故答案为：1．
9．（港南区期中）若方程 是二元一次方程，则 1 ， ．
【解答】解：根据题意，得
解，得 ， ．
故答案为：1，0．
知识点2 二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
如 是方程 的一个解，记作 .
【典例】
x、y
1.已知关于 的二元一次方程 ，当 时， ；
若无论 取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．
【答案】3；
【解析】解：把 代入方程得： ，
解得： ；
方程整理得： ，
令 ，得到 ，把 代入方程得： ，
解得：y= ，
则方程固定的解为 .
x2
1
y
2
故答案为：3；
【方法总结】
1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数
的方程，解方程即可求出参数的值.
2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参
数的项进行合并，并令合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.
【随堂练习】
1．（泉港区期末）已知非负整数 、 满足方程 ，则方程 的解是
A． 或 B． 且 C． 或 D． 且
【解答】解： ，
解得： ，
当 时， ，
则 且 时方程的非负整数解，
故选： ．
2．（大兴区期末）下表中的每一对 ， 的值都是方程 的一个解：
0 1 2
0 1 2 3 4 5
① 的值随着 的增大越来越大；②当 时， 的值大于3；③当 时， 的值小
于0．
上述结论中，所有正确结论的序号是A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：观察表格得： 的值随着 的增大越来越大；当 时， ；当 时，
的值小于0，
故选： ．
3．（鹿邑县期末）二元一次方程 中有无数多个解，下列四组解不是该方程的解
的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是该方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 不是该方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是该方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是该方程的解，
故选： ．
4．（黄陂区期末）下列各组不是二元一次方程 的解的是A． B． C． D．
【解答】解： 、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 是方程的解；
、把 代入方程得：左边 ，右边 ，
左边 右边， 不是方程的解，
故选： ．
5．（密山市期末）在方程 中，若 ， ，则 的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：把 ， 代入方程得： ，
解得： ，
故选： ．
6．（嘉祥县期末）已知二元一次方程 的一组解为 ，则 为
A． B．10 C． D．7【解答】解： 二元一次方程 的一组解为 ，
代入方程得： ，
，
，
故选： ．
7．（文登区期末）已知 ， 是二元一次方程 的一组解，且满足 ，则
的值为
A．3 B．2 C．8 D．9
【解答】解： ， 是二元一次方程 的一组解，
①
②
且 ③
由②③组成方程组得：
解得
把 代入①得：
故选： ．
8．（怀柔区期末）已知 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选： ．
9．（太原期末）在平面直角坐标系中，以方程 的解为坐标的点组成的图形是A． B．
C． D．
【解答】解：在方程 中，当 时 ，当 时 ，
所以，以方程 的解为坐标的点组成的图形过点 和 ，
故选： ．
10．（昌平区期末）已知 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：将 代入方程 ，得： ，
解得： ，
故选： ．
二．填空题（共1小题）
11．（常熟市期末）若 是关于 ， 的方程 的一组解，则 1 ．
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为：1
知识点3解二元一次方程组---代入消元法
代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，
并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
【典例】
1.用代入法解方程组（1） ； （2） .
【答案】略
【解析】解：（1） ，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
整理得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
故方程组的解为 ．
（2）
由①得， ③，
把③代入②得， ，
解得 ，
把 代入③式得， ，
故方程组的解为 ．
【方法总结】
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1的方程进行
变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
【随堂练习】
1．（东台市期中）解下列方程组（代入法）
【解答】解：（1） ，
由②得：y=﹣2x+8③，
把③代入①得：3x+8x﹣8=1，
解得：x=3，
把x=3代入②得：y=2，
则方程组的解为 ；
知识点4 解二元一次方程组---加减消元法
把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二
元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.
【典例】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组
{
&2x+3(y-2)=6
{&7x+4 y=2①
（1） y ；（2） ．
&x- =2 &3x-6 y=24②
2
【答案】略．
{&2x+3 y=12①
【解析】解：（1）方程组整理得： ，
&2x- y=4②
①﹣②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=3
则方程组的解为 ．
& y=2
（2）①×3+②×2得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
{&x=2
则方程组的解为 ．
& y=-3【方法总结】
先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如
下：
1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；
2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.
3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个
相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过变形，把系数变为相同或相反.
