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第11讲 解一元一次方程
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。
【典例】
1.对于 类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ）
A. （a-c）x=d-b B. （a-c）x=b-d
C. （a+c）x=b+d D. （a-c）x=b+d
【解析】解：ax+b=cx+d，
移项合并得：（a-c）x=d-b
【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。
【随堂练习】
1．（柳州期末）若规定：[a]表示小于a的最大整数，例如：[5]=4，[﹣6.7]=﹣7，则方程
3[﹣π]﹣2x=5的解是（ ）
A．x=7 B．x=﹣7 C． D．
【解答】解：∵3[﹣π]﹣2x=5，
∴3×（﹣4）﹣2x=5，
解得：x=﹣ ．
故选：C．
2．（孝感期末）下列方程中变形正确的是（ ）
A．方程3x﹣2=2x﹣1移项，得3x﹣2x=﹣1﹣2
B．方程 去分母，得5（x﹣1）﹣2x=1
C．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1
D．方程 系数化为1，得x=﹣1
【解答】解：由3x﹣2=2x﹣1移项，得3x﹣2x=﹣1+2，不符合题意；B、由 去分母，得5（x﹣1）﹣2x=1，符合题意；
C、由3﹣x=2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x+5，不符合题意；
D、由 系数化为1，得x=﹣ ，不符合题意．
故选：B．
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，
把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为 （ 为常数）的形式．
【典例】
1.解方程：
【解析】答：去括号得： ，
移项得：
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是
“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各
项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．（雨花区校级期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数 a和b，规定a*b=a2b﹣
2ab+4b．如：1*3=12×3﹣2×1×3+4×3=9．
（1）求（﹣2）*2的值；
（2）若3* =7，求a的值；
（3）请判断2*x与x*（﹣2）的差为正数还是负数，并说明理由．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式=8+8+8=24；
（2）由题意9× ﹣2×3× +4× =7，即 =7，
解得：a=1；
（3）为正数，理由如下：
根据题中的新定义得：2*x=4x﹣4x+4x=4x，x*（﹣2）=﹣2x2+4x﹣8，
之差为2*x﹣x*（﹣2）=4x+2x2﹣4x+8=2x2+8＞0，
则差为正数．
2．（南关区校级月考）已知 y=3是方程6+ （m﹣y）=2y的解，那么关于x的方程2m
（x﹣1）=（m+1）（3x﹣4）的解是多少？
【解答】解：把y=3代入方程6+ （m﹣y）=2y得：6+ （m﹣3）=2×3，
解得：m=3；
把m=3代入2m（x﹣1）=（m+1）（3x﹣4）得：6（x﹣1）=4（3x﹣4），
解得：x= ．
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：
（1）
（2）
【解析】（1）解：“方程两边同时乘以分母的最小公倍数30”得：
，去括号得： ，
移项合并得： ，
解得：
（2）解：分子、分母同乘10，得
去分母，得4（3x+7）﹣3（2x﹣3）=24，
去括号，得12x+28﹣6x+9=24，
移项，合并同类项，得6x=﹣13，
解得：x= ．
【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小
数化为整数
【随堂练习】
1．（沾化区期末）解下列方程：
（1） +1=
（2） ﹣ =1.6
【解答】解：（1）去分母，得：2（2x+1）+6=3（x+2），
去括号，得：4x+2+6=3x+6，
移项，得：4x﹣3x=6﹣2﹣6，
合并同类项，得：x=﹣2；
（2）去分母，得：5（x﹣4）﹣2（x﹣3）=1.6，
去括号，得：5x﹣20﹣2x+6=1.6，
移项，得：5x﹣2x=1.6+20﹣6，
合并同类项，得：3x=15.6，
系数化为1，得：x=5.2．2．（双城市期末）解方程：
（1） =1﹣
（2） ﹣ =﹣10．
【解答】解：（1）去分母得：10x+2=6﹣2x+1，
移项合并得：12x=5，
解得：x= ；
（2）整理得： ﹣ =﹣10，
去分母得：200x﹣600﹣150x﹣600=﹣300，
移项合并得：50x=900，
解得：x=18．
3．（招远市期末）解方程：
（1） +1；
（2） ．
【解答】解：（1）去分母，得：3（3﹣x）=﹣2（2x﹣5）+12，
去括号，得：9﹣3x=﹣4x+10+12，
移项，得：﹣3x+4x=10+12﹣9，
合并同类项，得：x=13；
（2）原方程变形为： ﹣ =3﹣10x，
去分母，得：2（20x﹣8）﹣5（30x﹣15）=10（3﹣10x），
去括号，得：40x﹣16﹣150x+75=30﹣100x，
移项，得：40x﹣150x+100x=30+16﹣75，
合并同类项，得：﹣10x=﹣29，
系数化为1，得：x= ．
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
【典例】1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣ = x﹣ ，答案显示此方程的解是