【随堂练习】
1．（成安县期末）用适当方法解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【解答】解：（1）①+②得：6x=12，
解得：x=2，
把x=2代入②得：y=2，
则方程组的解为 ；
（2）①×3+②×2得：27x=54，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=﹣3，
则方程组的解为 ．
【补充练习】
1．（邹城市期末）已知 ，则 的值为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解： ，
，
， ，
， ，两二元一次方程组中所含的未知数及次数相同，
构建一个关于 、 的二元一次方程组为 ，
解二元一次方程组的解为 ，
，
故选： ．
2．（内黄县期末）若 ，则 的值为
A．2 B． C． D．3
【解答】解： ，
，
① ②得： ，
把 代入①得： ，
则 ，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
3．（崇川区校级月考）若方程组 ，则 ．
【解答】解：
① ② 得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
所以 ，故答案为： ．
4．（蔡甸区期末）已知 ，则 1 ．
【解答】解： ，
，
① ②得： ，即 ，
将 代入②得： ，
则 ．
故答案为：1
5．（莘县期中）若 ，则 1 ．
【解答】解： ，
，
解得： ，
则原式 ．
故答案为：1．
6．（鄂托克旗一模）定义运算“※”，规定 ※ ，其中 ， 为常
数，且1※ ，2※ ，则2※ 1 0 ．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
则2※ ．
故答案为：107．（泉港区期中）已知 ，则 2 ， ．
【解答】解： ，
，
② ① 得： ，
把 代入①得： ，
故答案为：2；1
8．（临清市期中）若 ，则 ， ．
【解答】解： ，
，
解得 ．
故答案为： ， ．
三．解答题（共5小题）
9．（达川区期末）解方程组
（1）
（2）
【解答】解：（1）
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得：
解得： ，所以原方程的解为： ；
（2） ，
由①得： ③，
③ 得： ④，
把④代入②得： ，
解得： ，
把 代入③得： ，
解得： ，
所以方程组的解为 ．
10．（二道区期中）在 中，当 时， ，当 时， ，求 和 的
值．
【解答】解： 当 时， ，当 时， ，
② ①，可得： ，
把 代入①，解得 ．
11．（青岛期末）解方程组
（1）
（2） ．
【解答】解：（1） ，② ①得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
12．（通川区期末）解方程组
（1）
（2） ．
【解答】解：（1） ，
把①代入②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，① ②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
则方程组的解为 ．
13．（汨罗市期中）解下列方程组：
（1）
（2） ．
【解答】解：（1） ，
① ②，得 ，
解得 ，
将 代入①中，得 ，
解得 ，
方程组的解为 ；
（2）原方程组可化为 ，
将①代入②中，得 ，
解得 ，
将 代入①中，得 ，
方程组的解为知识点5 二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
【典例】
1.已知方程组 的解为 ，则 的值为________．
【答案】﹣4
【解析】解：∵方程组 的解为 ，
∴把 代入方程组中得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：-4．
【方法总结】
已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，
得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，求出参数的值，进而求得含参代数式的值.
【随堂练习】
1．（新罗区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是二元一次方程组，故此选项错误；
B、是三元一次方程组，故此选项错误；
C、是二元二次方程组，故此选项错误；
D、是分式方程组，故此选项错误；
故选：A．
知识点6 同解方程组
【典例】1.（1）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
（2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方
程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
试计算： ．
【答案】略
【解析】解：（1）∵方程组 和方程组 的解相同，
∴方程组 与上述两方程组有相同的解．
解可得 ．
将其代入到 中，
化简得 ，
解得 .
∴ ．
（2）甲看错了方程①中的a，则 满足方程组②，
把 代入②得： ，即 ；
乙看错了方程②中的b，则 满足方程组①，把 代入①得： ，即 ，
则
【方法总结】
1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程
组，求得它们共有的解，再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.
2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.
【随堂练习】
1．（西安期末）如果方程组 与方程组 的解相同，则 m=
____，n=_____．
【解答】解：根据题意，可先用加减消元法解方程组 ，
得 ．
把 代入方程组 ，
得 ，
用加减消元法解得m=3，n=2．
2．（靖江市校级期中）已知方程组 和 有相同的解，求a2﹣
2ab+b2的值．
【解答】解：解方程组 得 ，
把 代入第二个方程组得 ，解得 ，
则a2﹣2ab+b2=22﹣2×2×1+12=1．知识点7 解三元一次方程组
1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变
三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
【典例1】
1.解三元一次方程组 ．
【答案】略
【解析】解：
①×2﹣②，得
④
①×3-③，得
⑤
④+⑤，得 .
将 代入⑤，得 .
将 代入①，得
.
故原方程组的解是 ．
【方法总结】
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程
组的特点，选准消元对象，定好消元方案.例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，
则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，即“缺
某元，消某元”.2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求 的值．
【答案】略
【解析】解：由题意得： ，
②×3﹣①×2，得：5x=20z，即x=4z，
将x=4z代入①，得：8z﹣3y=﹣z，解得y=3z，
将x=4z、y=3z代入原式，得：
原式= = = ．
【方法总结】
已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的
值，只需把其中一个未知数（如： ）当作一个常数，解关于另外两个未知数（如：
）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.
【随堂练习】
1．（北碚区校级一模）某个“清涼小屋”自动售货机出售 、 、 三种饮料． 、 、
三种饮料的单价分別是2元 瓶、3元 瓶、5元 瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，
且能全部售出，其中， 饮科的数量（单位：瓶）是 饮料数量的2倍， 饮料的数量
（单位：瓶）是 饮料数量的2倍．某个周六， 、 、 三种饮料的上货量分別比一个
工作日的上货量增加了 、 、 ，且全部售出．但是由于软件 ，发生了一
起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料 1瓶），结果这个
周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元．则这个“清凉小屋”自动售货机一
个工作日的销售收入是 95 0 元．
【解答】解：设工作日期间 饮料数量为 瓶，则 饮料数量为 瓶， 饮料数量为
瓶，
工作日期间一天的销售收入为： 元，
周六 饮料数量为 瓶，则 饮料数量为 瓶， 饮料数量为 瓶，
周六销售销售收入为： 元，
周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为： 元，
由于发生一起错单，收入的差为503元，因此，503加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整
数倍，所以这起错单发生在 、 饮料上 、 一瓶的差价为2元），且是消费者付 饮料的
钱，取走的是 饮料；
于是有：
解得：
工作日期间一天的销售收入为： 元，
故答案为：950
2．（南召县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，
购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 85
元．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要 元、 元、 元，
根据题意有： ，
把这两个方程相加得： ，
即 ，
．
即购甲、乙、丙三种商品各一件共需85元钱．
故答案为：85．
3．（和平区期末）方程组 的解是 ．
【解答】解： ，
② ①得 ④，
③ ①得 ⑤，
联立得 ，
解得 ，
把 ， 代入①得 ．故原方程组的解为 ．
综合运用
1.关于 的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出 ，
则 的值是____
【答案】﹣
【解析】解：根据题意，将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，得： ，
解得： .
2.已知 是方程组 的解，则 ．
【答案】7
【解析】解：∵ 是方程组 的解，
∴把 代入得： ，
解得： .
∴ ，
故答案为：7．
3.已知方程 是二元一次方程，则 ．
【答案】3
【解析】解：由题意得： ， ，
解得： ，
，故答案为：3．
4.解方程组 ．
【答案】略．
【解析】解：方程组化简，得
{&-2x+3 y=4①
，
& y=-8+2x②
把②代入①，得
，
解得 ，
把 代入②，得
，
{&x=7
方程组的解是 ．
& y=6
{&3(x-1)= y+5
5.用加减消元法解二元一次方程组 ．
&5 y-6=3(x+4)
【答案】略
{&3x- y=8①
【解析】解：方程组整理得： ，
&3x-5 y=-18②
①﹣②得：4y=26，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
6.已知方程组 和 有相同的解，求 的值．
【答案】略
【解析】解：解方程组 得，
把 代入第二个方程组得 ，
解得 ，
则
7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 b，得到方程组的解为 ．请计算代数式
的值．
【答案】略
【解析】解：由甲同学看错了方程①中的a可知， 满足方程组②，
把 代入②得， ，解得 .
由乙看错了方程②中的b可知， 满足方程组①，
把 代入①得， ，解得 .
∴ =（﹣1）2007×（﹣1）2008=（﹣1）4015=﹣1．
{
&3x- y+z=10①
8.解方程组： &x+2y-z=6② ．
&x+ y+2z=17③
【答案】略．
【解析】解：①+②得：4x+y=16④，
②×2+③得：3x+5y=29⑤，{&4x+ y=16
④⑤组成方程组
&3x+5 y=29
{&x=3
解得
& y=4
将x=3，y=4代入③得：z=5，
{
&x=3
则方程组的解为 & y=4．
&z=5
9.已知： ，求 的值．
【答案】略．
{&4x-3 y-6z=0①
【解析】解：由题意得 ，
&x+2y-7z=0②
①﹣②×4得：
，
解得： ，
将 代入①得： ，
{&x=3z
即 ，
& y=2z
{&x=3z
把 & y=2z代入 中
原式= .