，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数为_______
【解析】解：设被墨水遮盖的常数是a，
根据题意得：
解得：a=﹣2．
【方法总结】
一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知
数，所得到的式子左右两边相等。
2.已知 为正整数，关于x的方程 的解为整数，则 的最小值为______
【解析】解：方程移项合并得： ，
解得： ，
由 为正整数， 为整数，
得到当 时，
则 的最小值为1，
【方法总结】
对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为 （ 为常数，且 ）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．（鄂城区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为
“和解方程”． 例如：方程 2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求
m，n的值．
【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴ ＝m+3，
解得：m＝﹣ ．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n＝﹣ ．
2．（端州区期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满
足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝ x﹣8的解
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；
（2）①2x+1＝ x﹣8
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB＝BC，
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，
∴|m+3|+|m﹣2|＝8，当m＞2时，解得，m＝3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解，
当x＜﹣3时，m＝﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．
3．（唐河县期中）若关于 x 的方程 3（x+4）＝2a+5 的解大于关于 x 的方程
的解，试确定a的取值范围．
【解答】解：∵3（x+4）＝2a+5，
∴x＝ ，
∵ ，
∴x＝﹣ a，
∴ ＞﹣ a，
解得a＞ ．
4．（黄浦区期末）一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数，且a≠0）的方程，
称为一元一次方程的最简形式．
关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：
当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x＝ ；
当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；
当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．
讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．
【解答】解：当a≠4 时，有唯一解x＝ ，
当a＝4 时，无解．
5．（临川区校级月考）小李在解方程 ﹣ ＝1去分母时方程右边的1没有乘以
6，因而得到方程的解为x＝﹣4，求出m的值并正确解出方程．
【解答】解：由题意：x＝﹣4是方程3（3x+5）﹣2（2x﹣m）＝1的解，
∴3（﹣12+5）﹣2（﹣8﹣m）＝1，
∴m＝3，
∴原方程为： ﹣ ＝1，∴3（3x+5）﹣2（2x﹣3）＝6，
5x＝﹣15，
∴x＝﹣3．
知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】
1.若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为
___
【解析】解：2+ =3﹣x，
12+x﹣1=18﹣6x，
x+6x=18﹣12+1，
x=1，
把x=1代入 得：
12﹣k﹣2=9k，
﹣k﹣9k=﹣10
k=1．
【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．（汇川区期末）如果关于x的方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，那么m＝（
）
A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．1
【解答】解：方程2x+10＝2的解为x＝﹣4，
∵方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，
∴方程3x﹣5m＝3的解为x＝﹣4
当x＝﹣4时，﹣12﹣5m＝3
解得m＝﹣3
故选：B．二．解答题（共2小题）
2．（江阴市期末）已知关于m的方程 的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n
＝3的解．
（1）求m、n的值；
（2）已知线段AB＝m，在直线AB上取一点P，恰好使 ，点Q为PB的中点，求
线段AQ的长．
【解答】解：（1） ，
m﹣16＝﹣10，
m＝6，
∵关于m的方程 的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝3的解．
∴x＝m，
将m＝6，代入方程2（x﹣3）﹣n＝3得：
2（6﹣3）﹣n＝3，
解得：n＝3，
故m＝6，n＝3；
（2）由（1）知：AB＝6， ，
①当点P在线段AB上时，如图所示：
∵AB＝6， ，
∴AP＝ ，BP＝ ，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ＝BQ＝ BP＝ ，
∴AQ＝AP+PQ＝ ＝ ；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：∵AB＝6， ，
∴PB＝3，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ＝BQ＝ ，
∴AQ＝AB+BQ＝6+ ＝ ．
故AQ＝ 或 ．
3．（黄石港区期末）已知关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，求代数式 的
值．
【解答】解：2x＝8，
x＝4，关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，
把x＝4代入x+2＝﹣k，
k＝﹣6，
＝ ＝﹣ ．
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。
【典例】
1.关于x的方程 的解为______
【解析】解：∵
∴去掉外面绝对值得：
和
整理得：
和
（1） 中，
去掉绝对值得：和
解得： 和
因为 和 均不符合 ，所以方程 无解
（2） 中，
去掉绝对值得：
和
解得： 和
因为 和 均符合 ，所以方程 的解为 和
综上所述，方程 的解为 和 ，
【方法总结】
形如 型的绝对值方程的解法：
① 根据绝对值的非负性可知 ；
② 取绝对值，分类讨论，得到： 和 ；
③ 分别解方程 和 ；
④ 将求得的解代入 检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．（鼓楼区校级月考）阅读解题：解方程：|3x|＝1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x＝ ；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x＝1，它的解是x＝﹣ ．
请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5＝13．
【解答】解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝4它的解是x＝7；
当x﹣3＜0时，原方程可化为﹣（x﹣3）＝4
它的解是x＝﹣1；
所以原方程的解是x＝7或x＝﹣1．
综合集训
1.下列方程的变形中正确的是________.
① 由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5
② 由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
③ 由 得
④ 由 得2x=﹣12
【解析】解：①由x+5=6x﹣7得x﹣6x=﹣7﹣5，故错误；
②由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x+2=3，故错误；
③由 得 ，故错误；
④正确．
2.研究下面解方程 的过程
去分母，得 1+4﹙2x﹣3﹚=5x﹣1﹣3x ①
去括号，得 1+8x﹣12=2x﹣1 ②
移项，得 8x﹣2x=﹣1﹣1+12 ③
合并同类项，得6x=10 ④
系数化为1，得 ⑤
对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。
【解析】 解：由原方程去分母，得
1+4（2x﹣3）=5x﹣（1-3x） ①
故第①步变形错误；3.已知关于x的方程 的解满足 ，则 的值是________.
【解析】解：先由 ，
得出 或
再将 和 分别代入mx+2=2（m﹣x），
求出 或
4.解方程：
【解析】解：移项，得： ，
即 ，
根据绝对值的概念得： 或 ，
解得：x=6或0．
故答案为：x=6或0．
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程 中的数字蘸上墨汁，看不
清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程 也
是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
【解析】解：方程 ，
去分母得：2（1﹣x）=3（x﹣1），
去括号得：2﹣2x=3x﹣3，
解得：x=1，∵方程 与方程 的解相同，
∴把x=1代入到方程 中得到（令 =a）， ，
解得：a=﹣13，
则被墨汁蘸上的数字是﹣13．
6.当 为何值时，关于x的方程 的解为正整数？
【解析】解：解关于x的方程 ，
其解为 ，
要使方程的解为正整数，即必须使 为正整数，
则（a﹣1）应是6的正约数，
则a﹣1=1，2，3，6，
则a=2，3，4，7．
故a=2，3，4，7时，原方程的解为正整数
7.解下列一元一次方程
（1） ；
（2） ．
（3）
4）
（
（5）（6）
1）
【解析】解：（
去分母得：2（x+4）﹣10=5（x﹣2）+10x，
去括号得：2x+8﹣10=5x﹣10+10x，
移项得：2x﹣15x=﹣8，
合并同类项得：﹣13x=﹣8
系数化为1得： ；
（2）
去分母“两边同时乘以1”得：
50（0.1x﹣0.2）﹣2（x+1）=3
去括号得：5x﹣10﹣2x﹣2=3
移项得：5x﹣2x=10+2+3
合并同类项得：3x=15
系数化为1得：x=5．
（3）
整理得：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（4）
去括号得：去括号得：
去分母得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（5）
方程两边同乘9得：
整理得：
方程两边同乘7得：
整理得：
方程两边同乘5得：
整理得：
方程两边同乘3得：
整理得：
（备注：去括号一般按照从里往外的顺序，但有些情况按照由外往里的顺序更简便。）
（6）
去括号得：
去括号得：
两边同时乘以18得：
移项得：
合并同类项得：系数化为1得：
